四元数简介
四元数
二.四元数与姿态阵之间的关系
3.由于 || Q || q0 2 q12 q2 2 q3 2 =1，所以：
q0 2 q12 q2 2 q3 2 R Cb 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2
2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
构造四元数：
q0 cos
2
2 q2 m sin 2 q3 n sin 2
q1 l sin
Q q0 q1i0 q2 j0 q3 k0 cos cos
2
(li0 mj0 bk0 ) sin
2
2
u R sin
2
二.四元数与姿态阵之间的关系
记：
rx ' r 'R r ' y rz '
rx rR r y rz
l uR m n
二.四元数与姿态阵之间的关系
0 n m rx r (u r ) R n 0 l y 0 m l rz
q0 2 q12 q2 2 q3 2 CbR 2(q1q2 q0 q3 ) 2(q q q q ) 1 3 0 2 2(q1q2 q0 q3 ) q0 q1 q2 q3 2(q2 q3 q0 q1 )
2 2 2 2
2(q2 q3 q0 q1 ) 2 2 2 2 q0 q1 q2 q3 2(q1q3 q0 q2 )
二.四元数与姿态阵之间的关系
四元数表示姿态和旋转
四元数表示姿态和旋转1. 引言1.1 介绍四元数四元数是一种数学概念，最早由爱尔兰数学家威廉·哈密顿在19世纪提出。
四元数可以看作是复数的扩展，它包括了实部和三个虚部，通常用符号q = w + xi + yj + zk来表示，其中w、x、y、z分别是实部和三个虚部的系数。
四元数在姿态和旋转中有着广泛的应用，在计算机图形学、机器人学、物理模拟等领域都有着重要作用。
在旋转表示中，四元数可以更加高效地描述物体在三维空间中的旋转，避免了欧拉角表示中的万向锁问题，同时还可以实现平滑的插值和融合操作。
尽管四元数在数学上可能较为复杂，但其在姿态和旋转中的应用已经得到了广泛认可。
通过四元数，我们可以更加简洁地表达旋转操作，提高了计算效率和精度，为解决实际问题提供了强大的工具。
四元数的引入，不仅拓展了我们的数学工具箱，也为许多领域的发展带来了新的可能性。
1.2 四元数在姿态和旋转中的应用四元数在姿态和旋转中的应用非常广泛，它在航空航天、机器人、计算机图形学等领域都有重要的作用。
在航空航天领域，四元数被广泛应用于飞行器的姿态控制和导航系统中。
通过四元数表示飞行器的旋转姿态，可以更准确地描述飞行器的运动状态，实现精确的控制和导航。
在机器人领域，四元数也被用于机器人的运动规划和控制。
通过四元数表示机器人的姿态变化，可以更有效地规划机器人的运动轨迹，确保机器人在复杂环境中稳定地移动。
在计算机图形学领域，四元数被用于实现3D图形的旋转和变换。
通过四元数表示物体的旋转，可以避免旋转变换的奇异性问题，实现更流畅和自然的图形变换效果。
四元数在姿态和旋转中的应用为各个领域提供了一种有效的数学工具，可以更加精确地描述和处理物体的旋转和姿态变化。
它不仅提高了系统的性能和稳定性，也拓展了人类对于旋转和姿态变化的理解和应用。
2. 正文2.1 四元数的定义四元数是一种数学概念，可以用来表示复杂的旋转和姿态。
它由一个实部和三个虚部组成，通常用符号q = q + qq + qq + qq来表示，其中q、q、q、q是实数，q、q、q是虚数单位。
四元数 nuscenes 顺序
四元数 nuscenes 顺序【原创实用版】目录1.介绍四元数2.解释 nuscenes3.探讨四元数与 nuscenes 的关系4.讨论四元数 nuscenes 的顺序正文1.四元数是一种数学概念，也被称为 quaternion，由爱尔兰数学家威廉·罗兰·汉密尔顿于 1843 年发现。
四元数是一种扩展了复数的概念，它可以表示为一个实数和三个虚数的组合，通常表示为 q = a + bi + cj + dk，其中 a、b、c、d 都是实数，i、j、k 是三个虚数单位，满足以下关系：i = j = k = ijk = -1。
四元数在三维空间中的旋转、姿态表示和控制等方面有着广泛的应用。
2.nuscenes（nuclear scene）是指核场景，它是一种在虚拟现实和增强现实技术中使用的三维场景表示方法。
nuscenes 通常包括一个或多个物体，以及它们的位置、旋转和缩放信息。
在 nuscenes 中，物体的姿态信息通常用四元数表示，这是因为四元数可以简洁地表示三维空间中的旋转。
3.四元数与 nuscenes 的关系在于，四元数可以用来表示和操作三维空间中的旋转，而 nuscenes 正是描述三维空间中物体的旋转和位置信息的场景表示方法。
因此，四元数是 nuscenes 的重要组成部分，也是实现nuscenes 的关键技术之一。
4.四元数 nuscenes 的顺序是指在 nuscenes 中，四元数表示的物体旋转的顺序。
在实际应用中，物体的旋转顺序可能会影响到虚拟现实或增强现实场景的表现效果。
例如，在虚拟现实游戏开发中，合理的四元数nuscenes 顺序可以使游戏场景更加流畅和自然。
因此，在创建和使用nuscenes 时，需要根据实际需求和场景来确定四元数的顺序。
综上所述，四元数是一种重要的数学概念，它可以用来表示和操作三维空间中的旋转。
nuscenes 是一种描述三维空间中物体的旋转和位置信息的场景表示方法，四元数是 nuscenes 的重要组成部分。
四元数
四元数一、四元数的来历四元数（Quaternions ）最先是由爱尔兰数学家哈密顿（William Rowan Hamilton ）在1843年发明的数学概念，它是最简单的超复数起初，我们所熟知的复数是由实数加上元素组成的，形式如下所示 z a ib =+将两维复数扩展至三维复数，可以得到z a ib jc =++现在把两个三维复数相乘，并化简得到12121212121212121212()()()z z a a bb c c i a b b a j a c c a ijb c jic b =--++++++ 然而，对于上式得到的结果ij 和ji 并不是确定的值，因此哈密顿引入了四维复数的概念，将z 写成四维复数的形式，即z a ib jc kd =+++这时，再将两个四维复数相乘，化简可得1212121212121212121212121212121212()()()z z a a b b c c d d i a b b a j a c c a k a d d a ijb c ikb d jic b jkc d kid b kjd c =---++++++++++++然后，哈密顿做了如下规定，即ij=k jk=i ki=j ji=-k kj=-i ik=-j按照如上规定，式化简为如下形式121212121212222111121212121212()()()()()()z z a a b b c c d d a ib jc kd a ib jc kd i c d d c j d b b d k b c c b =-+++++++++-+-+-最后，将z1,z2写成最初的形式，即111222z s v z s v =+=+式中，v1,v2分别表示z1,z2的虚数部分得到121212122112z z s s v v s v s v v v =-+++⨯哈密顿将此式中的对象z1z2叫做四元数，并把虚数部分称作是向量。
机器人运动求解的基础：四元数法入门简介
三、 空间旋转的四元数法 5、四元数基本运算
加法与复数类似：
乘法展开式：
——有序对形式
——有序对形式
三、 空间旋转的四元数法
5、四元数基本运算
乘法矩阵形式： （与复数矩阵形式类似）
q2列向量 q1的矩阵形式
三、 空间旋转的四元数法 6、四元数模长、逆、共轭及单位四元数
模长：
四元数的逆 满足：
与复数类似： 单位四元数的逆=
等领域较多应用
刚体一般螺旋运动的对偶四元数表示：设
，
则
表示一般刚体运动算符 又有
例如：对链式构件有
….
表示旋转和平移的复合算符。
五、 各种运动学求解方法关系
几何变换：
二维 特殊正交
旋转 矩阵群
复数
平 面 运 动
三维 特殊正交
旋转 矩阵群
欧拉角 向量 四元数
三 维 旋 转
李群、李代数 理论
（矩阵、指数表示）
当前位姿
路径规划： 求逆解
正解问题
二、 运动学求解几种典型方法
Chasles定理： 任何刚体运动分解为 直线运动和旋转运动
齐次 矩阵： 3x3→4x4
D-H法：杆件参数表→D-H变换矩阵。 优点：成熟、稳定、系统（配套成熟逆解方法） 局限：无法表示关于y轴运动（关节为平面运动）
欧拉角表示空间旋转：R=Rα×Rβ×Rγ
机器人运动求解的基础：四元数法入门简介
内容
一、 机器人运动学求解动机 二、 运动学求解几种典型方法 三、 空间旋转的四元数法 四、 对偶四元数简介 五、 各种运动学求解方法关系
一、 运动学求解动机 1、正向问题——已知各关节运动量求末端执行器位置姿态
一、 运动学求解动机 2、逆向问题——根据末端执行器目标位姿求各关节运动参数
四元数x y z w的意思
四元数x y z w的意思
四元数是一种数学概念，通常用来表示三维空间中的旋转。
它
由四个实数构成，通常表示为x, y, z, w。
其中，w是实部，而x, y, z是虚部。
四元数可以用来进行旋转、插值和姿态表示等操作。
从数学角度来看，四元数是一种超复数，它包含一个实部和三
个虚部。
它可以用来表示三维空间中的旋转，因为它可以更有效地
描述旋转的复杂性，相比于欧拉角或旋转矩阵而言，四元数的运算
更加简洁和高效。
在计算机图形学和游戏开发中，四元数也被广泛应用，因为它
们可以更有效地表示和计算三维空间中的旋转。
通过四元数，可以
避免万向锁（Gimbal Lock）等旋转过程中的问题，同时在进行插值
和连续旋转时也更加方便。
总的来说，四元数是一种用来表示三维空间中旋转的数学工具，它在计算机图形学、游戏开发和工程领域中具有重要的应用价值。
四元数和欧拉角
四元数和欧拉角
四元数与欧拉角：
1、四元数
四元数是一种数学物体，它由ONE个实部和THREE个虚部组成。
实部是非负实数，其余的THREE个部分是虚数。
四元数的表达式可以表示为：Q=a+bi+cj+dk (a、b、c、d是实实部）。
它们有助于以三维空间中的方式表示方向和旋转。
离散空间中表示四元数，当旋转发生时，它们保持一致。
2、欧拉角：
欧拉角是一种三维旋转矢量，可以用来表示不同方向之间的关系。
它将旋转分成THREE个不同的轴，分别为X轴、Y轴和Z轴。
每个轴都有自己的旋转角度，比如X轴有X角度，Y轴有Y角度，Z轴有Z角度。
欧拉角的表达式可以写作：[X,Y,Z]，其中X、Y、Z分别表示每个轴的旋转角度。
欧拉角与四元数之间的差别在于欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数表示的是不同方向的空间旋转。
可以说四元数和欧拉角均是用来表示旋转有关信息的，但是又是有所差别的。
下面我们来总结下它们两者之间的区别：
1）表示方式不同：欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数是表
示不同方向的空间旋转；
2）用途不同：欧拉角被广泛应用于3D图形学处理领域，可以很方便
地实现3D模型的几何变换；而四元数方便地表示空间任意的旋转变换，是用来表达机器人的运动控制中的基本角度表示方式；
3）值域不同：欧拉角的值域为[0,2π)，而四元数的值域为[-1,1]；
4）叠加角度表示方法不同：四元数是可以用乘法表达累加旋转；而欧
拉角只能使用加法来表达叠加旋转。
关于四元数的几何意义和物理应用
关于四元数的几何意义和物理应用四元数是一种用来表示旋转的数学工具，由一个实部和三个虚部组成。
它起源于19世纪，最早是由爱尔兰数学家威廉·汉密尔顿提出的。
在几何中，四元数可以用来表示旋转和旋转群的变换。
在物理学中，四元数被广泛应用于描述刚体运动、航天器姿态控制、电子游戏的图形渲染等领域。
首先，我们来讨论四元数的几何意义。
四元数由一个实部和三个虚部组成，可以表示为q = a + bi + cj + dk，其中a为实部，(b,c,d)为虚部。
四元数有一些特殊的性质，例如，它可以用来表示三维空间中的旋转，在空间中的每一个点都有一个与之关联的四元数，通过四元数的乘法运算可以实现点的旋转。
这就使得四元数成为一种非常强大的旋转表示工具。
四元数还有一种重要的几何意义，即可以用来表示方位角和旋转轴。
在四元数中，实部a表示旋转的角度，虚部(b,c,d)表示旋转轴的坐标。
这使得我们可以方便地进行旋转操作，而无需进行复杂的矩阵计算。
通过四元数的乘法运算，我们可以将多个旋转操作合并为一个旋转操作，从而降低了计算的复杂度。
在物理学中，四元数有着广泛的应用。
首先，四元数被广泛应用于描述刚体的旋转。
刚体是在空间中保持形状和体积不变的物体，例如飞机、汽车等。
通过四元数，我们可以非常方便地描述刚体在空间中的姿态变换。
这在航天器姿态控制、机器人运动控制等领域都有着重要的应用。
其次，四元数还被用于电子游戏的图形渲染。
在电子游戏中，我们需要不断地渲染图像以呈现动态的场景。
通过使用四元数来表示物体的旋转，我们可以在游戏中实现非常流畅的旋转动画，同时减少计算的复杂度。
此外，四元数还被应用于量子力学中描述粒子的自旋。
在量子力学中，自旋是描述粒子内部旋转的属性。
通过使用四元数，我们可以方便地描述粒子在空间中的自旋状态。
总之，四元数在几何中的几何意义和在物理中的物理应用是非常广泛的。
它可以用来表示旋转、方位角和旋转轴，方便地进行旋转操作。
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可表示为 d + ai + bj + ck，a、b、c、d是 实数。 • 四元数的其它表示方法： 1、q=[w,v] 其中v=（x,y,z）是矢量，w是标量。 2、q=( cosθ/2 , (x ,y,z )sinθ/2) 3、q=[d,a,b,c]T
• • • • •
纠正陀螺仪积分得出的姿态。 长期融合用到的传感器是加速度计和电子罗盘 假设正确的姿态四元数为Q,那么可以利用四元数旋转将参考坐标系和 体坐标系下的向量互相转换,将Eh和Eg转换到体坐标系下 BEh=Q×Eh×Q* BEg=Q×Eg×Q * 理论上Bg=BEg,Bh=BEh 即 { Q×Eh×Q* - Bh = 0} , { Q×Eg×Q* - Bg = 0} 这两个方程成立,联立这两个方程就可以解得姿态四元数Q。但是，由 于各种误差的存在,这个方程组只能找到最优解,找最优解的问题有许 多方法可以采用,如[梯度下降][高斯牛顿]
• q1 q2=
w2 x 2 y2 z2
四元数在姿态运算上的应用
• 一个单位化的四元数可以描述一个三维旋转的过程。例如：
p0以原点为旋转中心，旋转的轴是(α, β, γ) （ α^2 + β^2 + γ^2 = 1）， 转θ角的旋转，用四元数表示就是： p1= qp0q-1
四元数
齐朋冲
四元数的引入
• 复数的加、乘运算可以表示平面向量的合成、伸
缩和旋转变换，这些知识我们已经在中学课程中 学过了。 那么，很自然的问题就是，在三维，或更高维空 间中是否也有复数的类似物？其中的元素还可以 像复数域那样做加、减、乘、除运算，并满足通 常复数的那些运算律，包括加法和乘法的交换律 与结合律、乘法对加法的分配律等待？更进一步， 我们是否可以期望用这样的数来表示三维或更高 维空间中的伸缩和旋转，就像用复数表示平面向 量的伸缩旋转那样方便？
•
姿态处理
• λ为权值
四元数转欧拉角
• 转换公式
四元数作用过程
起飞前 起飞
姿态传递 初始姿态
姿态融合
长期融合
快速融合
谢谢！
• 根据四元数结合律有 • p = (qn−1 ...q3−1 q2−1 q2−1) p′(q1 q 2q 3...q n) • 故（q1 q 2q 3...q n）可表示四元数一系列旋转操
作，也可以表示一次四元数旋转操作，也可以表 示刚体相对于大地的姿态
姿态融合
长期融合
• 长期融合的作用有两个：一、得到初始姿态；二、用直接测量的姿态，
• 因为微分时间内yaw，pitch,roll都为非常小的角度，
所以可以有这样的小角近似:sin△=△，cos△=1, 上面作完近似后就出来了 q dt =(1，roll/2 ,pitch/2, yaw/2) =(1，gxT/2 ,gyT / 2, gzT/2) 把微分法证明完了以后你会发现，做完小角近似 后三个角 yaw，pitch，roll在里面地位是一样的， 这也刚好对应的它们是同时旋转的，而且还发现 了小角度情况下旋转是原来是可以合成的 。
四元数的运算
• 要把两个四元数相加只需将相类的系数加
起来就可以，就像复数一样。至于乘法则 可跟随以下的乘数表：
• 四元数乘法：
q1=(w1,x1,y1,z1) q2=(w2, x2,y2,z2)
w1 x1 y1 z1 x w z y 1 1 1 1 y1 z1 w1 x1 w1 z1 y1 x1
q = (cos(θ/2); α sin(θ/2), β sin(θ/2), γ sin(θ/2)) q-1=q*/||q||
• 四元数的乘法可以表示将多个旋转合并，例如：
• p = qn−1 ...q3−1 q2−1 q2−1 p′ q1 q 2q 3...q n
刚体沿着q1 q 2q 3...q n依次旋转后有
• 历史上有很多数学家试图寻找过三维的复数，但
后来证明这样的三维复数是不存在的。 知道了复数不能推广到三维，我们把目光移向四 维复数，即四元数。四元数是由爱尔兰数学家威 廉· 卢云· 哈密顿在1843年发现的。复数推广到四 元数，必须牺牲掉数域的某一条或几条性质，哈 密尔顿抛弃了乘法交换律。
四元数定义
快速融合
• 快速融合主要用到的传感器是陀螺仪 • Qdt=qxyz=qzqyqx =
cos(yaw/2)cos( pitch / 2)cos(roll / 2) sin( yaw / 2) sin( pitch / 2) sin( roll / 2) sin( yaw / 2) sin( pitch / 2) cos(roll / 2) cos( yaw / 2) cos( pitch / 2) sin( roll / 2) cos( yaw / 2) sin( pitch / 2) cos(roll / 2) sin( yaw / 2) cos( pitch / 2) sin( roll / 2) sin( yaw / 2 ) cos( pitch / 2 ) cos( roll / 2 ) cos( yaw / 2 ) sin( pitch / 2 ) sin( roll / 2 )