第四章 四元数正态分布
《正态分布》教学课件(2024)
2024/1/29
4
正态分布定义及特点
特点
分布的形状由标准差决定，标准 差越小，曲线越陡峭；标准差越 大，曲线越平缓。
定义：正态分布是一种连续型概 率分布，描述了许多自然现象的 概率分布情况。在统计学中，正 态分布又被称为高斯分布。
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曲线呈钟形，对称于均值，且均 值、中位数和众数相等。
正态分布在实际问题中解 决方案
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问题背景描述
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实际问题中，很多数据分布情况呈现出一种钟型曲线， 即正态分布。 正态分布在自然界、社会科学、工程技术等领域都有广 泛应用。
掌握正态分布的性质和参数估计方法，对于解决实际问 题具有重要意义。
25Βιβλιοθήκη 解决方案设计思路确定问题背景和数据来源，对数据进行 收集和整理。
02
正态分布是一种连续型概率 分布，具有钟形曲线特征。
03
正态分布的概率密度函数由 均值和标准差决定。
29
关键知识点总结回顾
正态分布具有对称性 、可加性和稳定性等 重要性质。
标准正态分布是均值 为0、标准差为1的正 态分布。
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标准正态分布及其性 质
30
关键知识点总结回顾
标准正态分布的概率密度函数具有标准形式，便于计算和分析。
如果数据符合正态分布，则可以利用正 态分布的性质和参数估计方法，对数据
进行建模和分析。
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利用统计分析方法，对数据进行描述性 统计和推断性统计，判断数据是否符合 正态分布。 根据建模结果，对实际问题进行解释和 预测，提出相应的解决方案。
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具体实施步骤和结果展示
4正态分布
正态分布的图形特征
• 正态分布的密度函数
f (X ) 1 e
( X ) 2 / 2 2
2
, X
式中，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周 率，e为自然对数的底，仅x为变量。 当x确定后， f(x)为x相应的纵坐标高度，则x 服从参数为μ和σ2的正态分布（ normal distribution)， 记作X~N（ μ，σ2 ）。
正态分布及其应用
一、正态分布的概念和特征：
观察表7-2资料绘成的直方图
概念：如果观察例数逐渐增多，组段不断 分细，直方图顶端的连线就会逐渐形成一条高 峰位于中央（均数所在处），两侧逐渐降低且 左右对称，不与横轴相交的光滑曲线，这条曲 线称为频数曲线或频率曲线，近似于数学上的 正态分布（高斯分布;Gauss）。 由于频率的总和为100%或1，故该曲线下 横轴上的面积为100%或1。
1
2
标准正态分布曲线下面积规律：
1. 标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的68.26% 。 2. 标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95% 。 3. 标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99% 。
二、正态曲线下面积的分布规律
实际工作中，常需了解正态曲线下横轴 上某一区间的面积占总面积的百分数，以便估 计该区间的例数占总例数的百分数或观察值落 在该区间的概率。为了便于应用，统计学家按 φ (u)编制了附表1标准正态分布曲线下的面积， 由此表可查出曲线下某区间的面积。
参考值范围的制定方法：
（1）正态分布法：适用于正态或近似正态分布资料； 双侧界值 单侧上界 单侧下界
X u / 2 s
X u s
X u s
正态分布ppt课件统计学
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
4 正态分布
σ 2π −∞
2010-9-15
6
标准正态分布
标准化变换（Z转换）：令 称Z为离差单位或标准分。
Z
=
(
X− σ
μ)
，
Z ∼ N (0,1)
密度函数： f (z) =
1
− z2
e2
2π
−∞ < z < +∞
分布函数：
2010-9-15
∫ Φ(z) = 1
t −t2
e 2 dt
2π −∞
9
正态分布与标准正态分布的转换
2010-9-15
18
几个重要区间
单侧：
Z (−∞, 1.645]
__
X (−∞, X + 1.645S]
⇒ P = 0.95
Z(−∞, 2.326] __
⇒ P = 0.99
X (−∞, X + 2.326S]
2010-9-15
19
正态分布的应用
Ⅰ 估计医学参考值范围
Ⅱ 质量控制（6 σ 原则）
解：已知
__
X
=
4.7168
，S
=
0.5665
X = 4, Z = (4 − 4.7168) / 0.5665 = −1.265
X = 5, Z = (5 − 4.7168) / 0.5665 = 0.500
P(4 < X < 5) = P(−1.265 < Z < 0.500)
= Φ(0.500) − Φ(−1.265) = 1 − 0.3085 − 0.1029
18
占正常女子总人数的百分比。 1.3~
13
1.4~
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布，它在自然科学、社会科学、工程技术等众多领域都有着广泛的应用。
下面，让我们一起来深入了解正态分布。
一、什么是正态分布正态分布，也被称为高斯分布，是一种连续型概率分布。
它的概率密度函数呈现出一种独特的“钟形”曲线，具有对称性。
从数学表达式上看，正态分布的概率密度函数为：＼ f(x) ＝＼frac{1}｛＼sigma ＼sqrt{2\pi}｝ e^｛＼frac{（x ＼mu)＾2}｛2\sigma^2}｝＼其中，＼（＼mu\）是均值，决定了曲线的位置；＼（＼sigma\）是标准差，决定了曲线的“胖瘦”程度。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线以均值\（＼mu\）为对称轴，左右两侧对称。
这意味着在均值两侧相同距离处，出现观测值的概率相等。
2、集中性大部分数据集中在均值附近，离均值越远，数据出现的概率越小。
3、均值和中位数、众数相等这三个统计量在正态分布中是重合的，反映了数据的中心趋势。
4、标准差的作用标准差\（＼sigma\）越大，曲线越“胖”，数据的分散程度越大；标准差越小，曲线越“瘦”，数据越集中。
三、正态分布的产生原因为什么在现实世界中会有如此多的现象符合正态分布呢？1、大量独立随机因素的综合作用许多自然和社会现象受到众多微小、相互独立的随机因素的影响。
例如，人的身高受到遗传、营养、环境等多种因素的影响，当这些因素的数量足够多且相互独立时，最终的结果往往呈现正态分布。
2、中心极限定理根据中心极限定理，当从一个总体中抽取大量独立同分布的随机样本，并计算其均值时，这些均值的分布将近似于正态分布。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，通过对产品质量特征的测量，如果其符合正态分布，可以设定合理的控制界限，来监控生产过程是否处于稳定状态。
2、考试成绩评估考试成绩通常近似服从正态分布。
教师可以根据正态分布来确定合理的分数段，评估学生的学习情况。
《正态分布》 讲义
《正态分布》讲义一、什么是正态分布在统计学中，正态分布是一种极其重要的概率分布。
它就像是自然界和人类社会中许多现象的“常客”，无处不在。
想象一下，我们测量一群人的身高，或者记录一段时间内某地区的气温，这些数据往往会呈现出一种特定的规律，这就是正态分布。
正态分布的形状就像一个钟形，中间高，两边逐渐降低并且对称。
这意味着大部分数据集中在平均值附近，而离平均值越远，数据出现的频率就越低。
二、正态分布的特点1、对称性正态分布曲线是关于均值对称的。
也就是说，如果均值是μ，那么在μ 左侧和右侧相同距离处的数据出现的频率是相等的。
2、集中性大部分数据都集中在均值附近。
这反映了在许多情况下，一个典型的或者最常见的值是存在的。
3、均匀变动性从均值向两侧，曲线的下降是均匀的。
这意味着数据的变化是相对平稳和有规律的。
三、正态分布的数学表达式正态分布的概率密度函数可以用下面的公式来表示：f(x) ＝（1 ／（σ √（2π)）） e^（（（x μ)＾2 ／（2σ^2)））在这里，μ 是均值，σ 是标准差，π 是圆周率，e 是自然常数。
这个公式看起来可能有点复杂，但它精确地描述了正态分布的形状和特征。
四、正态分布的应用1、质量控制在生产过程中，例如制造零件，产品的某些质量指标往往服从正态分布。
通过对这些指标的监控和分析，可以判断生产过程是否稳定，是否需要进行调整。
2、考试成绩学生的考试成绩通常也近似符合正态分布。
这有助于教师评估教学效果，确定合理的分数段和等级划分。
3、金融领域股票价格的波动、收益率等常常呈现正态分布的特征。
投资者可以利用这一特点进行风险评估和投资决策。
4、医学研究例如人体的生理指标，如血压、身高体重指数等，很多都符合正态分布。
这对于疾病的诊断和预防具有重要意义。
五、如何计算正态分布的概率为了计算给定区间内的概率，我们通常需要借助数学表或者使用统计软件。
例如，要计算某个值 x 以下的概率，可以通过将 x 标准化为 z 分数：z ＝（x μ) ／σ然后，查找标准正态分布表来获取对应的概率。
正态分布计算方法
正态分布计算方法嘿，咱今儿就来聊聊正态分布计算方法！这正态分布啊，就像是生活中的很多事儿一样，有它自己的规律呢！你看哈，正态分布就像是一群人站成一排，大部分人都在中间，两边的人就比较少。
这中间的“大部队”就是最常见的情况呀！那怎么去算它呢？咱先得搞清楚几个关键的东西。
比如说均值，这就像是这群人的平均位置，是个很重要的参考点呢。
还有标准差，它就像是衡量这群人站得有多开或者多集中的一个指标。
计算正态分布的时候，咱可以想象成在给这些人排队分位置呢。
先找到均值这个中心，然后根据标准差来看看两边的范围有多大。
比如说，咱假设有个正态分布，均值是 50，标准差是 10。
那离均值一个标准差范围内的，不就是 40 到 60 之间嘛。
这一段里的情况就比较常见咯。
然后呢，咱可以通过一些公式来具体算算某个值出现的概率。
这就好像是在问，在这群人里，找到一个特定身高的人的可能性有多大。
哎呀，这正态分布计算方法其实也不难理解嘛，对吧？咱把它想象成生活中的例子，不就好懂多啦！你想想，考试成绩很多时候不就是正态分布嘛！大部分人都在中间的分数段，特别高和特别低的都比较少。
那咱要是会算正态分布，不就能大概知道自己的成绩在整个群体里处于啥位置啦？再比如说，人的身高啊、体重啊，很多也都符合正态分布呢。
咱知道了计算方法，就能更好地了解这些数据背后的意义呀！总之呢，正态分布计算方法虽然听起来有点高大上，但只要咱用心去理解，把它和生活中的例子联系起来，就会发现它其实挺有趣，也挺有用的呢！别被那些公式和概念吓住啦，勇敢地去探索，你肯定能掌握它的！就像咱生活中遇到困难，只要勇敢面对，总能找到解决办法一样！加油吧！。
4正态分布
+∞
1 = ∫ ( x − μ) ⋅ e −∞ 2 πσ x− μ 令 = t,得 σ t2 2 − +∞ σ 2 D( X ) = t e 2 dt 2 π ∫− ∞
+∞
2
( x − μ )2 − 2σ 2
d x.
t2 2 ⎛ − σ ⎜ = − te 2 2π ⎜ ⎝
+∞
+∫ e
−∞
t2 +∞ − 2 −∞
所以
1 E( X ) = ∫ x ⋅ e −∞ 2πσ
+∞
( x − μ )2 − 2σ 2
dx
1 +∞ = ∫−∞ ( μ + σt)e 2π 1 =μ ∫ e 2π
= μ.
t2 +∞ − 2 −∞
t2 − 2
dt
t2 − 2
σ +∞ dt + ∫−∞ te 2π
dt
D( X ) = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x
x2 − 2
e
( z − x )2 − 2
dx
dx
1 = e 2π
z t = x− 2
∫− ∞ e
+∞
+∞
z ⎛ −⎜ x− 2 ⎝
⎞2 ⎟ ⎠
1 e 2π
z2 − 4
∫− ∞ e
−t2
dt=
1 2 π
e
z2 − 4
.
即 Z 服从 N (0,2) 分布.
例5 设二维随机变量 ( X ,Y ) 的概率密度为
∫
c− μ σ −∞
1 e 2π
u2 − 2
⋅du
⎛d − μ⎞ c − μ⎞ =Φ⎜ ⎟ −Φ ⎛ ⎜ ⎟. σ ⎠ ⎝ ⎝ σ ⎠
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ｅ ｘ ｐ ｛ 一 告 （ ： ， ； ； 一 ’ Ｙ ， ・ ： ・ ； ； 一 ： 十 ： ・ ， ； 】 。 ＋ 几 ・ 。 ； １ Ｙ ４ ｝
一 。 ｘ ｐ ｛ 一 １ （ 夕Ｙ ， ＇ （ ４ ， 。 一 Ｙ ， ｝ 一 ｅ ｘ ｐ 、 一 粤 ｔ ｒ （ Ｙ ＇ （ ４ ， ｝ ） 一 ， ： ） ｝
－ （ Ｉ Ｉ Ｉ ＋１ ＇ ２ ２＋ 艺 ３ ３ ＋１ ４ ４） ＋（ 一 Ｅ． ：＋ １ ． ２ ！ 一 ７３ ４ ＋１ ４ ３ ） ・ ｉ ＋ （ 一 Ｚ １ ３ ＋ 艺２ ４ ＋１３ １一 １ ４ ２ ） ・ ｊ ＋ （ 一 １１ ４ ＋ １ ４ １ 一 １ ２ ３ ＋ １ ３ ２） ・ ｋ
Ｚ ＇ ． １ － ＇ Ｚ 二 音 ４ Ｙ ｝ ｒ ； 一 、 一 ４ Ｙ ２ ＇ ． ＇ ‘ 一 ’ ： 一 ４ Ｙ ３ ＇ ， ； 一 ： 一 ４ Ｙ ４ ＇ ， Ｓ ， ；
由 此２ ＂ ｄ ｅ ｔ （ ， ｝ ） ＿ （ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） ） ４ ， 进一 步得 ｄ ｅ ｔ （ ， ｝ ） ｉ ｎ ＝ ２ ＂ ． （ ｄ ｅ ｔ （ ｊ ： ） ） ２
（ ； ｒ ） ２ ｍ
（ ７ ） ２ ．
２ ２ ＇ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） － ＇ ｅ ｘ ｐ ｛ 一Ｒ ｅ ｔ ｒ （ Ｅ － ＇ Ｚ Ｚ ＊ ） ｝
＿ ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ２ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 ， （ 一 （ ４ ｒ ｝ ） 一 ， （ 二 ） ｝ 、 乙 （ ２ ７ ） ） ２ ｍ
乙 不 片
Ｚ
＝ ｅ ｘ ｐ 、 一 告 ｔ ｒ （ （ ４ ， ｝ ） 一 ’ Ｙ Ｙ ＇ ） ）
第四章
四元数正态分布
２ ２ ＇ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） － ２ ｉ ． ｅ ． ， Ｐ （ Ｚ ） ＝ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｚ ＊ Ｅ － ＇ Ｚ ）
Ｂ Ｘ＋Ｕ ， Ｂ 为ｍ 阶非奇异四元数矩阵常量，Ｕ为 ｍ 阶四元数常向量，此时，
记 ： Ｙ 一。 Ｎ ｍ （ Ｕ ， ４ Ｂ Ｂ ｝ ） 则 ：
ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ｚ 证明： 显然， ｐ ． ｄ ． ｆ ． （ Ｙ ， ） ＝ （ ２ Ｔ ） ） ｓ ｍ
ｅ ｘ ｐ ｛ 一 杏 ： 。 ， ； 一 Ｙ ｝ ｝
因 为。 ｝ －４ ． ｝ ， ， 互 对 称正 定 的 ， ４ ｝是Ｈ ｅ ｎ ｎ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ 正 定 的 ．
ｄ ｅ ｔ （ ４ ， 毛 ） 一 ｛ ｄ ｅ ｔ （ Ｅ ） ） ４ ，
ｓ ＝ １ ， ２ ， ３ ， ４ ．
证明： Ｄ （ Ｙ ， ） ＝ ｃ ｏ ｖ （ Ｙ ，
Ｄ （ Ｙ Ｚ ） ＝ Ｄ （ Ｙ ， ） ＝ Ｄ （ Ｙ ４ ） ＝毛
２ ８
Ｖ 上 ． Ｙ， 玖
Ｙ ，
瓦龙耳乙 ［ Ｙ ＇ ， ． ， － Ｙ ， ＇ ， － Ｙ ， ， ； Ｙ Ｊ
一 艺 １ ４ Ｅ ２ ４ － Ｙ ３ ４ １ ４ ４
记：ｇ ｊ ＋Ｚ ，・ ｋ Ｚ ． ｘ Ｉ － Ｚ ， ＋ Ｚ ； ’ ｉ － ｆ Ｚ ｊ ・
＝ ＹＹ Ｉ Ｉ Ｙ ３ ， Ｙ ４ 记为：Ｙ ４ ｍ ｘ ４
Ｙｒ斌代么
及， Ｓ － ，
称耳拼耳
一 Ｙ ， Ｙ ，
引 理４ ． １ ． １ 在 上 述 情 况 下， 对四 元 数 随 机向 量。 Ｚ ｍ ｘ ｌ － Ｚ ， 十 ｚ・ ｉ ＋ Ｚ ｉ ・ ｊ ＋ Ｚ ｋ ・ ｋ 的 方 差 矩 阵Ｅ ｍ ｘ ｍ 来 说， 有１ ／ ４ ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， Ｚ ） － ｃ ｏ ｖ （ Ｙ ， ， Ｙ ， ） ，
“（ ２ ） ｒ ） 一 ， ｍ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ （ ４ １ ） 一 ， Ｘ ＊ Ｘ ） ）
２ Ｌ
定 理４ ． ２ ． ２设四 元数随 机列向 量Ｘ一。 Ｎ ． （ ０ ， ４ １ ） ， 四 元数随 机列向 量Ｙ ＝
ｐ ｄ ｆ （ Ｘ ） 一 （ ， 二 ） － ２ ｅ ｘ ｐ 、 一 告 （ ｘ ； ＋ ・ ： ＋ ・ ； ＋ ・ ‘ ） ｝ 二 ‘ ２ ｚ ， 一 ’ ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ （ ｚ ・ 奋 ・ ） ｝
定理４ ． ２ ． １设四元数随机变量ｘ ， ， ． ． ． ， ｘ 二 相互独立，且都服从标准正态分
第二节
义。
四元数多元正态分布的定义
文［ ２ ５ ） 对特殊的四 元数随机向 量给出了定义， 我在这里给出更一般的定
定 义４ ． ２ ． １ 设 四 元 数 随 机 变 量： ＝ ｘ ｒ ＋ ｘ ｔ ＇ ｉ 十 ｘ ｊ ｊ 十 ｘ ｋ － ｋ ， 其 中 ， ｘ ｒ ， ｘ ｉ ， ｘ ， ， ｘ ｋ ， 为 相 互 独 立 且 服 从 标 准 正 态 分 布的 实 随 机 变 量， 则 称二 为 服 从 标 准 正 态 分 布 的 四 元 数 随 机 变 量 ， 记 为 ： ｚ － ｇ Ｎ （ ０ ， ４ ） ， 它 的 密 度函 数 为 ：
极其分布密度函数，研究了他们的性质。
第一节
文］ ２ ４ ］ 对四 元数多 元正态分布的 定 义
为简单起见，我们考虑的随机变量为具有零均值，非奇异方差矩阵。
定 义４ ． １ ． １ 如 果一 个ｍ 一维 的 四 元 数向 量。 Ｚ ． － Ｉ － 乙＋ Ｚ ； ＂ ｉ ＋ 乙＂ ｊ ＋ Ｚ ｋ
此处 Ｅ ＝ ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， ， Ｚ ， ） ， ｔ ， ｓ ＝ ｒ ， ｉ ， ｊ ， ｋ ． 文［ ［ ２ ５ ］ 对特殊情况下的四元数随 机变量作了 进一步研究： 当Ｚ ： 二 Ｅ １ ， 一 １ ２ ２ 一 １ ３ ３ 二 艺 ４ ４ 为实对称， 毛 ２ 一 １ １ 一１ １ ２ 一 １ ２ ， 一１ ３ ４ ＝ Ｅ ４ ： ，反对称矩阵
的四 元数正态分布的定义。 这个定义更具有一 般性。 第三节为文［ ［ ２ ４ ］ 中的结
果，研究了四元数多元正态分布的 ｕ，Ｅ的极大似然估计及性质。论文第 四节研究了四元数正态分布下样本均值的分布 （ 即定理 ４ ． ４ ． １ ）及样本方差 的分布 （ 即性质 ４ ． ４ ． ２ ），给出了四元数卡方分布、ｔ分布、Ｆ分布的定义
毛 ， 一艺 Ｊ ＝ 一 Ｅ １ ３ 一 １ ３ ， 一 １ ２ ４ 一１ ４ ２ ， 反 对 称 矩阵
第四章
四元数止态分布
二 一 艺１ ４ ＝ Ｅ ｋ 二 Ｅ ４ 一Ｅ ２ ： 二 一 Ｅ ３ ２ 为反对称矩阵时
（ Ｚ 芝 ｍ ｘ ｍ ４
＋Ｙ ｊ ｉ ＋ Ｚ ； Ｊ ＋ Ｅ ｋ ｋ ） 一 ４ ， ｝ ， 。 毛 是Ｈ ｅ ｒ ｍ ｉ ｔ ｉ ａ ｎ 正 定 矩 阵
中山人学博十论文：四元数止态分布的统计分析理论
第四章 四元数正态分布
本章第一节介绍了文［ ２ ４ ］ 的四元数多元正态分布的定义，它从研究四 元数的随机向量的方差矩阵入手，给出了在特殊情况下的四元数正态随机变 量作了进一步研究． 第二节通过通过仔细的构思，先给出一个由四个相互独
立的实随机变量为分量的标准四元数正态分布， 然后通过线性便换得到一般
又因为 Ｅ － ＇ －１ １ ４ ｊ一 ‘ ， 所以
ｄ ｅ ｔ （ ， 古 ） ’ ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ， ） “ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 Ｙ ＂ ． ｝ － Ｉ Ｙ Ｉ ｝ 乙 （ ２ ７ ） ） ２ ｍ
２ ＂ｄ Ｚ ｅ ｔ （ 艺 ） ， ｅ ｘ ｐ （ － ２ Ｚ ＇ － Ｙ 一 ， Ｚ ） ＝ ｐ ． ｄ ． ｆ （ Ｚ ） （ ｒ ， ） ２ ｍ
二ｄ ｅ ｔ （ ， 咨 ） ２ Ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ） ｅ ｘ ｐ ｛ 一 喜 ， ； （ 一 （ ４ ， ｝ ） 一 ‘ （ 二 ） ｝ 艺 （ ２ ｒ ） ） ｚ － ２ ２ ， （ ｄ ｅ ｔ Ｅ ） － ２ Ｐ ｄ ｆ （ Ｚ ） 三 ｅ ｘ ｐ ｛ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ － ２ Ｚ ＇ Ｅ 一 ， Ｚ ） ｝ 汀２ ＂ ，
布。 记 随 机 列向 量Ｘ ， Ｘ ＇ ＝ （ ｘ ， ， ， 二 ， ｘ ． ） 为Ｘ － ， Ｎ （ ０ ， ４ １ ） ． Ｘ 分 布 密 度函 数为：
（ ２ ｚ ） － ２ ＂ ｅ ｘ ｐ ｆ － ２ Ｒ ｅ ｔ ｒ （ （ ４ １ ） 一 ， Ｘ － Ｘ ） ）
证 明 ： ｐ ｄ ｆ （ Ｘ ） 一 （ ２ ｇ ） － ２ ＇ ｅ ｘ ｎ 、 一 生 Ｘ ＇ Ｘ １（ ２ ｒ １ ） － ２ ｍ ｅ ｘ ｐ ｛ 一 粤 ｔ ｒ （ Ｘ ＇ Ｘ ） ｝乙云又毛』 ｒFra bibliotek 卜‘ ｆ ｒ‘
禹 乙 乙 玩甄 么 耳 乙 禹 玩 从 玩云 乙 及 式
中山大学博士论文：四元数正态分布的统计分析理论
定理 ４ ． １ ． １在上述条件下，记４ ｍ维实随机向 量Ｙ ， （ ｏ ｒ ， Ｙ ２ ， Ｙ ３ ａ ｎ ｄ Ｙ ， ）
的 密 度 函 数 为ｐ ｄ ｆ （ Ｙ ） ， ｑ Ｚ ． ｘ 、 的 密 度 函 数 为ｐ ｄ ｆ （ ， Ｚ ． ｘ ， 》则：
的实分向量是 ｍ 一 维的实随机向量，则称它为四元数随机向量。
定 义４ ． １ ． ２四 元 数 随 机 向 量， Ｚ ． ． 、 的 协 方 差 矩 阵 定 义 为Ｅ ｛ Ｚ ． Ｚ ＇ ） ， 即 ： ｝ ｍ ｘ ｝ 。 一 ｃ ｏ ｖ （ Ｚ ， Ｚ ） ＝ Ｅ （ Ｚ ・ Ｚ ＇ ）
一 Ｅ ［ （ Ｚ ， ＋ Ｚ ， ・ ３ ＋ Ｚ ， ＂ Ｊ ＋ Ｚ ｋ ・ ｋ ） ・ （ ｚ 。 一 Ｚ ， 。 ｉ － Ｚ ｌ ＂ ｊ － ４・ ｋ ） ］