第四章 第一讲 正态分布及其性质ppt
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有关正态分布的解释ppt课件
14 12 10
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高. (cm)频数分布图
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图 .
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
x2
e 22
-∞＜x＜+∞
2
则该随机变量服从正态分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π
.
u/2
U 2指 双 侧
U 界值，也称 U 的双侧α分位数。 其意义为：从
U 2到 +∞ 这 一
侧 的 面 积 为 α /2,
从 -U 2 到 -∞ 这
一侧的面积也为 α /2,两 侧 面 积 之 和 为 α 。即 在 随 机
变量 U 的所有取
值
中
， U有
100α
的
值比
大 ，有
1 0 0 （U 1 - α ） 的 值
知x ， 只 知 来 自 该 总 体 的 样 本 的 身 高 均 数 = 1 4 4 . 2 9 ( c m ) 和 标 准 差 s = 5 . 4 1 ( c mx) ， 由
于 样 本 含 量 n= 118 很 大 ， 所 以 可 以 用 和 s估计μ和σ来计算 u值。
.
身 高 （ X） 小 于 135(cm)的 概 率 为 : P X x1 135 P U u1
155
144 .29 5.41
1.98
P X x 2 155 P U u 2 P U u 2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正 常女孩身 高在 135 厘米以 下者占正 常女孩总 人数的 4.272%，身 高
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高. (cm)频数分布图
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图 .
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
x2
e 22
-∞＜x＜+∞
2
则该随机变量服从正态分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π
.
u/2
U 2指 双 侧
U 界值，也称 U 的双侧α分位数。 其意义为：从
U 2到 +∞ 这 一
侧 的 面 积 为 α /2,
从 -U 2 到 -∞ 这
一侧的面积也为 α /2,两 侧 面 积 之 和 为 α 。即 在 随 机
变量 U 的所有取
值
中
， U有
100α
的
值比
大 ，有
1 0 0 （U 1 - α ） 的 值
知x ， 只 知 来 自 该 总 体 的 样 本 的 身 高 均 数 = 1 4 4 . 2 9 ( c m ) 和 标 准 差 s = 5 . 4 1 ( c mx) ， 由
于 样 本 含 量 n= 118 很 大 ， 所 以 可 以 用 和 s估计μ和σ来计算 u值。
.
身 高 （ X） 小 于 135(cm)的 概 率 为 : P X x1 135 P U u1
155
144 .29 5.41
1.98
P X x 2 155 P U u 2 P U u 2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正 常女孩身 高在 135 厘米以 下者占正 常女孩总 人数的 4.272%，身 高
正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布ppt课件
1.已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 N 164, 2 ，若 P X 170 0.3 ，
则 P158 X 1706
D.0.8
解析： P158 X 170 2P164 X 170 2 0.5 P X 170 0.4 .
2. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 1, 2 ， 若 P(X 0) P(X 3) 11 ， 则 10 P(2 X 3) ( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，
所以随机变量 X 的均值 1 ，
所以随机变量 X 的密度曲线关于 x 1 对称， 所以 P(X 0) P(X 2) ， 又 P(X 0) P(X 3) 11 ，
10
所以 P(X 2) P X 2 P(2 X 3) 11 ，
为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为 _____________.
参考数据：若 X N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973
解析：由题意知，该产品服从 X N(25,0.16) ，则 25, 0.4 ，
10
因为 P(X 2) P X 2 1，所以 P(2 X 3) 0.1
3.已知随机变量 X ~ N , 2 ，Y ~ B6, p ,且 P X 3 1 ， E X E Y ,则 2
p ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
解析：由于 X 服从正态分布 N , 2 ,且 P X 3 1 ,故其均值 E X 3 . 2
正态分布及其应用--ppt课件
➢ 有两个参数：位置参数 和变异度参数 。 一定， 越大，数据越分散，曲线越平坦； 一
定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
PPT课件
5
不同均值正态分布示意图
PPT课件
6
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
PPT课件
7
➢ 正态曲线下面积的分布规律
➢估计频数分布。
➢制定医学参考值范围。
➢正态分布是许多统计方法的理论基础。
今后要讨论到的 分布t 、 分布F 与
分布 2等都是在正态分布的基础上推导 出来的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPPT课件
9
第二节 标准正态分布及其应用
只要变量 X ~ N(, 2 ) ，就可经下式 转换为 0、 1的标准正态分布，记 作 u ~ N(0,1) 。此变换也称为标准化变换，
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%； 1.645 范围内曲线下的面积占总面积的90%； 1.96 范围内曲线下的面积占总面积的95%；
2.58 范围内曲线下的面积占总面积的99%。
PPT课件
8
➢四、正态分布的应用
正态分布及其应用
(normal distribution)
PPT课件
1
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
PPT课件
2
➢二．图形 正态分布密度函数
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定， 增大，曲线沿 X 轴向右平移。因此，不
同的 ，不同的 ，对应不同的正态分布。
PPT课件
5
不同均值正态分布示意图
PPT课件
6
1.5 1
不同标准差的正态分布示意图
PPT课件
7
➢ 正态曲线下面积的分布规律
➢估计频数分布。
➢制定医学参考值范围。
➢正态分布是许多统计方法的理论基础。
今后要讨论到的 分布t 、 分布F 与
分布 2等都是在正态分布的基础上推导 出来的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPPT课件
9
第二节 标准正态分布及其应用
只要变量 X ~ N(, 2 ) ，就可经下式 转换为 0、 1的标准正态分布，记 作 u ~ N(0,1) 。此变换也称为标准化变换，
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1。理论上：
范围内曲线下的面积占总面积的68.27%； 1.645 范围内曲线下的面积占总面积的90%； 1.96 范围内曲线下的面积占总面积的95%；
2.58 范围内曲线下的面积占总面积的99%。
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8
➢四、正态分布的应用
正态分布及其应用
(normal distribution)
PPT课件
1
第一节 正态分布的概念和特征
➢一.概念 正态分布又称高斯（Gauss）分布，
是最常见、最重要的一种连续型分布， 医学资料中有许多指标的频数分布都呈 正态分布，如身高、体重、脉搏、血红 蛋白、血清总胆固醇等。
PPT课件
2
➢二．图形 正态分布密度函数
PPT课件
正态分布-ppt课件
(14)曲(3线) (的4)对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
布 N (0，1) ， 已 知 p （ ＜ － 1.96 ） =0.025 ， 则 即2、考已试知成X绩~N在((08,10),1，00则)间X在的区概间率为0. 内取值的概率等于（ ）
(2)曲线对应的正态总体概率密度函数是偶函数；
(3)曲线在x＝ 处处于最高点，由这一点向左右两侧延
伸时，曲线逐渐降低；
(4)曲线的对称位置由μ确定，曲线的形状由σ确定， σ越大，曲线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
上述叙述中，正确的有 (1) (3) (4) .
课堂练习
1. 右图是当 σ 分别取值 σ1，σ2，σ3 的三种正
(2)
1 , 2 1 (x1)2
(x) 新疆 王新敞 奎屯
e 8 ,x ( , )
22
说明：当0 , 1时，X 服从标准正态分布
记为X~N (0 , 1)
例2、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
f(x) 1 e ,,(0)都 是 实 数 A. 说明：当m=0 , s =1时，X 服从标准正态分布 2 样本容量增大时频率分布直方图
随 着 重 复 次 数 ,这的个增频加率 直 方 图 的
会 越 来 越 像 一线 条图钟 2.4形 3曲 .
y
O
图2.43
x
这条曲线 (或就 近是 似 )下地 列函数:的图象
φμ,σx 1 ex 2 σ μ 22,x , ,
2π σ
其 中 μ 和 σ σ 实 0 为 数 .我 参φ 们 μ 数 ,σ x 的 称
1 即即(947)考考7曲2试 试线成成的D.绩绩对在在称((位8800置,,1100由00))μ间间确的的定概概，率率曲为为线00的.. 形状由σ确定，σ越(x大4，1)曲2线越“矮胖”，反之，曲线越“瘦高”.
《正态分布》ppt课件
《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许 多自然现象的概率分布情况。在统计学中， 正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引 起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差 进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直 方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差 分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质 量控制图，可以直观地展示产品 质量的波动情况，从而及时发现 并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失 值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值 （AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正 态分布曲线图。
《正态分布》教学课件(32张PPT)
x (,) 标准正态曲线 10
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若 固定
, 随 值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若 固定,
=0.5
大时, 曲线 矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位， 得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（ ）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5
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《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
例3某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。
解：（2）P{ X 500 200} 1 P{ X 500 200}
1 P{ 200 X 500 200 } 60 60 60
2
t 2
2
x μ 令 t,得 σ
σ2.
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
5、正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
y2 2
t
x
2
dt
在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正 态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值， 从而解决概率计算问题。 例2 设随机变量 X ~ N (1,2 2 ) ，试求 P0 X 1.6 解
1.6 1 0 1 P (0 X 1.6) 0.3094 2 2
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量X 的概率密度为 f ( x)
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1 2
第四章 第一讲 正态分布及其性质
4、标准正态分布的分位数
双侧分位数： 实数
u
的双侧分位数.
2
满足 P X u ，则称
2
X ~ N (0,1) ，对于给定的 (0 1) ，如果
u
2
为标准正态分布关于
( x)
（ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.
200 200 1 1 2 1 2 1 3 3
(1) 曲线关于 x μ 对称; ( 2) 当x μ时, f ( x )取得最大值
( 3) 当 x 时, f ( x ) 0; (4) 曲线在 x μ σ 处有拐点;
1 ; 2 πσ
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布
N ( , ) 的图形特点
dx
1 ( μ σt)e 2π 1 μ e 2π
μ.
t2 2
t2 2
dt
t2 2
σ dt te 2π
dt
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
D( X ) ( x μ ) 2 f ( x ) d x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
u
u
x
0.05 0.01
u 1.645
u 2.326
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例3
某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。 （ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.
2
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
3、正态分布的分布函数
1 F ( x) 2πσ
x
e
( t μ )2 2σ 2
dt
正态分布分布函数图形演示
1 x e 2 πσ
( x μ )2 2σ 2
d x.
x μ 令 t x μ σ t, σ
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
所以
1 E( X ) x e 2πσ
( x μ )2 2σ 2
解：（3）要求P{ X x} 0.1, 即要求1 P{ X x} 0.1， x 500 1 即需 0.1 60
x 500 0.9 1.282 60
x 500 因 为单调不减函数，故需 1.282 60
( x μ )2 2σ 2
高斯资料
1 e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
2、正态概率密度函数的几何特征
( x )
x
1 e 2π
t2 2
d t , x .
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
标准正态分布的图形
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
2、标准正态分布的概率计算
x
分布函数
1 ( x) PX x e dt x R 2 ( x ) 1 ( x) P a X b (b) ( a )
x 576.92
即当x 576.92时，才能使P{ X x} 0.1。
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例4 将一温度调节器放置在 贮存着某种液体的
容器内 . 调节器整定在 d C , 液体的温度 X (以 C 计) 是一个随机变量 , 且X ~ N ( d , 0.5 2 ). (1) 若 d 90 , 求 X 小于 89 的概率. ( 2) 若要求保持液体的温度 至少为 80 C 的概率不 低于 0.99 , 问 d 至少为多少 ?
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
4、 正态分布的期望与方差
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) e 2 πσ
( x μ )2 2σ 2
, σ 0, x .
则有
E ( X ) xf ( x ) d x
解 (1) 所求概率为
89 90 P{ X 89} (2) 1 (2) 0.5
标准正态分布双侧分位数的意义如图1所示 . 双侧分位数的计算方法： 由定义知 (u ) 1
2
2
查标准正态分布函数值表便可得
2
u
u
2
2
2
u
图1
2
x
也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。 0.10 u / 2 1.645
0.05 u / 2 1.96 0.01 u / 2 2.576
21 0.9996 0.0008
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例3某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。 （ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.
1 ( x μ) e 2 πσ
2
( x μ )2 2σ 2
d x.
σ 2 D( X ) t e dt 2π t2 t2 2 σ 2 2 te e dt 2π 2 σ 0 2π 2π
解：已知X ~ N (500,602 )
（ 1 ）P{ X 560} 1 P{ X 560}
X 500 560 500 1 P{ } 60 60
560 500 1 60
1 1
1 0.8413 0.1587
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
6、正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数
1 e P{ X x } F ( x ) 2 πσ
( t μ )2 x 2σ 2
dt
?
方法一:利用MATLAB软件包计算(演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算
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(0.64) 0.7389 (0.84) 1 (0.84) 0.2005
第四章 第一讲 正态分布及其性质
3、一般正态分布的概率计算x (t ) 1 2 分布函数 F ( x) P X x e
2
2
y
x 1 ( ) e dy 2 b a P a X b ( ) ( )
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ 和σ不同时，是不同的正态分布。 下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
第四章 第一讲 正态分布及其性质
例3某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。
解：（2）P{ X 500 200} 1 P{ X 500 200}
1 P{ 200 X 500 200 } 60 60 60
2
t 2
2
x μ 令 t,得 σ
σ2.
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布的期望和方差分别为两个参数 μ 和 σ 2 .
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
5、正态分布的应用与背景 正态分布是最常见最重要的一种分布,例如 测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ; 正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量 高度等都近似服从正态分布.
y2 2
t
x
2
dt
在求解一般正态分布的概率计算问题时，先将其转化为标准正 态分布问题，然后利用查表法可计算标准正态分布的分布函数值， 从而解决概率计算问题。 例2 设随机变量 X ~ N (1,2 2 ) ，试求 P0 X 1.6 解
1.6 1 0 1 P (0 X 1.6) 0.3094 2 2
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
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一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量X 的概率密度为 f ( x)
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1 2
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4、标准正态分布的分位数
双侧分位数： 实数
u
的双侧分位数.
2
满足 P X u ，则称
2
X ~ N (0,1) ，对于给定的 (0 1) ，如果
u
2
为标准正态分布关于
( x)
（ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.
200 200 1 1 2 1 2 1 3 3
(1) 曲线关于 x μ 对称; ( 2) 当x μ时, f ( x )取得最大值
( 3) 当 x 时, f ( x ) 0; (4) 曲线在 x μ σ 处有拐点;
1 ; 2 πσ
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正态分布
N ( , ) 的图形特点
dx
1 ( μ σt)e 2π 1 μ e 2π
μ.
t2 2
t2 2
dt
t2 2
σ dt te 2π
dt
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D( X ) ( x μ ) 2 f ( x ) d x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
u
u
x
0.05 0.01
u 1.645
u 2.326
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例3
某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。 （ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.
2
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
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3、正态分布的分布函数
1 F ( x) 2πσ
x
e
( t μ )2 2σ 2
dt
正态分布分布函数图形演示
1 x e 2 πσ
( x μ )2 2σ 2
d x.
x μ 令 t x μ σ t, σ
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所以
1 E( X ) x e 2πσ
( x μ )2 2σ 2
解：（3）要求P{ X x} 0.1, 即要求1 P{ X x} 0.1， x 500 1 即需 0.1 60
x 500 0.9 1.282 60
x 500 因 为单调不减函数，故需 1.282 60
( x μ )2 2σ 2
高斯资料
1 e , x , 2 πσ 其中 μ, σ (σ 0) 为常数, 则称 X 服从参数为 μ, σ 的正态分布或高斯分布 , 记为 X ~ N ( μ, σ 2 ).
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2、正态概率密度函数的几何特征
( x )
x
1 e 2π
t2 2
d t , x .
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标准正态分布的图形
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
2、标准正态分布的概率计算
x
分布函数
1 ( x) PX x e dt x R 2 ( x ) 1 ( x) P a X b (b) ( a )
x 576.92
即当x 576.92时，才能使P{ X x} 0.1。
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例4 将一温度调节器放置在 贮存着某种液体的
容器内 . 调节器整定在 d C , 液体的温度 X (以 C 计) 是一个随机变量 , 且X ~ N ( d , 0.5 2 ). (1) 若 d 90 , 求 X 小于 89 的概率. ( 2) 若要求保持液体的温度 至少为 80 C 的概率不 低于 0.99 , 问 d 至少为多少 ?
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4、 正态分布的期望与方差
设 X ~ N ( μ, σ 2 ), 其概率密度为
1 f ( x) e 2 πσ
( x μ )2 2σ 2
, σ 0, x .
则有
E ( X ) xf ( x ) d x
解 (1) 所求概率为
89 90 P{ X 89} (2) 1 (2) 0.5
标准正态分布双侧分位数的意义如图1所示 . 双侧分位数的计算方法： 由定义知 (u ) 1
2
2
查标准正态分布函数值表便可得
2
u
u
2
2
2
u
图1
2
x
也可直接查依据上式编制的标准正态分布双侧分位数表。 0.10 u / 2 1.645
0.05 u / 2 1.96 0.01 u / 2 2.576
21 0.9996 0.0008
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
例3某种器件的寿命X（以小时计）服从μ 500，σ 60的正态分布。 （ 1 ）求P{ X 560}; （2）求P{ X 500 200}; （3）P{ X x} 0.1, 求x.
1 ( x μ) e 2 πσ
2
( x μ )2 2σ 2
d x.
σ 2 D( X ) t e dt 2π t2 t2 2 σ 2 2 te e dt 2π 2 σ 0 2π 2π
解：已知X ~ N (500,602 )
（ 1 ）P{ X 560} 1 P{ X 560}
X 500 560 500 1 P{ } 60 60
560 500 1 60
1 1
1 0.8413 0.1587
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6、正态分布下的概率计算 原函数不是 初等函数
1 e P{ X x } F ( x ) 2 πσ
( t μ )2 x 2σ 2
dt
?
方法一:利用MATLAB软件包计算(演示) 方法二:转化为标准正态分布查表计算
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(0.64) 0.7389 (0.84) 1 (0.84) 0.2005
第四章 第一讲 正态分布及其性质
3、一般正态分布的概率计算x (t ) 1 2 分布函数 F ( x) P X x e
2
2
y
x 1 ( ) e dy 2 b a P a X b ( ) ( )
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第四章 第一讲 正态分布及其性质
正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ 和σ不同时，是不同的正态分布。 下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布