正态分布课件

[思路点拨] 给出了一个正态曲线，就给出了该曲线 的对称轴和最大值，从而就能求出总体随机变量的期望、 标准差及解析式．
[精解详析] 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于
直线
x＝20
对称，最大值是 2
1
，所以 π
μ＝20.
由
1＝ 2π·σ 2
1
，得 π
σ＝
2.
于是概率密度函数的解析式是
f(x)＝2
1
2.3 0.57 0.27358;
(4)P( X 1.49) P( X 1.49) 1 P( X 1.49) 1 0.93189 0.06811
知识点2：
设X ~ N (, 2 ),则有关X取值的概率计算主要
依据如下关系：
1F
(
x)

答：定义域、值域、单调性、奇 偶性、周期性等
归纳、总结：
P(x)
1
e ,

x 2
2 2

x
2
X=μ σ
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
正态曲线
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归纳、总结：
P(x)
1
e ,

x 2
2 2

x
2
所以μ＝174，σ＝3，
(2分)
所以μ－2σ＝174－2×3＝168，
μ＋2σ＝174＋2×3＝180，
所以身高在(168,180]范围内的概率为0.954 4.
(6分)
又因为μ＝174.
所以身高在(168,174)和(174,180)范围内的概率相等，均为
0.477 2，
故该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数是
[例3] (10分)据调查统计，某市高二学生中男生的身高 X(单位：cm)服从正态分布N(174,9)．若该市共有高二男生3 000人，试估计该市高二男生身高在(174,180)范围内的人数．
[思路点拨] 因为μ＝174，σ＝3，所以可利用正态分布 的性质可以求解．
[精解详析] 因为身高X～N(174,9)，
1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)的图象，
且
f(x)＝
1 8πe

(
x
10 )2 8
，则这个正态总体的均值与标准差
分别是
()
A．10 与 8
B．10 与 2
C．8 与 10
D．2 与 10
解析：由正态曲线 f(x)＝
1 2πσe

(
x )2 8
知，
2πσ＝ 8π， μ＝10，
特别的，当 0， 2 1时，称为标准正态分布：
x
1

e
x2 2



x


2
简记为X ~ N0,1,其分布函数记为x.
六、 3σ原则
对于正态分布，随机变量X在μ的附近取值 的概率较大，在离μ很远处取值的概率较小：
区间 （μ－σ，μ＋σ] （μ－2σ，μ＋2σ] （μ－3σ，μ＋3σ]
1．正态曲线
态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝e
例题1： 若随机变量X ~ N (0,1),查表，求 （1）P( X 1.52); (2)P( X 1.52); (3)P(0.57 X 2.3); (4)P( X 1.49)
解：（1）P( X 1.52) (1.52) 0.93574; (2)P( X 1.52) 1 P( X 1.52) 1 0.93574; (3)P(0.57 X 2.3) P( X 2.3) P( X 0.57)
[一点通] 解答此类问题的关键在于充分利用正态 曲线的对称性，把待求区间内的概率向已知区间内的概 率进行转化，在此过程中注意数形结合思想的运用．
3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________.
解析：若随机变量 X～N(μ，σ2)，则其正态密度曲 线关于 x＝μ 对称，故 P(X≤μ)＝12. 答案：12
3 000×0.477 2≈1 432(人)．
(10分)
[一点通] 解决此类问题一定要灵活把握3σ原则，将 所求概率向P(μ－σ<X<μ＋σ)，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，P(μ－ 3σ<X<μ＋3σ)进行转化，然后利用特定值求出相应的概 率．同时要充分利用好曲线的对称性和曲线与x轴之间的面 积为1这一特殊性质．
8.3正态分布曲线
一、复习回顾：
1.两点分布：X ~ B(1, p)
P(X 1) p, P(X 0) 1 p, p (0,1);
2.二项分布：X ~ B(n, p)
P(X k) Cnk pk 1 p nk , k 0, , n;
3.超几何分布： x ~ H (N, M , n)
[例2] 在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)， 求正态总体X在(－1,1)内取值的概率．
[思路点拨] 解答本题可先求出X在(－1,3)内取值的概 率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值 的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
[精解详析] 由题意得 μ＝1，σ＝2， 所以 P(－1<X<3)＝P(1－2<X<1＋2)＝0.682 6. 又因为正态曲线关于 x＝1 对称， 所以 P(－1<X<1)＝P(1<X<3)＝12P(－1<X<3)＝ 0.341 3.
频率/ 组距
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 槽的编号
思考：
随着试验次数和分组数的增多，频率直 方图的形状会呈现什么样的变化？
随着重复次数的增加, 这个频率直方图的形状 会越来越像一条钟形曲线.
y
O
x
四、定义：
练一练：
1、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2)内取值的概率
A、0.9544 B、0.0456 C、Leabharlann Baidu.9772 D、0.0228 D
2、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
P(2 X 2) = 0.9544 .
3、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则
即 μ＝10，σ＝2.
答案：B
2．如图是正态分布 N(μ，σ21)，N(μ，σ22)， N(μ，σ23)(σ1，σ2，σ3>0)相应的曲线， 那么 σ1，σ2，σ3 的大小关系是( ) A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1 C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3 解析：由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中， σ2越小，故有σ1>σ2>σ3. 答案：A
取值概率 68.3% 95.4% 99.7%
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(, 2)
的随机变量X只取 - 3， 3 之间的值，并简称为：
3原则。
七、 有关正态分布的随机变量的有 关概率计算：
知识点1： 标准正态分布的随机变量的有关概率可以通
过查表（见附录1：标准正态分布表）
P( X

k)

C C k nk M NM CNn
,k
0,1,
,m
二、创设情境：
你是否认识它？
图中每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离
均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中 间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的小圆玻 璃球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向 左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚 到底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入 口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态
b
P(a x b) a p(x)dx F (b) F (a)
则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数、
唯一确定, 、分别表示总体的平均数与标准差.
正态分布记作N（ ，2）.其图象称为正态曲线.
记作：X~N(,2) 。（EX= DX= ）
3、标准正态分布：
4．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝ P(X<c－1)，则c＝________.
解析：∵μ＝2，P(X>c＋1)＝P(X<c－1)， ∴c＋1＋2 c－1＝2，解得 c＝2. 答案：2
5．若X～N(5,1)，求P(5<X<7)．
解：∵X～N(5,1)，∴μ＝5，σ＝1. 因为该正态曲线关于 x＝5 对称， 所以 P(5<X<7)＝12P(3<X<7)＝12×0.954 4＝0.477 2.
相应的正态曲线在x= 0.3
时达到最高点。
4、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落
在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学
期望是 1
。
因为P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.997 4，所以正态总体 X几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间 以外取值的概率只有0.0026，这是一个小概率事件，通 常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．这是统 计中常用的假设检验基本思想．
2 1 0.13595
1．正态分布密度函数及正态曲线完全由变量μ和σ 确定．参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数， 可以用样本的均值去估计；σ是衡量随机变量总体波动 大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．
2．对于正态曲线的性质，应结合正态曲线的特点 去理解、记忆．
[例1] 如图所示是一个正态曲线，试根据该图象写出 其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量 的期望和方差．
σ越小，则曲线越瘦高，表示总体分布越集中；σ 越大，则曲线越矮胖，表示总体分布越分散．
五、正态分布：
y
0
ab
x
1、思考：
如图，我们如何通过正态分布密度曲线求出
落在区间(a, b]中的概率呢？
答：P(a x b)
b
p(x)dx F (b) F (a)
a
2、定义：
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
在上面游戏中得到的总体密度曲线就是或近似 地是以下函数的图象：
1 、正态曲线的定义：
函数 P(x)
1
e ,

x 2
2 2

x
2
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平 均数与标准差，称P（x）的图象称为正态曲线
思考：
2、上面的表达式有什么特点？
3、回忆一下前面学习必修1时我们学 习函数，可以从哪些方面研究它？

x



;
2
x

1
( x),
x

0
例题2：
设X ~ N(, 2 ), 4， 2，求P(6 x 8);
解： 由题意：X ~ N (4,22 )
P(6 x 8) F (8) F (6) 8 4 6 4 2 2

π·e
()0x2 4
2
，x∈(－∞，＋∞)，
总体随机变量的期望是 μ＝20，方差是 σ2＝( 2)2＝2.
[一点通] 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ， 具体方法如下：
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由 此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图 象可求σ.
针对解析式中含有两个参数，较难独立 分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个 参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样 的处理大大降低了难度
2、观察、归纳、总结：
结论：
σ一定
μ =-1
μ ＝0
μ ＝1
O
ｘ
μ一定
σ＝0.5
σ＝1
σ＝2
O
ｘ
1、当σ一定时，曲线随μ的变化而沿x轴平移；
2、当μ一定时，σ影响了曲线的形状．即：
（１）曲线位于x轴上方,与x轴不相交；
X=μ
（２）曲线是单峰的,它关于 x 对称；
σ
（３）曲线在 x 处达到峰值 1 ； -3 -2 -1 0 1 2 3 x
2
（４）曲线与ｘ轴之间的面积为 1；
正态曲线
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4、探究与对函数图像的影响
（1）思考：
式子中有两个变化的参数，我们可以看 成两个变量，但是双变量会对我们的研究造 成一定的困难，同学们有什么好的办法吗？
的密度函数图形（即：中间高，两头低，呈左右对称的古钟型）， 其中n为钉子的层数。
这是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的 模型，称为高尔顿钉板（或高尔顿板）。
三、探究思考：
1、我们也来玩一玩
2、为了更好地考察随着试验次数的增加 , 落在在各 个球槽内的小球分布情况, 我们进一步从频率的角度 探究一下小球的分布规律 .以球槽的编号为横坐标,以 小球落 入各个球槽内的频率值为纵坐标,可以画出频 率分布直方图 .