上海交通大学研究生入学考试488基本电路理论基本电路答案习题本科试卷(无答案)5_2

iS (t )
电路方程
iS
t
I
R
C
vC
0
dvC 1 + vC = iS (t ) = I C dt R vC (0) = 0
t
0
电路方程是一个非齐次线性微分方程.它的解为齐次 解与特解之和. t t
vC = vh + v p
vh = ke
RC
v p = RI
vC = ke
RC
+ RI
由初始条件 vC (0+ ) = k + RI = 0
0 t1
2
3
4
t′
1
1 (t + 3) 2 1 t 1 3 1 3 y (t ) = ∫ t ' dt ' + ∫ (t '+ 3)dt ' = t 2 + t 0 1 2 4 4 2 h(t ) =
(t 4)
0
1
1
2t 3
4
t′
3≤t≤4时, vS(t)=1,h(t)=0,
y (t ) = ∫ t ' dt ' + ∫
0
现将vS和h分段表示.卷积积分也将分段进行.在 分段处理时,要特别注意积分上下限的确定.
0≤t≤1时,h(t)=t,vS(t)=1,
1 y (t ) = ∫ t '× 1dt ' = t 2 ,积分的上 0 2
t
v S ( t t ′)
1
h(t ′)
(t 4)
下限取两图的交集的坐标. 1≤t≤3时, vS(t)=1,
0 1 3 1
1 3 (3 t ') dt ' = 2 2
(t 4) 0
1
2
3t 4
t′
4≤t≤5时,h(t)=0,vS(t)=1,
y (t ) = ∫ t ' dt ' + ∫
t 4 1 3 1
1
1 1 13 (3 t ') dt ' = t 2 + 4t 2 2 2
0 (t 4)1
2
3
为一个强制分量,与输入同频率的正弦量
v p (t ) = A2 cos(ωt + 2 )
dv p (t ) dt v p (t ) R
特解应满足原方程 可求得
A2 = A1
C
+
= A1 cos(ωt + 1 )
(ωC ) 2 + (1/ R ) 2
2 = 1 tan 1 ω RC
所以
v(t ) = ke
C
iS = δ (t )
iS
R
C
vC
1
0
t
dv 1 + v = δ (t ) dt R
由于t=0时接入单位冲激电流,为无限大电流,电容 电压将发生有限跳变.电容电压跳变是在0-0+瞬间 内完成的,所以可通过对电路方程两边从0-0+积分 求得电压的跳变值.
∫
0+
0
0+ 1 0+ dv C dt + ∫ vdt = ∫ δ (t )dt 0 R 0 dt
L
单位冲激电流作用于RC并联电路,相当于 v(0+ ) = C 的零输入,单位冲激响应即为t≥0+的零输入响应.
t 1 RC h(t ) = v(t ) = e u (t ) C
1
线性定常一阶电路任意输入响应
前面所提到的信号都是一些规则信号,然而在实 际中,更多的是不规则信号获任意波形的信号. 这些信号进入电路后的响应可通过卷积积分的方 法来求取. 这方法的思路是:将任意波形看成是许多脉冲信 号所组成,根据零状态响应的线性性和时延性, 分别求出每个脉冲响应,然后进行叠加. 可以设想,只要△取得足够小,各脉冲响应叠加后 就足够逼近真实响应.当△→0,所得就是所要求 的响应.
现将原输入信号f(t)→蓝色曲 线,近似信号fa(t)→红色台阶 曲线表示.设t0为换路时间,t 为所求响应时间.将 [t0,t] n等分,则步长△=(t-t0)/n.现 取t0=0,则 第一个脉冲波形为 第二个脉冲波形为 第k+1个脉冲波形为 所以
f ()P (t )
f (t )
f a (i )
f (i )
f ( k )
f (0)
0
2
k
t = n
f (0)[u (t ) u (t Δ)] = f (0)
u (t ) u (t Δ) Δ= f (0)ΔP (t ) Δ Δ
f (k )P (t k )
f a (t ) = ∑ f (k )P (t k )
k =0
n 1
各脉冲的脉宽相等,高度各异,位置不同.
t RC
+ A2 cos(ωt + 2 )
在零状态下 v(0+ ) = k + A2 cos 2 = 0 即 因此
v(t ) = [ A2 cos 2 e
暂态分量 t RC 稳态分量
k = A2 cos 2
+ A2 cos(ωt + 2 )]u (t )
在零状态下,电压的暂态分量初值 vt (0+ ) = A2 cos 2 与稳态分量初值 vs (0+ ) = A2 cos 2 大小相等,方向相反
要求出 Z 0 [ f a (t )] ,可求每个矩形脉冲的响应,再叠加 第一个脉冲响应 第二个脉冲响应
Z 0 [ f (0)P (t )] = f (0)h (t )
Z [ f ()P (t )] = f ( )h (t )
第k+1个脉冲响应 Z k [ f (k )P (t k )] = f (k )h (t k ) 所以 Z 0 [ f a (t )] = ∑ Z k [ f (k )P (t k )] = ∑ f (k )h (t k )
以上公式只适用于线性定常电路. 卷积积分不能积分到 t 时刻以外,因为 t 以后的输入并 不影响 t 时刻的响应. 从卷积积分表达式可看出,卷积积分实质上是某个函数的 定积分,只不过被积函数还与积分上限有关. 由此可见,要求零状态响应y(t),可先求出其冲激响应 h(t),再用卷积求y(t).
卷积积分可用图解法来计算,或用图解法帮助分析 例
u (t )
0.368RI
RI
t
vCh
暂态分量,自由分量
由 vC (t ) = RI RIe
t RC
可看成为两种波形的叠加. 就特解而言,是电路趋稳态后的 响应,称稳态分量;或认为是激 励源强迫其电压达到规定值,故 称强制分量.
vC (t ) 稳态分量,强制分量 vCp RI 0.632RI vC
任意输入的零状态响应
Z 0 [ f (t )] = ∫ f (t ')h(t t ')d;0,在时间t是由于t=0时加上的输入 f(t')所引起的零状态响应. 卷积积分可表示成 对称性
Z 0 [ f (t )] = f (t ) * h(t )
t t 0 0
Z 0 [ f (t )] = ∫ f (t ')h(t t ')dt ' = ∫ h(t ') f (t t ')dt '
k =0 k =0 n 1 n 1
当n→∞, 即△→0 时, k△变成连续变量t',即 k△→t', h△(t-k△)→h(t-t'),求和变成积分△→dt' 任意输入f(t)的零状态响应
Z 0 [ f (t )] = lim Z 0 [ f a (t )] = ∫ f (t ')h(t t ')dt '
0 0.368RI
RI
t vCh
暂态分量,自由分量
就齐次解而言,当t=4τ~5τ,可认为衰减结束,所以称暂 态分量.暂态分量逐渐衰减的过程,就是电路逐渐趋于 稳定的过程;齐次解在随时间变化的规律上讲,只取决 于时间常数,而时间常数仅仅由网络的拓扑结构和元件 参数决定,与输入无关,因此也称自由分量.
线性定常一阶电路的零状态响应是输入的 线性函数.
对于任一确定时刻t =T, (1 e R
T RC
) = 常数A ,所以,vC=Ais
零状态响应算子 Z t (is )
0
is:输入 t0:电路在时t0处零状态;输入在t0时加入 Z :零状态响应
Z t0 (α is + β vs ) = α Z t0 (is ) + β Z t0 (vs )
→ 0
0
t
这个积分叫做卷积积分,其中h(t-t')是定义在t≥t' 时的冲激响应. 卷积积分的物理意义:线性电路在任意时刻t 对任 意输入的响应,等于在输入开始作用的时刻(t'=0) 到指定时刻,即观察时刻(t'=t)的区间内,无穷多 个幅度不同并依次连续出现的冲激响应的总和. 实际上是将任意信号看成是无穷多个幅度不同并 连续出现的冲激信号所组成,每个t'<t时的冲激信 号都会在t'=t时有一个响应,这些响应的总和即为 任意输入的零状态响应.
vC (t ) = RI (1 e
t RC
得
k = RI
vC (t ) 稳态分量,强制分量 vCp RI 0.632RI vC
)u (t )
同样可得
iC (t ) = Iu (t ) iR (t ) = Ie
t vC (t ) iR (t ) = = I (1 e RC )u (t ) R t RC
定常电路的延时特性 电源在t=0时加入, is = Iu (t ) 则 v(t ) = RI (1 e