正态分布详解
标准正态分布Φ(x)公式【ISO,126403标准图像详解】
标准正态分布Φ(x)公式【ISO,126403标准图像详解】ISO 12640是由国际标准化组织ISO下设的印刷标准化委员会TC130制定的有关印前数据交换的系列标准，该系列标准的第一部分（ISO 12640-1）提供的是编码为8位CMYK网点面积值的图像，第二部分（ISO 12640-2）提供的是编码分别为16位XYZ值和16位RGB 值的自然图像与人工合成图像。
为了满足印刷、摄影等的需要，除了以上两个部分外，印刷标准化委员会TC130还开发了新的图像组ISO 12640-3标准，其使用D50照明体，可用于成像系统颜色复制、彩色图像输出设备、图像处理算法效果以及高清晰图像存储和传播编码技术等的评估。
图像组成ISO 12640-3标准图像组包括8幅自然图像（照片）和10幅由计算机制作的人工合成图像。
1.自然图像自然图像的分辨率为12像素/毫米，采用16位/通道的L*、a*、b*值，D50照明体。
8幅自然图像的缩略图如图1所示。
对于这8幅自然图像的描述和典型应用如表1所示。
2.人工合成图像人工合成图像包含8幅色谱和2幅渐变图。
(1)色谱ISO 12640-3中共有8幅色谱，每幅都包含很多用于构建参考色域的色块，如图2所示。
每个色域包含的色块都落在2个色相角内，并且间隔180°。
由于图像是8位的，因此色相角大小约能限制在±1°。
色谱给出了参考色域内L*间隔为10（从L*＝0到L*＝100）和Cab*间隔为10（从Cab*=0到当前参考色域的L*值下的最大Cab*）的样本。
每幅色谱的大小是275mm×137mm，每个色块的大小是10mm ×10mm，相近距离是1mm，灰背景的L*值为80。
(2)渐变图渐变图有2幅，如图3所示，a为全色域的，b为简化色域的。
所有的渐变图都有8个色相角，从0°到 315°，间隔为45°。
简化色域渐变图与全色域渐变图的区别在于，全色域渐变图的最小和最大明度分别为L*=0和L*=100，而简化色域渐变图的最小和最大明度则为L*=10和L*=90，彩度为全色域渐变图彩度的85%。
二项分布与正态分布详解
在二项分布和正态分布中的应用举例
二项分布参数估计
正态分布参数估计
二项分布假设检验
正态分布假设检验
对于二项分布B(n, p)，可以使 用样本比例作为成功概率p的 点估计。同时，根据二项分布 的性质，可以构造出p的置信 区间进行区间估计。
对于正态分布N(μ, σ^2)，可 以使用样本均值作为总体均值 μ的点估计，样本方差作为总 体方差σ^2的点估计。同样地 ，可以构造出μ和σ的置信区间 进行区间估计。
02
通过对二项分布和正态分布进行深入剖析，探讨它们之间的联
系和区别，以便更好地理解这两种分布。
为后续概率论与数理统计学习打下基础
03
二项分布和正态分布是概率论与数理统计中的重要内容，掌握
它们对于后续学习具有重要意义。
预备知识
概率论基础知识
要理解二项分布和正态分布，首先需要具备概率论的基础知识， 如事件、概率、随机变量等概念。
正态分布转化为二项分布的条件
在实际应用中，如果某个连续型随机变量可以取整数值，且这些整数值出现的概率可以 用二项分布来描述，那么可以将这个连续型随机变量近似为二项分布。但需要注意的是
，这种转化通常需要在一定的精度范围内进行。
实际应用中的选择依据
• 在实际应用中，选择使用二项分 布还是正态分布通常需要考虑以 下因素：首先，需要判断随机变 量是离散的还是连续的；其次， 需要考虑随机变量所描述的实际 情况是否符合二项分布或正态分 布的定义和性质；最后，还需要 考虑样本量大小、数据分布情况 等因素来选择最合适的分布类型 进行建模和分析。
方差
正态分布的方差等于其标准差的平方，即D(X)=σ^2。
正态分布的应用举例
01 02
质量控制
2023年新教材人教A版高中数学选择性必修第三册7.5正态分布 同步课时练习题含答案解析
7.5 正态分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题 1．（2022春·广东潮州·高二统考期末）随机变量ξ服从正态分布()10,4N ξ，则标准差为（ ） A ．2 B ．4C ．10D ．14【答案】A【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【详解】因为ξ服从正态分布()10,4N ξ可知:方差为4，故标准差为2，2．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布()~0,0.64X N ，()~0,1Y N ，()~0,4Z N 的密度曲线，则三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为（ ）.A ．①②③B ．③②①C ．②③①D ．①③②【答案】A【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.【详解】由题意，得()0.8X σ=，()1Y σ=，()2Z σ=，因为当σ较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且()()()X Y Z σσσ<<， 所以三个随机变量X ，Y ，Z 对应曲线的序号分别依次为①，②，③.3．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）随机变量X 的概率分布密度函数()()()2212x f x x σ--=∈R ，其图象如图所示，设()2P X p ≥=，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．pB ．2pC ．12p -D ．12p -A ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B ．若X 是随机变量，则()()()()2121,2141E X E X D X D X +=++=+.C ．已知随机变量()0,1N ξ，若(1)P p ξ>=，则(1)12P p ξ>-=-D ．设随机变量ξ表示发生概率为p 的事件在一次随机实验中发生的次数，则()14D ξ≤某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布()29,1N ，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）. 附：随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6826P μσξμσ-<<+=，()220.9544P μσξμσ-<<+=. A ．12 B ．16C ．30D ．32所以每天学习时间超过10小时的人数为1000.158716⨯≈，6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X 服从正态分布()22,N σ（单位：m ），()1.90.1P X <=，则()2.1P X <=（ ）A ．0.1B ．0.4C ．0.5D ．0.9【答案】D【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为()()1.9 2.10.1P X P X <=>=， 所以()1.9 2.110.10.10.8P X <<=--=，所以()()()2.1 1.9 2.1 1.90.9P X P X P X <=<<+<=，7．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：h ）()8,4XN ，则下列说法错误的是（ ）A ．该校学生每周平均阅读时间为8hB ．该校学生每周阅读时间的标准差为2C ．若该校有10000名学生，则每周阅读时间在46h 的人数约为2718D ．该校学生每周阅读时间低于4h 的人数约占2.28% ()8,4N 知)100.6826≤≈46h 的人数约占(62P X -≤，所以C 错误；0.95442.28%=从N （90，2σ），若()90950.3P c ≤≤=，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）A ．5B ．10C ．15D ．30则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为500.210⨯=人， 9．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，且(1)(5)P X P X >-=<，则下列说法一定正确的是（ ）A ．3μ=B ．2μ=C ．3σ=D ．2σ=分）服从正态分布()285,N σ，且(8387)0.3,(7883)0.26P P ξξ<≤=<≤=，则(78)P ξ≤=（ ）A ．0.03B ．0.05C ．0.07D ．0.0911．（2022春·江苏苏州·高二校考期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z 服从正态分布()282.5,5.4N ，则(人数保留整数) （ ）参考数据：若20.682 7220.954 5()()()Z N P Z P Z μσμσμσμσμσ<≤≈<≤≈～，，则－＋，－＋，330.997 3()P Z μσμσ<≤≈－＋．A ．年级平均成绩为82.5分B ．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等C ．成绩不超过77分的人数少于150D ．超过98分的人数为1 【答案】ABD【分析】根据正态分布的概念可知A 对，根据对称性可知B 对，根据3σ原则和曲线的对称性即可求解C,D.【详解】由()282.5,5.4N Z ～，可知82.5, 5.4μσ==，所以平均分为82.5μ=，故A 对.12．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知121,X N σ~，220,Y N σ~，则下列结论中正确的是（ ）A ．若12σσ=，则()()10P X P Y >>>B ．若12σσ=，则()()101P X P Y >+>=C ．若12σσ>，则()()0211P X P Y ≤≤<-≤≤D ．若12σσ>，则()()0101P X P Y ≤≤>≤≤13．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）设随机变量()2,X N μσ，X 的正态密度函数为()22x f x -，则μ=______.14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，若()310.5P a ξ≤+=，则实数=a ______．【答案】3【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（），结合题意得到a 的值．【详解】随机变量ξ服从正态分布()210,N σ，正态曲线关于10x =对称，且100.5PX ≤=（）， 由()310.5P a ξ≤+=，可知3110a +=，解得3a =．15．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()260.6P X <<=，()60.2P X ≥=，则μ=______． 【答案】4【分析】先求出()2P X ≤的概率，然后根据正态分布的特征求解即可. 【详解】解：由题意得：∵()()()()2162610.60.20.26P X P X P X P X ≤=-≥-<<=--==≥ ∴2与6关于x μ=对称 ∴4μ=．16．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布()2110,10N ．已知(100110)0.34P X <≤=，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）随机变量X 服从正态分布，即()10,9X N ~，随机变量23Y X =-，则()E Y =__________，()D Y =__________． 【答案】 17 36【分析】首先根据正态分布的知识得()(),E X D X ，然后可得答案. 【详解】因为()10,9X N ~，所以()()10,9E X D X ==，因为23Y X =-，所以()()2320317E Y E X =-=-=，()()436D Y D X ==， 五、解答题18．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：mm ）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为μ，标准差为σ． (1)求μ和σ；(2)已知这批零件的内径X （单位：mm ）服从正态分布()2,N μσ，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：mm ）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据3σ原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若()2,XN μσ，则：()0.6826P X μσμσ-<≤+≈，()220.9544P X μσμσ-<≤+≈，()330.9974P X μσμσ-<≤+≈，40.99740.99≈． (200,36N )200180.9974+≈所以五个零件的内径中恰有1态分布()2N 500,5（单位：g ）．(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于485g 的概率约为多少？。
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标准正态分布的期望标准正态分布是统计学中非常重要的概念，它在各个领域的数据分析中都有着广泛的应用。
在正态分布中，期望是一个至关重要的参数，它能够帮助我们更好地理解数据的分布规律和特征。
本文将围绕标准正态分布的期望展开讨论，希望能够帮助读者更好地理解和运用这一概念。
首先，让我们来回顾一下正态分布的基本特征。
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形曲线，两侧尾部逐渐趋近于水平轴但永远不会与其相交。
正态分布的期望值μ决定了曲线的位置，而标准差σ则决定了曲线的宽窄。
在标准正态分布中，期望值μ=0，标准差σ=1，这使得标准正态分布具有许多便于计算和推导的特性。
期望是描述随机变量平均取值的一个重要指标。
在标准正态分布中，期望值为0意味着数据的中心位置位于分布的中心，这也是为什么正态分布曲线呈对称的钟形的原因。
换句话说，大部分的数据都集中在期望值附近，而离期望值越远的数值出现的概率就越小。
这一特性使得期望值成为了描述数据集中趋势的重要统计量。
在实际应用中，我们经常会用期望值来进行预测和决策。
以股票市场为例，假设某支股票的收盘价服从正态分布，我们可以利用期望值来预测未来的价格走势。
如果期望值为正，那么我们就可以预期股票价格将上涨；反之，如果期望值为负，那么我们就可以预期股票价格将下跌。
当然，这只是一个简单的例子，实际应用中可能会涉及更多的因素和复杂的计算。
除了用于预测和决策，期望值还在统计推断和假设检验中发挥着重要作用。
在假设检验中，我们常常需要利用样本数据的期望值来对总体的特征进行推断，从而进行统计决策。
期望值的大小和方向能够帮助我们判断样本数据与假设之间是否存在显著差异，从而进行科学合理的统计推断。
总之，标准正态分布的期望是一个非常重要的概念，它不仅能够帮助我们更好地理解数据的分布规律和特征，还能够在实际应用中发挥着重要作用。
通过对期望值的深入理解和灵活运用，我们能够更加准确地把握数据的特征和规律，为决策和推断提供科学依据。
第48讲 正态分布(解析版)-【高考艺术生专用】2022年高考数学复习(,全国通用版)
第48讲 正态分布一、单选题1．（2021·全国高二课时练习）在某市2020年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N (98，100)．已知参加本次考试的全市学生有9 455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ） A ．1 500名 B ．1 700名 C ．4 500名 D ．8 000名【答案】A 【详解】因为学生的数学成绩X 服从正态分布N (98，100)，则P (X >108)=12[1-P (88≤X ≤108)]=12[1-P (μ-σ≤X ≤μ+σ)]≈12×(1-0.6827)=0.15865， 而0.15865×9455≈1500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500名. 故选：A2．（2021·全国高二课时练习）关于正态分布N (μ，2σ)，下列说法正确的是（ ） A ．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件 B ．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件 C ．随机变量落在[－3σ，3σ]之外是一个小概率事件 D ．随机变量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一个小概率事件 【答案】D 【详解】由正态分布中的3σ原则，可得3309().973P X μσμσ-≤≤+≈，所以(3P X μσ>-或3)1(33)10.99730.0027X P X μσμσμσ<+=--≤≤+=-≈， 所以随机变量X 落在[]33μσμσ-+，之外是一个小概率事件. 故选：D.3．（2021·全国高二课时练习）设有一正态总体，它的正态曲线是函数f (x )的图象，且()2(10)8x f x --，则这个正态总体的均值与标准差分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2 C ．8与10 D ．2与10【答案】B 【详解】由正态密度函数的定义和解析式可知，总体的均值10μ=，方差24σ=，即2σ=. 故选：B.4．（2021·全国高二课时练习）已知X ～N (0，1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率约为（ ） A ．0.954 B ．0.046 C ．0.977 D ．0.023【答案】D 【详解】由题意知，正态曲线的对称轴为x ＝0，所以P (X ＜－2)＝0.5－12P (－2≤X ≤2)＝0.5－0.95442＝0.022 8. 故选：D.5．（2021·全国高二课时练习）正态分布N (0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率为P 1，P 2，则二者大小关系为（ ） A ．P 1＝P 2 B ．P 1＜P 2C ．P 1＞P 2D ．不确定【答案】A 【详解】根据正态曲线的特点，图象关于x ＝0对称，可得在区间(－2，－1)和(1,2)上取值的概率P 1，P 2相等． 故选：A6．（2021·河北邢台·高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布N （3，4），若(21)(21)P c P c ξξ>+=<-，则c 的值为（ ） A ．32B ．2C ．1D ．12【答案】A 【详解】由正态分布的对称性知，(21)33(21)c c +-=--，得32c =. 故选：A7．（2021·河北沧州·）某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高X （单位：cm ）的情况，得出()2100,10X N ~，随机测量一株水稻，其株高在()110,120（单位：cm ）范围内的概率为（ ）（附：若随机变量()2,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=）A ．0.0456B ．0.1359C ．0.2718D ．0.3174【答案】B 【详解】由题意得()901100.6826P X <<=，()801200.9544P X <<=，所以()0.95440.68261101200.13592P X -<<==，故选：B8．（2021·全国高二专题练习）正态分布概念是由德国数学家和天文学家Moivre 在1733年首先提出，由于德国数学家高斯率先把其应用于天文学研究，故我们把正态分布又称作高斯分布，早期的天文学家通过长期对某一天体的观测收集到大量数据；对这些数据进行分析发现这些数据变量,X 近似服从()29,N σ，若()100.91P X <=，则()8P X ≤= A ．0.09 B ．0.41C ．0.59D ．0.91【答案】A 【详解】()()()8101100.09P X P X P X ≤=≥=-<=，故选：A . 二、多选题9．（2021·全国高二课时练习）下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有（ ） A ．曲线在x 轴上方，且与x 轴不相交B ．当x >μ时，曲线下降，当x <μ时，曲线上升C ．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中D ．曲线关于直线x ＝μ对称，且当x ＝μ时，位于最高点 【答案】ABD 【详解】由正态密度曲线的几何特点可知：（1）曲线在x 轴上方，且与x 轴不相交；故A 正确.（2）曲线关于直线对称，当x μ=时，曲线处于最高点，当向左右远离时，曲线不断降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线；故D 正确.（3）当x μ<时，曲线上升，当x μ>时，曲线下降，并且当曲线向左向右无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限靠近；故B 正确.（4）当μ一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；故C 错误. 故选：ABD.10．（2021·全国高二专题练习）如图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法正确的是（ ）A ．三种品牌的手表日走时误差的均值相等B ．三种品牌的手表日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C ．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D ．三种品牌手表中甲品牌的质量最好 【答案】ACD 【详解】由题中图象可知三种品牌的手表日走时误差的平均数（均值）相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平，σ越小，正态曲线越瘦高，故三种手表日走时误差的标准差（或方差2σ）从小到大依次为甲、乙、丙，甲品牌的质量最好. 故选：ACD.11．（2021·阳江市第一中学高二月考）已知()2~,X N μσ，()()021P X P X ≥+≥-=，且()20.3P X ≤-=，则（ ）A ．1μ=-B ．2μ=-C ．()200.4P X -≤≤=D ．()200.3P X -≤≤=【答案】AC 【详解】因为()()021P X P X ≥+≥-=，所以()()02P X P X ≥=≤-，所以1μ=-. 故()2010.320.4P X -≤≤=-⨯=. 故选：AC12．（2021·福建三明·高二期末）若随机变量()()()~0,2,N x P x ξφξ=≤，其中0x >，则下列等式成立的有（ ） A ．()()1x x φφ-=- B ．()()22x x φφ= C ．()()21P x x ξφ<=- D ．()()22P x x ξφ>=-【答案】ACD 【详解】因为()~0,2N ξ，所以其正态曲线关于直线0x =对称，因为()()x P x φξ=≤，0x >，所以()()()1x P x x φξφ-=≤-=-，A 正确；因为()()()(),2222P x P x x x φξφξ==≤≤，所以()()22x x φφ=不一定成立，B 不正确； 因为()()()()1221P x P x x x x ξξφφ<=-<<=--=-，C 正确；因为()(P x P x ξξ>=>或)x ξ<-()()()122x x x φφφ=-+-=-，D 正确； 故选：ACD.三、填空题13．（2021·全国高二单元测试）设随机变量ξ服从正态分布()43N ，，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a =______. 【答案】6 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，可得24,3μσ==， 又由()()51P a P a ξξ<-=>+，可得5x a =-和1x a =+关于4x =， 所以518a a -++=，解得6a =. 故答案为：6.14．（2021·福建福州三中高三月考）已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若()()24P m P m ξξ≥-=≤+()m ∈R ，则μ=______． 【答案】3 【详解】 依题意可知()()2432m m μ-++==．故答案为：3.15．（2021·全国高二单元测试）已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X <2c +2)=P (X >c +4)，则c =__．【答案】0 【详解】因随机变量X 服从正态分布N (3，1)，则它对应的正态密度曲线对称轴为x =3，又P (X <2c +2)=P (X >c +4)， 则由正态分布的对称性可得2c +2+c +4=6，解得c =0， 所以c =0. 故答案为：016．（2021·浙江丽水·高二课时练习）如果随机变量ξ服从N (μ，σ)，且E (ξ)＝3，D (ξ)＝1，那么μ＝________，σ＝________.【答案】3 1 【详解】()~,,N ξμσ()()23,1,E D ξμξσ∴====1σ∴=，故答案为3,1.四、解答题17．（2021·福建三明·高三模拟预测）为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度v 服从正态分布()2,N μσ，其中μ，2σ分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差2s (经计算2210.25s =).（i ）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii ）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为X ，求X 的数学期望.附注：若()2~,N ξμσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<≤+=，()330.9973P μσξμσ-<≤+=.参考数据：229841=.【答案】（1）70.5千米/时；（2）（i ）1587辆，（ii ）()8.4135E X =. 【详解】（1）由图知：(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=千米/时. ∴这1000辆机动车的平均车速为70.5千米/时.（2）由（1）及题设知：(70.5,210.25)v N ，则70.5,14.5μσ==， （i ）1()(85)()0.158652P v P v P v μσμσμσ--≤≤+≥=≥+==，∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数100000.158651587⨯≈辆. （ii ）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为10.158650.84135P =-=，故(10,0.84135),X B∴()100.841358.4135E X =⨯=.18．（2021·重庆市清华中学校高三月考）国家发展改革委、住房城乡建设部于2017年发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收、利用率要达35%以上.截至2019年底，这46个重点城市生活垃圾分类的居民小区覆盖率已经接近70%.武汉市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右的社区垃圾数量超过28吨/天的确定为“超标”社区：（2）若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为（1）中的样本平均值x ，2σ近似为样本方差2s ，经计算得 5.2s =.请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数.（参考数据：()0.6827P X μσμσ-<≤+≈；()220.9545P X μσμσ-<≤+≈；()330.9974P X μσμσ-<≤+≈）【答案】（1）22.8吨；（2）51. 【详解】（1）由频数分布表得： 1451762092312268296322.7622.8542x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+≈⨯⨯=+，所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨；（2）由（1）知22.8μ=， 5.2s =， 5.2s σ∴==，则28μσ=+， ()()()110.6827280.1586522P X P X P X μσμσμσ--<≤+-∴>=>+===，3200.1586550.76851⨯=≈，所以这320个社区中“超标”社区的个数为51.19．（2021·全国高二单元测试）设从某地前往火车站，可乘公共汽车，也可乘地铁，若乘公共汽车所需时间（单位：min ）X ～N （50，102），乘地铁所需时间Y ～N （60，42），则 （1）若有70min 可用，则乘公共汽车好还是乘地铁好？（2）由于时间紧迫，决定做出租车去火车站，此时使用手机中打车软件甲，甲软件定位了A 公司2辆出租车，B 公司4辆出租车，每车被叫中的概率相等，甲软件能叫来两辆车，求A 公司出租车被叫来的辆数ξ的分布列和数学期望E （ξ）.（已知P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9974，P （μ﹣2σ＜X ≤μ+2σ）＝0.9544）【答案】（1）乘地铁；（2）分布列见解析，23.【详解】解：（1）乘公共汽车及时赶到的概率为()()10.9544070170192.772P X P X ≤=->-=-= 乘地铁及时赶到的概率为()()()7068168110.95440.97722P Y P Y P Y ≤>≤=->==-- 因此在这种情况下应乘地铁. （2）ξ的取值为0，1，2.则P （ξ＝0）＝2426C C ＝25，P （ξ＝1）＝112426C C C ＝815，P （ξ＝2）＝2226C C ＝115，ξ的分布列E ξ＝0×5+1×15+2×15＝3. 20．（2021·河南（理））市教育局举办了全市高中生关于创建文明城市的知识竞赛（满分120分），规定竞赛成绩不低于90分的为优秀，低于90分的为非优秀.为了解竞赛成绩与学生课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了参加竞赛的60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：（2）若参加这次竞赛的高中生共有20000名，参赛学生的竞赛成绩()~90,100N ξ，试估计竞赛成绩大于110分的学生大约有多少人？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中na b c d =+++.~,N ξμσ时， 0.6826P μσξμσ-<≤+=，220.9544P μσξμσ-<≤+=.【答案】（1）有99.5%的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关；（2）456人. 【详解】（1）∵()()()()()()2226022208101359.6437.8793030322814n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯， ∴有99.5%的把握认为课外阅读量与本次竞赛的成绩优秀有关.（2）由()~90,100N ξ，知：90μ=，10σ=. ∴()()()111021220.02282P P P ξξμσμσξμσ>=>+=--<≤+=⎡⎤⎣⎦，故竞赛成绩大于110分的学生约有200000.0228456⨯=，∴估计竞赛成绩大于110分的学生大约有456人.。
正态分布详解
上一讲我们已经看到，当n很大，p接 近0或1时，二项分布近似泊松分布; 如果 n很大，而p不接近于0或1，那么可以证明， 二项分布近似于正态分布.
下面我们不加证明地介绍有关二项分 布近似于正态分布的一个定理，称为棣莫 佛－拉普拉斯定理. 它是第五章要介绍的 中心极限定理的一个最重要的特殊情况.
六、二项分布的正态近似
定理(棣莫佛－拉普拉斯定理）
设随机变量 Y n 服从参数n, p(0<p<1)的
二项分布，则对任意x，有
limP{ Ynnp x} x
1
t2
e 2 dt
n np(1p)
2
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时（或者说，np(1-p)也不太小时），二项变
量 Y n 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)).
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布.
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
不知你们是否注意到街头的一种赌博 活动? 用一个钉板作赌具。
请看 街头
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
记作 X~N(,2)
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布有些什么性质呢？
由于连续型随机变量唯一地由它 的密度函数所描述，我们来看看正态 分布的密度函数有什么特点。
请看演示 正态分布
二、正态分布 N(,2) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解
概率分布公式大全离散与连续分布函数详解概率分布公式大全-离散与连续分布函数详解概率分布是概率论和统计学中的重要概念，用于描述随机变量的可能取值及其相应的概率。
根据随机变量的性质，概率分布可以分为离散分布和连续分布。
本文将详细介绍概率分布的概念、离散分布函数和连续分布函数的定义，并列举常见的概率分布公式作为参考。
一、概率分布的基本概念1. 随机变量在概率论中，随机变量是指能够随机地产生不同数值的变量。
随机变量可以是离散的，也可以是连续的。
2. 概率分布概率分布是随机变量的每个可能取值与其相应的概率之间的关系。
通过概率分布，我们可以了解随机变量取值的可能性以及各个取值的概率大小。
二、离散分布函数离散分布函数用于描述离散型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的离散分布函数：1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了独立重复实验的结果，每次实验只有两个可能的结果，成功或失败。
二项分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (nCk) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为成功次数，p为每次实验的成功概率，(nCk) 表示组合数。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数，常用于描述稀有事件的概率分布。
泊松分布的概率分布函数如下：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间（或单位空间）内随机事件的平均发生率，e为自然对数的底。
3. 几何分布（Geometric Distribution）几何分布描述了在一系列独立实验中，首次成功需要进行的实验次数的概率分布。
几何分布的概率分布函数如下：P(X=k) = p * (1-p)^(k-1)，其中p为每次实验的成功概率。
三、连续分布函数连续分布函数用于描述连续型随机变量的概率分布情况。
下面是几种常见的连续分布函数：1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布（或高斯分布）是最常见的连续概率分布之一，常用于描述自然界和社会科学中的许多现象。
新高考数学复习知识点与题型专题讲解36 利用正态分布的对称性求概率或参数值
新高考数学复习知识点与题型专题讲解 专题36 利用正态分布的对称性求概率或参数值一、多选题1．给出下列命题，其中正确命题为（）A ．若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为()2,3，则回归直线的方程为0.25 2.5y x =+B ．随机变量()~,B n p ξ，若()30E ξ=，()20D ξ=，则90n =C ．随机变量X 服从正态分布()21,N σ，()1.50.34P X >=，则()0.50.16P X <=D ．对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大 【答案】ABD 【分析】利用点斜式方程得出回归直线方程，了判断A 选项的正误；利用二项分布的期望和方差公式可判断B 选项的正误；利用正态密度曲线的对称性可判断C 选项的正误；利用独立性检验的基本思想可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，若回归直线的斜率估计值为0.25，样本点中心为()2,3， 则回归直线方程为()30.252y x -=-，即0.25 2.5y x =+，A 选项正确； 对于B 选项，随机变量()~,B n p ξ，若()30E ξ=，()20D ξ=，则()()()30120E np D np p ξξ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩，解得9013n p =⎧⎪⎨=⎪⎩，B 选项正确；对于C 选项，由于随机变量X 服从正态分布()21,N σ，()1.50.34P X >=，则()()0.5 1.50.34P X P X <=>=，C 选项错误；对于D 选项，对于独立性检验，随机变量2K 的观测值k 值越大，则两变量有关系的程度越大，即k 越大，判定“两变量有关系”的错误率更低，故k 越小，判定“两变量有关系”的错误率更高，D 选项正确.故选：ABD. 2．若随机变量()0,1N ξ，()()x P x φξ=≤，其中0x >，下列等式成立有( )A ．()()1x x φφ-=-B ．()()22x x φφ=C ．()()21P x x ξφ<=-D ．()()2P x x ξφ>=- 【答案】AC 【分析】根据随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，得到正态曲线关于0ξ=对称，再结合正态分布的密度曲线定义()(x P x φξ=，0)x >，由此可解决问题．【详解】随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，∴正态曲线关于0ξ=对称，()(x P x φξ=，0)x >，根据曲线的对称性可得：A.()()1()x x x φφξφ-=≥=-，所以该命题正确；B.(2)(2),2()2()x x x x φφξφφξ=≤=≤，所以()()22x x φφ=错误；C.(||)=()12()12[1()]2()1P x P x x x x x ξξφφφ<-≤≤=--=--=-，所以该命题正确；D.(||)(P x P x ξξ>=>或)=1()()1()1()22()x x x x x x ξφφφφφ<--+-=-+-=-，所以该命题错误． 故选：AC ． 【点睛】本题主要考查正态分布的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．已知某校高三年级有1000人参加一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为(]60,300，若使标准分X 服从正态分布N ()180,900，则下列说法正确的有( ). 参考数据：①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=；③3309().973P X μσμσ-<≤+=A ．这次考试标准分超过180分的约有450人B ．这次考试标准分在(]90,270内的人数约为997C ．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D ．()2402700.0428P X <≤= 【答案】BC 【分析】根据正态分布的性质，结合题中所给的公式进行求解即可. 【详解】选项A ；因为正态分布曲线关于180x =对称， 所以这次考试标准分超过180分的约有110005002⨯=人，故本说法不正确； 选项B ：由正态分布N ()180,900，可知：180,30μσ==，所以()()902701803301803300.9973P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=，因此这次考试标准分在(]90,270内的人数约为10000.9973997⨯≈人，故本说法正确； 选项C ：因为正态分布曲线关于180x =对称， 所以某个人标准分超过180分的概率为12， 因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为223113()(1)228C -=，故本说法正确； 选项D ：由题中所给的公式可知：()()902701803301803300.9973P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=， ()()1202401802301802300.9545P X P X <≤=-⨯<≤+⨯=，所以由正态分布的性质可知：()()()11240270[90270120240](0.99730.9545)0.0214,22P X P X P X <≤=<≤-<≤=-=所以本说法不正确. 故选：BC 【点睛】本题考查了正态分布的性质应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力. 4．下列判断正确的是（）A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件C ．若随机变量ξ服从二项分布：14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ= D ．22am bm >是a b >的充分不必要条件 【答案】ACD 【分析】根据正态分布的对称性可判断选项A ；由线面垂直可以得线线垂直，//m β，l m ⊥，l 与β位置关系不确定，无法得到//αβ，可判断选项B ；根据二项分布均值公式()E np ξ=求解可判断选项C ；由22am bm >可得到a b >，但反之不成立，可判断选项D. 【详解】对于A ：随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态密度曲线关于直线1x =对称，又因为()40.79P ξ≤=，所以()40.21P ξ>=，所以()20.21P ξ≤-=，故选项A 正确；对于B ：若//αβ，l ⊥α，则l ⊥β，又因为//m β，所以l m ⊥，若l m ⊥，当//m β时，l 与β位置关系不确定，所以无法得到//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故选项B 不正确； 对于C ：因为随机变量ξ服从二项分布14,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1414E ξ=⨯=，故选项C 正确；对于D ：由22am bm >可得到a b >，但a b >，0m =时得不到22am bm >，故选项D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题考查正态分布的概率，二项分布的期望，线面之间的关系，不等式的性质，属于中档题. 5．下列说法中正确的是（）A ．设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()5316P X == B ．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且()40.9P X <=，则()020.4P X <<=C ．()()2323E X E X +=+；()()2323D X D X +=+ D ．已知随机变量ξ满足()0P x ξ==，()11P x ξ==-，若102x <<，则()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大 【答案】ABD 【分析】对于选项,,A B D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项,C 根据方差的性质，即可判断选项C . 【详解】对于选项,A 设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()3336115312216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以选项A 正确； 对于选项,B 因为随机变量()22,N ξσ，所以正态曲线的对称轴是2x =，因为()40.9P X <=，所以(0)0.1P X <=， 所以(02)0.4P X <<=，所以选项B 正确； 对于选项,C ()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=，故选项C 不正确；对于选项,D 由题意可知，()1E x ξ=-，()()21D x x x x ξ=-=-+，由一次函数和二次函数的性质知， 当102x <<时，()E ξ随着x 的增大而减小，()D ξ随着x 的增大而增大，故选项D 正确.故选：ABD . 【点睛】本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．下列说法正确的有（）A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(3)0.84P ξ=，则(1)0.16P ξ=B ．设随机变量X 服从正态分布()3,7N ，若(1)(1)P X m P X m >+=>-，则3m =C ．设随机变量16,2XB ⎛⎫⎪⎝⎭，则(3)P X =等于316D ．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人恰有两次击中目标的概率为54125【答案】AD 【分析】利用正态分布的对称性即可判断A 、B ；根据二项分布的概率公式可判断C 、D ； 【详解】对于A ，因为变量ξ服从正态分布()22,N σ，若(3)0.84P ξ=，所以(3)10.840.16P ξ≥=-=，因为关于2ξ=对称， 所以()(1)30.16P P ξξ=≥=，故A 正确；对于B ，因为(1)(1)P X m P X m >+=>-，所以须满足11m m +=-，等式不恒成立，故无论m 是任何实数，都不能使(1)(1)P X m P X m >+=>-，故B 错误；对于C ，因为随机变量16,2XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则36336115(3)2216P X C -⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 对于D ，由题意可知，此人恰有两次击中目标的概率为223540.60.4125C ⨯⨯=，故D 正确； 故选：AD 【点睛】本题考查了正态分布的对称性应用、二项分布，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.二、单选题7．下列说法正确的是（）A ．命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀>，2sin x x >”B ．若平面α，β，γ，满足αγ⊥，βγ⊥则//αβC ．随机变量ξ服从正态分布()21,N σ（0σ>），若(01)0.4P ξ<<=，则(0)0.8P ξ>= D ．设x 是实数，“0x <”是“11x<”的充分不必要条件 【答案】D 【分析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A ；,αβ可能相交，可判断B 选项；利用正态分布的性质可判断选项C ；11x<⇒0x <或1x >，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【详解】命题“00x ∃≤，002sin x x ≤”的否定形式是“0x ∀≤，2sin x x >”，故A 错误；αγ⊥，βγ⊥，则,αβ可能相交，故B 错误；若(01)0.4P ξ<<=，则(12)0.4P ξ<<=，所以10.40.4(0)0.12P ξ--<==，故(0)0.9P ξ>=，所以C 错误；由11x <，得0x <或1x >，故“0x <”是“11x <”的充分不必要条件，D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题.8．若随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，则()2020ξ<=P （）A ．12B ．11010C ．14D ．12020【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性可得选项. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22020,σN ，所以2020u =，根据正态分布图象的对称性可知，图象关于2020x =对称，所以1(2020)2P ξ<=， 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布的性质，属于基础题. 9．已知随机变量()2~1,X N σ，()00.8P X ≥=，则()2P X >=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】A 【分析】 由()2~1,X N σ有随机变量X 的分布函数图象关于1X =对称，结合已知条件即可求()2P X >；【详解】 由()2~1,X N σ，知：随机变量X 的分布函数图象关于1X =对称，∴()(2)01(0)0.2P X P X P X >=<=-≥=； 故选：A 【点睛】本题考查了正态分布的对称性，利用随机变量的分布函数图象关于X μ=对称求概率，属于简单题； 10．己知随机变量()()2~100,0N ξσσ>，若()801200.8P ξ≤≤=，则()80P ξ<等于（）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B 【分析】由题知正态分布曲线的对称轴是直线100x =，利用曲线的特点即可计算出结果. 【详解】由题知此正态分布曲线的对称轴是直线100x =， 由正态分布的图象的对称性可知，()()180120800.12P P ξξ-≤≤<==.故选：B 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题. 11．已知随机变量()20,XN σ，若()010.4P X <<=，则()1P X >的值为（）A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.6 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性，由题中条件，直接计算，即可得出结果 【详解】 由随机变量()20,XN σ，可得正态分布曲线的对称轴为0x =，又()010.4P X <<=，∴()()11201120.40.2P X P X >=-<<=-⨯=. 故选：B. 【点睛】本题主要考查由正态分布的对称性求指定区间的概率，属于基础题型. 12．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若(4)0.9P ξ<=，则(24)P ξ-<<=（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.8 【答案】D 【分析】根据随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，得到正态曲线的对称轴，然后由(4)0.9P ξ<=，求得(4)(2)P P ξξ≥=<-，再利用正态曲线的对称性求解.【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以正态曲线的对称轴为1x =， 因为(4)0.9P ξ<=，所以(4)(2)0.1P P ξξ≥=<-=，所以()()(24)12410.10.10.8P P P ξξξ-<<=-≤--≥=--=， 故选：D 【点睛】本题主要考查正态分布曲线对称性，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13．已知随机变量2~0(),N ξσ，且()10.3P ξ≥=，则0()1P ξ-≤≤=（） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.5 【答案】A 【分析】根据题意，正态曲线是一个关于0x μ==对称的曲线，直接利用对称性写出概率即可. 【详解】由题意，随机变量2~0(),N ξσ，()10.3P ξ≥=，则()10.3P ξ≤-=，所以，()()()11101110.30.30.222P P ξξ-≤≤=-≤≤=--=. 故选：A. 【点睛】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位． 14．设随机变量()0,1N ξ，若()1P p ξ>=，则()10P ξ-<<=（）A ．12p +B ．1p -C ．12p -D ．12p - 【答案】D 【分析】 根据随机变量()0,1N ξ，正态曲线关于0x =对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于1-的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是12，即可求出结果. 【详解】 ∵随机变量()0,1N ξ，∴正态曲线关于0x =对称， ∵()1P p ξ>=，∴()1P p ξ<-=， ∴()1102P p ξ-<<=-， 故选：D . 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态曲线的对称性的应用，考查关于对称轴对称的区间上的概率相等，本题属于基础题． 15．已知()1,4N η，若()()21P a P a ηη>=<-，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C 【分析】首先可通过题意求出正态分布曲线的对称轴，然后根据()()21P a P a ηη>=<-得出2112a a +-=，最后通过计算即可得出结果. 【详解】 因为()1,4N η，所以对称轴方程为1x η==，因为()()21P a P a ηη>=<-， 所以2112a a +-=，解得1a =， 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态分布曲线的对称性，考查计算能力，是简单题.16．设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（） A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】B 【分析】正态分布概率密度函数图象的对称性可解 【详解】解：随机变量~(1,9)X N ，其期望为1因为(0)(1)P X P X a ≤=≥-，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，1011,3a a -=--=故选：B 【点睛】考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题. 17．设随机变量()2,N ξμσ，函数()22f x x x ξ=-+有零点的概率是0.5，则μ等于（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定 【答案】A 【分析】根据二次函数有零点，可得1ξ≤，(1)0.5P ξ≤=，根据正态分布知识可得()0.5P ξμ≤=，所以1μ=. 【详解】因为函数()22f x x x ξ=-+有零点，所以440ξ∆=-≥，即1ξ≤，所以(1)0.5P ξ≤=，又随机变量()2,N ξμσ，且()0.5P ξμ≤=，所以1μ=. 故选：A. 【点睛】本题考查了二次函数的零点，考查了正态分布，属于基础题.18．新型冠状病毒肺炎的潜伏期X （单位：日）近似服从正态分布：()2~7,X N σ，若(3)0.872P X >=，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（） A ．0.372B ．0.256C ．0.128D ．0.744 【答案】C 【分析】根据正态曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为7μ=，所以根据正态曲线的对称性知，(11)(3)1(3)10.8720.128P X P X P X ≥=≤=->=-=. 故选：C. 【点睛】本题考查了正态曲线的对称性，属于基础题.19．2019年1月28日至2月3日（腊月廿三至腊月廿九）我国迎来春运节前客流高峰，据统计，某区火车站在此期间每日接送旅客人数X （单位：万）近似服从正态分布()210,0.8N ，则估计在此期间，至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为（） A ．29128B ．764C ．3964D ．31128【答案】A 【分析】由已知可得()1102P X ≥=，再由互斥事件及相互独立事件的概率计算公式求解. 【详解】 解：()210,0.8XN ，得()1102P X ≥=.故7天中至少有5天该车站日接送旅客超过10万人次的概率为77756777711129222128P C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查相互独立事件及其概率的求法，属于中档题. 20．已知随机变量()2~3,(0)X N σσ>，若(6)0.8P X <=，则(0)P X <=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.7 【答案】A 【分析】利用正态分布曲线的对称性求解即可． 【详解】随机变量()2~3,(0)X N σσ>，可得正态分布曲线的对称轴为3x =(0)1(6)10.80.2P X P X <=-<=-=故选：A 【点睛】本题考查正态分布曲线的特点，考查对称性的应用，属于基础题． 21．若随机变量()23,XN σ，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于（ ）A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.3 【答案】A 【分析】由正态密度曲线的对称性得出()()15125P X P X ≤≤=-≥，由此可得出结果. 【详解】 由于()23,XN σ，则正态密度曲线关于直线3x =对称，所以()()15125120.20.6P X P X ≤≤=-≥=-⨯=，故选A. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要确定正态密度曲线的对称轴，利用对称性列等式计算，考查计算能力，属于中等题.22．设()()1122~,,~,X N Y N μσμσ，这两个正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )A ．1212,μμσσ><B ．1212,μμσσ<<C ．1212,μμσσ<>D ．1212,μμσσ>> 【答案】B 【分析】根据正态分布密度曲线性质可得到对称轴关系，结合曲线的“瘦高”与“矮胖”关系可得12,σσ的关系. 【详解】由图可得：X 的正态分布密度曲线更“瘦高”，且对称轴偏左， 结合正态分布密度曲线性质可得：1212,μμσσ<<.故选：B 【点睛】此题考查正态分布密度曲线的性质，关键在于熟练掌握图象性质，根据对称轴和曲线关系判断得解.23．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为（） （附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56% 【答案】C 【分析】由题意可知0.1,0.3μσ==，结合题意得出(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=，再由()(0.50.7)(0.20.4)0.40.72P P P ξξξ-<<--<<<<=，即可得出答案.【详解】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<= 即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===故选：C 【点睛】本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.24．某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为（）A ．60B ．70C ．80D ．90 【答案】C 【分析】先由题意，求出数学成绩小于等于90分对应的概率，根据正态分布的对称性，即可求出数学成绩大于等于120分的概率，从而可得出排名. 【详解】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720， 则数学成绩小于等于90分对应的概率约为()80072019080010P X -≤==，又数学考试成绩X 近似服从正态分布2(105,)N σ， 所以()()11209010P X P X ≥=≤=，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为80人， 因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名. 故选：C. 【点睛】本题主要考查正态分布对称性的应用，属于基础题型. 25．已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(4)0.68P ξ≤=，则(2)P ξ≤=（）A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.16 【答案】C 【分析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称， 由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=． 故选：C. 【点睛】本题考查正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 26．某校高二期末考试学生的数学成绩ξ（满分150分）服从正态分布()275,N σ，且()60900.8P ξ<<=，则()90P ξ≥=（） A ．0.4B ．0.3C ．0.2D ．0.1 【答案】D本题根据题意直接求在指定区间的概率即可. 【详解】解：因为数学成绩ξ服从正态分布()275,N σ，且()60900.8P ξ<<=，所以()()119016090(10.8)0.122P P ξξ≥=-<<=-=⎡⎤⎣⎦ 故选：D. 【点睛】本题考查利用正态分布求指定区间的概率，是基础题. 27．已知随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，若()20.2P ξ>=，则()01P ξ≤≤=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可得出()()010.52P P ξξ≤≤=->，由此可求得结果. 【详解】由于随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，则()()200.2P P ξξ>=<=，因此，()()()010.500.520.50.20.3P P P ξξξ≤≤=-<=->=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题.28．已知随机变量X 服从正态分布()1,4N ，()20.3P X >=，()0P X <=（） A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8 【答案】B 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出()()02P X P X <=>，进而可得出结果. 【详解】()1,4XN ，所以，()()020.3P X P X <=>=.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.29．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布()280,N σ，且()75800.1P X <≤=.该市某校有350人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于85分的人数为（）A ．140B ．105C ．70D ．35 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性可知()()808575800.1P X P X <≤=<≤=，即可求得()850.50.10.4P X ≥=-=，再根据频数，频率和样本容量之间的关系即可求出该校数学成绩不低于85分的人数． 【详解】因为X 近似服从正态分布()280,N σ，所以()()808575800.1P X P X <≤=<≤=，即有()850.50.10.4P X ≥=-=，故该校数学成绩不低于85分的人数为3500.4140⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查正态曲线的特点以及正态曲线的解析式的理解和运用，属于基础题． 30．已知某批零件的长度误差ξ（单位：mm ）服从正态分布()20,3N ，若()330.6826P ξ-<≤=，()660.9544P ξ-<≤=，现从中随机抽取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率()36ξ<≤=P （ ）A ．0.1359B ．0.2718C ．0.3174D ．0.0456 【答案】A 【分析】首先根据题意得到正态分布曲线的对称轴为0x =，从而得到()()()6633362ξξξ-<≤--<≤<≤=P P P ，即可得到答案.【详解】因为ξ服从正态分布()20,3N ，对称轴为0x =，所以()()()6633360.13592ξξξ-<≤--<≤<≤==P P P .故选：A 【点睛】本题主要考查正态分布，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题. 31．已知随机变量()2~2,X N σ，()40.8P X ≤=，那么()24P X ≤≤的值为（）A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.8 【答案】B 【分析】根据已知条件得出()()()2442P X P X P X ≤≤=≤-<，且有()20.5P X <=，由此可求得结果. 【详解】已知随机变量()2~2,X N σ，()40.8P X ≤=，则()20.5P X <=，根据正态密度曲线的对称性得出()()()24420.80.50.3P X P X P X ≤≤=≤-<=-=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用正态密度曲线的对称性求概率，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题32．第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用了新的排球用球MIKSA -V 200W ，已知这种球的质量指标ξ (单位:g )服从正态分布N (270，25 ).比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛(采取5局3胜制)，最后靠积分选出最后冠军积分规则如下:比赛中以3:0或3:1取胜的球队积3分，负队积0分;而在比赛中以3:2取胜的球队积2分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p (0<p <1).（1）如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260，265]内的排球个数(计算结果取整数). （2）第10轮比赛中，记中国队3:1取胜的概率为()f p . （i ）求出f (p )的最大值点0p ;（ii ）若以0p 作为p 的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X ，求X 的分布列. 参考数据:ζ ~N (u ，2σ)，则p (μ-σ<X <μ+σ)≈0.6826，p (μ-2σ<X <μ+2σ)≈0.9644. 【答案】（1）140；（2）（i ）034p =；（ii ）分布列见解析. 【分析】（1）由正态分布3σ原则即可求出排球个数；（2）（i ）根据二项分布先求出()f p ，再利用导数求出()f p 取得最大值时0p 的值； （ii ）根据比赛积分规则，得出中国队得分可能的取值，然后求出分布列. 【详解】（1）因为ξ服从正态分布N (270，25 )，所以()0.96440.68262602650.14092P ξ-<<==，所以质量指标在(260，265]内的排球个数为10000.1409140.9140⨯=≈个；（2）（i ）()()()2333131f p C p p p p =-=-，()()()()2'2331+13334p p fp p p p ⎡⎤=-⨯-=-⎣⎦令()0f p '=，得34p =， 当3(0,)4p ∈时，()0f p '>，()f p 在3(0,)4上单调递增；当3(,1)4p ∈时，()0f p '<，()f p 在3(,1)4上单调递减； 所以()f p 的最大值点034p =； （ii ）X 的可能取值为0，1，2，3.212313(0)(1)(1)256P X p C p p ==-+-=；223427(1)(1)512P X C p p ==-=； 222481(2)(1)512P X C p p p ==-=；2223189(3)(1)256P X p C p p p ==+-=；所以X 的分布列为【点睛】求随机变量的分布列的步骤：(1)理解X 的意义，写出X 可能取得全部值； (2)求X 取每个值的概率；(3)写出X 的分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验.还可判断随机变量满足常见分布列：两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布.33．从某市的一次高三模拟考试中，抽取3000名考生的数学成绩（单位：分），并按[)75,85，[)85,105，[)105,115，[)115,125，[)125,135，[]135,145分成7组，制成频率分布直方图，如图所示．（Ⅰ）估计这3000名考生数学成绩的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可认为该市考生数学成绩X 服从正态分布()2,N µσ，其中µ，2σ分别为（Ⅰ）估中的x 和方差2s ，据此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数（结果精确到整数）． 2.4≈．若()2,XN µσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=．【答案】（Ⅰ）110，150；（Ⅱ）1587. 【分析】（Ⅰ）直接利用平均数和方差公式计算求解； （Ⅱ）分析得到()2~110,12X N ，再利用正态分布求解.【详解】（Ⅰ）由题意知：800.02900.091000.221100.331200.24x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 1300.081400.02110+⨯+⨯=，()()()22222300.02200.09100.2200.33100.24s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯22200.08300.02150+⨯+⨯=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，110x μ==，12σ==≈， 所以()2~110,12X N ，而()()981220.6827P X P X μσμσ-<<+=<<=， 所以()10.68271220.158652P X -==， 因此估计该市10000名考生中数学成绩不低于122分的人数为0.15865100001587⨯≈． 【点睛】方法点睛：利用正态分布估计频数，一般先利用正态分布求出某范围内的概率p ，即得频数为np . 34．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某市有统计数据显示，2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示．若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁－39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”．已知在“经常使用单车用户”中有56是“年轻人”．（1）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列22⨯列联表，并根据列联表的独立性检验，判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关？使用共享单车情况与年龄列联表（2）将（1）中频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望．参考数据：独立性检验界值表其中，22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++【答案】（1）列联表见解析，有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关；（2）分布列见解析，数学期望为0.3．【分析】（1）补全的列联表，利用公式求得2 2.083 2.072K≈>，即可得到结论；（2）由（1）的列联表可知，经常使用单车的“非年轻人”的概率，即可利用独立重复试验求解随机变量X 取每个数值的概率，列出分布列，求解数学期望.【详解】（1）补全的列联表如下：于是100a =，20b =，60c =，20d =，∴22200(100206020) 2.083 2.0721208016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． （2）由（1）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为20100%10%200⨯=， 即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵~(3,0.1)X B ，0,1,2,3X =∴3(0)(10.1)0.729P X ==-=，(1)0.243P X ==(2)0.027P X ==，3(3)0.10.001P X ===，∴X 的分布列为∴X 的数学期望()30.10.3E X =⨯=． 【点睛】本题主要考查了22⨯列联表,独立性检验，二项分布，二项分布的期望，属于中档题. 35．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y 关于x 的回归方程，并预测当特征量x 为12时特征量y 的值；（3）设特征量x 满足()2~,X N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求()3.813.4P X <<.附：参考公式：相关系数()()niix x y y r -⋅-=∑()()()121niii nii x x y y b xx ==-⋅-=-∑∑，a y bx =-.1.414≈ 3.2= 1.8≈，若()2~,X N μσ，则()68.26%P X μσμσ-<<+=，()2295.44%P X μσμσ-<<+=【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；负相关；（2）ˆ0.5612.92yx =-+；12x =时，ˆ 6.2y =；（3）0.8185. 【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；（2）根据最小二乘法，求出ˆb，ˆa ，即可得出线性回归方程，从而可得预测值； （3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）由题意得51135755i i x x ====∑，51145955ii y y ====∑， 5511()()5212510889811757928iii ii i x x y y x y x y ==--=-=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-∑∑，521()50ii x x =-=∑，521()16ii y y =-=∑，因而相关系数1()()0.99(niinii x x y y r y y =--===≈--∑∑ .由于||0.99r ≈很接近1，说明x ，y 线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系.由于0r <，故其关系为负相关.（2）由（1）知，121()()28ˆ0.5650()nii i nii x x y y bx x ==---===--∑∑，∴ˆˆ9(0.56)712.92a y bx=-=-⨯-=， 则所求的回归方程是ˆ0.5612.92yx =-+. 当特征量x 为12时，可预测特征量ˆ0.561212.92 6.2y=-⨯+=. （3）由（1）知，7x μ==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s σ==-+-+-+-+-=，得 3.2σ≈，从而11(3.813.4)()(22)0.818522P X P X P X μσμσμσμσ<<=-<<++-<<+=. 【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.36．网上订外卖已经成为人们日常生活中不可或缺的一部分. M 外卖平台（以下简称M 外卖）为了解其在全国各城市的业务发展情况，随机抽取了100个城市，调查了M 外卖在今年2月份的订单情况，并制成如下频率分布表.（1）由频率分布表可以认为，今年2月份M 外卖在全国各城市的订单数Z （单位：万件）近似地服从正态分布2(,)N μσ，其中μ为样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表），σ为样本标准差，它的值已求出，约为3.64，现把频率视为概率，解决下列问题：①从全国各城市中随机抽取6个城市，记今年2月份M 外卖订单数Z 在区间(4.88,15.8]内的城市数为X ，求X 的数学期望（取整数）；②M 外卖决定在该月订单数低于7万件的城市开展“订外卖，抢红包”的营销活动来提升业绩，据统计，开展此活动后城市每月外卖订单数将提高到平均每月9万件的水平，现从全国2月订单数不超过7万件的城市中采用分层抽样的方法选出100个城市开展营销活动，若每接一件外卖订单平均可获纯利润5元，但每件外卖。
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P(|Y | 3 ) 0.9974
可以认为，Y 的取值几乎全部集中在
[ 3 , 3 ] 区间内. 这在统计学上称作“3 准则”
（三倍标准差原则）.
再看一个应用正态分布的例子: 例2 公共汽车车门的高度是按男子与车门 顶头碰头机会在0.01以下来设计的.设男子 身高X～N(170,62),问车门高度应如何确定?
下面我们介绍一种最重要的正态分布 标准正态分布
三、标准正态分布
0, 1 的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用(x)和( x)表示：
(x)
(x)
( x)
1
x2
e 2,
x
2
1
x t2
e 2 dt
2
( x)
标准正态分布的重要性在于，任何一个 一般的正态分布都可以通过线性变换转化为 标准正态分布.
x
2
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
f () 1
2
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
当x→ ∞时，f(x) → 0,
所以 h 170 =2.33,
6
即 h=170+13.98 183.98
设计车门高度为 184厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.
THE END！
服从正态分布 N (, 2 ) 的随机变量
X的概率密度是
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
X的分布函数P(X≤x)是怎样的呢？
设X~ N (, 2 ) , X的分布函数是
F(x) 1
x
e
(t )2 2 2
dt
,
x
2
正态分布由它的两个参数μ和σ唯 一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正 态分布。
这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
用求导的方法可以证明， x=μσ
为f (x)的两个拐点的横坐标。
根据对密度函数的分析，也可初步画出正 态分布的概率密度曲线图。
下面是我们用某大学男大学生的身高 的数据画出的频率直x)的值.
x
x
当-x<0时
(x) 1 (x)
若 X～N(0,1),
P(a X b) (b) (a)
若 X ~ N (, 2 ),
Y X
~N(0,1)
P(a X b) P(a Y b )
(b ) (a )
五、3 准则
由标准正态分布的查表计算可以求得， 当X～N(0,1)时，
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形
中峰的陡峭程度.
能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
容易看到，f(x)≥0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
也许很多人不相信，玩这种赌博游 戏十有八九是要输掉的，不少人总 想碰碰运气，然而中大奖的概率实 在是太低了。
平时，我们很少有人会去关心小球 下落位置的规律性，人们可能不相信 它是有规律的。一旦试验次数增多并 且注意观察的话，你就会发现，最后 得出的竟是一条优美的曲线。
高 尔 顿 钉 板 试 验
它的依据是下面的定理：
定理1
设 X ~ N (, 2 ) ,则Y X ~N(0,1)
根据定理1,只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以解决一般正态分布的概 率计算问题.
四、正态分布表 书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
(x) 1
x t2
e 2 dt
P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826 P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544
P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.
将上述结论推广到一般的正态分布,
Y ~ N (, 2 ) 时，
统计过程控制
Statistical Process Control
正态分布是应用最 广泛的一种连续型分布.
德莫佛最早发现了二项概 率的一个近似公式，这一公式 被认为是正态分布的首次露面.
正态分布在十九世纪前叶由 高斯加以推广，所以通常称为高 斯分布.
德莫佛
不知你们是否注意到街头的一种赌博 活动? 用一个钉板作赌具。
这条曲线就近似我们将要介 绍的正态分布的密度曲线。
正态分布的定义是什么呢？
对于连续型随机变量，一般是给出 它的概率密度函数。
一、正态分布的定义
若 X的概率密度为
f (x)
1
e ,
(
x )2 2 2
x
2
其中 和 2 都是常数， 任意， >0， 则称X服从参数为 和 2的正态分布.
记作 X ~ N (, 2 )
解: 设车门高度为h cm,按设计要求 P(X≥ h)≤0.01
或 P(X< h)≥ 0.99，
下面我们来求满足上式的最小的 h.
求满足 P(X< h ) 0.99 的最小的 h .
因为X～N(170,62), X 170 ~ N (0,1)
6
故
P(X< h)=
( h 170) 6
0.99
查表得 (2.33)=0.9901>0.99
红线是拟 合的正态 密度曲线
可见，某大学男大学生的身高 应服从正态分布。
人的身高高低不等，但中等身材的占大 多数，特高和特矮的只是少数，而且较 高和较矮的人数大致相近，这从一个方 面反映了服从正态分布的随机变量的特 点。
除了我们在前面遇到过的身高外,在正 常条件下各种产品的质量指标，如零件的 尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量， 小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标 的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服 从或近似服从正态分布.
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
正态分布的特性
测定平均值 在中心线或平均值两侧呈现左右对称之
分布 极大值与极小值数量很小 常态曲线左右两尾与横轴渐渐靠近但不
相交 曲线下的面积总和为1
二、正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线. 特点是“两头小，中间大，左右对称”.