正态分布
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正态分布
x
x
当-x<0时 ( x ) P ( X x )
P( X x) 1 P( X x)
1 ( x ) (0 x 4.99)
当x 5时, ( x ) 1;当x 5时, ( x ) 0
P ( a X b) ( b) ( a)
或
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 个单位，向上伸长(或压缩)
1
图形。
个单位，即可得一般正态分布概率密度的
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 ( x )
,
既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到 最大值: 1 f ( ) 2
2
X
~N(0,1)
根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布，然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为：
( x ), 0 ( y ) 分布函数分别为： ( x ), 0 ( y )
P ( X a ) P (Y a
a
x
当-x<0时 ( x ) P ( X x )
P( X x) 1 P( X x)
1 ( x ) (0 x 4.99)
当x 5时, ( x ) 1;当x 5时, ( x ) 0
P ( a X b) ( b) ( a)
或
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可 得 f (μ+c)=f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
1 f ( x) e 2
( x )2 2 2
, x
当x→ ∞时，f(x) → 0, 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。
将标准正态分布概率密度的图形向左(或) 右平行移动 个单位，向上伸长(或压缩)
1
图形。
个单位，即可得一般正态分布概率密度的
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2 ( x )
,
既然标准正态分布是关于y 轴对称的,而一 般正态分布是由标准正态分布平移 个单位 得来的,故f (x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到 最大值: 1 f ( ) 2
2
X
~N(0,1)
根据定理1,只要将一般正态分布的分布 函数转化成标准正态分布，然后查表就可解 决一般正态分布的概率计算问题.
设X ~ N ( , 2 ),Y ~ N (0,1) 其概率密度分别为：
( x ), 0 ( y ) 分布函数分别为： ( x ), 0 ( y )
P ( X a ) P (Y a
a
正态分布的概念及应用
正态分布的概念及应用
• 正态分布的简介 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用场景 • 正态分布在数据分析中的应用 • 正态分布在机器学习中的应用 • 正态分布与其他统计分布的关系
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 描述了许多自然现象的概率分布 形态，其概率密度函数呈钟形曲 线，且具有对称性。
贝叶斯推断
正态分布在贝叶斯推断中发挥了重要作用。通过贝叶斯定理，我们可以根据先 验知识和数据更新对未知参数的估计，而正态分布可以作为先验知识的分布形 式。
核方法和支持向量机
核方法
在支持向量机（SVM）等核方法中，正态分布作为核函数的一 种形式，用于将输入空间映射到高维特征空间，从而使得线性 不可分的数据变得线性可分。
在时间序列分析中，正态分布可用于描述时间序列数据的分布特征， 并建立预测模型。
05
正态分布在机器学习中的应用
概率模型和贝叶斯推断
概率模型
正态分布是一种常用的概率分布，在贝叶斯推断中，我们常常假设某些参数服 从正态分布，以便进行统计推断。例如，在朴素贝叶斯分类器中，特征的概率 分布被假设为正态分布。
考试成绩和测试评分
考试成绩和各种测试评分也经常呈现正态分布，因为大多数人的得分集中在平均分附近， 而高分和低分的人数较少。
气温、降雨量等气候数据
气温、降雨量等自然现象数据也可以用正态分布来描述，因为它们通常遵循类似的统计规 律。
科学研究和技术开发
01 02
实验结果和测量数据
在科学实验和测量中，很多数据呈现正态分布，如放射性衰变的半衰期、 化学反应速率等。这些数据反映了物质内部微观粒子的随机运动和相互 作用。
正态分布在统计学中的地位
• 正态分布的简介 • 正态分布的性质 • 正态分布的应用场景 • 正态分布在数据分析中的应用 • 正态分布在机器学习中的应用 • 正态分布与其他统计分布的关系
01
正态分布的简介
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布， 描述了许多自然现象的概率分布 形态，其概率密度函数呈钟形曲 线，且具有对称性。
贝叶斯推断
正态分布在贝叶斯推断中发挥了重要作用。通过贝叶斯定理，我们可以根据先 验知识和数据更新对未知参数的估计，而正态分布可以作为先验知识的分布形 式。
核方法和支持向量机
核方法
在支持向量机（SVM）等核方法中，正态分布作为核函数的一 种形式，用于将输入空间映射到高维特征空间，从而使得线性 不可分的数据变得线性可分。
在时间序列分析中，正态分布可用于描述时间序列数据的分布特征， 并建立预测模型。
05
正态分布在机器学习中的应用
概率模型和贝叶斯推断
概率模型
正态分布是一种常用的概率分布，在贝叶斯推断中，我们常常假设某些参数服 从正态分布，以便进行统计推断。例如，在朴素贝叶斯分类器中，特征的概率 分布被假设为正态分布。
考试成绩和测试评分
考试成绩和各种测试评分也经常呈现正态分布，因为大多数人的得分集中在平均分附近， 而高分和低分的人数较少。
气温、降雨量等气候数据
气温、降雨量等自然现象数据也可以用正态分布来描述，因为它们通常遵循类似的统计规 律。
科学研究和技术开发
01 02
实验结果和测量数据
在科学实验和测量中，很多数据呈现正态分布，如放射性衰变的半衰期、 化学反应速率等。这些数据反映了物质内部微观粒子的随机运动和相互 作用。
正态分布在统计学中的地位
正态分布
2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理 设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).
这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)
P{X
x}
P
X
x
P
X
1 2
5
1
2
2
0.9772
P{0
X
1.6}
P
0
1 2
X 1 2
1.6 1
2
0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05
0.12}
P
0.12 0.06
X
10.05 0.06
0.12
0.06
2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2
正态分布
y (x)
密度函数
(x)
1 2
x
2
e
2
专用符 号
分布函数
( x)
x
1 2
x
2
e
2
dx
专用符 号
标准正态分布的性质
分布函数
( x ) P{ X x}
( x)
( x)
x
1 2
t
2
e
2
dt
x
( x) 1 ( x)
一般正态分布的标准化
定理
x 如果 X ~ N ( , ), 则 F ( x)
2
概率计算 若 X ~ N ( , 2 )
b a P (a X b)
a P( X a) 1
决定了图形的中心位置，
的陡峭程度.
决定了图形中峰
正态分布的分布函数
f (x) 1 2
(x ) 2
2 2
e
y
1
1 2
F ( x)
x
1 2
( x ) 2
2
2
e
dx
F(x)
x
计算概率？
P a X b F b F a
由 x 的单调性可得
k 18 2.5 0.91
k 20.275
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526 人报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N ( , 2 ) 已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高 分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被 录取？ 分析
密度函数
(x)
1 2
x
2
e
2
专用符 号
分布函数
( x)
x
1 2
x
2
e
2
dx
专用符 号
标准正态分布的性质
分布函数
( x ) P{ X x}
( x)
( x)
x
1 2
t
2
e
2
dt
x
( x) 1 ( x)
一般正态分布的标准化
定理
x 如果 X ~ N ( , ), 则 F ( x)
2
概率计算 若 X ~ N ( , 2 )
b a P (a X b)
a P( X a) 1
决定了图形的中心位置，
的陡峭程度.
决定了图形中峰
正态分布的分布函数
f (x) 1 2
(x ) 2
2 2
e
y
1
1 2
F ( x)
x
1 2
( x ) 2
2
2
e
dx
F(x)
x
计算概率？
P a X b F b F a
由 x 的单调性可得
k 18 2.5 0.91
k 20.275
正态分布的实际应用
某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526 人报名，假设报名者的考试成绩 X ~ N ( , 2 ) 已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高 分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被 录取？ 分析
正态分布
三． 特征
1． 是单峰曲线，x=μ 2． 以均数μ为中心左右对称 3． 有2个参数，μ：位置参数， σ：变异度参数 σ越大，数据越分散，曲线越平坦。 特别地 N（0，1）称为标准正态分布 （z分布、u分布）
四．正态曲线下面积的分布规律
通过对密度函数积分我们可以知道正态曲线下， 横轴上所夹的面积为1，标准正态分布下1.96~1.96部分的面积为0.95 （可以通过积分 求得）。也就是说|u|>1.96的面积为0.05，对 任意的x，-x~x区间面积为多少呢？统计学家 已将此编制成了正态分布界值表，不过表中 的面积是指p(u<x), 也记作φ（x）。
3． 正态分布是许多统计方法的理论 基础，如后面要讲的t检验、方差分析、 相关回归等，t分布、二项分布、 Poisson分布的极限分布也是正态分布。
4．估计频数分布
例 出生体重低于2500克为低体重儿。若 由某项研究得某地婴儿出生体重均数为 3200克，标准差为350克，估计该地当 年低体重儿所占的比例。2． 源自计医学正常值范围x u s
例 120名健康成年男性农民舒张压的均数 为10.1kPa，标准差为0.93kPa，求舒张 压的95%双侧正常值范围。 ±1.96s =10.1±1.96×0.93 即 8.28~11.92 kPa 95%参考范围（reference range）或正常 范围（normal range）仅仅告知95%健 康者的测定值在此范围之内，并非告知 凡在此范围之内皆健康，也非告知凡在 此范围之外皆不健康，所以不可将之作 为诊断标准。
以上讨论的是标准正态分布，对一般的正 态分布，某指标x~N(μ,σ2),则 u=(x-μ)/σ~N(0,1) 即-1.96<u<1.96的面积为0.95 μ-1.96σ<x<μ+1.96σ的面积为0.95
什么是正态分布
什么是正态分布正态分布，又称高斯分布，是在统计学和概率论中非常重要的一种连续概率分布。
它是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯提出的，常用于描述自然界中的许多现象，如身高、智商、测量误差等。
正态分布具有对称的钟形曲线，其特性使得它在统计推断、假设检验等领域起着至关重要的作用。
正态分布的定义正态分布是一个由均值μ（mu）和标准差σ（sigma）两个参数所决定的概率密度函数。
其数学表达式为：在这个公式中，( f(x) ) 是随机变量 ( X ) 的概率密度函数( ) 是均值，代表分布的中心位置( ) 是标准差，用于描述数据的离散程度( e ) 是自然对数的底数，约等于2.71828通过上述公式可以看出，当 ( x = ) 时，( f(x) )达到最大值；而随着 ( x ) 离开均值，概率密度逐渐减小。
正态分布的特性正态分布有几个重要特性，使其在研究中无处不在。
1. 对称性正态分布是关于均值 ( ) 对称的。
这意味着如果你将正态分布函数沿其均值向两侧折叠，左侧和右侧的形状完全一致。
这一特性使得很多统计方法可以简化计算，并提高了分析的效率。
2. 68-95-99.7法则这一法则描述了数据集中不同标准差范围内的数据比例：约68%的数据点落在均值±1个标准差内约95%的数据点落在均值±2个标准差内约99.7%的数据点落在均值±3个标准差内这一规律为理解异常值、识别数据分布特点提供了直观的依据。
3. 中心极限定理中心极限定理表明，在一定条件下，不同的独立随机变量之和趋向于正态分布，无论这些变量本身的分布是什么。
这意味着当你对大量独立同分布的随机变量取样时，其总和或平均值会呈现出近似正态分布，这一特性是统计推断的重要基础。
4. 单峰性正态分布是单峰的，即它只有一个峰值，这个峰值就是均值( μ )。
在这个峰值附近，概率密度最大的地方，随着离均值越远，数据点稀疏程度迅速增加。
正态分布完整ppt课件
正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对 误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差 分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影 响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床 意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选 。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称 。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值 ，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降 。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形 状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标 准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合 的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险 并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风 险。
正态分布
正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。
正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。
服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。
正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。
它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。
当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。
μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。
多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。
C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。
P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。
生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。
例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。
一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。
从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。
附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。
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如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
正态总体的函数表示式
f (x) ?
1
2? ?
?
e
(x? ? )2 2? 2
x?
(??
,??
)
当μ= 0，σ=1时
标准正态总体 的函数表示式
x2
f (x) ?
1
2?
?
e2
x ? (?? ,?? )
此时，? ~ ?0，1?
标准正态曲线
3.正态分布 密度函数的性质
f (x) ?
1
2? ?
?
e
(x? ? )2
2? 2
x?
(??
,??
)
y
（1）当x = μ 时,函数值为最大 .
1
x=μ
（2）f (x) 的值域为
(0,
]
2? ?
x (3) f (x) 的图象关于 =μ 对称. -3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数. 当x∈（μ，+∞） 时f (x)为减函数.
(6)当μ一定时，曲线的形状由 σ确定 . σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 .
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 。 对称区域面积相等。
S(-? ,-X)
S(X,? )＝S(-? ,-X)
?
正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。
练
归纳小结
1 正态总体函数解析式：
f (x) ?
1
e?
( x? ? )2 2? 2
2? ?
2 正态曲线
x ? (?? ,?? )
μ= -1
y σ=0.5
y
μ=0 σ=1
y μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
正态曲线的性质
1
? ? ?? (x) ?
y
2??
μ= -1
σ=0.5
( x ? ? )2
e? 2? 2
y
μ=0
, x ? (?? ,?? )
y μ=1
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在 x轴的上方，与 x轴不相交 . （2）曲线是单峰的 ,它关于直线 x=μ对称. （3）曲线在 x=μ处达到峰值 (最高点) 1
b
? P(a ? X ? b) ? a ? ? ,? (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b, 随机变量X满足:
b
? P(a ? X ? b) ? a ? ? ,? (x)dx
则称X 服从正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一 确定.正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态 曲线.
归纳小结
3 正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与 x轴不相交.
（2）曲线关于直线 x=μ对称.
（3）曲线在x=μ时位于最高点 .
（4）当 x<μ时，曲线上升；当 x>μ时，曲线下降 . 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线， 向它无限靠近 .
(5)当μ一定时，曲线的形状由 σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 .
2.4 正态分布
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 ? 1
所示的就是一块高尔顿 板示意
图.在一块木板上钉上若干 排相
互平行但相互错开的圆 柱 形小
木块,小木块之间留有适当的 空
隙作为通道 , 前面挡有一块玻璃 . 让一个小球从高尔顿板 上方的
图2.4 ? 1
通道口落下,小球在下落过 程中
与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方 的某一球槽内.
A. f (x) ?
1
(x? ? )2
e 2? 2 , ? ,? (? ? 0)都是实数
2??
B.
f (x) ?
2?
x2 ?
e2
2?
C. f (x) ?
1
( x ? 1)2 ?
e4
2 2?
D. f (x) ?
1
x2
e2
2?
2、标准正态总体的函数为
f (x) ?
1
? x2
e 2 , x ? (?? , ?? ).
积随着? 的减少而变大。这说明 ? 越小, 落在区间
的概率越大，即X集中在 ? 周围概率越大。
(?
?
a,
?
?
a]
特别地有
x=μ P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826,
P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544,
P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.
例2、在某次数学考试中，考生的成绩 ? 服从一个 正态分布，即 ? ~N(90,100). （1）试求考试成绩 ? 位于区间(70,110)上的概率是
多少？
（2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100) 间的考生大约有多少人？
练习：1、已知一次考试共有 60名同学参加，考生的
正态曲线
4、正态曲线的性质
? ? ?? (x) ?
1
( x ? ? )2
e? 2? 2 , x ? (?? , ?? )
2??
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称 的基本特征
标,频可率 以画出频率分布直方 图 ?图2.4 ? 2?.
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 槽的编号
图 2.4 ? 2
随着重复次数的增加 , 这个频率直方图的形状
会越来越像一条钟形曲 线?图2.4 ? 3?.
y
O
1
2??
? (x?? )2
e 2? 2 x? (?? ,?? )
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)为正态密度函 数， f( x) 的图象称为正态曲线
Y
a
bc
d
平均数
X
若用X表示落下的小球第 1次与高尔顿板底部接触时 的坐标,则X是一个随机变量 .X落在区间 (a,b] 的概率为 :
2?
（1）证明f(x)是偶函数；
（2）求f(x)的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
3、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
1
数的最大值等于 4 2? ，求该正态分布的概率密度函数 的解析式。
题型二、正态曲线的性质
1、把一个正态曲线 a沿着横轴方向向右移动 2个单位， 得到新的一条曲线 b。下列说法中不正确的是（ ）
A.曲D线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 ;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 a为 概率密度曲线的总体的期望大 2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 a为 概率密度曲线的总体的方差大 2。
3、设随机变量X~N(2,9)，若 P(X>c+1)=p(X<c-1)，则c=____
σ 2π
（4）曲线与 x轴之间的面积为 1
正态曲线的性质
y X=μ ? ? ?? ( x) ?
σ=0.5
1
( x ? ? )2
e? 2? 2
2??
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
12 3 x
（5）当 x<μ时,曲线上升 ;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时 ,以x轴为渐近线 ,向它无限靠近 .
题型三、求正态区间概率
练习
1、已知X~N(1.4,0.052)，求X落在区间 (1.35,1.45)中的概率
2、已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)的概 率和落在区间(3,5)的概率相等，那么这个 正态分布的均值为_____
3、在某项测量中，测量结果X服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0)，若X在区间(0,1)内取值的概 率为0.4，则X在区间(0,2)内取值的概率是 _____
如果把球槽编号 ,就可以考察到底是落在 第几号球槽 中.重复进行高尔顿板试验 ,随着试验次数的增加,掉入 各个球槽内的小球的个 数就 越来越多,堆积的高度也 会越来越高 .各个球 槽的堆积高度反映了小 球掉入各 球槽的个数多少 ?
为了更好地考察随着试 验次数的增加 ,落在在各 个球槽内的小球分布情 况,我们进一步从频率的 角度探究一下小球的分 布规律 .以球槽的编号为 横坐标,以小球落 入各个球槽内的频率值 为纵坐
成绩X~(100,5 2 )，据此估计，大约应有 57人的分
数在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (?? , ? 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量 X~N(0,1),则P(X ? 0)= 0.5 ,
? -a ? +a
正态总体的函数表示式
f (x) ?
1
2? ?
?
e
(x? ? )2 2? 2
x?
(??
,??
)
当μ= 0，σ=1时
标准正态总体 的函数表示式
x2
f (x) ?
1
2?
?
e2
x ? (?? ,?? )
此时，? ~ ?0，1?
标准正态曲线
3.正态分布 密度函数的性质
f (x) ?
1
2? ?
?
e
(x? ? )2
2? 2
x?
(??
,??
)
y
（1）当x = μ 时,函数值为最大 .
1
x=μ
（2）f (x) 的值域为
(0,
]
2? ?
x (3) f (x) 的图象关于 =μ 对称. -3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数. 当x∈（μ，+∞） 时f (x)为减函数.
(6)当μ一定时，曲线的形状由 σ确定 . σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 .
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 。 对称区域面积相等。
S(-? ,-X)
S(X,? )＝S(-? ,-X)
?
正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。
练
归纳小结
1 正态总体函数解析式：
f (x) ?
1
e?
( x? ? )2 2? 2
2? ?
2 正态曲线
x ? (?? ,?? )
μ= -1
y σ=0.5
y
μ=0 σ=1
y μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
正态曲线的性质
1
? ? ?? (x) ?
y
2??
μ= -1
σ=0.5
( x ? ? )2
e? 2? 2
y
μ=0
, x ? (?? ,?? )
y μ=1
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在 x轴的上方，与 x轴不相交 . （2）曲线是单峰的 ,它关于直线 x=μ对称. （3）曲线在 x=μ处达到峰值 (最高点) 1
b
? P(a ? X ? b) ? a ? ? ,? (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b, 随机变量X满足:
b
? P(a ? X ? b) ? a ? ? ,? (x)dx
则称X 服从正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一 确定.正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态 曲线.
归纳小结
3 正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与 x轴不相交.
（2）曲线关于直线 x=μ对称.
（3）曲线在x=μ时位于最高点 .
（4）当 x<μ时，曲线上升；当 x>μ时，曲线下降 . 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线， 向它无限靠近 .
(5)当μ一定时，曲线的形状由 σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 .
2.4 正态分布
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 ? 1
所示的就是一块高尔顿 板示意
图.在一块木板上钉上若干 排相
互平行但相互错开的圆 柱 形小
木块,小木块之间留有适当的 空
隙作为通道 , 前面挡有一块玻璃 . 让一个小球从高尔顿板 上方的
图2.4 ? 1
通道口落下,小球在下落过 程中
与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方 的某一球槽内.
A. f (x) ?
1
(x? ? )2
e 2? 2 , ? ,? (? ? 0)都是实数
2??
B.
f (x) ?
2?
x2 ?
e2
2?
C. f (x) ?
1
( x ? 1)2 ?
e4
2 2?
D. f (x) ?
1
x2
e2
2?
2、标准正态总体的函数为
f (x) ?
1
? x2
e 2 , x ? (?? , ?? ).
积随着? 的减少而变大。这说明 ? 越小, 落在区间
的概率越大，即X集中在 ? 周围概率越大。
(?
?
a,
?
?
a]
特别地有
x=μ P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826,
P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544,
P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.
例2、在某次数学考试中，考生的成绩 ? 服从一个 正态分布，即 ? ~N(90,100). （1）试求考试成绩 ? 位于区间(70,110)上的概率是
多少？
（2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100) 间的考生大约有多少人？
练习：1、已知一次考试共有 60名同学参加，考生的
正态曲线
4、正态曲线的性质
? ? ?? (x) ?
1
( x ? ? )2
e? 2? 2 , x ? (?? , ?? )
2??
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称 的基本特征
标,频可率 以画出频率分布直方 图 ?图2.4 ? 2?.
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 槽的编号
图 2.4 ? 2
随着重复次数的增加 , 这个频率直方图的形状
会越来越像一条钟形曲 线?图2.4 ? 3?.
y
O
1
2??
? (x?? )2
e 2? 2 x? (?? ,?? )
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)为正态密度函 数， f( x) 的图象称为正态曲线
Y
a
bc
d
平均数
X
若用X表示落下的小球第 1次与高尔顿板底部接触时 的坐标,则X是一个随机变量 .X落在区间 (a,b] 的概率为 :
2?
（1）证明f(x)是偶函数；
（2）求f(x)的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
3、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
1
数的最大值等于 4 2? ，求该正态分布的概率密度函数 的解析式。
题型二、正态曲线的性质
1、把一个正态曲线 a沿着横轴方向向右移动 2个单位， 得到新的一条曲线 b。下列说法中不正确的是（ ）
A.曲D线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 ;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 a为 概率密度曲线的总体的期望大 2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 a为 概率密度曲线的总体的方差大 2。
3、设随机变量X~N(2,9)，若 P(X>c+1)=p(X<c-1)，则c=____
σ 2π
（4）曲线与 x轴之间的面积为 1
正态曲线的性质
y X=μ ? ? ?? ( x) ?
σ=0.5
1
( x ? ? )2
e? 2? 2
2??
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
12 3 x
（5）当 x<μ时,曲线上升 ;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时 ,以x轴为渐近线 ,向它无限靠近 .
题型三、求正态区间概率
练习
1、已知X~N(1.4,0.052)，求X落在区间 (1.35,1.45)中的概率
2、已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)的概 率和落在区间(3,5)的概率相等，那么这个 正态分布的均值为_____
3、在某项测量中，测量结果X服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0)，若X在区间(0,1)内取值的概 率为0.4，则X在区间(0,2)内取值的概率是 _____
如果把球槽编号 ,就可以考察到底是落在 第几号球槽 中.重复进行高尔顿板试验 ,随着试验次数的增加,掉入 各个球槽内的小球的个 数就 越来越多,堆积的高度也 会越来越高 .各个球 槽的堆积高度反映了小 球掉入各 球槽的个数多少 ?
为了更好地考察随着试 验次数的增加 ,落在在各 个球槽内的小球分布情 况,我们进一步从频率的 角度探究一下小球的分 布规律 .以球槽的编号为 横坐标,以小球落 入各个球槽内的频率值 为纵坐
成绩X~(100,5 2 )，据此估计，大约应有 57人的分
数在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (?? , ? 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量 X~N(0,1),则P(X ? 0)= 0.5 ,
? -a ? +a