《概率统计教学资料》第4章正态分布1.ppt

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第四章第一讲正态分布及其性质

上侧分位数的计算方法：由定义知 ( u ) 1

u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章第一讲正态分布及其性质
例设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
第四章正态分布
第一讲
正态分布及其性质
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章第一讲正态分布及其性质
第一讲正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布二、标准正态分布三、正态变量的线性组合四、小结
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第四章第一讲正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
解：（ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60

有关正态分布的解释ppt课件

14 12 10
8 6 4 2 0
身高(cm)
某地13岁女孩118人身高. (cm)频数分布图
正态分布图四
身高(cm)
频数分布逐渐接近正态分布示意图 .
正态分布的数理统计学概念：
如果随机变量（X）的概率密度函数为：
f x
1
x2
e 22
-∞＜x＜+∞
2
则该随机变量服从正态分布。
式中σ为总体标准差；μ为总体均数；π
.
u/2
U 2指双侧
U 界值，也称 U 的双侧α分位数。其意义为：从
U 2到 +∞ 这一
侧的面积为 α /2,
从 -U 2 到 -∞ 这
一侧的面积也为 α /2,两侧面积之和为 α 。即在随机
变量 U 的所有取
值
中
， U有
100α
的
值比
大，有
1 0 0 （U 1 - α ）的值
知x ，只知来自该总体的样本的身高均数 = 1 4 4 . 2 9 ( c m ) 和标准差 s = 5 . 4 1 ( c mx) ，由
于样本含量 n= 118 很大，所以可以用和 s估计μ和σ来计算 u值。
.
身高（ X）小于 135(cm)的概率为 : P X x1 135 P U u1
155
144 .29 5.41
1.98
P X x 2 155 P U u 2 P U u 2 1.98 1 1.98 1 0.97615 0.02385
该地 13 岁正常女孩身高在 135 厘米以下者占正常女孩总人数的 4.272%，身高

正态分布ppt课件统计学

详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形，中间高，两侧逐渐降低，对称轴为均值所在直线。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值的概率大小，函数曲线下的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中心位置，所有数据值加起来除以数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象

正态分布完整ppt课件

正态性检验
使用如Shapiro-Wilk检验、Kolmogorov-Smirnov检验等方法，对误差项进行正态性检验，以验证其是否符合正态分布。
方差分析中F分布应用
01 02
F分布的定义
F分布是一种连续型概率分布，常用于方差分析中的假设检验。在方差分析中，通过比较不同组间的方差与组内方差，判断各因素对结果的影响是否显著。
筛选方法
包括单变量分析和多变量分析等，结合临床意义和统计学显著性进行生物标志物的筛选。
社会科学调查数据分析
社会科学调查数据特点
大量、复杂、多维度的数据，往往需要进行统计分析和数据挖掘。
正态分布在社会科学调查数据分析中的应用
通过对调查数据进行正态性检验，选择合适的数据处理和分析方法，如参数检验、回归分析等。
有对称性和单峰性。
性质
对称性：正态分布曲线关于均值对称。
单峰性：正态分布曲线只有一个峰值，位于均值处。
均值、中位数和众数相等。
概率密度函数在均值两侧呈指数下降。
正态曲线特点
01
02
03
04
形状
钟形曲线，中间高，两边低。
对称性
关于均值对称，即左右两侧形状相同。
峰值
位于均值处，且峰值高度由标准差决定。
05
正态分布在金融学领域应用
风险评估及资产组合优化
风险评估
正态分布用于描述金融资产的收益和风险分布，通过计算均值和标准差来评估投资组合的风险水平。
资产组合优化
基于正态分布假设，利用马科维茨投资组合理论等方法，构建最优资产组合以降低风险并提高收益。
VaR（Value at Risk）计算
正态分布用于计算投资组合在一定置信水平下的最大可能损失（VaR），以衡量潜在风险。

正态分布ppt课件

1.已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 N 164, 2 ，若 P X 170 0.3 ，
则 P158 X 1706
D.0.8
解析： P158 X 170 2P164 X 170 2 0.5 P X 170 0.4 .
2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，若 P(X 0) P(X 3) 11 ，则 10 P(2 X 3) ( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，
所以随机变量 X 的均值 1 ，
所以随机变量 X 的密度曲线关于 x 1 对称，所以 P(X 0) P(X 2) ，又 P(X 0) P(X 3) 11 ，
10
所以 P(X 2) P X 2 P(2 X 3) 11 ，
为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为 _____________.
参考数据：若 X N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973
解析：由题意知，该产品服从 X N(25,0.16) ，则 25, 0.4 ，
10
因为 P(X 2) P X 2 1，所以 P(2 X 3) 0.1
3.已知随机变量 X ~ N , 2 ，Y ~ B6, p ,且 P X 3 1 ， E X E Y ,则 2
p ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
解析：由于 X 服从正态分布 N , 2 ,且 P X 3 1 ,故其均值 E X 3 . 2

正态分布分布ppt课件

通过样本数据可以估计总体的均值、方差等参数，进而对总体进行推断和分析。
假设检验
质量控制
在假设检验中，通常需要比较样本数据与某个理论分布的差异，中心极限定理提供了理论依据。
在工业生产等领域中，可以利用中心极限定理对产品质量进行监控和预测。
03
正态分布在各领域应用举例
自然科学领域应用
1 2
描述自然现象的概率分布正态分布可以描述许多自然现象的概率分布情况，如身高、体重、智商等的分布情况。
根据显著性水平和自由度确定t分布的临界值，进而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒绝域进行比较，若t统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
配对样本t检验原理及步骤
01
02
03
04
05
原理：配对样本t检验是提出假设：设立原假设用于比较同一组受试者（H0）和备择假设在两个不同条件下的测（H1），原假设通常为量值是否存在显著差异两个测量值的均值相等。的统计方法。它基于正态分布假设和配对设计，通过计算t统计量来推断两个测量值的差异是否显著。
设立原假设（H0）和备择假设（H1），原假设通常为样本均值等于总体均值。
计算t统计量，公式为t=(样本均值-总体均值)/标准误，其中标准误=样本标准差/根号n。
根据显著性水平和自由度确定t分布的临界值，进而确定拒绝域。
将计算得到的t统计量与拒绝域进行比较，若t统计量落在拒绝域内，则拒绝原假设，否则接受原假设。
06
非参数检验在处理非正态数据时应用
非参数检验方法简介
非参数检验的概念
非参数检验是一种基于数据秩次的统计推断方法，它不依赖于总体分布的具体形式，因此适用于处理非正态数据。

《正态分布》ppt课件

《正态分布》ppt课件
目录
CONTENTS
• 正态分布基本概念 • 正态分布在统计学中应用 • 正态分布在自然科学领域应用 • 正态分布在社会科学领域应用 • 正态分布计算方法及工具介绍 • 正态分布在实际问题中案例分析
01 正态分布基本概念
CHAPTER
定义与性质
定义
对称性
正态分布是一种连续型概率分布，描述了许多自然现象的概率分布情况。在统计学中，正态分布又被称为高斯分布。
系统误差与随机误差
正态分布可以帮助区分系统误差和随机误差。系统误差是由于实验装置或方法本身的缺陷引起的，而随机误差则是由于各种不可控因素引起的。通过正态分布分析，可以对这两类误差进行识别和纠正。
化学中浓度分布规律研究
01
溶液浓度的正态分布
在化学实验中，溶液的浓度分布往往符合正态分布。通过测量不同位置
利用SPSS的图形功能，可以绘制多种统计图表，包括频率分布直方图、正态分布曲线图等。
SPSS提供了丰富的统计分析方法，如参数估计、假设检验、方差分析等，可以根据研究需求选择合适的方法进行分析。
06 正态分布在实际问题中案例分析
CHAPTER
质量控制过程中产品合格率评估
质量控制图
利用正态分布原理，通过绘制质量控制图，可以直观地展示产品质量的波动情况，从而及时发现并处理异常波动，确保产品合格
数据输入与整理
在Excel中输入数据，并进行必要的整理，如删除重复值、处理缺失值等。
使用内置函数计算均值和标准差
Excel提供了丰富的内置函数，可以直接计算数据集的均值（AVERAGE函数）和标准差（STDEV函数）。
绘制图表
利用Excel的图表功能，可以根据数据快速生成频率分布直方图和正态分布曲线图。

《正态分布》教学课件(32张PPT)

x (,) 标准正态曲线 10
正态密度曲线的图像特征
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1
μ= 1
σ=0.5
若固定
, 随值
的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
正态密度曲线的图像特征
μ=0
均数相等、方差不等的正态分布图示
若固定,
=0.5
大时, 曲线矮而胖；
小时, 曲
在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率
等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量X~N(0,1),则P(X 0)= 0.5 ,
120.68260.3413, P ( 6 x 7 ) P ( 5 x 7 ) P ( 5 x 6 )
0 . 4 7 7 2 0 . 3 4 1 3 0 . 1 3 5 9 .
5、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是（）
P(2X2)= 0.9544 .
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
27
4、若X~N(5,1),求P(6<X<7).
解:因为X～N(5,1), 5,1.
又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称 ,P(5x7)1 2P(3x7)1 2P(521x521)
120.95440.4772, P(5x6)1 2P(4x6)
μ= -1
y σ=0.5

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(3) (3) 2(3) 1
F(x)
0.9974
20.99871
0.9974.
X的取值几乎都落入以为中心，以3为半径的区间内
X 3
3
3 是小概率事件
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15
P( X ) 2(1) 1 20.84131 68.26% P( 2 X 2 ) 2(2) 1 20.97721 95.44%. P( 3 X 3 ) 2(3) 1 20.99871 99.74%.
7
性质1 (线性性)
若 X ~ N(, 2 ), 则 Y aX b ~ N(aμ b, (aσ)2 ). (a 0)
证：Y的分布函数为
FY ( y) P(Y y) P(aX b y)
①当a>0，有
FY ( y) P(X
y
a
b
)
FX
(
y
a
b
)
上式两边关于y求导，得
fY ( y)
2
(2) ()
1
x2
e 2 dx 1,
2
(3) Φ(x) 1 Φ(x).
Φ(x)
x o
x
x
分布函数 (x)不是初等函数,但它是一个应用非常广泛
的重要分布,一般都将 (x) 的函数值编成表, 见书本末的附录2,该表给出了 x 0 时 (x) 的数值.
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5
[例1]已知 N (0,1), 求1) P( 0.2); 2) P( 1.5) 解 :1) P( 0.2) P(0.2 0.2) (0.2) (0.2)
特别地,当 0, 1时, X ~ N (0, 1), 则称N(0,1)
为标准正态分布, 其概率密度为
(x)
且其分布函数：
1
x2
e 2 , x .
2π
y
Φ(x) 1
t2
e 2 dt .
2π
(x)
ox
x
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4
标准正态分布函数Φ( x)的性质： y
(1) (0) 1 ;
0.1
0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753
0.2
0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141
0.3
0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6386 0.6404 0.6443 0.6480 0.6517
f最大（）
2
1
2
μ,σ对密度曲线的影响
相同，不同
图形相似，位置平移
１
1 21 1 22
2
1 0.75
不同，相同
2 1.25 越小，图形越陡；
越大，图形越平缓
3倍标准差原理: ( 3σ法则)
设 X ~ N (, 2 ), 求X落在( 3 , 3 ) 内的概率.
解:P( 3 X 3 ) ( 3 ) ( 3 )
(
X
,Y
)
~
N
(1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
其中1，2,1 0, 2 0, (| | 1)是分布参数.
2020/10/9
20
结论1 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布
N
(1
,
2
,
12
,
2 2
,
),则X与Y的边缘分布都是
正态分布，且无论参数(| | 1)为何值，都有
X
~
N (1,12 ),
17
推广到更一般的结论。性质3 线性组合性.
设X1, X 2 ,, X n
相互独立，X i
~
N
(
i
,
2 i
),
i 1,2,, n,
则对于任意不全为零的常数 C1, C2,, Cn，有
U C1X1 C2 X2 Cn Xn
~ N (C1 μ1 C2 μ2 Cn μn , C12σ12 C22σ22 Cn2σn2 ). 系特别设地随，机取变C量1 X1C, 2X2,,XCnn相互1n独立，且服从同一分布N (, 2 ),
2
奇函数
1
t2 =1
e 2 dt
t2
te 2 dt
2
2
0 μ
2020/10/9
11
2.方差D(X) D( X ) E[ X E( X )]2
1
(
x
μ)2e
(
x μ )2 2σ2
dx,
2πσ
设 t x μ , dx dt,
则
σ
2
t
e2
t2 2
dt
2
[
t2
(t)de 2 ]
10
( x 440)
10
0.9,
经查表
x
440 10
1.28,
x 452.8分.
2020/10/9
10
二、正态分布的数字特征
1.期望E(X) 解： E( X )
1
xe
(x μ) 2σ 2
2
dx
2πσ
设 t x μ , dx dt, 则
σ
E( X ) 1
（
t）e
t2 2
dt
1.6
0.9452 0.9436 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545
1.7
0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633
2020/10/9
2020/10/9
2
一、正态分布的定义
1. 正态分布 ( Normal distribution )
定义. 设随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
xμ 2σ 2
)2
,
x
,
2πσ
其中 0, , 为常数, 则称X服从正态分布
或高斯分布 ), 记作 X ~ N (, 2 ).
2020/10/9
3
2. 标准正态分布
1.3
0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177
1.4
0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319
1.5
0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441
1 a
f
X
(
y
a
b
)
1
e , [
y
(a b)]2 2(a2 2 )
2 a
(2) 当a<0，有
yb
FY ( y) P( X
) a
fY
(
y)
1 a
f
X
(
y
a
b
)
1 P(X 1
y b) a [ y(a b)]2
1
FX
(
y
a
b
)
e . 2(a2 2 )
2 (a)
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8
特别地，若X ~ N(, 2),则得将X标准化的随机变量
3 2 2 3
| 68.26% |
| |
95.44% |
99.74%
|
2020/10/9
16
性质2 可加性.
设X
~ N (1, 12 ),
Y
~
N
(2
,
2 2
),
且X与Y相互独立,
则
Z
X
Y
~
N( μ1
μ2 ,
σ12
σ
2 2
).
证明：特殊地设X和Y相互独立, 且都服从N(0,1)
(0.2) (1 (0.2)) 2(0.2) 1 20.57931 0.1586
2) P( 1.5) 1 P( 1.5) 1 2(1.5) 1
2[1 (1.5)] 0.1336
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6
u
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.0
0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359
则Z=X+Y的概率密度为
1(x2 (zx)2 )
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x)dx
1 2
e
2
dx
z2 (x z )2
1 2
e
4
e
2 dx
(x z )2
e 2 dx
2
1 2
z2
z2
fZ
(z)
1 2
e
4
1 e 4 2
z2
2
e 1
2 2
2 2
即Z服从N(0,2).
2020/10/9
0.7
0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7703 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852
0.8
0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133