(完整版)全等三角形判定经典

11.2三角形全等的判定

C D

（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS ”。表示

方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DE

AC DF BC EF =??

=??=?

， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）。

例1. 如图所示，AB ＝CD ，AC ＝DB 。求证：△ABC ≌△DCB 。

A B

分析：由已知可得AB ＝CD ，AC ＝DB ，又因为BC 是两个三角形的公共边，所以根据SSS 可得出△ABC ≌△DCB 。

证明：在△ABC 和△DCB 中，

∵???AB ＝CD AC ＝DB BC ＝CB

，

∴△ABC ≌△DCB （SSS ）

评析：证明格式：①点明要证明的两个三角形；②列举两个三角形全等的条件（注意写在前面的三角形，条件也放在前面），用大括号括起来；③条件按照“SSS ”顺序排序；④得出结论，并把判断的依据注在后面。

“ASA ”。表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，B E BC EF C F ∠=∠??

=??∠=∠?

， ∴△ABC ≌△DEF （ASA ）。

例2. 如图所示，AB ∥CD ，AF ∥DE ，BE ＝CF ，求证：AB ＝CD 。

分析：要证明AB ＝CD ，由于AB 、CD 分别是△ABF 和△DCE 的边，可尝试证明△ABF ≌△DCE ，由已知易证：∠B ＝∠C ，∠AFB ＝∠DEC ，下面只需证明有一边对应相等即可。事实上，由BE ＝CF 可证得BF ＝CE ，由ASA 即可证明两三角形全等。证明：∵AB ∥CD ，

∴∠B ＝∠C （两直线平行，内错角相等）又∵AF ∥DE ，∴∠AFC ＝∠DEB （同上） ∴∠AFB ＝∠CED （等角的补角相等）

又∵BE ＝CF ，∴BE －EF ＝CF －EF ，即BF ＝CE 在△ABF 和△DCE 中，

()()

()B C BF CE AFB CED ∠=∠??

=??∠=∠?

已证已证已证

∴△ABF ≌△DCE （ASA ）

∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）

角边”或“AAS ”。表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，A D B E BC EF ∠=∠??

∠=∠??=?

，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）。

例3. 如图所示，R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CD 于D ，BF ⊥CD 于F ，AB 交CD 于E ，求证：AD ＝BF －DF 。

E F

分析：要证AD ＝BF －DF ，观察图形可得CF ＝CD －DF ，只需证明CF ＝AD ，CD ＝BF 即可，也就是要证明△CFB ≌△ADC 。由已知BC ＝AC ，∠CFB ＝∠ADC ＝90°，只要再证明有一个锐角对应相等即可，由BF ⊥CD ，∠ACB ＝90°，易证得∠CBF ＝∠ACD ，问题便得到证明。

证明：∵∠ACB ＝90°，BF ⊥CD

∴∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∠CBF ＋∠BCD ＝90° ∴∠CBF ＝∠ACD （同角的余角相等）又∵AD ⊥CD ，∴∠CFB ＝∠ADC ＝90°

在△CFB 和△ADC 中，CBF ACD CFB ADC BC AC ∠=∠??

∠=∠??=?

（已知） ∴△CFB ≌△ADC （AAS ）

∴CF ＝AD ，BF ＝CD （全等三角形的对应边相等）又∵CF ＝CD －DF ∴AD ＝BF －DF

评析：由条件AC ＝BC 和垂直关系可得，AC 、BC 为两个直角三角形的斜边，还需要一对角相等即可用AAS 证三角形全等；由条件可用余角性质转换角度证明角相等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”。

表示方法：如图所示，在△ABC 和△DEF 中，AB DE

B E B

C EF =??

∠=∠??=?

，∴△ABC ≌△DEF

（SAS ）。

例4. 已知：如图所示，AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF ，

＝CF 。求证：AC ∥DF 。

E F

分析：欲证AC ∥DF ，可通过证明∠ACB ＝∠F ，由平行线的判定定理即可得证。而∠ACB 与∠F 分别是△ABC 和△DEF 的内角，所以应先证明△ABC ≌△DEF 。由BE ＝CF 易得BC ＝EF ，再结合已知条件AB ＝DE ，∠B ＝∠DEF 即可达到目的。

证明：∵BE ＝CF ，

∴BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF 。

在△ABC 和△DEF 中，AB DE ABC DEF BC EF =??

∠=∠??=?

， ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。 ∴∠ACB ＝∠F 。 ∴AC ∥DF 。

评析：通过证明两个三角形全等可以提供角相等、线段相等，进而解决其它问题。这里大括号中的条件按照“SAS ”顺序排列

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。表示方法：如图所示，在R t△ABC和R t△DEF中，∵AB＝DE，

BC＝EF，∴R t△ABC≌R t△DEF（HL）。

A B C

D E F

注意：①三角形全等的判定方法中有一个必要条件是：有一组对应边相等。

②两边及其中一边的对角对应相等的情况，可以画图实验，如下图，在△ABC 和△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，显然它们不全等。③三个角对应相等的两个三角形不一定全等，如两个大小一样的等边三角形。

例5. 如图所示，R t △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AM 上运动。问点P 运动到AC 上什么位置时，△ABC 才能和△PQA 全等？

分析：要使△ABC 与△PQA 全等，由于∠C ＝∠PAQ ＝90°，PQ ＝AB ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA ，由HL 即可知道它们全等，从而容易确定P 点的位置。解：由题意可知，∠C ＝∠PAQ ＝90°，又AB ＝PQ ，要使△ABC ≌△PQA ，则只需AP ＝CB 或AP ＝CA 即可，

从而当点P 运动至AP ＝5cm ，即AC 中点时，△ABC ≌△QPA ；或点P 与点C 重合时，即AP ＝CA ＝10cm 时，△ABC ≌△PQA 。

评析：要证某两个三角形全等，但缺少条件，要求把缺少的条件探索出来。解决这类题要从结论出发，借助相关的几何知识，探讨出使结论成立所需的条件，从而使问题得以解决。本题中涉及到分类讨论的思想，要求同学们分析思考问题要全面，把各种情况都考虑到。

例6. 如图，△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，A 、B 、D 三点在同一直线上，连结CD 、AE ，并延长AE 交CD 于F 。（1）求证：△ABE ≌△CBD 。

（2）直线AE 与CD 互相垂直吗？请证明你的结论。

分析：根据已知条件易得AB ＝BC ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90°正好是△ABE 和△CBD 全等的条件。对于AE 与CD 垂直关系的证明需要推证出∠CFA ＝90°。证明：（1）∵△ABC 和△EBD 都是等腰直角三角形，

∴AB ＝CB ，BE ＝BD ，∠ABC ＝∠CBD ＝90° ∴△ABE ≌△CBD （SSA ）（2）AE ⊥CD ，

∵在△ABE 和△CEF 中，∠EAB ＝∠ECF ，∠AEB ＝∠CEF ，且∠ABE ＝90°，

∴∠ECF ＋∠CEF ＝∠EAB ＋∠AEB

∴∠ECF ＋∠CEF ＝180°－（∠EAB ＋∠AEB ）即∠AFC ＝∠ABE ＝90°

∴AE ⊥CD 。

评析：利用已知，结合图形探索三角形全等的条件，逐步分析解决问题，把握解题思路。

A B C

F D

拓展提高

1.(07北京中考)我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，1

DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且

DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明

你的结论．

1. 解：

（1）平行四边形、等腰梯形等满足条件的即可. （2）与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ）四边形DBCE 是等对边四边形. （3）此时存在等对边四边形DBCE.

证明1：如图，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 的延长线于F 点. ∵∠DCB=∠EBC=

∠A ，BC 为公共边 ∴△BGC ≌△CFB ∴BF=CG

∵∠BDF=∠ABC+∠DCB=∠ABE+∠EBC+∠DCB=∠ABE+∠A ∠GEC=∠ABE+∠A ∴△BDF ≌△CEG ∴BD=CE

故四边形DBCE 是等对边四边形。

证明2：如图，在BE 上取一点F ，使得BF=CD ，连接CF.

易证△BCD ≌△CBF ，故BD=CF ，∠FCB=∠DBC.

∵∠CFE=∠FCB+∠CBF=∠DBC+∠CBF=∠ABE+2∠CBF=∠ABE+∠A ∠CEF=∠ABE+∠A ∴CF=CE ∴BF=CE

故四边形DBCE 是等对边四边形.

B C

D E

N P

2.(09宣武一模)已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）．

（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结EN ，并判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由；

（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M 在点C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

（第23题图1）（第23题图2）

（第23题图3） 2．解：（1）判断： EN=MF ，点F 在直线NE 上．

证明：如答图1,连结DE 、DF 、EF ．

∵△ABC

是等边三角形， ∴AB=AC=BC ．又∵D 、E 、F 是三边的中点， ∴DE 、DF 、EF 为△ABC 的中位线． ∴DE=DF=EF ，∴∠FDE=∠DFE ＝60°． ∵△DMN 是等边三角形， ∴∠MDN ＝60°，DM=DN ．

∴∠FDE ＋∠NDF=∠MDN+∠NDF ， ∴∠MDF=∠NDE ．

在△DMF 和△DNE 中，DF=DE ，∠MDF=∠NDE ， DM=DN ，（第23题答图1）

∴△DMF ≌△DNE ． ∴MF=NE ．设EN 与BC 交点为P ，连结NF ．

由△ABC 是等边三角形且D 、F 分别是AB 、BC 的中点可得△DBF 是等边三角形， ∴∠MDN=∠BDF ＝60°,

B C D E

∴∠MDN －∠BDN =∠BDF －∠BDN ，即∠MDB=∠NDF. 在△DMB 和△DNF 中，DM=DN ，∠MDB=∠NDF ，DB=DF ， ∴△DMB ≌△DNF ． ∴∠DBM=∠DFN ． ∵∠ABC =60°， ∴∠DBM =120°，

∴∠NFD =120°. （第23题答图2）

∴∠NFD+∠DFE =120°+60°=180°.

∴N 、F 、E 三点共线，∴F 与P 重合，F 在直线NE 上．…………………………………………4分

（2）成立。

证明：如答图2，连结DE 、DF 、EF ． ∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC=BC ．又∵D ，E ，F 是三边的中点， ∴DE ，DF ，EF 为△ABC 的中位线． ∴DE=DF=EF ，∠FDE=60°．又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°， ∴∠MDF=∠NDE ．

在△DMF 和△DNE 中，DF=DE ， ∠MDF=∠NDE ， DM=DN ，

∴△DMF ≌△DNE ． ∴MF=NE ．……………… 6分

（3） MF=NE 仍成立． ……………………………………7分（第23题答图

3.(09崇文一模)在等边ABC D 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为

ABC V 外一点，且60MDN

°?,120BDC °? ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直

线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN D 的周长Q 与等边ABC D 的周长L 的关系．

图1 图2 图3

（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是___________；此时

=__________；（II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM 1DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

（III ）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q=________（用x 、L 表示）．

3.解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．

此时

=L Q ．（II ）猜想：结论仍然成立．

证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．

ΘCD BD =,且ο120=∠BDC ．∴ο30=∠=∠DCB DBC ．

又ABC ?是等边三角形，

∴90MBD NCD ∠=∠=o ．

在MBD ?与ECD ?中：

??=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴??MBD ECD ?(SAS) ．

∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠

∴ο60=∠-∠=∠MDN BDC EDN

在MDN ?与EDN ?中：

??=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴??MDN EDN ?(SAS) ∴MN=NE=NC+BM

AMN ?的周长Q=AM+AN+MN

=AM+AN+(NC+BM)

=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB

而等边ABC ?的周长L=3AB

∴

232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，

则Q= 2x +

L 3

（用x 、L 表示）

．

课堂试题（答题时间：60分钟）一. 选择题

1. 下列条件不能判定两个三角形全等的是（） A. 有两边和夹角对应相等 B. 有三边分别对应相等 C. 有两边和一角对应相等 D. 有两角和一边对应相等

2. 下列条件能判定两个三角形全等的是（） A. 有三个角相等 B. 有一条边和一个角相等 C. 有一条边和一个角相等 D. 有一条边和两个角相等

3. 如图所示，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，那么图中共有全等三角形（）

A. 1对

B. 2对

C. 4对

D. 8对

4. 如图所示，已知∠A ＝∠D ，∠1＝∠2，那么要得到△ABC ≌△DEF ，还应给出的条件是（）

A. ∠E ＝∠B

B. ED ＝BC

C. AB ＝EF

D. AF ＝CD

5. 如图所示，点E 在△ABC 外部，点D 在BC 边上，DE 交AC 于F ，若∠1＝∠2，∠E ＝∠C ，AE ＝AC ，则（） A. △ABC ≌△AFE B . △AFE ≌△ADC

C. △AFE ≌△DFC

D. △ABC ≌△ADE

6. 我们学过的判定两个直角三角形全等的条件，有（） A. 5种 B. 4种 C. 3种 D. 2种

7. 如图所示，AB ∥EF ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝DC ，那么图中的全等三角形有（） A. 1对 B. 2对

C. 3对

D. 4对

8. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BC ＝6cm ，则BD 的值（）

A. 1cm

B. 2cm

C. 3cm

D. 4cm

A B C

E 12第4题

F A

C D

E 12

3第5题F A B

D E F A B

D 第8题

B C

D O 第3题

9. 如图所示，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AE ＝AF ，则下列结论成立的是（）

A. BD ＝CD

B. DE ＝DF

C. ∠B ＝∠C

D. AB ＝AC

二. 填空题

10. 如图所示，AC ∥BD ，AC ＝BD ，那么__________，理由是__________.

11. 已知△ABC ≌△A'B'C'，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，AC ＝9cm ，∠A'＝70°，∠B'＝80°，则A'B'＝__________，B'C'＝__________，A'C'＝__________ ∠C'＝__________，∠C ＝__________.

12. 如图所示，已知AB ＝AC ，在△ABD 与△ACD 中，要使△ABD ≌△ACD ，还需要再添加一个条件是____________________.

13. 如图所示，已知△ABC ≌△DEF ，AB ＝4cm ，BC ＝6cm ，AC ＝5cm ，CF ＝2cm ，∠A ＝70°，∠B ＝65°，则∠D ＝__________，∠F ＝__________， DE ＝__________，BE ＝__________.

14. 如图，点D 、E 分别在线段AB 、AC 上，BE 、CD 相交于点O ，AE ＝AD ，要使△ABE ≌△ACD ，需添加一个条件是__________（只要求写一个条件）.

C D

第9题

A B

第10题

B C D

第12题

15. 如图，AC 、BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，请你再补充一个条件，使得△AOB ≌△DOC ，你补充的条件是__________.

三. 解答题

16. 已知：如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，求证：AC ＝AD.

17. 如图，A 、E 、B 、D 在同一直线上，在△

ABC 和△DEF 中，AB ＝DE ，AC ＝DF ，AC ∥DF. （1）求证：△ABC ≌△DEF ；（2）你还可以得到的结论是__________（写出一个即可，不再添加其他线段，不再标注或使用其它字母）

18. 你一定玩过跷跷板吧！如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图，横板绕它的中点O 上下转动，立柱OC 与地面垂直. 当一方着地时，另一方上升到最高点. 问：在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度AA'、BB'有何数量关系？为什么？

A B

C D

A B

D E

19. MN 、PQ 是校园里的两条互相垂直的小路，小强和小明分别站在距交叉口C 等距离的B 、E 两处，这时他们分别从B 、E 两点按同一速度沿直线行走，如图所示，经过一段时间后，同时到达A 、D 两点，他们的行走路线AB 、DE 平行吗？请说明你的理由.

20. 有一块不规则的鱼池，下面是两位同学分别设计的

能够粗略地测量出鱼池两端A 、B 的距离的方案，请你分析一下两种方案的理由.

方案一：小明想出了这样一个方法，如图①所示，先在AB 的垂线BF 上取两点C 、D ，使CD ＝BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A 、C 、E 在同一条直线上，测得DE 的长就是AB 的长. 你能说明一下这是为什么吗？

方案二：小军想出了这样一个方法，如图②所示，先在平地上取一个可以直接到达鱼池两端A 、B 的点C ，连结AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连结BC 并延长到E ，使CE ＝CB ，连结DE ，量出DE 的长，这个长就是A 、B 之间的距离. 你能说明一下这是为什么吗？

C O

A B'

B M P Q A B C

①

A B ②

C E

课堂试题答案

1. C

2. D

3. C

4. D

5. D

6. A

7. C

8. C

9. B

10. △AOC≌△BOD；AAS或ASA

11. 6cm7cm9cm30°30°

12. BD＝CD或∠BAD＝∠CAD

13. 70°45°4cm2cm

14. ∠B＝∠C、∠AEB＝∠ADC、∠CEO＝∠BDO、AB＝AC、BD＝CE（任选一个即可）

15. AO＝DO或AB＝DC或BO＝CO

16. 证△ACB≌△ADB

17. （1）证明：∵AC∥DF，∴∠A＝∠D，在△ABC和△DEF中

AB DE

A D AC DF

∠=∠

?，

∴△ABC≌△DEF（SAS）

（2）答案不唯一，如：AE＝DB，∠C＝∠F，BC∥EF等.

18. 答：AA'＝BB'，证△AA'O≌△BB'O

19. 平行. 理由如下：

由已知条件得，AB＝DE，BC＝CE，

在Rt△ABC和Rt△DCE中，AB=DE

BC=CE

∴Rt△ABC≌Rt△DCE（HL），∴∠ABC＝∠DEC，∴AB∥DE.

20.小明的做法有道理，

其理由如下：因为AB⊥BF，DE⊥BF，

所以∠ABC＝∠EDC，又因为A、C、E三点在同一条直线上，所以∠ACB＝∠ECD，且BC＝DC，

所以△ABC≌△EDC（ASA），

所以AB＝DE（全等三角形的对应边相等）.

小军的做法有道理，

其理由如下：因为在△ABC和△DCE中，

CD＝CA，∠ACB＝∠DCE（对顶角相等），CE＝BC，

所以△ABC≌△DEC（SAS），

所以AB＝DE（全等三角形的对应边相等）.

全等三角形的性质及判定(讲义)

全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________，对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A

全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEF ABC? ?与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．如图，在ABC ?和DEF ?中 ? ? ? ? ? = = = DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B与点D是对应点， ? = ∠26 BAC，且? = ∠20 B，1 = ?ABC S，求 A C D D C A D∠ ∠ ∠, ,的度数及ACD ?的面积．例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A5 , 9 , 50= = ? = ∠，求EDF ∠的度数及CF的长． A D

例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF

1全等三角形判定一(SSS,SAS)(基础)知识讲解

全等三角形判定一（SSS ，SAS ）（基础）【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边” 全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边” 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ''A B ，∠A ＝∠'A ，AC ＝ ''A C ，则△ABC ≌△'''A B C . 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC 与△ABD 中，AB ＝AB ，AC ＝AD ，∠B ＝∠B ，但△ABC 与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．

【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等. 【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知）， ∴PM ＝QM 在△RPM 和△RQM 中， ()(),, RP RQ PM QM RM RM ?=?=??=? 已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）． ∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ. 【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定. 类型二、全等三角形的判定2——“边角边” 2、（2016?泉州）如图，△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点E 在AB 上．求证：△CDA ≌△CEB ．【思路点拨】根据等腰直角三角形的性质得出CE=CD ，BC=AC ，再利用全等三角形的判定证明即可．【答案与解析】证明：∵△ABC 、△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CE=CD ，BC=AC ， ∴∠ACB ﹣∠ACE=∠DCE ﹣∠ACE ， ∴∠ECB=∠DCA ，在△CDA 与△CEB 中， ∴△CDA ≌△CEB ．

全等三角形的性质及判定

板块考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求全等三角形的性质及判定会识别全等三角形掌握全等三角形的概念、判定和性质，会用全等三角形的性质和判定解决简单问题会运用全等三角形的性质和判定解决有关问题全等三角形的认识与性质全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ．这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．知识点睛中考要求第一讲全等三角形的性质及判定

A' B' C' D' E' E D C B A 全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等．全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．重、难点

全等三角形概念与性质

全等三角形概念与性质第一部分：知识点回顾 1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。 2.全等三角形的性质：（1）全等三角形对应边相等（2）全等三角形对应角相等如上图：△ABC和△A1B1C1是全等三角形，记作△ABC≌△A1B1C1，符号“≌”表示全等，读作“全等于”. 其中，AB=A1 B1、AC=A1C1、BC=B1C1；∠A=∠A1、∠B=∠B1、∠C=∠C1. 补充：（1）全等三角形面积相等、周长相等；（2）全等三角形对应线段（高、角平分线、中线）相等；（3）翻折、平移、旋转前后的三角形全等第二部分：例题剖析例1、如图4，△ABC≌△ADE，∠E和∠C是对应角，AB与AD是对应边，写出另外两组对应边和对应角；分析：由已知△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD，得点C与点E，点B与点D为对应点，然后根据全等三角形的性质可得答案。解：∵△ABC≌△ADE，∠C=∠E，AB=AD， ∴AC=AE，BC=DE； ∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D．点评：本题考查了全等三角形的性质；解题用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等，应注意各对应顶点应在同一位置．根据对应角对的边是对应边，对应边对的角是对应角解题是正确解答本题的关键．例2、若△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,则DF长是多少？分析：由△ABC的周长为20，AB＝5，BC＝8,可求出边AC的长度，再根据全等三角形对应边相等，求出边DF的长。解：∵△ABC的周长为20，AB=5，BC=8， ∴AC=20-5-8=7， ∵△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=7．

全等三角形的性质及判定(习题)

全等三角形的性质及判定（习题） ? 例题示范例1：已知：如图，C 为AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ．求证：△ACD ≌△CBE ．【思路分析】 ① 读题标注： A B C D E ② 梳理思路：要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等．由已知得，CD =BE ；根据条件C 为AB 中点，得AC =CB ；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的夹角．由条件CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ．发现两边及其夹角相等，因此由SAS 可证两三角形全等．【过程书写】先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应．证明：如图 ∵C 为AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中 AC CB ACD B CD BE =?? ∠=∠??=? （已证）（已证）（已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ） ? 巩固练习 1. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论： ①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． E D C B A

其中正确的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 E D B A 2 1 F E D C B A 第1题图第2题图 2. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 3. 如图，D 是线段AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角形是_______________，理由是_________． H G F E D C B A E C B A 第3题图第4题图 4. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________． 5. 如图，将两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，使AA'，BB'可以绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B'的长等于内槽宽AB ．其中判定△OAB ≌△OA'B'的理由是（） A ．SAS B ．ASA C ．SSS D ．AAS

全等三角形的性质和判定教案

卓尔教育教师教学辅导教案编号：授课教师日期时间学生年级科目课题全等三角形的性质和判定教学目标1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 教学重难点三角形判定的应用课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□ 建议：___________________________________________________ 教学过程【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；

全等三角形的判定与性质专题训练

全等三角形判定与性质专题训练一、全等三角形实际应用问题 1如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过B点的AB的垂线L上取两点C、D，使CD=BC，再在过D点的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，ED=AB这时，测ED的长就得AB得长，判定△ACB≌△ECD的理由是（） A. SAS B. ASA C. SSS D .AAS 2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（） A．PO B．PQ C．MO D．MQ

3、如图所示，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使A A′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A、SSS B、SAS C、ASA D、HL 4、如图：工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（） A、SSS B、SAS C、ASA D、HL

5、如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则这两个滑梯与地面的夹角∠ABC+∠DFE= 度 6、如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是：( ) A 、带①去， B 、带②去 C 、带③去 D 、①②③都带去

二、证两次全等相关问题 1：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: CF＝DF

全等三角形判定方法四种方法”_

三角形全等的条件（一）学习要求 1 ?理解和掌握全等三角形判定方法 1―― “边边边”， 2?能把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等. 课堂学习检测一、填空题 1 ?判断 ____ 的 _____ 叫做证明三角形全等. 2?全等三角形判定方法 1―― “边边边”（即 ________ ）指的是 _____ 3?由全等三角形判定方法 1―― “边边边”可以得出：当三角形的三边长度一定时，这个三角形的 _____ 也就确定了. 在厶 ______ 和厶 ______ 中， RP RQ(已知), PM _______ , _____ _______ (), 二 _____ 也 ______ ( )? / PRM = _______ ( ______ ) ? 即RM ? 5. 已知：如图 2 — 2, AB = DE , AC = DF , BE = CF. 求证：/ A =Z D . 4. 已知：求只要证_ 证明：如图 2 —〔，△ RPQ 中， RM 平分/ PRQ . 要证 RM 平分/ PRQ ，即/ PRM = M 为PQ 的中点（已知），

分析：要证/ A =Z D，只要证_________ 也 ______ 证明：??? BE = CF ( ), 二BC = ____ . 在厶ABC和厶DEF中， AB _______ , BC _______ , AC _______ , 二 _____ 也______ ( ). ???/ A=Z D ( __________ ). 6. 如图2- 3, CE = DE, EA = EB, CA = DB , 求证：△ ABCBAD . 证明：??? CE= DE , EA= EB, ? _____ + _______ = _______ + 即 _____ = _______ . 在厶ABC和厶BAD中， = ______ (已知)， _____ _______ (已知), (已证), _____ ( ), ? △ ABC◎△ BAD ( ). 综合、运用、诊断一、解答题 7. 已知：如图2 —4, AD = BC . AC= BD .试证明：/ CAD = /DBC . &画一画. 已知：如图2 —5,线段a、b、c . 求作：△ ABC，使得BC = a, AC= b, AB = c .

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1

三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（）或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A

【AAA】全等三角形的判定常考典型例题及练习.doc

全等三角形的判定一、知识点复习在△ABC 和△DEF 中 ② 在△ABC 和△DEF 中 ③AAS ）

HL ）在△ABC 和△DEF 中一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗？比如说“SSA ”、“AAA ”能成为判定两个三角形全等的条件吗？二、常考典型例题分析第一部分：基础巩固 1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（） A ．两边一角对应相等 B ．两角一边对应相等 C ．直角边和一个锐角对应相等 D ．三边对应相等 2.如图，点D ，E 分别在线段AB ，AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB=AC ，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE ≌△ACD （） A.∠B=∠CB ．AD=AEC ．BD=CED ．BE=CD 3.下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（）

A ．甲和乙 B ．乙和丙 C ．甲和丙 D ．只有丙 4.如图，E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB=CF ，∠A=∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF 的是（） A ．AB=DE B ．DF ∥AC C ．∠E=∠ABC D ．AB ∥DE 5.如图，已知∠ABC=∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（） A ．∠A=∠D B ．AB=DC C ．∠ACB=∠DBC D ．AC=BD 6.如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线OC ，作法用得的三角形全等的判定方法是（） A ．SAS B ．SSS C ．ASA D ．HL 第二部分：考点讲解考点1：利用“SAS ”判定两个三角形全等 1.如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ． 2.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．求证：△ABD ≌△ACE ．考点2：利用“SAS ”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题 3.已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE ，求证：FEC CBF ∠=∠ 考点3:利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题 4.有一座小山，现要在小山A 、B 的两端开一条隧道，施工队要知道A 、B 两端的距离，于是先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD=CA ，连接BC 并延长到E ，使CE=CB ，连接DE ，那么量出DE 的长，就是A 、B 的距离，你能说说其中的道理吗?

全等三角形的性质和判定

全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC ≌△DEF ，其中点A 和点D ，点B 和点E ，点C 和点F 是对应顶点；AB 和DE ，BC 和EF ，AC 和DF 是对应边；∠A 和∠D ，∠B 和∠E ，∠C 和∠F 是对应角. 要点三、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等. （要点四、全等三角形的判定（SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ）全等三角形判定一（SSS ，SAS ）全等三角形判定1——“边边边” 三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）. 要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C . 要点二、全等三角形判定2——“边角边” 《 1. 全等三角形判定2——“边角边”

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝'' A B，∠A＝∠'A，AC ＝'' A C，则△ABC ≌△''' A B C. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ ABC与△ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边” 1、已知：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M 为PQ的中点．求证：RM平分∠PRQ．）证明：∵M为PQ的中点（已知）， ∴PM＝QM 在△RPM和△RQM中， () (), , RP RQ PM QM RM RM ?= ? = ? ?= ? 已知公共边 ∴△RPM≌△RQM（SSS）． ∴∠PRM＝∠QRM（全等三角形对应角相等）．即RM平分∠PRQ.

全等三角形的概念及性质

人教版八年级上册第十二章 12.1《全等三角形》教案一.学习目标： 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2．了解全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边，对应顶点。二.学习重点：全等三角形的性质．学习难点：找全等三角形的对应边、对应角．对应顶点三.学习指导：认真看课本31----32页，然后回答下列问题。四.学习过程一. 新课引入 1.多媒体展示生活中的图片小组讨论： (1)从上面的几组图片中你有什么发现? (2)你能再举出生活中的一些类似例子吗? 二.合作探究 1、全等形、全等三角形的有关概念（1）观察思考：每组中的两个图形有什么特点？（形状，大小 .）

② （2）请再举出类似的例子（至少3个）. （3）由此，你发现上述图形的共同特征是：完全相同——放在一起能够（4）归纳概念：叫做全等形. 类似的，叫做全等三角形. 2. 对应顶点，对应边和对应角用半透明的纸描绘下图中左边的△ABC ，然后按要求在三个图中依次操作．体验“平移、翻折、旋转前后的两个图形全等”．你发现变换前后的两个三角形有什么关系？结论：一个图形经过平移、翻折、旋转后，变化了，但、都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形。（1）把两个全等三角形重合在一起，叫做对应顶点，叫做对应边，叫做对应角. （2）△ABC 与△DEF 全等，记作△ABC △DEF,读作△ABC △DEF.（注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置.） 3、全等三角形的性质（1）把你自制的一对全等三角形纸片重合，你发现对应边、对应角有什么关系？（2）全等三角形的性质. 全等三角形的相等；全等三角形的相等（3）如图，△ABC 与△ADC 全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角. C A 4、确定全等三角形的对应边、对应角

全等三角形的判定复习与总结(教案)

A D B B D C 全等三角形的判定全等三角形复习 [知识要点] 一、全等三角形 1．判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ）具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ???????? ? ?? ?????? ????? ??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 二、例题讲解例1.（SSS ）如图，已知AB=AD ，CB=CD,那么∠B=∠D 吗？为什么？分析：要证明∠B=∠D ，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接 AC 边即可构造全等三角形。解：相等。理由：连接AC ，在△ABC 和△ADC 中，??? ??===AC AC CD CB AD AB ∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠B=∠D （全等三角形的对应角相等）点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。例2.（SSS ）如图，△ABC 是一个风筝架，AB=AC,AD 是连接A 与BC 中点D 的支架，证明：AD ⊥BC.分析：要证AD ⊥BC ，根据垂直定义，需证∠ADB=∠ADC,而∠ADB=∠ADC 可由△ABD ≌△ACD 求得。证明： D 是BC 的中点，∴BD=CD 在△ABD 与△ACD 中，?? ? ??===AD AD CD BD AC AB C

全等三角形判定公开课教案

三角形全等的判定—边角边公开课教案授课教师：乐山市市中区关庙中学雷万建一、背景介绍与教学资料本教材强调直观和操作，在观察中学会分析，在操作中体验变换。教材的编排淡化概念的识记，强调图形性质的探索。全等三角形的判定是今后证明线段相等和角相等的重要工具，是学习后续课程的必要基础。在教学呈现方式上，改变了“结论——例题——练习”的陈述模式，而采用“问题——探索——发现”等多种研究模式。在直观感知、操作确认的基础上，适当地进行数学说理，将两者有机地结合起来，让学生体验说理的必要性，用自己的语言说明理由，学会初步说理。二、教学设计教学内容分析本节课的主要内容是探索三角形全等的条件“边角边”以及利用“判定基本事实证明三角形全等。学生通过自己实验，经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的方法。由于本节课是学生探索三角形全等的条件的第一课时，所以对学生来讲是一次知识的飞跃，也为下面几节课的探索做铺垫。教学目标： }

1、知识与技能：探索、领会“判定两个三角形全等的方法 2、过程与方法：经历探索三角形全等的判定方法的过程，能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单推理，并能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系。 3、情感态度与价值观：培养学生合理的推理能力，感悟三角形全等的应用价值，体会数学与实际生活的联系。重难点与关键： 1、重点：会用“边角边”证明两个三角形全等。《 2、会正确运用“判定基本事实，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。同时通过作图，论证不能证明两个三角形一定全等。既是难点也是关键点。教学方法：采用“问题----操作---结论—运用”的教学方法，让学生有一个直观的感受。教学过程：一、创设情境。 1、因铺设电线的需要，要在池塘两侧A、B处各埋设一根电线杆（如图），因无法直接量出A、B两点的距离，现有一足够的米尺。怎样测出A、B两杆之间的距离呢。（图见课件）

1全等三角形的概念和性质

12.1全等三角形1.下面的图形中，形状和大小完全相同的图形有哪几对？ 2.确定对应顶点、对应边、对应顶点：（1）若△AOC≌△BOD，AC的对应边是_________，角D的对应角是____________；（2 ）若△ABD≌△ACD，AB的对应边是__________，角B对应角是_____________；（3）若△ABC≌△CDA，AD的对应边是__________，角B对应角是____________ 3.一定是全等三角形的是( ) A.面积相等的三角形 B.周长相等的三角形 C.形状相同的三角形 D.能够完全重合的两个三角形 4.下列说法中正确的是( ) A.全等三角形的边相等 B.全等三角形的角相等 C.全等三角形的高相等 D.全等三角形等角的对边相等 5.如图，图中两个三角形能够完全重合，下面写法中正确的是( ) A.△ABE≌△AFB B.△ABE≌△ABF C.△ABE≌△FBA D.△ABE≌△FAB 6.如图13-1-2所示，△ABC≌△CDA，AC=7 cm,AB=5 cm，BC=8 cm，则AD的长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.无法确定图13-1-2 图13-1-3 7.如图13-1-3所示，△ABC≌△CDA，并且AB=CD，下列结论中错误的是 A.∠1=∠2 B.AC=CA C.∠D=∠B D.AC=BC 8.如图△ABD≌△EBC，AB=3cm，AC=8cm，求DE的长. 1 2345 67 8 9 10 C A B

题型一、利用全等求线段长和角度 1. 如图，ΔABD ≌ΔCDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是：（） A 、ΔABD 和ΔCD B 的面积相等 B 、ΔABD 和ΔCDB 的周长相等 C 、∠A+∠AB D =∠C+∠CBD D 、AD//BC ，且AD = BC 2.如图，△EFG ≌△NMH ，∠F 和∠M 是对应角，在△EFG 中，FG 是最长边. 在△NMH 中，MH 是最长边.EF=2.1cm ，EH=1.1cm ，HN= 3.3cm. ⑴写出其他对应边和对应角； (2) 求线段NM 和线段HG 的长度. 3.如图，△ABC ≌△BAD ，A 和B 、C 和D 是对应顶点，如果 AB ＝5，BD ＝6，AD ＝4，那么BC 等于（） A ．6 B ．5 C ．4 D ．无法确定 4.如图，△ABC ≌△AEF ，若∠ABC 和∠AEF 是对应角，则∠EAC 等于（） A ．∠AC B B ．∠CAF C ．∠BAF D ．∠BAC 5.如图，△ABC ≌ΔADE ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°， ∠DAC ＝35°，则∠EAC 的度数为（） A ．40° B ．35° C ．30° D ．25° 6.如图，已知△AB E ≌△ACD, ∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC=（） A 120° B 60° C 50° D 70° 7.如图，△ABC ≌△CDA ，那么AB ∥CD 吗？试说明理由。 B

全等三角形判定基础练习(有答案)

全等三角形判定基础练习（有答案）一．选择题（共3小题） 1．如图，已知AD=AE，添加下列条件仍无法证明△ABE≌△ACD的是（） A．AB=AC B．∠ADC=∠AEB C．∠B=∠C D．BE=CD 2．判定两个三角形全等，给出如下四组条件：①两边和一角对应相等；②两角和一边对应相等；③两个直角三角形中斜边和一条直角边对应相等；④三个角对应相等；其中能判定这两个三角形全等的条件是（） A．①和②B．①和④C．②和③D．③和④ 3．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（） A．BC=AD，∠ABC=∠BAD B．BC=AD，AC=BD C．AC=BD，∠CAB=∠DBA D．BC=AD，∠CAB=∠DBA 二．解答题（共6小题） 4．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．

5．如图所示，有两个直角三角形△ABC和△QPA按如图位置摆放C，P，A在同一条直线上，并且BC=PA．当QP与AB垂直时，△ABC能和△QPA全等吗，请说明理由． 6．如图，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，CF、BE相交于点D，且BD=CD．求证：AD平分∠BAC． 7．如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BE ⊥AC，与BD的垂线DE交于点E．求证：△ABC≌△BDE．

8．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．求证：△ABE≌△ACD． 9．如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABE≌△ACD．

北师大版七年级下数学全等三角形的性质和判定汇编

第9讲全等三角形的性质和判定【知识要点】 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形。 2.全等三角形性质：(1)两全等三角形的对应边相等，对应角相等． (2)全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等. (3)全等三角形的面积相等． 3．全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” (2) “角边角”或“ASA” (3) “边边边”或“SSS” (4) “角角边”或“AAS” (5) “斜边、直角边”或“HL” 【典型例题】例1. 如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是 _________。 A.带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去【变式】判断题 1．两边和一角对应相等的两个三角形全等。（） 2．两角和一边对应相等的两个三角形全等。（） 3．两条直角边对应相等的两个三角形全等。（） 4．腰长相等，顶角相等的两个等腰三角形全等。（） 5．三角形中的一条中线把三角形分成的两个小三角形全等。（） 6．两个等边三角形全等。（） 7．一腰和底边对应相等的两个等腰三角形全等. （） 8．腰长相等，且都有一个40°角的两个等腰三角形全等; （） 9．腰长相等，且都有一个100°角的两个等腰三角形全等; （） 10．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．（）例2. （长沙·中考题）已知: AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ，求证：∠B=∠E 【变式】（红河·中考题）已知：OA=OB ，AC=BD ，∠A=∠B ，M 为CD 中点，求证：OM 平分∠AOB A B C D E F A B C O D ② ① ③

全等三角形的概念和性质(基础)知识讲解

全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】 1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题. 【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. ；要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. { 2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. & 要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.

全等三角形的判定(一)

全等三角形的判定（一）教学目标： 1、知识目标：（1）熟记边角边公理的内容；（2）能应用边角边公理证明两个三角形全等. 2、能力目标： (1) 通过“边角边”公理的运用，提高学生的逻辑思维能力； (2) 通过观察几何图形，培养学生的识图能力. 3、情感目标： (1) 通过几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯； (2) 通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧. 教学重点：学会运用公理证明两个三角形全等. 教学难点：在较复杂的图形中，找出证明两个三角形全等的条件. 教学用具：直尺、微机教学方法：自学辅导式教学过程： 1、公理的发现（1）画图：（投影显示）

教师点拨，学生边学边画图. （2）实验让学生把所画的剪下，放在原三角形上，发现什么情况？（两个三角形重合）这里一定要让学生动手操作. （3）公理启发学生发现、总结边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）作用：是证明两个三角形全等的依据之一. 应用格式：强调： 1、格式要求：先指出在哪两个三角形中证全等；再按公理顺序列出三个条件，并用括号把它们括在一起；写出结论. 2、在应用时，怎样寻找已知条件：已知条件包含两部分，一是已知中给出的，二时图形中隐含的（如公共边，公共角、对顶角、邻补角、外角、平角等）所以找条件归结成两句话：已知中找，图形中看. 3、平面几何中常要证明角相等和线段相等，其证明常用方法：证角相等――对顶角相等；同角（或等角）的余角（或补角）相等；两直线平行，同位角相等，内错角相等；角平分线定义；等式性质；全等三角形的对应角相等地. 证线段相等的方法――中点定义；全等三角形的对应边相等；等式性质. 2、公理的应用（1）讲解例1.学生分析完成，教师注重完成后的总结.