几类特殊函数的不定积分共38页文档

几种特殊函数不定积分求法小结

１（ｋ＝０，１，２， … ），则
６Ｊ
Ｊｓｉｎ・ｃ。ｓｄ＝ｆ８ｉｎ。Ｃｏｓ２ｋ￣・ｃ。ｓｄ＝ｆｓｉｎ ‘
ｃｏｓｘｄｓｉｎｘ＝Ｉｓｉｎ・（１一ｓｉｎ２ｘ）ｄｓｉｎｘ＝Ｉ￡・（１一￡）ｄｔ．
所
０
＋（ｎ一），一。一ａ２Ｉ］
＋（ｚ一３一－］，
２．形如』ｃ。ｓ。 ‘ ｓｉｎ（ ≠ ６）的情形一般采用三角函
数积化和差公式化简．
志
Ⅱ
［
，
例Ｊｃ。ｓ２ ‘ ｃ０ｓ７
』Ｐ（）ａｒｃｃｏｓｘ，以及（）（１ｎ）的类型，一般采用分
部升次的方法．
３．分部循环型
（１）ＪｆＡｄ＝Ａｆ — ｄ（一。）＝Ａｌｎ一Ｉ。Ｉ＋ｃ．
上式被积函数展开后是一个关于ｔ的多项式，一旦ｍ，ｎ给定，读者容易得出答案．
下面我们用分部积分法求Ｊ
令ｎＪ
，ｔ
一
（ｎ＝１，２， … ），则
Ｊ．南
ｄ南
＋２（ｎ一・）
１ｎ（ｚ＋ｐｇ）＋
当ｎ＝１时，上式为Ｊ ‘ ｛ｄ（２＋。）＋６Ｊ． ÷ ｔ
ｎ（￡２＋０，２）＋— ａｒｃｔａｎ— ＋ｃ：

不定积分公式总结

不定积分公式总结在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念，它是求导的逆运算。

掌握不定积分公式对于解决各种积分问题至关重要。

接下来，就让我们一起系统地总结一下常见的不定积分公式。

一、基本积分公式1、常数的积分：∫C dx ＝ Cx ＋ C₁（其中 C 为常数，C₁为任意常数）这意味着任何常数乘以自变量 x 的积分，结果是该常数乘以 x 再加上一个任意常数。

2、幂函数的积分：∫xⁿ dx ＝（1/（n ＋ 1)）xⁿ⁺¹＋ C （n ≠ －1）∫x⁻¹ dx ＝ ln|x| ＋ C3、指数函数的积分：∫eˣ dx ＝eˣ ＋ C∫aˣ dx ＝（1 ／ln a) aˣ ＋ C （a ＞ 0 且a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C6、反三角函数的积分：∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2) ln(1 ＋ x²) ＋ C二、凑微分法相关公式凑微分法是一种非常重要的积分方法，通过将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。

例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a) ∫f(u) du （其中 u ＝ ax ＋ b）常见的凑微分形式有：1、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a) sin(ax ＋ b) ＋ C2、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a) cos(ax ＋ b) ＋ C三、换元积分法相关公式换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。

几种特殊类型的函数的积分

dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2

山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
解原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
山东农业大学
高等数学
主讲人：苏本堂
例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t

几种特殊函数的积分

1 arctan u ln(1 u2 ) ln | 1 u | C 2
x x x ln sec ln 1 tan C 2 2 2
数学分析（上）
注意万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算先考虑其它方法, 不得已才用万能代换.
1 cos x 例如 d sin x dx 1 sin x 1 sin x
dx d cot x 又如 2 2 3 si n x 3 csc x 1
dx 1 C . (a sinx b cos x)2 a(a tan x b)
数学分析（上）Leabharlann 例5dx (1) 1 s i nx
dx ( 2) 2 cos x
dx ( 3) 2 si n x
A B 1 A 5 (3 A 2B ) 3 B 6 x3 5 6 2 （待定系数法） x 5x 6 x 2 x 3 x3 x 2 5 x 6 dx 5 ln x 2 6 ln x 3 C
数学分析（上）
dx 例3 求 I 1 x3 1 1 3 2 1 x (1 x )(1 x x )
1 A Bx C 2 2 (1 x )(1 x x ) 1 x 1 x x
1 1 2 , B ,C 可求得 A 3 3 3 1 1 1 1 2 I ln1 x ln(x x 1) arctan (2 x 1) C 3 6 3 3
Ak A1 A2 2 k x a ( x a) ( x a)
数学分析（上）
2）分母中若有因式 ( x
2
2
px q) ,其中

不定积分计算公式

不定积分计算公式不定积分是微积分中一个重要的概念，它表示函数的原函数。

计算不定积分可以使用一系列的公式和技巧。

下面将介绍一些常用的不定积分计算公式。

1.幂函数不定积分的基本公式之一是幂函数的不定积分公式。

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C (n≠-1)其中C为常数。

例如，∫x^2 dx = x^3/3 + C只有当指数n不等于-1时，幂函数才有原函数。

2.指数函数和对数函数指数函数和对数函数是常用的函数，它们的不定积分可以通过以下公式计算。

∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x) - x + C其中e为自然对数的底数。

3.三角函数三角函数也有常用的不定积分公式。

∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C其中C为常数。

4.反三角函数其不定积分公式如下所示。

∫sec^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C其中C为常数。

5.一些特殊函数除了上述常见的函数，还有一些特殊的函数和它们的不定积分公式。

∫1 dx = x + C∫1/x dx = ln，x，+ C (x≠0)∫e^ax sin(bx) dx = (a e^ax sin(bx) - b e^ax cos(bx))/(a^2 + b^2) + C∫e^ax cos(bx) dx = (a e^ax cos(bx) + b e^ax sin(bx))/(a^2 + b^2) + C其中a和b为常数。

6.分部积分法分部积分法是一个常用的计算不定积分的技巧，它基于导数运算和不定积分之间的关系。

几种特殊类型的函数积分

反三角函数积分公式
∫sin⁡xdx=−cos⁡x+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sin⁡xdx=−cos⁡x+C
∫cos⁡xdx=sinx⁡+Cint cos x , dx = sin x + C∫cos⁡xdx=sinx⁡+C
∫tan⁡xdx=ln⁡|sec⁡x|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tan⁡xdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)，其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式

不定积分公式大全

不定积分公式大全1.基本的常数不定积分公式：\[\int a dx = ax + C\]（其中a为常数，C为常数，表示不定积分的任意常数项）2.幂函数不定积分公式：\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]（其中n为实数，n不等于-1）3.三角函数的不定积分公式：\[\int \sin{x} dx = -\cos{x} + C\]\[\int \cos{x} dx = \sin{x} + C\]\[\int \tan{x} dx = -\ln，\cos{x}， + C\]\[\int \cot{x} dx = \ln，\sin{x}， + C\]\[\int \sec{x} dx = \ln，\sec{x} + \tan{x}， + C\]\[\int \csc{x} dx = \ln，\csc{x} - \cot{x}， + C\]4.反三角函数的不定积分公式：\[\int \arcsin{x} dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1-x^2} + C\]\[\int \arccos{x} dx = x\arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + C\]\[\int \arctan{x} dx = x\arctan{x} - \frac{1}{2}\ln{(1+x^2)} + C\]5.指数函数和对数函数的不定积分公式：\[\int e^x dx = e^x + C\]\[\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C\]（其中a为大于0且不等于1的实数）6.常用三角函数的组合不定积分公式：\[\int \sin^2{x} dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin{2x}}{4} + C\] \[\int \cos^2{x} dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin{2x}}{4} + C\] \[\int \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{\cos{2x}}{2} + C\]7.双曲函数的不定积分公式：\[\int \sinh{x} dx = \cosh{x} + C\]\[\int \cosh{x} dx = \sinh{x} + C\]\[\int \tanh{x} dx = \ln，\cosh{x}， + C\]\[\int \coth{x} dx = \ln，\sinh{x}， + C\]8.基本的三角换元法不定积分公式（牛顿-莱布尼茨公式）：\[\int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C\]（其中F是g的原函数）9.分部积分法的不定积分公式：\[\int u dv = uv - \int v du\]（其中u和v是两个函数，du和dv分别是u和v的微分）这些是常用的不定积分公式，通过它们可以求解各种函数的原函数。

4.4 几种特殊函数的不定积分

当 P( x) 的次数小于 Q( x) 时，
称这有理函数为真分式，否则为假分式。总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式
例1 将下列真分式分解为部分分式
4.4几种特殊函数的不定积分
解
(1) 用拼凑法
x ( x 1) 1 1 1 2 2 2 ( x 1) x( x 1) x( x 1) x( x 1) 1 x ( x 1) 2 ( x 1) x( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
4.4几种特殊函数的不定积分
(2) 用赋值法，设
x3 x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
解得
A 5, B 6
6 5 原式 x2 x 3
4.4几种特殊函数的不定积分
(3) 设
1 Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
.
2 2t 1 t2 dt sin x , cos x , dx 2 2 2 1 t 1 t 1 t
于是
1 1 du 2 dt 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 4t
sin x 1 sin x dx
x 设 tan t 2
4.4几种特殊函数的不定积分
1 t2 cos x 1 t2
2t sin x , 2 1 t
x 2arctan t ,
从而
2 dx dt 2 1 t
称为万能代换
例5 求
x 解设 tan 2 t ，则
1 sin x dx
4.4几种特殊函数的不定积分 sin x