几种特殊类型的函数的积分
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。
由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。
下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。
其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。
特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。
08几种特殊类型函数的积分
(t
2tdt
2
− 1)
2
,
2t t 2dt 1 1+ x (t 2 − 1)t 2 2 dt = −2∫ 2 ∫ x x dx = − ∫ t −1 (t − 1)
t −1 1 +C = −2 ∫ 1 + 2 dt = −2t − ln t +1 t − 1
2 1+ x 1+ x = −2 − ln x − 1 + C . x x
都是非负整数； 其中 m 、 n都是非负整数； a0 , a1 ,L, a n 及
b0 , b1 ,L, bm 都是实数，并且 a0 ≠ 0， b0 ≠ 0 . 都是实数，
假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 真分式； (1) n < m , 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式 假分式； ( 2) n ≥ m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 多项式和一个真分式之和
2 k
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + L+ 2 2 k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ⇒ A = 1 取 x = 1, ⇒ B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ⇒ C = −1
高数资料(特殊积分法)
t =∫ ⋅ 2 sin t cos t ⋅ d t = −2 ∫ t ⋅ d cos t cos t
= −2t cos t + 2 ∫ cos t ⋅ d t = −2t cos t + 2 sin t + C = −2 1 − x arcsin x + 2 x + C
5 3 2 = ln( x + 2 x + 4) − ∫ 3 2
dx
2
x + 1 1+ 3 5 x +1 3 arctan +C = ln( x 2 + 2 x + 4) − 3 3 2
例2
8 x + 31 2x + 4 dx ⋅ dx = 4 ∫ 2 ⋅ d x+ 15 ∫ 2 ∫ ( x 2 + 4 x + 13)2 ( x + 4 x + 13) 2 ( x + 4 x + 13) 2
1 1 1 = ∫ + ⋅dt 3 3 − t 3 + t 1 3+ t = ln +C 3 3−t
x 1 3 + tan 2 = ln +C x 3 3 − tan 2
例 6 解一
1 ∫ sin 4 x dx .
x u = tan , 2
2u sin x = , 2 1+ u
2 2
1 3 = − cot x − cot x + C . 3 结论 比较以上三种解法, 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳 方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换. 不得已才用万能置换
常用积分公式
常用积分公式积分公式是微积分中常用的一种工具，用于求解函数的定积分。
通过积分公式，我们可以将复杂的函数积分转化为简单的数学形式，从而更容易求解。
1. 基本积分公式基本积分公式是求解不同类型函数的基础，下面列举了一些常见的基本积分公式：(1) ∫kdx = kx + C （k为常数）(2) ∫x^ndx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C （n 不等于-1）(3) ∫1/x dx = ln|x| + C （x不等于0）(4) ∫e^x dx = e^x + C(5) ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C （a不等于0且a不等于1）(6) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C(7) ∫cos(x) dx = sin(x) + C(8) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C(9) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C(10) ∫sec(x)*tan(x) dx = sec(x) + C(11) ∫csc(x)*co t(x) dx = -csc(x) + C以上是一些基本的积分公式，对于这些公式的求解，可以根据具体的函数形式进行运算。
2. 特殊类型函数的积分公式除了基本积分公式，对于一些特殊类型的函数，常常需要使用相应的积分公式进行求解，下面列举了几个常见的特殊类型函数的积分公式：(1) ∫e^ax*sin(bx) dx = (a*sin(bx) - b*cos(bx)) / (a^2 + b^2) + C(2) ∫e^ax*cos(bx) dx = (a*cos(bx) + b*sin(bx)) / (a^2 + b^2) + C(3) ∫sin^2(x) dx = (1/2) * x - (1/4) * sin(2x) + C(4) ∫cos^2(x) dx = (1/2) * x + (1/4) * sin(2x) + C(5) ∫sin^3(x) dx = -(1/3) * cos(x) + (1/12) * cos(3x) + C(6) ∫cos^3(x) dx = (1/3) * sin(x) + (1/12) * sin(3x) + C(7) ∫sec(x) dx = ln|se c(x) + tan(x)| + C(8) ∫csc(x) dx = ln|csc(x) + cot(x)| + C需要注意的是，某些特殊类型的函数的积分公式可能没有明确的表达式，此时需要进行适当的变量替换或其他数学技巧来求解。
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
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1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
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3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
八种类型积分的特征与异同
八种类型积分的特征与异同八种类型积分是指对不同的函数进行积分时所得到的不同类型的结果。
这些类型包括了常数积分、幂函数积分、指数函数积分、对数函数积分、三角函数积分、反三角函数积分、分式积分以及特殊函数积分。
每一种类型的积分都有其独特的特征与异同。
首先，常数积分是最简单的一种积分类型，其特征是对常数函数求积分时所得到的结果是该常数与积分变量的乘积。
常数积分的计算非常直观，只需要将常数移到积分符号外即可。
幂函数积分是指对幂函数进行积分时所得到的结果。
幂函数积分的特征是对幂函数求积分时，指数部分加一后再除以新的指数，再乘以一个常数。
例如，对x^n进行积分时，积分结果为x^(n+1)/(n+1)。
指数函数积分是指对指数函数进行积分时所得到的结果。
指数函数积分的特征是对指数函数求积分时，结果仍然是指数函数，只是指数部分除以一个常数。
例如，对e^x进行积分时，积分结果为e^x。
对数函数积分是指对对数函数进行积分时所得到的结果。
对数函数积分的特征是对对数函数求积分时，结果是对数函数的积分函数。
例如，对ln(x)进行积分时，积分结果为xln(x) - x。
三角函数积分是指对三角函数进行积分时所得到的结果。
三角函数积分的特征是对不同的三角函数求积分时，结果是其他三角函数的积分函数。
例如，对sin(x)进行积分时，积分结果为-cos(x)。
反三角函数积分是指对反三角函数进行积分时所得到的结果。
反三角函数积分的特征是对不同的反三角函数求积分时，结果是其他反三角函数的积分函数或者常数乘反三角函数的积分函数。
例如，对arcsin(x)进行积分时，积分结果为xarcsin(x) + sqrt(1-x^2)。
分式积分是指对分式函数进行积分时所得到的结果。
分式积分的特征是对分式函数进行部分分式分解后，对每一项进行积分。
分式积分通常需要运用部分分式分解的技巧，并结合其他类型的积分来求解。
例如，对1/(x(x-1))进行积分时，需要首先进行部分分式分解，然后对每一项进行积分。
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式
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dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
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主讲人： 苏本堂
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
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例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
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例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解 令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
例14. 求不定积分 解: 原式
1 ( 2u )(u 2 1)
A 2u
B u 1
C u 1
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例15 求
dx . 10 x( 2 x )
10 1 d ( x ) x dx 10 10 10 10 10 x ( 2 x ) x (2 x ) 9
2
d [ ln( x 1 x ) 5 ]
x 1 x
dx 1 x
2
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例6. 求
x x x 2 sin cos x x 解 : 原式 x d tan tan d x 2 2 dx 2 2 2 x 2 cos 2 x x tan C 2 例7. 求
第一类换元法 第二类换元法
(代换: x (t ))
(注意常见的换元积分类型)
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3. 分部积分法
u v dx u v uv dx
使用原则: 1) 由 v 易求出 v ;
2)
u v dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺 序, 排前者取为 u , 排后者取为 v . 计算格式: 列表计算
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一
定都能积出. 例如 ,
1 k sin x dx (0 k 1) ,
2
2
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例13. 求
dx 1 e e e
x 6
x 2 x 3 x 6
.
解: 令 t e , 则 x 6 ln t , dx 6 dt t
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例1. 求
2 3 解: 原式 dx 2x 2x 3 2 2) x d ( 1 3 2 ln 3 1 ( 2 ) 2 x 3
x x
x 2 ( 3) 2x 2 1 ( 3)
da a ln a dx
dx
x
x
x 2 arctan( 3 )
例4
1 sin x 1 cos x dx
1 sin x 解:原式 1 cos x dx 1 cos x dx
x 1 d (1 cos x) 1 2 x cot ln | 1 cos x | C csc dx 2 2 2 2 1 cos x
sec
n2
(n 2) sec
n 3
x sec x tan x
x tan x (n 2) I n (n 2) I n2
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例12. 求
解: 设 F ( x) x 1 则 因 连续 , 利用
x 1 , 1 x ,
解 : 原式
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例8. 求 解: 原式 arctan e x de x
x x
x
e e arctan e e dx 2x 1 e
2x 2x ( 1 e ) e e x arctan e x dx 2x 1 e
x 1 x 1
x 1 x 1
得
1 x2 x C , 1 2 2 1 x 2 x C2 ,
1 C1 2
得
1 C 2 2
记作
C
x 1
1 1 1 C1 1 2 C2 2 1 1 xx 1x ,C , x 1 22 ( ) C 2 2
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例5. 求
解: 原式 [ ln( x 1 x ) 5 ] d [ ln( x 1 x 2 ) 5 ]
2
3 2 2 ln( x 1 x ) 5 2 C 3
1 2
分析:
(1
2
2x 2 1 x
2
) dx
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主要内容
原
选 择 u 有 效 方 法
函
数
不 定 积 分
直接 积分法
分部 积分法
积分法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
基 本 积 分 表
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一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
2x e x arctan e x x 1 ln ( 1 e )C 2
x
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例9. 求
解: (一) 令 x=tant
原式
x2 1
t 1
x
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例9. 求
解 : (二 )
而
即 所以
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2 2 1 11 ( x 1)x C , C, 22 2
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
指数函数有理式
指数代换
有理函数
分解
万能代换 根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及 部分分式之和
简单无理函数
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2. 需要注意的问题 (1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 .
x2 1 1 arcsin C . x x
t
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Байду номын сангаас
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例11. 设
证明递推公式:
1 n2 n2 In sec x tan x I n2 n 1 n 1
证: I n sec n 2 x sec 2 x dx
(n 2)
sec n 2 x sec n2 x tan x (n 2) sec n 2 x (sec 2 x 1) dx