几类特殊函数的不定积分
不定积分计算公式
不定积分计算公式不定积分是微积分中的重要内容之一，它是对函数的积分运算，是求导的逆运算。
在数学中，不定积分可以帮助我们求解各种函数的原函数，用符号∫来表示，被积函数称为被积表达式，积分变量叫做积分变量。
本文将介绍不定积分的计算方法和常用公式，并通过具体的例子进行说明。
一、基本公式1. 常数的不定积分当被积表达式为常数c时，不定积分为cx，其中x为积分变量，c为常数。
2. 幂函数的不定积分(a) 单项式的不定积分对于单项式x^n来说，其中n是非零整数，不定积分为(x^(n+1))/(n+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^3dx=(x^(3+1))/(3+1)+C=(x^4)/4+C。
(b) 反函数的不定积分当被积表达式为反函数1/x时，不定积分为ln|x|+C，其中C 为常数。
例如，∫(1/x)dx=ln|x|+C。
(c) 一般幂函数的不定积分对于一般的幂函数x^m来说，其中m不等于-1，不定积分为(x^(m+1))/(m+1)+C，其中C为常数。
例如，∫x^(-3)dx=(x^(-3+1))/(-3+1)+C=(x^(-2))/(-2)+C=-1/(2x^2)+C。
3. 指数函数的不定积分(a) e^x的不定积分为e^x+C，其中C为常数。
例如，∫e^xdx=e^x+C。
(b) a^x(lna)的不定积分为(a^x)/lna+C，其中C为常数，a不等于1。
例如，∫2^xdx=(2^x)/ln2+C。
4. 对数函数的不定积分lnx的不定积分为xlnx-x+C，其中C为常数。
例如，∫lnxdx=xlnx-x+C。
5. 三角函数的不定积分(a) sinx的不定积分为-cosx+C，其中C为常数。
例如，∫sinxdx=-cosx+C。
(b) cosx的不定积分为sinx+C，其中C为常数。
例如，∫cosxdx=sinx+C。
(c) tanx的不定积分为-ln|cosx|+C，其中C为常数。
例如，∫tanxdx=-ln|cosx|+C。
不定积分公式总结
不定积分公式总结在微积分的学习中，不定积分是一个非常重要的概念，它是求导的逆运算。
掌握不定积分公式对于解决各种积分问题至关重要。
接下来，就让我们一起系统地总结一下常见的不定积分公式。
一、基本积分公式1、常数的积分：∫C dx ＝ Cx ＋ C₁（其中 C 为常数，C₁为任意常数）这意味着任何常数乘以自变量 x 的积分，结果是该常数乘以 x 再加上一个任意常数。
2、幂函数的积分：∫xⁿ dx ＝（1/（n ＋ 1)）xⁿ⁺¹＋ C （n ≠ －1）∫x⁻¹ dx ＝ ln|x| ＋ C3、指数函数的积分：∫eˣ dx ＝eˣ ＋ C∫aˣ dx ＝（1 ／ln a) aˣ ＋ C （a ＞ 0 且a ≠ 1）4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C6、反三角函数的积分：∫arcsin x dx ＝ x arcsin x ＋√（1 x²) ＋ C∫arccos x dx ＝x arccos x √（1 x²) ＋ C∫arctan x dx ＝ x arctan x （1/2) ln(1 ＋ x²) ＋ C二、凑微分法相关公式凑微分法是一种非常重要的积分方法，通过将被积表达式凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。
例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a) ∫f(u) du （其中 u ＝ ax ＋ b）常见的凑微分形式有：1、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a) sin(ax ＋ b) ＋ C2、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a) cos(ax ＋ b) ＋ C三、换元积分法相关公式换元积分法分为第一类换元法（凑微分法）和第二类换元法。
关于不定积分计算的总结
关于不定积分计算的总结不定积分是微积分中的一个重要概念，主要用于求函数的原函数。
在计算不定积分时，需要掌握一些基本的积分公式和技巧，以及一些应用不定积分的方法。
下面是关于不定积分计算的一些总结。
一、基本不定积分公式：1. 常数函数：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1，C为任意常数。
3.正弦和余弦函数：∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫csc^2xdx=-cotx+C∫secxdxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=-cscx+C。
4.指数和对数函数：∫e^xdx=e^x+C∫a^xdx=(a^x)/(lna)+C∫(1/x)dx=ln，x，+C。
5.反三角函数：∫1/(√(1-x^2))dx=sin^(-1)(x)+C∫1/(1+x^2)dx=tan^(-1)(x)+C。
二、通用技巧：1. 常数倍和求和：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
2. 反函数：如果F'(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C。
3. 分部积分法：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
分部积分法适用于由两个函数的乘积构成的积分。
4. 代换法：设x=g(t)或t=h(x)，则dx=g'(t)dt或dx=(1/h'(x))dt。
代换法适用于需要进行变量代换的积分。
5. 三角函数的平方：∫sin^2xdx=(1/2)(x-sin(x)cos(x))+C∫cos^2xdx=(1/2)(x+sin(x)cos(x))+C。
6.分数分解：对于有理函数，可以使用部分分数分解的方法将其化简为简单的分式相加。
7.特殊函数的特殊方法：对于特定的函数形式，可以使用特殊的方法进行不定积分的计算，如有理函数的积分可以使用多项式的除法。
高数不定积分公式
高数不定积分公式高数不定积分公式1. 引言对于学习高等数学的同学来说，不定积分是一个非常重要的概念和技巧。
在数学中，不定积分是求解函数原函数的过程，也是解决微积分问题的关键方法之一。
本文将介绍一些常用的高数不定积分公式，帮助读者更好地理解和掌握该知识点。
2. 基本公式不定积分中最基本的公式就是导函数与原函数之间的关系。
根据基本公式，我们有以下常见的高数不定积分公式：•∫k dx=kx+C（其中，k为常数，C为常数）x n+1+C（其中，n为实数，C为常•∫x n dx=1n+1数）•∫e x dx=e x+C•∫lnx dx=xlnx−x+C•∫sinx dx=−cosx+C•∫cosx dx=sinx+C•∫tanx dx=−ln|cosx|+C•∫secx dx=ln|secx+tanx|+C3. 特殊函数的不定积分除了基本公式外，常见的一些特殊函数的不定积分公式也是我们需要注意和掌握的。
下面列举几个常见的特殊函数的不定积分公式：•∫1x dx=ln|x|+C•∫1sinx dx=ln|tan(x2)|+C•∫1cosx dx=ln|sin(x2+π4)|+C•∫11+x2 dx=arctanx+C4. 其他常用公式在高数不定积分中，还有一些常用的公式和技巧可以帮助我们更快地完成复杂的计算。
以下是一些常用的高数不定积分公式：•∫u dv=uv−∫v du（分部积分公式）•∫f′(x)f(x) dx=ln|f(x)|+C（对数函数的不定积分公式）•∫e kx f(x) dx=1k e kx F(x)−∫1ke kx F′(x) dx（指数函数和复合函数的不定积分公式）5. 总结本文介绍了一些常用的高数不定积分公式，包括基本公式、特殊函数的不定积分公式以及其他常用公式。
通过掌握这些公式，读者可以更加灵活地应用不定积分方法解决各种数学问题。
当然，不定积分是一个较为复杂的数学概念，需要大量的练习和应用才能熟练掌握。
利用特殊函数的性质求解不定积分
利用特殊函数的性质求解不定积分利用特殊函数的性质求解不定积分随着科技的不断发展，数学成为现代科学的重要基础，而积分作为数学的一个基本工具，在各个领域都发挥着重要的作用。
然而，求解不定积分并非容易的事情，常常需要运用多种方法和技巧。
本文将讨论利用特殊函数的性质来求解不定积分的方法，为读者提供一种更为简便的途径。
一、特殊函数的概念特殊函数是指在数学领域中具有特殊性质和应用的一类函数。
这些函数通常不是由基本初等函数组合而成的，但却常常用于广泛的领域，例如物理、工程、经济等。
因此，了解和掌握特殊函数的概念和性质对于掌握不定积分的方法具有重要意义。
二、常见特殊函数1. 常用特殊函数常用特殊函数包括伽马函数、贝塞尔函数、超几何函数等。
这些函数的性质和应用都非常广泛，有些特殊函数甚至在统计学、物理、工程和自然科学等领域都有应用。
2. 径向函数径向函数是一种具有特殊性质的函数族，常用于描述空间中的物理现象，例如量子力学和电磁学等。
常见的径向函数包括球贝塞尔函数、球贝赛尔函数、球面调和函数等。
3. 离散函数离散函数是一类具有离散变量的函数，通常用于描述统计学和信息学中的离散分布。
例如，狄利克雷函数和莫比乌斯函数等就是一种常见的离散函数。
三、利用特殊函数的性质求解不定积分利用特殊函数的性质求解不定积分，通常需要结合实际情况和具体的积分形式进行分析。
下面以伽马函数为例，探讨如何运用它的性质来求解不定积分。
伽马函数是一种具有特殊性质的函数，常用于求解复杂积分和微积分问题。
伽马函数的定义式为：$$\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt, {\rm Re}(z)>0$$其中，Re(z)表示z的实部。
现在考虑一个具体的不定积分，即：$$\int x^{n} e^{-x} dx$$利用伽马函数的性质，可以将上式变形为：$$\int x^{n} e^{-x} dx=\frac{1}{\Gamma(n+1)}\int_{0}^{\infty} t^{n} e^{-t} dt$$ 这里我们使用了积分变量替换法，将x换成了t。
不定积分的解法汇总
不定积分的解法汇总不定积分是微积分中的一个重要概念，在实际应用中经常需要求解不定积分。
下面将汇总一些常见的不定积分的解法。
1. 一些基本的不定积分：- 常数函数的不定积分：∫c dx = cx + C，其中c为常数，C为常数。
- 幂函数的不定积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n为实数，C为常数。
- 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
- 正弦函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，其中C为常数。
- 余弦函数的不定积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C，其中C为常数。
2. 基本积分法则：- 线性性质：∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。
- 乘法性质：∫f(x)g'(x) dx = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x) dx，其中f(x)和g(x)为可微函数。
- 分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du，其中u和v为可微函数。
4. 一些常见的特殊积分：- ∫(ax + b)^n dx = (ax + b)^(n+1)/(a(n+1)) + C，其中n为实数。
- ∫e^(ax)sin(bx) dx = (e^(ax))(asinx - bcosx)/(a^2 + b^2) + C。
- ∫e^(ax)cos(bx) dx = (e^(ax))(acosx + bsinx)/(a^2 + b^2) + C。
还有一些特殊的函数积分，比如有理函数、反三角函数和反双曲函数的不定积分，需要根据具体的情况使用不同的方法进行求解。
需要注意的是，不定积分的解法并不唯一，同一个函数可能可以使用不同的方法进行求解，有时还需要进行换元积分或部分分式分解等技巧。
有些函数可能不存在原函数，即无法求得其不定积分。
不定积分是一个复杂而多变的问题，需要根据具体的函数和积分形式选择不同的解法。
基本不定积分公式
5.反三角函数的不定积分
∫(1/√(1-x²)) dx = arcsinx + C
∫(1/√(1+x²)) dx = arctanx + C
6.双曲函数的不定积分
∫sinhxdx=coshx+C
∫coshxdx=sinhx+C
7.分式函数的不定积分
∫(1/x+a) dx = ln，x+a， + C
其中C为常数。
2.指数函数的不定积分
∫aˣ dx = (aˣ)/(logₑa) + C
其中a>0且a≠1，C为常数。
3.对数函数的不定积分
∫(1/x) dx = ln，x， + C
4.三角函数的不定积分
∫sinx dx = -cosx + C
∫cosx dx = sinx + C
∫sec²x dx = tanx + C
其中a≠0，C为常数。
8.代换法则
通过代换可以将一个复杂的不定积分转化为一个简单的不定积分，然后利用基本公式进行求解。常见的代换方法有以下几种：
（1）以变量替代法：
当不定积分中的部分表达式与一些变量的导数形式相似时，可以进行变量替代。
（2）以三角函数替代法：
当不定积分中包含三角函数且可三角函数替代。
基本不定积分公式
不定积分是微积分的重要内容，它是定积分的逆运算。通过求导可以得到原函数，而不定积分则是给定一个函数，求出它的原函数。在求解不定积分时，我们需要掌握一些基本的不定积分公式。下面我们将介绍一些常见的基本不定积分公式。
1.幂函数的不定积分
如果n不等于-1，则有:
求不定积分的基本方法
1 例13. 求不定积分 ∫ dx . (2 + cos x) sin x sin x 解: 原式 = ∫ (令 u = cos x) dx 2 (2 + cos x ) sin x 1 =∫ du 2 ( 2 + u )(u − 1) A=1
1 ( 2+u )(u −1)
习题课 不定积分的计算方法
一、 求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的积分
第四章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法 通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 . 2. 换元积分法
∫ f ( x ) dx
第一类换元法 第二类换元法
∫ f [ϕ (t )]ϕ ′(t ) dt
分部积分
机动
目录
上页
下页
返回
结束
1 dx . 例4. 设 y ( x − y ) = x , 求积分 ∫ x − 3y 解: y ( x − y ) 2 = x 令 x − y = t, 即 y = x −t
2
t3 x= 2 , t −1
t t 2 (t 2 − 3) y = 2 , 而 dx = 2 dt 2 t −1 (t − 1)
=
x x − 3 ln(e 6
+ 1) − 2
x 3 ln(e 3
x + 1) − 3 arctan e 6
+C
返回 结束
机动
目录
上页
下页
3 cos x − sin x dx . 例11. 求 ∫ cos x + sin x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Mx + N ; 特殊地: 特殊地:k = 1, 分解后为 2 x + px + q
真分式化为部分分式之和的待定系数法 真分式化为部分分式之和的待定系数法
x+3 A B x+3 例1 2 , = + = x 5 x + 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 = ∵ sin x = 2 sin cos = 2 2 2 x 2 x 1 + tan sec 2 2 2 x 2 x cos x = cos sin , 2 2
x 2 x 1 tan 1 tan 2= 2, cos x = 2 x 2 x sec 1 + tan 2 2 x 令u = tan 万能置换公式) x = 2 arctan u(万能置换公式) 2
3 = x 3 ln(1 + e ) ln(1 + e ) 3 arctan(e ) + C . 2
x 6 x 3 x 6
说明 将有理函数化为部分分式之和后,只出 将有理函数化为部分分式之和后, 现三类情况: 现三类情况:
A Mx + N (1) 多项式; ( 2) 多项式; ; ( 3) ; n 2 n ( x a) ( x + px + q ) Mx + N dx , 讨论积分∫ 2 n ( x + px + q )
修改万能置换公式, 解(二) 修改万能置换公式 令 u = tan x
u 1 sin x = , dx = du, 2 2 1+ u 1+ u 2 1 1 1 1+ u ∫ sin 4 x dx = ∫ u 4 1 + u2 du = ∫ u4 du 2 1+ u
1 1 1 3 = 3 + C = cot x cot x + C . 3u u 3
(1)
1 1 1 1 . ∴ = + 2 2 x ( x 1) x ( x 1) x 1
1 A Bx + C , + 例3 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x
1 = A(1 + x 2 ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ),
整理得 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + C + A,
都是常数. 其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数
A ; 特殊地: 特殊地:k = 1, 分解后为 xa
(2)分母中若有因式 ( x + px + q ) ,其中 ) 2 p 4q < 0 则分解后为
2 k
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + + 2 2 k k 1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
2 1 2x 1 1 dx + ∫ dx = ln(1 + 2 x ) ∫ 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln(1 + 2 x ) ln(1 + x ) + arctan x + C . 5 5 5
例6 求积分 ∫
1 1+
x e2
+
x e3
+
x e6
dx .
6 解 令 t = e x = 6 ln t , dx = dt , t 1 1 6 dx = ∫ dt ∫ 3 2 x x x 1+ t + t + t t
2
2 2u 1 u 2 sin x = , cos x = , dx = du 2 2 2 1+ u 1+ u 1+ u
2u 1 u 2 ∫ R(sin x , cos x ) dx =∫ R 1 + u2 , 1 + u2 1 + u2 du.
2
sin x dx . 例7 求积分 ∫ 1 + sin x + cos x 2u , 解 由万能置换公式 sin x = 2 1+ u 1 u2 2 cos x = dx = du, 2 2 1+ u 1+ u sin x 2u ∫ 1 + sin x + cos x dx = ∫ (1 + u)(1 + u2 )du
p p ∵ x + px + q = x + + q , 2 4 p 令 x+ =t 2
2 2 2
记 x 2 + px + q = t 2 + a 2 , 则
Mx + N = Mt + b,
p a =q , 4
2
2
Mp b= N , 2
Mx + N dx ∴∫ 2 n ( x + px + q )
2u + 1 + u 2 1 u 2 du =∫ 2 (1 + u)(1 + u )
(1 + u)2 (1 + u 2 ) 1+ u 1 du = ∫ =∫ du ∫ du 2 2 (1 + u)(1 + u ) 1+ u 1+ u
1 = arctan u + ln(1 + u 2 ) ln | 1 + u | + C 2 x ∵ u = tan 2 x x = + ln | sec | ln | 1 + tan x | + C . 2 2 2
1 1 1 sin 2 x + cos 2 x dx dx + ∫ = ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x cos x 1 sin x 1 1 1 1 dx + ∫ dx + ∫ dx = ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x 4 cos x
1 1 1 1 1 1 d (cos x ) + ∫ dx + ∫ dx = ∫ 2 2 4 cos x 4 sin x 4 cos x
A B C 1 , = + + 例2 2 2 x ( x 1) x 1 x ( x 1 )
1 = A( x 1) 2 + Bx + Cx ( x 1)
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) C = 1
Mt b dt + ∫ 2 =∫ 2 dt 2 n 2 n (t + a ) (t + a )
Mx + N dx (1) n = 1, ∫ 2 x + px + q p x+ M b 2 2 + C; = ln( x + px + q ) + arctan 2 a a Mx + N dx ( 2) n > 1, ∫ 2 n ( x + px + q ) M 1 b 2 dt . = 2 2 n 1 + ∫ 2 n (t + a ) 2( n 1)( t + a )
1 1 1 1 dx = ∫ + 解 ∫ 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1
1 1 1 dx ∫ dx = ∫ dx + ∫ 2 x ( x 1) x 1
1 = ln x ln( x 1) + C . x 1
1 dx . 例5 求积分 ∫ 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 4 2 1 x+ 1 dx= ∫ 5 dx + ∫ 5 2 5dx 解 ∫ (1 + 2 x )(1 + x 2 ) 1 + 2x 1+ x
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 这三类积分均可积出 且原函数都是初等函数 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 有理函数的原函数都是初等函数.
二,三角函数有理式的积分
三角有理式的定义: 三角有理式的定义: 由三角函数和常数经过有限次四则运算 构成的函数称之. 构成的函数称之.一般记为 R(sin x , cos x )
第三节 几类特殊函数的 不定积分
一,有理函数的积分
二,三角函数有理式的积分 三,简单无理函数的积分
一,有理函数的积分
有理函数的定义: 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之. 两个多项式的商表示的函数称之.
P ( x ) a0 x n + a1 x n1 + + an1 x + an = m m 1 Q( x ) b0 x + b1 x + + bm 1 x + bm
1 + sin x dx . 例9 求积分 ∫ sin 3 x + sin x A+ B A B 解 sin A + sin B = 2 sin cos 2 2 1 + sin x 1 + sin x ∫ sin 3 x + sin x dx = ∫ 2 sin 2 x cos x dx 1 + sin x dx =∫ 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx + ∫ = ∫ dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x