3.1.1导数与函数的单调性课件(北师大版选修2-2)

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高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.2函数的极值课件北师大版选修2_2

探究一
探究二
思维辨析
变式训练1判断下列函数是否有极值,如果有极值,请求出其极值; 如果无极值,请说明理由.
(1)y=f(x)=x3- x2+ x+1;
3 4
3 16
(2)y=f(x)=x|x|.
3 3 解 :(1)y'=3x - x+ . 2 16解得 x= . 2 16 4 1 1 当 x> 时 ,y'>0,当 x< 时 ,y'>0. 4 4
探究一
探究二
思维辨析
利用导数求函数的极值【例1】求函数y=3x3-x+1的极值. 分析:首先对函数求导,然后求方程y'=0的根,再检查y'在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么此处取最大值,如果左负右正, 那么此处取极小值.
探究一
探究二
思维辨析
解:y'=9x2-1,
令 y'=0,解得
1 1 x1= ,x2=- . 3 3
当x变化时,y'和y的变化情况如下表: 1 1 1 1 x -∞,- , 3 3 3 3 y' + 0 y ↗
1 3 1 3
0
1 3
+ ↗
1 ,+∞ 3
极大值
↘
7 9
极小值
11 9
因此当 x=- 时函数有极大值,并且 y 极大值 = . 当 x= 时函数有极小值,并且 y 极小值 = .
脉络
1.函数的极值的有关概念在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极大值点,其函数值 f(x0)为函数的极大值. 在包含x0的一个区间(a,b)内,函数y=f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值,称点x0为函数y=f(x)的极小值点,其函数值 f(x0)为函数的极小值. 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.

2020-2021学年高中北师大版数学选修2-2课件：3.1.1 导数与函数的单调性

3
【题后反思】函数f(x)的单调性与其导数f′(x)的符号有什么关系?
提示:在区间(a,b)内函数的单调性与导数有如下关系:
函数的单调性单调递增
单调递减常函数
导数
f′(x)≥0,且f′(x)在(a,b)内的任何子区间上都不恒为零
f′(x)≤0,且f′(x)在(a,b)内的任何子区间上都不恒为零
f′(x)=0
【解题策略】原函数与导函数关系的判定方法
(1)对于原函数图像,要看其在哪个区间内是增加的,则在此区间内导数值大于零. 在哪个区间内是减少的,则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像. (2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快慢.
【跟踪训练】已知函数y=xf′(x)的图像如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图像中,y=f(x)的图像大致是 ( )
(2)函数y=f(x)的导数是f′(x)=x2-3x+2,由f′(x)>0解得x<1或x>2,那么函数 y=f(x)的递增区间是(-∞,1)∪(2,+∞)吗? 提示:不是,函数的单调区间不能用“∪”连接.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)函数的导数越小,函数值的变化越慢,函数的图像就越“平缓”. ( )
()
A.增函数
B.减函数
C.有增有减 D.不能确定
【解析】选A.y′=1-sin x≥0,因此函数为增函数.
3.若函数y=x3+ax在R上是增函数,则a的取值范围是
.
【解析】因为y′=3x2+a,由题意得3x2+a≥0,a≥-3x2在R上恒成立,因为-3x2≤0,

高中数学第三章导数应用 3.1 函数的单调性与极值 3.1.1 导数与函数的单调性教材基础素材北师大版选修2-2

3.1.1 导数与函数的单调性导数是依照实际问题为背景提出的概念.利用函数的导数可以研究函数的许多性质,这节课我们就利用导数来研究函数的单调性. 高手支招1细品教材一、函数的单调性状元笔记如何判断一个函数是增函数还是减函数呢？可以根据定义,在区间内任取两个数x 1,x 2,先假设x 1＜x 2,然后比较f(x 1)与f(x 2)的大小,f(x 1)＜f(x 2)则是增函数;f(x 1)＞f(x 2)则是减函数. 1.增函数和减函数(1)增函数:对于任意的两个数x 1,x 2∈I,如果当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＜f(x 2),那么函数f(x)就是区间I 上的增函数.(2)减函数:对于任意的两个数x 1,x 2∈I,如果当x 1＜x 2时,都有f(x 1)＞f(x 2),那么函数f(x)就是区间I 上的减函数. 2.函数的单调性如果函数f(x)在某个区间上是增函数或减函数,那么就说f(x)在这个区间上具有单调性.二、用导数判断函数单调性的法则状元笔记一般地,如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图像就较“平缓”.1.切线的斜率和f(x)的导数的关系(1)切线的斜率为正,f′(x)＞0;切线的斜率为负,f′(x)＜0.(2)用曲线的切线的斜率来理解法则.当切线斜率非负时,切线的倾斜角小于2π,函数曲线呈向上增加状态;当切线斜率为负时,切线的倾斜角大于2π、小于π,函数曲线呈向下减小状态.【示例】证明函数f(x)=e x +e -x 在［0,+∞)上是增函数. 思路分析:只需证明f′(x)在［0,+∞)上大于等于零恒成立.证明:f′(x)=(e x)′+(x e1)′=e x +(x e 1-)=e x -e -x =x x e e 1)(2-,∵当x∈［0,+∞)时,e x ≥1,∴f′(x)≥0. ∴f(x)=e x +e -x 在［0,+∞)上为增函数. 2.用导数判断函数的单调性状元笔记对于可导函数f(x)来说,f′(x)＞0是函数f(x)在(a,b)上为单调增函数的充分不必要条件,f′(x)＜0是函数f(x)在(a,b)上为单调减函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x 3在R 上为增函数,但f′(0)=0,所以在x=0处不满足f′(x)＞0. (1)一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:在某个区间(a,b)内,如果f′(x)＞0,那么函数f(x)在这个区间内单调递增;如果f′(x)＜0,那么函数f(x)在这个区间内单调递减.【示例】 f(x)=5x 2-2x 的单调增区间为 …( )A.(51,+∞) B.(-∞,51) C.(51-,+∞) D.(-∞,51-)思路分析:求f′(x),解不等式f′(x)＞0. 答案:A(2)利用导数判断函数单调性的一般步骤: ①求导数f′(x);②在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)＞0和f′(x)＜0; ③根据②的结果确定函数f(x)的单调区间. 【示例】求下列函数的单调区间. (1)y=x 4-2x 2+6;(2)y=-lnx+2x 2.思路分析:求出导数y′,分别令y′＞0和y′＜0,解出x 的取值范围,便可得出单调区间.解:(1)y′=4x 3-4x,令y′＞0,即4x 3-4x ＞0,解得-1＜x ＜0或x ＞1,所以单调增区间为(-1,0)和(1,+∞).令y′＜0,解得x ＜-1或0＜x ＜1,因此单调减区间为(-∞,-1)和(0,1).(2)y′=4x -x 1,令y′＞0,即4x-x 1＞0,解得21＜x ＜0或x ＞21;令y′＜0,即4x-x 1＜0,解得x ＜21或0＜x ＜21.∵定义域为x ＞0,∴单调增区间为(21,+∞),单调减区间为(0,21).高手支招2基础整理本节是通过联系单调性的定义和斜率的结构式来得到函数的导数与单调性的关系的.利用导数解决含有参数的单调性问题,一般是将问题转化为不等式的恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用.。

高二北师大数学选修22第一课时3.1.1函数的单调性

增区间.
③令 f′(x)＜0 解不等式，得 x 的范围，就是
递减区间.
三、讲解范例：
例 1 确定函数 f(x)=x2－2x+4 在哪 y
个区间内是增函数，哪个区间内是
减函数.
2
fx = x2-2x+4
O1
x
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.
令 2x－2＞0，解得 x＞1.
∴当 x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增
∴f(x)= 1 在(0，+∞)上是减函数.
x
证法二：(用导数方法证)
∵ f =( /(x) 1 )′=(－1)·x－2=－ 1 ，x＞0，∴x2＞
x
x2
0，∴－ 1 ＜0. ∴ ， f /(x) 0 x2
∴f(x)= 1 在(0，+∞)上是减函数. x2
点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是
函数.令 2x－2＜0，解得 x＜1.
∴当 x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减
函数.
例 2 确定函数 f(x)=2x3－6x2+7 在
哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
y fx = 2x3-6x2+7
解： f ′ (x)=(2x3 － 6x2+7) ′
=6x2－12x 令 6x2－12x＞0，解得 x
解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b, 令 2ax+b＞0，解得 x＞－
b ∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－ b ，+∞)
2a
2a
令 2ax+b＜0，解得 x＜－ b .∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调

高中数学第三章导数应用 3.1.1 导数与函数的单调性课件6 北师大版选修22

例2、确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是
增函数，哪个区间内是减函数.
你们写对了吗？
解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.
y
令2x－2＞0，解得x＞1.
∴当x∈(1，+∞)时，
f′(x)＞0，f(x)是增函数.
令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时， f′(x)＜0，f(x)是减函数
x
总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.
结论：
设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这
个区间内y ′ >0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′ <0，那么y=f(x)为这个区间内的
单调区间不以“并集”出现
课堂练习
1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1)
(B) (1,2)
(C) (-∞,-1)
(D) (-∞,-1) ，(1, +∞)
答案：选A
2、判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
(1) f (x) x3 3x; (2) f (x) x2 2x 3;
y
fx = 2x3-6x2+7
O1 2
x
一、复习回顾：导数的相关概念
1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义
2 、某点处导数的几何意义
函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率.

高中数学第三章导数应用3.1函数的单调性与极值3.1.1.2导数与函数单调性的应用课件北师大版选修2_2

D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1
2
3
4
5
4.若 f(x)=-12x2+bln(x+2)在区间(-1,+∞)上是减少的,则 b 的取值范围
是
.
解析:f'(x)=-x+��+�� 2≤0 在区间(-1,+∞)上恒成立,即 b≤x(x+2)恒成立.
题型一题型二
【变式训练 2】求证:不等式 ln x>2��(��+��-11),其中 x>1.
证明:设 f(x)=ln x-2��(��+��-11)(x>1),
则
1
f'(x)=��
−
4 (��+1)2
=
��((��-+11)2)2.
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D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
1.当x∈[a,b]时,f'(x)>0,则f(x)在区间[a,b]上是增加的;当x∈[a,b] 时,f'(x)<0,则f(x)在区间[a,b]上是减少的.
故
a 的取值范围是
-
1 2
,
+
∞
.
题型一题型二
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D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN

高二数学北师大版选修2-2 第3章 §1 1.1 导数与函数的单调性课件(39张)

第三章
导数应用
§1 函数的单调性与极值
1.1 导数与函数的单调性
课前预习学案
1．对于函数f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数的递增区间和递减区间． (2)在递增区间内，导函数f′(x)的符号确定吗？在递减区间内呢？ [提示] (1)递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(－∞，1)， (2)f′(x) ＝ 2x － 2 ，故在递增区间 (1 ，＋ ∞) 内， f′(x) ＞ 0 ；在递减区间(－∞，1)内，f′(x)＜0.
x2－1 ＝ x ＜0，∴0＜x＜1.
答案： A
2．若三次函数f(x)＝ax3－x在区间(－∞，＋∞)内是减函数，则( ) B．a≤1 A．a≤0
1 C．a＝2 D．a＝3 解析： ∵f′(x)＝3ax2－1，若f(x)在(－∞，＋∞)上是减
函数，∴f′(x)≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3ax2－1≤0恒成立，∴a≤0.
件．当函数在某个区间内恒有 f′(x)＝0，则f(x)为常数函数，不
具单调性．所以f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件．
(2)求函数单调区间的步骤： ①确定函数f(x)的定义域； ②求导数f′(x)；
③由 f′(x) ＞ 0( 或 f′(x) ＜ 0) 解出相应的 x 的范围．当 f′(x) ＞ 0
2．对于函数f(x)＝sin x，在区间
π ，π 2
π 0， 2
内单调递增，在
内单调递减．那么，f′(x)在这两个区间内符号又怎样
π π x在0，2内为正，在2，π内为负．
呢？
[提示] f′(x)＝cos
利用导数的符号判断函数单调性
函数在区间(a，b)上的单调性与其 f′(x)＞0 f′(x)＜0 f′(x)＝0 函数在(a，b)上的单调性增加 ________ 减少 ________ 常函数 ________

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§1 函数的单调性与极值 1．1 导数与函数的单调性
思想方法技巧当堂双基达标
●三维目标 1．知识与技能 (1)引导学生发现函数的单调性与导数的关系，探索研究其关系的方法； (2)运用导数判断函数的单调性，求函数的单调区间．
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1.掌握函数的单调性与导数的关系． 2.能利用导数研究函数的单调性．(重点、难点) 课标解读 3.会求不超过三次的多项式函数的单调区间和其他函数的单调区间．(重点)
教学时，可借助具体实例发现函数单调性与导数之间的关系，然后可以从导数的几何意义给予直观解释，再结合单调性定义和导数定义从代数角度肯定这一关系，这样就能突破难点，同时加深对导数本质特征的认识．引导学生解答相应问题，掌握用导数研究函数的单调性和求函数单调区间的方法和步骤，强化重点．
当堂双基达标
教学教法分析教学方案设计课前自主导学课堂互动探究思想方法技巧当堂双基达标
2．过程与方法通过对函数的单调性与导数的关系的探究学习，经历探索过程，提高归纳、抽象概括能力，体会数形结合研究函数的单调性与导数的关系，培养探索精神和创新意识． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对函数的单调性与导数的关系的探究学习，体会从特殊实例到一般规律这一认识事物的规律和多角度认识和分析问题，培养发散思维能力；
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导数与函数的单调性
【问题导思】 1．已知函数f(x)＝x2－2x，试求f′(3)，并说明f′(3)的几何意义及函数f(x)在x＝3处的变化情形．
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●教学建议本节内容安排在学习了导数的概念和运算之后，是对概念和运算的进一步认识和运用；同时，作为研究函数的工具，本节也是用导数研究函数的重中之重．因此，使学生通过“运算——比较——归纳——概括”发现导数与单调性关系，并从“数”“形”两个角度对这一关系加以验证，是本节课教学的重点之一，故可采取探究式课堂教学模式，即教学中在具体问题的指引下，以学生独立自主和合作交流为前提，“以导数与函数的关系”为探究内容，让学生发现问题、提出问题、解决问题．
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●教学流程设计
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(2)通过本节的学习和运用实践，体会事物之间的联系，学习用联系的观点认识问题、解决问题，学习用数学的思维认识、解决问题．
思想方法技巧当堂பைடு நூலகம்双基达标
●重点难点重点：利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间；难点：函数的单调性与函数的导数之间的关系的探究和理解．
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