1.3.1 函数的单调性与导数

1.3.1 函数的单调性与导数

知识要点

1，函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(),a b内，如果，那么函数()

=在这个区间内单

y f x

y f x

=在这个区间内单调递增；如果，那么函数()

f x在这个区间内为常函数。

调递减；如果恒有，那么函数()

内，这时，函数的图像就比较；反之，函数的图像就比较。

教材拓展

求函数单调区间的步骤与方法：

（1）

（2）

（3）

（4）

典型例题

知识点一，求函数的单调区间

例1，求下列函数的单调区间

（1）()3f x x x =-

（2）1x

y e x =-+

（3）ln y x x =- （4）

12y x =

变式训练1，求函数)0y a =>的单调区间

知识点二，判断函数的单调性 例2，已知a R ∈，讨论函数()2ax f x x e =⋅的单调区间

变式训练2，已知()()10,11

x x a f x a a a -=>≠+，讨论()f x 的单调性

知识点三，求参数的取值范围

例3，已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+--++∈

（1）若函数()f x 的图像过原点，且在原点处的切线斜率是3-，求,a b 的值；

（2）若函数()f x 在区间()1,1-上不单调，求a 的取值范围。

变式训练3，若函数()325f x ax x x =-+-在R 山单调递增，求a 的取值范围

作业练习

水平基础题

1．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )

A.⎝

⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭

⎫0，π2 C.⎝

⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫π2，π D.⎝⎛⎭⎫－π2，0和⎝⎛⎭

⎫π2，π 2．下列命题成立的是( )

A ．若f (x )在(a ，b )内是增函数，则对任何x ∈(a ，b )，都有f ′(x )>0

B ．若在(a ，b )内对任何x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )上是增函数

C ．若f (x )在(a ，b )内是单调函数，则f ′(x )必存有

D ．若f ′(x )在(a ，b )上都存有，则f (x )必为单调函数

3．(2007·福建理，11)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )

A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0

B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0

C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0

D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0

4．已知函数f (x )＝ax －ln x ，若f (x )＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，实数a 的取值范围为________．

5．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．

(1)求a 、b 的值；

(2)讨论函数f (x )的单调性．

水平提升题

6．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a

A ．af (a )≤f (b )

B ．bf (b )≤f (a )

C ．af (b )≤bf (a )

D ．bf (a )≤af (b )

7．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )

A ．f (0)＋f (2)<2f (1)

B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)

C ．f (0)＋f (2)≥2f (1)

D ．f (0)＋f (2)>2f (1)

8．(2010·江西理，12)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为

( )

9．函数

y ＝ln(x 2－x －2)的单调递减区间为__________． 10．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．

11．求证：方程x －12

sin x ＝0只有一个根x ＝0. 12．已知函数y ＝ax 与y ＝－b x

在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y ＝ax 3＋bx 2＋5的单调区间．

提升拓展题

13．(2010·新课标全国文，21)设函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2.

(1)若a ＝12

，求f (x )的单调区间； (2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．

14.已知函数()32f x x ax =+与()2

g x bx cx =+的图象都过点()2,0P ，且在点P 处有公切线。求：

（1）()f x 和()g x 的表达式及公切线方程；

（2）若()()()'1ln 16

g x F x f x =+

，求()F x 的单调区间。

参考答案

知识要点