1.3.1 函数的单调性与导数

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1.3.1 函数的单调性与导数

知识要点

1,函数的单调性与其导函数的关系:在某个区间(),a b内,如果,那么函数()

=在这个区间内单

y f x

y f x

=在这个区间内单调递增;如果,那么函数()

f x在这个区间内为常函数。

调递减;如果恒有,那么函数()

内,这时,函数的图像就比较;反之,函数的图像就比较。

教材拓展

求函数单调区间的步骤与方法:

(1)

(2)

(3)

(4)

典型例题

知识点一,求函数的单调区间

例1,求下列函数的单调区间

(1)()3f x x x =-

(2)1x

y e x =-+

(3)ln y x x =- (4)

12y x =

变式训练1,求函数)0y a =>的单调区间

知识点二,判断函数的单调性 例2,已知a R ∈,讨论函数()2ax f x x e =⋅的单调区间

变式训练2,已知()()10,11

x x a f x a a a -=>≠+,讨论()f x 的单调性

知识点三,求参数的取值范围

例3,已知函数()()()()3212,f x x a x a a x b a b R =+--++∈

(1)若函数()f x 的图像过原点,且在原点处的切线斜率是3-,求,a b 的值;

(2)若函数()f x 在区间()1,1-上不单调,求a 的取值范围。

变式训练3,若函数()325f x ax x x =-+-在R 山单调递增,求a 的取值范围

作业练习

水平基础题

1.函数y =x sin x +cos x ,x ∈(-π,π)的单调增区间是( )

A.⎝

⎛⎭⎫-π,-π2和⎝⎛⎭⎫0,π2 B.⎝⎛⎭⎫-π2,0和⎝⎛⎭

⎫0,π2 C.⎝

⎛⎭⎫-π,-π2和⎝⎛⎭⎫π2,π D.⎝⎛⎭⎫-π2,0和⎝⎛⎭

⎫π2,π 2.下列命题成立的是( )

A .若f (x )在(a ,b )内是增函数,则对任何x ∈(a ,b ),都有f ′(x )>0

B .若在(a ,b )内对任何x 都有f ′(x )>0,则f (x )在(a ,b )上是增函数

C .若f (x )在(a ,b )内是单调函数,则f ′(x )必存有

D .若f ′(x )在(a ,b )上都存有,则f (x )必为单调函数

3.(2007·福建理,11)已知对任意实数x ,有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),且x >0时,f ′(x )>0,g ′(x )>0,则x <0时( )

A .f ′(x )>0,g ′(x )>0

B .f ′(x )>0,g ′(x )<0

C .f ′(x )<0,g ′(x )>0

D .f ′(x )<0,g ′(x )<0

4.已知函数f (x )=ax -ln x ,若f (x )>1在区间(1,+∞)内恒成立,实数a 的取值范围为________.

5.设函数f (x )=x 3-3ax 2+3bx 的图象与直线12x +y -1=0相切于点(1,-11).

(1)求a 、b 的值;

(2)讨论函数f (x )的单调性.

水平提升题

6.f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意正数a 、b ,若a

A .af (a )≤f (b )

B .bf (b )≤f (a )

C .af (b )≤bf (a )

D .bf (a )≤af (b )

7.对于R 上可导的任意函数f (x ),若满足(x -1)f ′(x )≥0,则必有( )

A .f (0)+f (2)<2f (1)

B .f (0)+f (2)≤2f (1)

C .f (0)+f (2)≥2f (1)

D .f (0)+f (2)>2f (1)

8.(2010·江西理,12)如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)=0),则导函数y =S ′(t )的图像大致为

( )

9.函数

y =ln(x 2-x -2)的单调递减区间为__________. 10.若函数y =x 3-ax 2+4在(0,2)内单调递减,则实数a 的取值范围是____________.

11.求证:方程x -12

sin x =0只有一个根x =0. 12.已知函数y =ax 与y =-b x

在(0,+∞)上都是减函数,试确定函数y =ax 3+bx 2+5的单调区间.

提升拓展题

13.(2010·新课标全国文,21)设函数f (x )=x (e x -1)-ax 2.

(1)若a =12

,求f (x )的单调区间; (2)若当x ≥0时f (x )≥0,求a 的取值范围.

14.已知函数()32f x x ax =+与()2

g x bx cx =+的图象都过点()2,0P ,且在点P 处有公切线。求:

(1)()f x 和()g x 的表达式及公切线方程;

(2)若()()()'1ln 16

g x F x f x =+

,求()F x 的单调区间。

参考答案

知识要点