函数的单调性与导数教学设计

《函数的单调性与导数》教学设计
教材分析
1、内容分析
导数是微积分的核心概念之一，是高中数学教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打下了基础.
由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性.
2、学情分析
在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识.
用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣.
教学目标
依据新课标纲要和学生已有的认知基础和本节的知识特点，我制定了以下教学目标：
1、知识与技能目标：
借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系；培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识.
2、过程与方法目标：
会判断具体函数在给定区间上的单调性；会求具体函数的单调区间.
3、情感、态度与价值观目标：
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。

教学重点、难点
教学重点：1、利用导数判断函数的单调性.
2、会求不超过三次的多项式的单调区间。

教学难点：1、函数的单调性与导数的关系
2、提高灵活应用导数法解决有关函数单调性问题的能力.
教学重难点的解决方法
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题；通过几何画板的动态演示，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解.
教法设计：
1、自主探究法：让学生自己发现问题，自己归纳总结，自己评析解题对错，从而提高学生的参与意识和数学表达能力.
2、比较法：对同一个问题，采用不同的方法，从中体会导数法的优越性.
教学媒体
根据本节课的教学要求及学生学习的需要,我对本节课的教学媒体设计如下
1:多媒体辅助教学:制作直观,有效地多媒体课件,可以节省课堂时间,也给学生直观认识和感觉;
2:投影仪的辅助教学:利用投影把学生的解题过程及方法及时展示,可以提高学生学习数学的兴趣.
课型：新授课
教学过程
教学过程设计意图
创设情境复习引入1、回顾函数单调性的定义；
2、判断函数的单调性.
解法一：单调性的定义：
设x
1
x
2
则
=
因为x
1
x
2，
，
当时；
当时
所以函数在区间上单调递减，在区间
上单调递增
解法二：图像法
引导学生回顾判断函数单调
性的基本方法：
（1）“定义法”
（2）“图象法”
探求新知形成概念问题：如何确定函数f(x)=2x3－6x2＋7的单调区间？
导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上
每个点处的切线的斜率都是变化的，那么能否用导数来研究
函数的单调性呢?
前面我们用定义和图像已经知道
二次函数的单调性及单调区间，下面我用几
让学生在短时间内尝试完成，
结果发现用“定义法”作差后
判断正负很麻烦，而用“图象
法”时，图象又很难画出.
教师对具体例子进行动态演
示，学生对一般情况进行实验
验证。

由观察、猜想到归纳、
总结，
何画板来展示曲线上任何一点的导数的变化。

一般的，函数的单调性与其导函数的正负有如下的关系：在某个区间（a,b）内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；
如果，那么函数在这个区间内单调递减；
如果，那么函数在这个区间内是常函数．思考：能推出为增函数，反之是否成立？
是
f(x)为增函数的充分不必要条件（举例f(x)=x3））
例题讲解例题1：求函数f(x)=2x3－6x2＋7的单调区间
解：f(x)‘‘=6x2－12x．
令6x2－12x>0，解得x<0或x>2．
令6x2－12x<0，解得0<x<2．
因此，当x∈(0, 2)时，f(x)是减函数．
f(x)也是增函数．
当x∈(－∞, 0)和当x∈(2, ＋∞)时，
函数f(x)是增函数，
尝试练习1：
（2009江苏卷）函数的
单调减区间
为
2：函数的单调
增区间为。

3：函数f(x)=x+elnx的单调递增区
间( )
(A)、(0，+∞) (B)、(-∞,0)
(C)(-∞,0)和(0，+∞) (D)、R
例题2：如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）
注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对
应的水的高度与时间的函数关系图像．
师板书规范合理的解题过程
并强调用导数求函数单调区
间的方法
练习由易到难1、让学生熟悉
利用导数求函数单调区间的
方法，
2、考察单调区间时必须保证
定义域优先.
练习采用提问、投影演示等形
式讲解。

教师引导学生思考应用导数
信息确定函数大致图像，利用
导数的正负可以判断函数的
增减性，求函数的单调区间，
同样，利用导数的正负还可以
绘制函数的大致图象。

通过此题进一步培养学生看
图及识图的能力。

一般
地,如
果一
个函
数在
某一
范围内的导数的绝对值较大,说明函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之,函数的图象就较“平缓”.
尝试高考：设f ‘‘(x)是函数f(x)的导函数，f ‘‘(x)
的图象
如下,则
f
(x) 的
图象的
大致形状为: ( )
小结通过这节课的学习，你都学到了什么？
1、知识方面：
导数法判定单调性的步骤：
（1）求定义域；
（2）求导数；
（3），则为增（减）函数；
通过学生自己归纳和总结进
一步理解本节课的重要内容
及解题方法
板书设计
1．3．1：函数的单调性与导数
解答例2
1 尝试练习1、2、3；
2、方法方面：数形结合
本课作业必做题：
习题组1, 2;
选作题：
1、(2011年高考江苏卷2)函数的单调增
区间是__________
2、已知函数f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求实数a
的取值范围.
3、(宁夏2010年高考21)设函数f(x)=.
(1)、若a=0,求f(x)的单调区间;
(2)、若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围
给不同层次的学生不同的提
升空间
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
对于学生来说，利用导数研究函数的单调性是一个全新的方法，为使学生对这一定理的引入不感到突然，安排了两简单的引例，引导他们发现引进导数的必然性，通过几何画板给学生直观感受，以便自然的得到定理，这也是对学生观察、分析、归纳能力的一种培养。

课后作业的不同层次的设置,既可以帮助学生巩固所学知识，又为学有余力的学生留有提升的空间.。