几类特殊类型函数的积分
几种特殊类型积分因子的求法
1.1:(y)解: 变形为1 J(x, y) - P 2(x)q 1(y)(x -1)(y -1)运用积分因子方法求解几种特殊类型微分方程方小，数学与计算机科学学院摘 要：针对满足某些条件的微分方程，着重研究如何直接地、有效地求出其积 分因子的方法,从而方便快捷地求出其通解•引言：方程取形式M(x,y)dx • N(x,y)dy =0时的求解问题教材中主要介绍了五 种类型的初等解法，实际上作为基础的还是恰当微分方程，其他类型均可借助积分因子化为这种类型，掌握一些特殊类型的积分因子求法及部分特殊结构微分方 程的积分因子的求法，从而大提高解微分方程的效率和可操作性•一.几种特殊类型结构的微分方程 M(x,y)dx ，N(x,y)dy = 0的积分因子 的求法1 •常见一阶微分方程几种运用积分因子转化成恰当微分方程 可分离变量方程= f (x) ( y)很容易求得积分因子为■-dx求(xy - x)dx (xy x - y -1)dy = 0 的积分因子x(y -1)dx (x -1)(y 1)dy = 0积分因子为方程两边乘以上积分因子得:dy = 0 x-1y -1两边积分得原方程的通解为x y ln(x T)( y T)2 二 C1 .2 线性微分方程—g(x)「g(x ),设f(x ,y )及三连续'试证方程d y _f(x ,y g o 为线性微分方程它有仅依赖于x 的积分因子• 证明：设方程dy - f (x, y)dx =0是线性微分方程.即存在g(x), h(x)使得f(x, y)二 yg(x) h(x)这样M 二-f (x, y)二-yg(x) -h(x), N = 1, .:M :N.:y；xN所以，方程具有积分因子C-g(x)dx.二=e这即证明了方程有仅依赖于x 的积分因子.例2 :解方程:(ycosx-ysinx)dx (ysinx xc°sx)dy = 0解： • .M = ycosx - xsinx, N = ysinx xcosx:N ：:M=y于是积分因子为ydy yu =e 二e•••通解为e y (xcosx ysinx-sinx)=C” __n-(n -J p(x)dx)1.3 伯努利微分方程方程的积分因子是'=y e证明: 设伯努利方程为改写为dy _ p(x)ydx _ q(x) y n dx 二 0,乘以y』得y 』dy - p(x)y 1』dx _q(x)dx = 01 _n 1 _od(y )一(1 一 n)p(x)y dx —(1 - n)q(x)dx = 0,再乘以_(1』)p(x)dxe41』)p(x)dxe(1 - n)q(x)dx 二 0,_(1_n) p(x)dx」 dx ] = 0.少=p( x) y q( x)y ndx p( )y q( )y 5式0,1)11-(1-n) fp(x)dx [d(y )-(1 - n)p(x)y dx]-e1 _n _(1 _n [ p ( s) dxd[y e]—d[ .(1 - n)q(x)e这是全微分方程，因此所求积分因子是■— 」n_]p(x)dx)y e例 求3 • y 二(cosx —sinx) y 2的积分因子及通解 dx解：积分因子/、.np(x )dx/ 菽(x, y) = y ey e原方程两边同乘以 y °e ，并化为对称式为y 2e"dy y °e*dx = (cosx -sin x)e»dx凑微分为：d( —e^y J) = d(e 亠 sin x)两边同时求积分得：e^si nx e "^y = C1.4齐次微分方程M(x,y)dx • N(x,y)dy =0当xM • yN = 0时有积分因子(・N) xxM N - MNex-xN(xM yN)2由于方程是齐次的，我们不妨设 M(x, y)和N(x, y)是m 次齐次函数，则有.:M:x;:M*x匕cN 冰* y = m • M 与—*x — * y = m * N ex cy由上:M :N :N :M yNyMxMxNcycyexex从而得到：因此方程 M (x, y)dx N (x, y)dy =0当xM ■ yN = 0时有积分因子-1xM yNxM yN证明由于切(x,y) = ^<jN(x,yr^^xM +yN xM +yN则有.:MNN(xM yN) - M (x N y )；：(」M) _ ：：y jy ；:y訶一 (xM yN)2MNyN MN - yM * —dycy-(xM +yN)2J同理，例(y 2「3x 2)dy 2x y d x 0yy 2 -0 1 y 3-0 1 N(y)P(x)解此为齐次方程，故有积分因子J =1 (Px Qy) =1 (2x 2y y 3 _3x 2y) =1 (y 3 _x 2y)乘以积分因子，原方程化为■2222』 32[2x (y -x )]dx [(y -3x ) (y -xy)]dy = O这是一个全微分方程，它的通解为x 2x dx 0 2 2 0y - x2 2 2In y -In(y -x ) In y = C 其中C 为常数2、具有特殊结构的一阶微分方程 M (x, y)dx • N(x, y)dy = 0的积分因子的求法 2.1 方程 M (x)N(y)dx P(x)Q(y) =0有积分因子：显然,直接验证可得= 1旷 N(y)P(x)为上式的积分因子..f (x)dx • ■ (y)dy若(：：P).(：y) -(：Q) (：：X )二 Qf (x) -P “y)」「I-是方程的积分因子解：因为(：：P).(：：y) -(9) (；:x)2=6y x (2x 6y ) =(x 6y 2) 2(3y x)2 21 2 2一(x6xy)(-—)-(3y xy)(——)xy1 = Q(-—)-P()x y故有积分因子dx1 2xy于是原u[f(u)-gL )]dx g(」)d —0(1)(3 x 1 y)dx -(x y 1 2) 6)dy 二 0 (3 x)dx-6dy [(1 y) dx -(x y 2)dy] = 0这是一个全微分方程，积分得出通解为3ln x - 6y x y = C或 3yln x - 6y 2 x =cy2.2 设函数f(u),g(u)连续、可微且, 则方程yf(xy)dx - xg(xy)dy =0有积分因子:xy[f (xy)-g(xy)]证明:令沁二」,则原方程可化为，但对于一个较复杂的方程，往往不容易直接求得它的积分因(xy[ f (xy) -g(xy)]子•(1)式两边同乘以fT 齐得显然(2)为恰当方程，故(1)有积分因子 」[f(」)_g(」)]”因而原方程有积分因子dxg(Jdu = 01 2x故有积分因子■' - 1 2 2 2 2{xy[(x 2y 21) -(x 2y 2 一1)]}1乘上 —得2xy^xy 2dx 丄 dx -x 2ydy 2 2x 22（xy 2dx x 2ydy ） 2（空-包）=0x y二.针对满足某些条件的微分方程，运用积分因子方法求出通解但是如果把它的左端分成几组，比如分成两组：（M 1dx N 1dy ） （M 2dx N 2dy ） =0（3）后,可分别求得各组的积分因子 叫和^,也就是如果有J 1/l 2使SM 1 叫 N j dy 二J2M 2 」2N 2dy 二 d 」2于是借助于7,常可求得Mdx • NdY =0的积分因子.为了说明这一点，先注意 下一事实•如果「是Mdx • NdY =0的一个积分因子，且 ％」Ndy 二d ，,则」^1）也是Mdx • NdY =0的积分因子.此处 C 1）是，的任一连续函数. 事实上」3） Mdx "_ （」）Ndy 二（」）（」Mdx 订：Ndy ）二（Jd 」 其中①表示©的一个原函数•据此知,对于任意的函数 V ）及7（\）、2：：（」2）都分别是⑶的第一组和第 二组的积分因子.函数有着广泛选择的可能性.若能选择：：使亠=U 1 C\）「f ）则卩就既是（3）的第一组也是第二组的积分因子.因而也就是Mdx • NdY =0的积分因子.3y 2 x例:解方程：( 3x )dx - (1 )dy =0x y解:原方程改写为3(上dx dy) (3x2—)dy = 0x y显然丄i 二x,鋼=xy,丄2 二y,丄2 二x‘ y为使x \xy)二y (x3y),只须取丫")二"2,「(")= J于是求得原方程的一个积分因子：」二x (xy)二y (x3y)二x3y2而以之乘方程的两端，便得2 2 ^52、，，32 6x y 3x y )dx (x y x y)dy = 0于是/ \3 z 3 2P(x, y) = 0 (x2y3 +3x5y2)dx= —+ —(取c = 0) •••通解为(xy)3 . (x3y)2结论1 :设u(x, y)是方程M (x, y)dx N(x,y)dy =0的积分因子，从而求得可微方程U(x,y)使dU =亠(Mdx • Ndy) /(x,y)=曲(U )时」i(x,y)也是方程的积分因子,其中：(t)是t的可微函数.结论2:设u (x, y) , U2(x, y)是方程M (x, y)dx N(x, y)dy = 0的两个积分因子，且 F =常-2数，则匚1二C (任意常数)是方程的通解•^2结论3:假设当方程M(x,y)dx ・N(x,y)dy=O为齐次方程时，且为恰当方程，则它的通解可表示为xM (x, y)dx ■ yN(x, y)dy =c (c为任意常数).参考文献(顶格、宋体、小四号加粗)：[1] 刘广珠.高中生考试焦虑成因分析[J].陕西师大学报(哲社版)，1995,24( 1): 161-164.(参考文献序号在文中采用右上标注的方式，用数字加方括号表示，如[1]，[2]，…，序号应连续。
不定积分,习题
联立并令 C1 = C ,
1 可得 C 2 = ＋C , C 3 = 1 + C . 2
1 2 − 2 x + C , x < −1 1 故 ∫ max{1, x }dx = x + + C , − 1 ≤ x ≤ 1. 2 1 2 2 x + 1 + C, x > 1
= x2 − 1 1 − arcsin + C . x x
例4
求 ∫ xarctan xln(1 + x2 )dx.
2
解 ∵ ∫ x ln(1 + x 2 )dx = 1 ∫ ln(1 + x 2 )d (1 + x 2 )
1 1 2 2 2 = (1 + x ) ln(1 + x ) − x + C . 2 2 1 1 2 2 2 原式 = ∫ arctan xd [ (`1 + x ) ln(1 + x ) − x ] 2 2 1 = [(`1 + x 2 ) ln(1 + x 2 ) − x 2 ] arctan x 2 1 x2 ]dx − ∫ [ln(1 + x 2 ) − 2 2 1+ x
5、函数 f ( x) = ( x + x )2 的一个原函数F (x) = ( ) 4 3 4 （A） x ; （B） x x 2 ; 3 3 2 2 2 2 2 （C) x( x + x ) ; （D） x ( x + x ) . 3 3 6 、 已 知 一 个 函 数 的 导 数 为 y′ = 2 x ， 且 x = 1 时 y = 2,这个函数是（ ） 这个函数是（ y = x2 + C ; （A） 2 （B） y = x + 1 ; x2 （C） y = + C ; 2 （D） y = x + 1 .
特殊类型函数积分
1）
Q（x）中如果含有因式
( x a)
k
则
要分解成称 k 个部分之和。且
A1 、 A2 、….
An 为常数，特别的
k=1 时，分解后得到：
A ( x a )
A3 Ak A1 A2 .... ( x a) k ( x a) k 1 ( x a) k 2 ( x a)
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 xห้องสมุดไป่ตู้m2 ...... bn
=
A3 A A1 A2 .... k k k 1 k 2 ( x a) ( x a) ( x a) ( x a)
2
x 2 x 2 x 2
2
cos x
2
三、 简单无理式的积分
这里只讨论 R ( x ,
n
ax b ) 及
R (x,
n
ax b ) cx e 这两类函数的积分
3） 最后求 A、 M、 N、 最后用待定系数法 带入特殊 x 值 特殊有理式分解：
1】 2】 3】
A B 1 x2 x3 x 2 5x 6 1 A B C x ( x 1) 2 x ( x 1) 2 x 1
1 A Bx c 2 2 (1 2 x )( x 1) (1 2 x ) 1 x2
特殊类型函数积分
一、 有理函数的积分 1）有理式的定义：
由两个多项式的商所表示的函数：
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 x m2 ...... bn
08几种特殊类型函数的积分
(t
2tdt
2
− 1)
2
,
2t t 2dt 1 1+ x (t 2 − 1)t 2 2 dt = −2∫ 2 ∫ x x dx = − ∫ t −1 (t − 1)
t −1 1 +C = −2 ∫ 1 + 2 dt = −2t − ln t +1 t − 1
2 1+ x 1+ x = −2 − ln x − 1 + C . x x
都是非负整数； 其中 m 、 n都是非负整数； a0 , a1 ,L, a n 及
b0 , b1 ,L, bm 都是实数，并且 a0 ≠ 0， b0 ≠ 0 . 都是实数，
假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式 真分式； (1) n < m , 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式 假分式； ( 2) n ≥ m , 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 利用多项式除法 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 多项式和一个真分式之和
2 k
M1 x + N1 M2 x + N2 Mk x + Nk + 2 + L+ 2 2 k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .
Mx + N ; 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 2 x + px + q
代入特殊值来确定系数 A, B , C 取 x = 0, ⇒ A = 1 取 x = 1, ⇒ B = 1 取 x = 2, 并将 A, B 值代入 (1) ⇒ C = −1
几种特殊类型的函数的积分
dt dt 6 原式 6 3 2 (1 t t t ) t (t 1)(t 2 1) t
dt 3 2 ln( t 1) 3 arctan t C 6 ln t 3 ln t 1 2
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
解 原式
1 [ln x 10 ln( x 10 2)] C 20 1 1 ln x ln( x 10 2) C . 2 20
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例16 求
3
3
dx . 2 4 ( x 1) ( x 1)
2 4 3
x 1 4 ) ( x 1) 2 . 解 ( x 1) ( x 1) ( x1 2 x 1 则有 dt dx , 令t , 2 ( x 1) x1 4 1 dx 原式 t 3 dt x 1 4 2 2 3 ( ) ( x 1) x1 33 x 1 3 1 3 C. t C 2 x 1 2
ln 2 ln 3
C
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例2
计算
x2 dx 6 6 a x
3 3 1 1 3 1 x a 解:原式 3 2 dx ln 3 C 3 2 3 3 3 ( x ) (a ) 6a x a 例3 计算 1 cos x dx x sin x d ( x sin x ) ln | x sin x | C 解:原式 x sin x
x1 例10 求 2 dx. 2 x x 1 1 解 令x , (倒代换)
1 1 1 1 t t 原式 ( 2 )dt dt 2 1 12 t 1 t ( ) 1 t2 t 1 d (1 t 2 ) 2 arcsin t 1 t C dt 2 2 1 t 2 1 t
几种典型函数的积分举例
① 比较系数法
x2 2 x 2 x3 1
A Bx C 2 x 1 x x 1
等式两端同时乘以x3 1 ，得到
x 2 2 x 2 A x 2 2 x 2 Bx C x 1
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例4.6. 计算不定积分
解.
x
2
2x 2
2
x2
2
dx.
原式
x2 2 x 2 2 x 2
x
2
2 x 2
dx
2x 2
x
x2 2x 2
2
2x 2
dx 2
x
2
2x 2
2
dx
1 1 2 d x d x 2x x2 2 x 2 x2 2 x 2 2
4 1 B 1 5. 5 2 11 1 2 1 1 1
2 于是，B . 5
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例4.4. 将
解.
x 1 x
x
x
2
1
分解为部分分式之和.
2
③ 拼凑法
2 2
x 1 x2 1
x
x 1 x 2 1
1 tan x 5
C
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例4.5. 计算不定积分
x2 dx. 2 x 2x 3
1 2x 2 1 2 2 解. 原式 dx 2 x 2x 3 1 2x 2 3 2 2 dx x 2x 3
空间解析几何基础知识总结
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
x x e dx = e +C ∫
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
− csc x + C
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
x a +C (13) ∫ a x dx = ln a
连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =
x 1 1 arctan dx = +C ∫ a2 + x 2 a a
( 21)
∫
x−a 1 1 dx = ln | | +C 2 2 x −a 2a x+a
( 22)
a+ x 1 1 dx = ln | ∫ a 2 − x 2 2a a − x | + C
( 23)
∫
1 x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型: R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , ) cx + e
n
解决方法: 作代换去掉根号．
令t = ax + b;
n
ax + b ; 令t = n cx + e
定积分
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分 的性质
定积分
广义积分
定积分的 计算法
牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x )dx = F ( b ) − F (a )
数学分析知识点总结
估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函 数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则 有理数域内构成闭区间 套 [an ,bn ]Q， 其在实数系内唯一的公 共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、 三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法： 第一类（凑分法）——不需要变换式可逆； 第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积 旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
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1 1)a 2
(x2
x a2 )n1
2n 3 2(n 1)a 2
Jn1.
1
1 x2 a2 x2
J2 (x2 a2 )2 dx a2 (x2 a2 )2 dx
1
1
1
1
a2 [ x2 a2 dx 2 xd( x2 a2 )]
1 a3
arctg
x a
1 2a 2
[(x2
x
第四节 几类特殊类型函数的积分
一、有理函数的积分
有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数.
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 x m
a1 x n1 b1 x m1
an1 x bm1 x
an bm
其中m 、n 都是非负整数；a0 , a1 ,, an 及 b0 , b1 ,, bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
(x
1 1)2
1. x1
例3
(1
1 2x)(1
x2
)
1
A 2x
Bx C 1 x2
,
1 A(1 x2 ) (Bx C )(1 2x),
整理得 1 ( A 2B)x2 (B 2C )x C A,
A 2B 0, B 2C 0,
A 4, B 2,C 1,
5
55
(1) 多项式；
(2)
(
x
A a
)n
;
Mx N (3) ( x2 px q)n ;
讨论积分
Mx N ( x2 px q)n dx,
x2
px q x
p 2
q
p2 ,
2
4
(
x
Mx 2 px
N q
)n
dx
令 x pt 2
a2 q p2 , 4
(t2
Mt a2 )n
dt
(t2
x
6
. 3
例2
1 x( x1)2
A x
(x
B 1)2
C, x1
1 A( x 1)2 Bx Cx( x 1)
(1)
代入特殊值来确定系数 A, B,C
取 x 0, A 1 取 x 1, B 1
取 x 2, 并将 A, B 值代入(1) C 1
1 x( x 1)2
1 x
2
2
x
2tg
2,
1 tg 2 x
2
1 tg 2 x
cosx
2
se c2 x
2
1 tg 2 x
2,
1 tg 2 x
2
令 u tg x 2
x 2arctgu （万能置换公式）
sin
x
1
2u u2
,
cos
x
1 1
结论 有理函数的原函数都是初等函数.
1
1 x2 a2 x2
Jn (x2 a2 )n dx a2 (x2 a2 )n dx
1 a2
Jn1
1 2a 2
(x2
x a2 )n
d(x2
a2)
1 a2
Jn1
1 2a 2
[ 1 n1
(x2
x a2 )n1
1
n1
(x2
1 a2 )n1
dx]
Jn
2(n
A C 1,
1
(1 2x)(1
x2
)
1
4
5 2
x
2x 5 1 x2
1 5
.
分解后的部分分式必须是最简分式.
例4
求积分
1 x( x 1)2dx.
解
1 x(x
1)2dx
1 x
(x
1 1)2
1 x
1
dx
1
1
1
dx x
(
x
1)2
dx
x
dx 1
ln x 1 ln( x 1) C. x1
N1 q)
M x N ( x2 px q)
R1 x S1 ( x2 rx s)
R x S ( x2 rx s)
有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（1）分母中若有因式 ( x a)k ，则分解后为
(x
A1 a)k
(x
A2 a)k1
Ak , xa
其中A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地：k 1, 分解后为 A ;
N px
q
;
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
x
2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B, x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 这有理函数是真分式；
(2) n m, 这有理函数是假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式 和一个真分式之和.
x3
x5 x
2
x2
1
2x2 x 2 x3 x 2
由代数学定理: Q(x)=b0(x-a) …(x-b) (x2 +px+q) …(x2+rx+s)
b a2 )n
dt
b N Mp , 2
(1)
n 1,
Mx N x2 px
q
dx
M ln( x2 px q) b arctan
x
p 2
C;
2
a
a
(2) n 1,
(
x
Mx 2 px
N q)n
dx
2(n
M 1)(t 2
a 2 )n1
b
(t
2
1 a2
)n
dt .
这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
1
例5 求积分 (1 2x)(1 x2 ) dx.
解
(1
1 2 x )(1
x2
)
dx
1
4
5 2x
dx
2x 5 1 x2
1 5dx
2 5
ln(1
2
x)
1 5
1
2
x x2
dx
1 5
1
1 x
2dx
2 ln(1 2x) 1 ln(1 x2 ) 1 arctan x C.
5
5
5
说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出 现三类情况：
a2
)
(x2
1
a2)
dx]
1 2a 2
(x2
x
a2)
1 2a 3
arctg x a
C
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
sin x 2sin x cos x 22
x 2tg 2 se c2 x
2
cos x cos2 x sin2 x ,
xa
（2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ，其中 p2 4q 0 则分解后为
M1x ( x2 px
N1 q)k
M2x N2 ( x2 px q)k1
Mk x Nk x2 px q
其中Mi , N i 都是常数(i 1,2,, k).
特殊地：k
1,
分解后为
x
Mx 2
难点 将有理函数化为最简分式之和.
设
P( Q(
x) x)
a0 xn b0 xm
a1 xn1 b1 xm 1
an1x an bm1 x bm
是真分式.
P(x) Q( x)
(x
A1 a)
(x
A2 a)1
A (x a)
(x
B1 b)
(x
B2 b)1
B (x b)
M1x ( x2 px