4几种特殊函数的积分
4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分定义：设()P x 和()Q x 是两个多项式，凡形如()()P x Q x 的函数称为有理函数。
重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）：（1） a x A -； （2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ； （4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。
的简单分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。
因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。
（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。
（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。
（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则 dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。
（4） 同（3）可得 )2(≥k ， ⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。
记 ⎰+=k k r t dt I )(22，则 dt r t t r I r dt r t t r t r I k k k k ⎰⎰+-=+-+=-)(11)()(1222212222222 =))(1()1(2111212⎰--+-+k k r t td k r I r ])([)1(2111122212----+-+=k k k I r t t k r I r ， 于是，有递推公式121222)1(232))(1(2----++-=k k k I k r k r t k r t I 。
特殊积分公式
特殊积分公式
在数学中，特殊积分公式是一些常见的积分公式，它们可以用来求解特定类型的积分问题。
以下是一些常见的特殊积分公式：
1. 幂函数积分：
∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1
2. 指数函数积分：
∫e^x dx = e^x + C
3. 三角函数积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
∫cos(x) dx = sin(x) + C
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C
4. 对数函数积分：
∫1/x dx = ln|x| + C
5. 反三角函数积分：
∫1/√(1-x^2) dx = arcsin(x) + C
∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C
这些是一些常见的特殊积分公式，但在实际问题中可能还会有其他特殊积分公式。
在解决具体的积分问题时，可以根据需要使用适当的特殊积分公式。
贝塞尔函数的积分表
贝塞尔函数的积分表
贝塞尔函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于物理、工程、科学和数学等领域。
它们由德国数学家弗里茨·贝塞尔在19世纪初发现，因此得名为贝塞尔函数。
贝塞尔函数在科学和工程中的应用非常广泛，包括无线电通信、地震勘探、热力学、流体力学、量子力学等。
贝塞尔函数的积分表是指一张包含了各种贝塞尔函数的积分的
表格。
这张表格对于研究和应用贝塞尔函数来说非常重要。
以下是一些贝塞尔函数的积分表：
1. $int_0^x J_0(t) dt = J_1(x)$
2. $int_0^x J_1(t) dt = 1-J_0(x)$
3. $int_0^x J_n(t) dt = J_{n+1}(x)$
4. $int_0^x xJ_0(t) dt = xJ_1(x)$
5. $int_0^x xJ_1(t) dt = x^2/2(1-J_0(x))$
6. $int_0^x xJ_n(t) dt = xJ_{n+1}(x)/n$
7. $int_0^x J_0(t)^2 dt = x/2(J_1(x))^2$
8. $int_0^x J_0(t)J_n(t) dt = 0$
9. $int_0^x J_n(t)J_n(t) dt = x/2(J_{n+1}(x))^2$
以上是一些常见的贝塞尔函数的积分表。
当然，在实际的研究和应用中，可能需要更多的积分表。
同时，需要注意的是，不同的文献可能会出现一些微小的变化，因此在使用时应该注意确认。
- 1 -。
不定积分习题
习题课（六）内容： 不定积分的概念及积分方法基本要求：1．理解原函数与不定积分的概念。
2．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。
3．掌握不定积分的积分方法。
4．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。
内容与方法精讲：一． 原函数与不定积分的概念1． 原函数定义：在区间I 上，若)()(x f x F ='（即dx x f x dF )()(=），称函数)(x F 是函数)(x f 在区间I 上的一个原函数。
2． 原函数存在的条件：若函数)(x f 在区间I 上连续。
则)(x f 在区间I 上有原函数。
3． 不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数C x F +)(称为)(x f 在区间I 上的不定积分，记作⎰+=C x F dx x f )()(.4． 不定积分与导数的关系：（1） 先积分再求导（或微分）⎰=')(])([x f dx x f ，或 ⎰=dx x f dx x f d )(])([； （2） 先求导（或微分）再积分C x F dx x F +='⎰)()(，或 ⎰+=C x F x dF )()(. 5． 不定积分的线性性：（1）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(；（2）⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([.二．基本积分公式（略） 三．不定积分的方法1． 拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分。
（关键体现在拆项上，例如：通过有理化；利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段）。
2． 凑微分法：C x F x d x f dx x x f +=='⎰⎰)]([)()]([)()]([ϕϕϕϕϕ.主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分）。
定积分公式大全24个
定积分公式大全24个1.基本积分公式：∫ x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, 其中n≠-1∫ 1/x dx = ln，x， + C∫ e^x dx = e^x + C∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫ csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2.反常积分公式：∫ 1/x dx = ln，x， + C, 其中x取区间(-∞, 0)或(0, +∞)∫ e^x dx = e^x + C, 区间为(-∞, +∞)∫ a^x dx = (a^x)/ln(a) + C，其中a为正实数且不等于1，区间为(-∞, +∞)∫ sin(x) dx = -cos(x) + C, 区间为(-∞, +∞)∫ cos(x) dx = sin(x) + C，区间为(-∞, +∞)3.分部积分法公式：∫ u dv = uv - ∫ v du，其中u, v是关于x的函数4.和差积分公式：∫ (f(x) ± g(x)) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx5.一些特殊函数的积分：∫ e^(x^2) dx = √π*erf(x)/2 + C∫ ln(x) dx = x(ln(x) - 1) + C∫ sin^2(x) dx = (x - sin(x)cos(x))/2 + C6.换元法公式：∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du，其中u=g(x)7.可以通过递推关系求解的积分：∫ sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫ sin^(n-2)(x) dx∫ cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫ cos^(n-2)(x) dx8.积分的对称性：∫ f(x) dx = ∫ f(a+b-x) dx，其中a和b为常数以上是定积分的一些基本公式。
常见积分公式表
常见积分公式表常见积分公式表在微积分中，积分是一个重要的概念，它可以用来求解曲线下的面积、求解函数的原函数等。
而积分公式则是在求解积分过程中经常使用的一些公式，它们可以帮助我们简化计算，提高效率。
下面是一些常见的积分公式表：1. 基本积分公式：- ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C，其中a为常数且不等于1- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C- ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2. 特殊函数积分公式：- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(√(x^2+1)) dx = ln(x + √(x^2+1)) + C- ∫e^x/(1+e^x) dx = ln(1+e^x) + C- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. 三角函数积分公式：- ∫sin^n(x) dx = (-1/(n-1)) * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-2)/(n-1) *∫sin^(n-2)(x) dx，其中n不等于1- ∫cos^n(x) dx = (1/(n-1)) * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-2)/(n-1) *∫cos^(n-2)(x) dx，其中n不等于14. 指数函数积分公式：- ∫a^x ln(a) dx = (1/(ln(a))^2) * a^x + C，其中a为常数且不等于15. 分部积分公式：- ∫u dv = uv - ∫v du6. 替换积分公式：- ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du，其中u = g(x)这些是常见的积分公式，掌握它们可以在求解积分时事半功倍。
几种特殊函数的积分
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
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二、三角函数有理式的积分
三角函数有理式的定义：
由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函
数，一般记为R(sin x,cos x).
因为
sin x
cos x
2sin cos2
x cos x 22 x sin2 2
其中Ai , Bi 都是常数 ( i ＝ 1 , 2 , ……)
定理1 有理函数的原函数都是初等函数.
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例1
x2
x3 5x 6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A x2
B x3
x 3 A( x 3) B( x 2)
(A B)x (3A 2B)
A (3
B A
A Bx C
1 2x
1
x2
1 A(1 x2 ) (Bx C)(1 2x)
( A 2B)x2 (B 2C)x (C A)
得 A 4, B 2,C 1,
5
5
5
(1
1 2 x )(1
x2)
4 2x1
5 1 2x
55 1 x2
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因此
(1
1 2 x )(1
dx ( x2 px q)k
Ak
2
d(x2 px q) (x2 px q)k
(Bk
Ak 2
p
)
d(x p) 2
((x p)2 (q p2 ))k
2
4
A1 2
1 1 k
(x2
1 px q)k1
用递推公式降次
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例2
1 x( x1)2
A x
B C x 1 (x 1)2
高等数学 (上)
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第四章 不定积分
高等数学（上）
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第四节 几种特殊函数的不定积分
一、有理函数的积分
有理函数：两个多项式的商表示的函数 .
P(x) Q( x)
a0 xn a1 xn1 b0 xm b1 xm1
an1 x an bm1 x bm
1
把有理函数的积分化成一个多项式和一个
真分式积分之和.
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关键：将真分式化为部分分式之和.
由代数学里的部分分式定理知：
1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 A2 Ak
x a (x a)2
(x a)k
其中 A1 , A2 , , Ak 都是常数.
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C.
A1 x B1 x2 px
q
dx
D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
A1
2
(2x p)dx x2 px q
( B1
A1 p ) 2
dx x2 px q
A1
2
(
x2 px q)dx x2 px q
( 都是非负整数；a0 , a1 , , an 及 b0 , b1 , , bm 都是实数，并且a0 0 ，b0 0 .
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n m 称为真分式；
n m 称为假分式；
利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和.
例
x3 x2
x 1
1
x
1 x2
1 1 x3
dx 1 x3 1
(1 x)(1
x
x2)
(1
1 x)(1
x
x2
)
1
A x
Bx C 1 x x2
可求得 A 1 , B 1 ,C 2
3
3
3
I 1 ln 1 x 1 ln( x2 x 1) 1 arctan 1 (2x 1) C
3
6
3
3
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注意 一般的方法不一定是最佳的方法, 故有理式
1 2B)
3
A B
5 6
x3 x2 5x 6
5 6 （待定系数法） x2 x3
x3 x2 5 x 6 dx 5ln x 2 6ln x 3 C
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1）分母中若有因式( x a)k，则分解后为
A1 xa
A2 ( x a)2
Ak ( x a)k
2）分母中若有因式 ( x2 px q)k ,则分解为：
)
d(x p) 2
(x p)2 (q p2 )
A1
ln( x2
px q)
B1
A1 p 2
arctan
2
x
p
2
4
c
2
p2
p2
q
q
4
4 河海大学理学院《高等数学》
D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
Ak
2
(2x (x2
p)dx px q)k
( Bk
Ak p ) 2
A1 x B1 x2 px q
A2 x B2 (x2 px q)2
Ak x Bk (x2 px q)k
因此,只要求出四类积分.
A.
dx xa
ln(x
a)
c
dx
1
C .
A1 x B1 x2 px
dx q
1
D.
( Ak x Bk )dx (x2 px q)k
B. ( x a)k 1 k ( x a)k1 c
例如
x
2
x3 5x
6
(x
x3
2)( x 3)
A x2
B x
3
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2）分母中若有因式( x2 px q)k,其中
p2 4q 0 ,则分解后为：
A1x B1 A2 x B2 Ak x Bk
x2 px q (x2 px q)2
(x2 px q)k
x
2
dx )
1
4
5 2
x
2x 5 1 x2
1 5
dx
4 5
1
1 2
x
dx
1 5
2x 1 1 x2 dx
4 5
1
1 2x
dx
1 5
2x 1 x2
1
1 x2
dx
2 ln 1 2x 1 ln 1 x2 1 arctanx C
5
5
5
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例4 求 I
由 1 A(x 1)2 Bx(x 1) Cx
( A B)x2 (C 2A B)x A
得 A 1 ，B 1 ，C 1.
1 所以 x( x 1)2
11
1
x ( x 1)2 x 1
x(
1 x
1)2dx
ln
x
x
1
1
ln(
x
1)
C
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1 例3 (1 2x)(1 x2 )
的积分应先考虑其它方法, 不得已时才用一般方法
计算.
例5
1
x(
x16
dx 2)
x15dx x16( x16 2)
1
16
dx16
1 y x16
x16( x16 2)
16
dy y( y 2)
1 32
(
1 y
y
1
)dy 2
1 ln x 1 ln(x16 2) C 2 32
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