几种特殊类型函数的积分(1)
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4(4)有理函数及三角函数有理式的积分(1)
原式=
5u + 2 (u2 + 1)2
du
5 2
d(u2 + 1)
(u2 + 1)2 + 2
du (u2 + 1)2
51
u
- 2 u2 + 1 + u2 + 1 + arctanu + C
递推公式
回代
2x -7 2( x2 - 2x + 2) + arctan( x - 1) + C
书上无
Q( x)
部分分式的和, 如果分母多项式Q( x)在实数域
上的质因式分解式为:
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
, 为正整数, 则 P( x) 可唯一的分解为:
Q( x)
4
有理函数的积分
Q( x) b0( x - a) ( x2 + px + q) ,( p2 - 4q 0)
+ arctan x + C
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.
9
有理函数的积分
例2 求
x+3 x2 - 5x + 6 dx
解
x2
x+3 -5x + 6
(x
x+3 - 2)( x - 3)
A+ x-2
B x-3
因式分解 x + 3 A(x - 3) + B(x - 2)
Ap
At + (B - )
2
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。
由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。
下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。
其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。
特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。
特殊类型函数积分
1）
Q（x）中如果含有因式
( x a)
k
则
要分解成称 k 个部分之和。且
A1 、 A2 、….
An 为常数，特别的
k=1 时，分解后得到：
A ( x a )
A3 Ak A1 A2 .... ( x a) k ( x a) k 1 ( x a) k 2 ( x a)
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 xห้องสมุดไป่ตู้m2 ...... bn
=
A3 A A1 A2 .... k k k 1 k 2 ( x a) ( x a) ( x a) ( x a)
2
x 2 x 2 x 2
2
cos x
2
三、 简单无理式的积分
这里只讨论 R ( x ,
n
ax b ) 及
R (x,
n
ax b ) cx e 这两类函数的积分
3） 最后求 A、 M、 N、 最后用待定系数法 带入特殊 x 值 特殊有理式分解：
1】 2】 3】
A B 1 x2 x3 x 2 5x 6 1 A B C x ( x 1) 2 x ( x 1) 2 x 1
1 A Bx c 2 2 (1 2 x )( x 1) (1 2 x ) 1 x2
特殊类型函数积分
一、 有理函数的积分 1）有理式的定义：
由两个多项式的商所表示的函数：
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 x m2 ...... bn
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分定义：设()P x 和()Q x 是两个多项式，凡形如()()P x Q x 的函数称为有理函数。
重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）：（1） a x A -； （2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ； （4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。
的简单分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。
因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。
（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。
（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。
（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则 dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。
（4） 同（3）可得 )2(≥k ， ⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。
记 ⎰+=k k r t dt I )(22，则 dt r t t r I r dt r t t r t r I k k k k ⎰⎰+-=+-+=-)(11)()(1222212222222 =))(1()1(2111212⎰--+-+k k r t td k r I r ])([)1(2111122212----+-+=k k k I r t t k r I r ， 于是，有递推公式121222)1(232))(1(2----++-=k k k I k r k r t k r t I 。
几种典型函数的积分举例
解. 由于Q x x3 1 x 1 x 2 x 1 , 则
① 比较系数法
x2 2 x 2 x3 1
A Bx C 2 x 1 x x 1
等式两端同时乘以x3 1 ，得到
x 2 2 x 2 A x 2 2 x 2 Bx C x 1
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例4.6. 计算不定积分
解.
x
2
2x 2
2
x2
2
dx.
原式
x2 2 x 2 2 x 2
x
2
2 x 2
dx
2x 2
x
x2 2x 2
2
2x 2
dx 2
x
2
2x 2
2
dx
1 1 2 d x d x 2x x2 2 x 2 x2 2 x 2 2
4 1 B 1 5. 5 2 11 1 2 1 1 1
2 于是，B . 5
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例4.4. 将
解.
x 1 x
x
x
2
1
分解为部分分式之和.
2
③ 拼凑法
2 2
x 1 x2 1
x
x 1 x 2 1
1 tan x 5
C
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例4.5. 计算不定积分
x2 dx. 2 x 2x 3
1 2x 2 1 2 2 解. 原式 dx 2 x 2x 3 1 2x 2 3 2 2 dx x 2x 3
① 比较系数法
x2 2 x 2 x3 1
A Bx C 2 x 1 x x 1
等式两端同时乘以x3 1 ，得到
x 2 2 x 2 A x 2 2 x 2 Bx C x 1
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例4.6. 计算不定积分
解.
x
2
2x 2
2
x2
2
dx.
原式
x2 2 x 2 2 x 2
x
2
2 x 2
dx
2x 2
x
x2 2x 2
2
2x 2
dx 2
x
2
2x 2
2
dx
1 1 2 d x d x 2x x2 2 x 2 x2 2 x 2 2
4 1 B 1 5. 5 2 11 1 2 1 1 1
2 于是，B . 5
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例4.4. 将
解.
x 1 x
x
x
2
1
分解为部分分式之和.
2
③ 拼凑法
2 2
x 1 x2 1
x
x 1 x 2 1
1 tan x 5
C
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例4.5. 计算不定积分
x2 dx. 2 x 2x 3
1 2x 2 1 2 2 解. 原式 dx 2 x 2x 3 1 2x 2 3 2 2 dx x 2x 3
空间解析几何基础知识总结
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
x x e dx = e +C ∫
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
− csc x + C
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
x a +C (13) ∫ a x dx = ln a
连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =
x 1 1 arctan dx = +C ∫ a2 + x 2 a a
( 21)
∫
x−a 1 1 dx = ln | | +C 2 2 x −a 2a x+a
( 22)
a+ x 1 1 dx = ln | ∫ a 2 − x 2 2a a − x | + C
( 23)
∫
1 x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型: R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , ) cx + e
n
解决方法: 作代换去掉根号．
令t = ax + b;
n
ax + b ; 令t = n cx + e
定积分
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分 的性质
定积分
广义积分
定积分的 计算法
牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x )dx = F ( b ) − F (a )
高数资料(特殊积分法)
t =∫ ⋅ 2 sin t cos t ⋅ d t = −2 ∫ t ⋅ d cos t cos t
= −2t cos t + 2 ∫ cos t ⋅ d t = −2t cos t + 2 sin t + C = −2 1 − x arcsin x + 2 x + C
5 3 2 = ln( x + 2 x + 4) − ∫ 3 2
dx
2
x + 1 1+ 3 5 x +1 3 arctan +C = ln( x 2 + 2 x + 4) − 3 3 2
例2
8 x + 31 2x + 4 dx ⋅ dx = 4 ∫ 2 ⋅ d x+ 15 ∫ 2 ∫ ( x 2 + 4 x + 13)2 ( x + 4 x + 13) 2 ( x + 4 x + 13) 2
1 1 1 = ∫ + ⋅dt 3 3 − t 3 + t 1 3+ t = ln +C 3 3−t
x 1 3 + tan 2 = ln +C x 3 3 − tan 2
例 6 解一
1 ∫ sin 4 x dx .
x u = tan , 2
2u sin x = , 2 1+ u
2 2
1 3 = − cot x − cot x + C . 3 结论 比较以上三种解法, 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳 方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换. 不得已才用万能置换
几种特殊类型函数的积分
解：令 则
例10（补充题） 求
解： 一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。 由此可以看出，万能代换法不是最简方法， 能不用尽量不用。
例11（1987.III) 求
解: 说明: 通常求含 的积分时, 往往更方便 . 的有理式 用代换
2.简单无理函数的积分
令
例如:
令
令
化为有理函数的积分. 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
例2
通分以后比较分子得：
我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到
例3
整理得
例4 求积分
例3
例6 求
思考: 如何求
解: 原式 提示: 变形方法同例6, 并利用 第三节 例9 .
注意：
有理函数的积分就是对下列三类函数的积分： 多项式； 主要讨论（3）积分
万能代换
简单无理函数
三角代换
根式代换
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,
但不一定
要注意综合使用基本积分法 ,
简便计算 .
简便 ,
习题4-4 奇数题
课后练习
思考与练习
1. 如何求下列积分更简便 ?
解: （1）
（2） 原式
解法 1
令 原式 求
2. 求
解法 2 令 原式
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 原式 求
化为多项式与真分式之和
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和 最简分式是下面两种形式的分式
（1）分母中若有因式 ，则分解后为
3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（2）分母中若有因式 ，其中
则分解后为
几种特殊函数的积分
2 2
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式
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2 dx1u2 du
令 u t 2 x a 则 s x 1 n 2 u u i 2 c n x 1 1 u u o 2 2 s
例 例4 4 求 s 1 x ( 1 s c x i x ) d i n o n x s
解 解 令 u t 2 x 则 an
s1 x ( 1 i s c n x i x ) o d n 1 s x 2 u u ( 1 2 ( 1 1 2 u u 1 1 2 ) u u 2 2 ) 1 2 u 2 du 1 2 ( u 2 u 1 ) d 1 2 ( u 2 2 2 u u l | u | C n )
五、小结
有理式分解成部分分式之和的积分.
三角有理式的积分.（万能置换公式） 简单无理式的积分.
作业: 5(3),6(1),7(4).
练习题
一、填空题：
1、
3 x3
dx 1
A x1
Bx C x2 x
dx ，其 A 1
____,
B ________ ,C __________；
2、
x
例 练6 习求 1 3 d x 2 x
解 设 3 x2 u 即xu32 则
1 3 d x 2 x 1 1 u3 u2d u 3 u2 1 1 u 1 d u 3 ( u 1 1 1 u ) d 3 ( u 2 2 u u l | 1 u | n C )
3 3 ( x 2 ) 2 3 3 x 2 l | 1 3 x n 2 | C 2
sin cos
2 3
x x
dx
；
6
、
1
sin x sin
x
dx
；
8 、
xe x (e x 1)2
dx
；
9 、 [ln( x 1 x 2 )] 2 dx ； 1 0 、 1 x 2 arcsin xdx ；
例6 求积分
1 x
1 xdx x
解 令 1 x t 1xt2,
x
x
x
t
2
1
, 1
dx
2tdt t2 1 2
,
1 x
1 x
xdxt21tt22t12dt
2
t 2dt t2 1
21t211dt2tlntt 11C
21 xxln x 1 xx1 2 C .
例 例7 7 求 ( 1 3 d x ) x x
(1(1u)u2)(1(1u2u)2)du
1 u 1 u2du
1
1
du u
arcu ta1lnn(1u2)ln |1u| C
2 utanx
2
x 2
ln| secx |ln|1tan x|C.
2
2
三、简单无理函数的积分
讨论类型 R(x,nax b),R(x,n axb), cxe
解决方法 作代换去掉根号.
解 设xt6 于是dx6t5dt 从而
( 1 3 d x ) x ( 1 6 t t 2 5 x ) t 3 d 6 1 t 2 t 2 d t t
6 ( 1 1 1 t 2 ) d 6 ( t a tt ) r C cta
6 ( 6 x ar 6 x ) c C t an
5、 有 理 函 数 的 原 函 数 都 是_________ .
二、求下列不定积分：
1、
x
1
xdx x2
x
3
；
3、
1
1 x
4
dx
；
5、
2 sin
dx x cos
； x5
7、
1 x dx ； 1 x x
2、
x 2
dx
1 x 2
x；
4、
3
dx sin
2
x
；
6、
x 1 1 dx x11
；
例3
求积分
x3 x3
dx.
解
x3 x33x23x29x9x2 72 7.
x3
x3
x2 3x9 27 . x3
xx 33dx(x23x9)dxx2 73dx.
1x33x29x27ln(x3)c 32
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数．一般记为 R(sx i,n cox)s
四、积分表的使用
例8 求 (3x14)2dx. 被积函数中含有 axb
在积分表（一）中查得公式（7） ax 1b2dxa12ln|axb|axbbC
现在 a3, b4于是
3x 142dx9 1ln|3x4|3x44C.
例9
求 x
dx . 4x2 9
表中不能直接查出, 需先进行变量代换.
令2xu 4 x 2 9 u 2 3 2
x2 1
12 x 1 dx
x
A
12
B x
1
C x
1 dx ,
其中A _____,B _____,C _______；
3、计算
2
dx sinx
,可用万能代换sin x
___________,
dx _____________；
4、计算
dx ,令t ___,x ___,dx ____ . ax b m
8 、
dx 3 ( x 1)2( x 1)4
.
三 、 求 下 列 不 定 积 分 （ 用 以 前 学 过 的 方 法 ）：
1、
1
x
x 3
dx
；
3 、
dx ；
x4 1 x2
5 、
(1
x3 x 8 )2dx；7源自、x(3x
x
3
dx x)
；
2、
1 cos x sin
x x
dx
；
4 、
sin x2sin xcoxs 22
2 tan sec 2
x
2 x
2 tan x
1
tan
2 2x
,
2
2
1 tan 2 x 1 tan 2 x
cos x
sec 2
2 x
1
tan
2
2 x
,
2
2
令u tan x x2arcut（a万能n置换公式） 2
sinx12uu2, cosx11uu22 ,
dx
x 4x2 9 u
1 du 2 u2
32
u
du u2 32
2
被积函数中含有 u2 32,
在积分表（六）中查得公式（37）
x
dx x2 a2
1ln |x| C a a x2a2
du 1 |u|
u
u2 32
ln
C
3 3 u232
将 u2x代入得
x
dx 1ln 2|x| C. 4x2 9 3 3 4x29
提示：x 2 a u d r 1 2 u 2 d c x t u an
例5 求积分 1sisnxin xcoxsdx.
解
由万能置换公式
2u sinx1u2 ,
cosx 11uu22
2 dx1u2 du,
1sisnxinxcoxsdx(1u)2u(1u2)du 2u( 11u)u(12 1u 2)u2du