几种特殊类型的函数的积分
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特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法
特殊类型函数的积分法是数学中计算积分的一种常用方法。
由于它可以求出各种形状的函数的定积分，积分法用于求解各种类型函数的积分有着广泛的应用。
下面我们就来讨论特殊类型函数的积分法。
其中，多项式函数是最常用的特殊类型函数之一，以一元n次多项式函数为例，当n≥0时，函数的积分可以用分好多项式来表示：$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
而另一种特殊类型函数为指数函数，函数的积分可用如下形式表示：$\int{{e}^{kx}dx}={e}^{kx}/k+c$
又如，x的高次幂函数在求积分时，可使用以下形式进行：
$\int{{{x}^{n}dx}}={\frac{{{x}^{n+1}}}{{n+1}}}+c$
另外，对正弦函数和余项函数（cos（x），tg（x））的积分也同
样采用三角函数的基本定理：
$\int{{sinxdx=}-cosx+c}$
$\int{{cosxdx=}sinx+c}$
$\int{{tgxdx=}-ln\left|cosx\right|+c}$
以上就是特殊类型函数的积分，可以看出，对于不同形式的特殊类型函数，采用不同的积分法来求解。
特殊类型函数的积分属于一类规律性的积分，熟练掌握这些方法，可以快速准确地完成特殊类型函数的积分求解。
特殊类型函数积分
1）
Q（x）中如果含有因式
( x a)
k
则
要分解成称 k 个部分之和。且
A1 、 A2 、….
An 为常数，特别的
k=1 时，分解后得到：
A ( x a )
A3 Ak A1 A2 .... ( x a) k ( x a) k 1 ( x a) k 2 ( x a)
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 xห้องสมุดไป่ตู้m2 ...... bn
=
A3 A A1 A2 .... k k k 1 k 2 ( x a) ( x a) ( x a) ( x a)
2
x 2 x 2 x 2
2
cos x
2
三、 简单无理式的积分
这里只讨论 R ( x ,
n
ax b ) 及
R (x,
n
ax b ) cx e 这两类函数的积分
3） 最后求 A、 M、 N、 最后用待定系数法 带入特殊 x 值 特殊有理式分解：
1】 2】 3】
A B 1 x2 x3 x 2 5x 6 1 A B C x ( x 1) 2 x ( x 1) 2 x 1
1 A Bx c 2 2 (1 2 x )( x 1) (1 2 x ) 1 x2
特殊类型函数积分
一、 有理函数的积分 1）有理式的定义：
由两个多项式的商所表示的函数：
P( x) a0 x n a1 x n1 a2 x n2 ....... an Q( x) b0 x m b1 x m1 b2 x m2 ...... bn
几种特殊类型函数的积分
几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分定义：设()P x 和()Q x 是两个多项式，凡形如()()P x Q x 的函数称为有理函数。
重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）：（1） a x A -； （2） ka x A )(-；)2(≥k （3）)04(22<-+++q p q px x B Ax ； （4）)04()(22<-+++q p q px x B Ax k )2(≥k 。
的简单分式之和，其中A ，B ，,,,q p a 为常数，k 为正整数。
因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。
（1） C a x a x dx +-=-⎰ln 。
（2） C a x k a x dx k k +--=--⎰1))(1(1)(， )1(>k 。
（3） dx p q p x B Ax dx qpx x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222，令2p x t +=，并记4422p q r -=，2pA B N -=，则 dx p q p x B Ax dx q px x B Ax ⎰⎰-+++=+++44)2(222⎰+=22r t tdt A ⎰++22r t dt N C rt r N r t A +++=arctan )ln(222。
（4） 同（3）可得 )2(≥k ， ⎰+++k q px x B Ax )(2⎰⎰+++=k k r t dt N r t tdt A )()(2222122))(1(2-+-=k r t k A ⎰++k r t dt N )(22。
记 ⎰+=k k r t dt I )(22，则 dt r t t r I r dt r t t r t r I k k k k ⎰⎰+-=+-+=-)(11)()(1222212222222 =))(1()1(2111212⎰--+-+k k r t td k r I r ])([)1(2111122212----+-+=k k k I r t t k r I r ， 于是，有递推公式121222)1(232))(1(2----++-=k k k I k r k r t k r t I 。
高等数学 4-4几种特殊类型函数的积分
2u 1− u2 2 , cos x = ， dx = du , 2 2 1+ u 1+ u 1+ u2
sin x
解：由万能置换公式 sin x =
sin x 2u 2u + 1 + u 2 − 1 − u 2 dx = ∫ du = ∫ du ∫ 1 + sin x + cos x (1 + u )(1 + u 2 ) (1 + u )(1 + u 2 )
A1 A2 A + + L + k , 其中 k k −1 A1, A2 , L, Ak 都是常数. ( x − a) ( x − a) x−a
特殊地： k = 1, 分解后为
A ; x−a
（2）分母中若有因式 ( x 2 + px + q ) k ，其中 p 2 − 4q < 0 则分解后为
M 1 x + N1 M x + N2 M x + Nk + 2 2 +L+ 2 k k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
∫ sin 3x + sin x dx.
A+ B A− B cos 2 2
1 + sin x
sin A + sin B = 2 sin
6
∫ sin 3x + sin x dx = ∫ 2 sin 2 x cos x dx = ∫ 4 sin x cos
=
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
sin x
解：由万能置换公式 sin x =
sin x 2u 2u + 1 + u 2 − 1 − u 2 dx = ∫ du = ∫ du ∫ 1 + sin x + cos x (1 + u )(1 + u 2 ) (1 + u )(1 + u 2 )
A1 A2 A + + L + k , 其中 k k −1 A1, A2 , L, Ak 都是常数. ( x − a) ( x − a) x−a
特殊地： k = 1, 分解后为
A ; x−a
（2）分母中若有因式 ( x 2 + px + q ) k ，其中 p 2 − 4q < 0 则分解后为
M 1 x + N1 M x + N2 M x + Nk + 2 2 +L+ 2 k k k −1 ( x + px + q ) ( x + px + q ) x + px + q
∫ sin 3x + sin x dx.
A+ B A− B cos 2 2
1 + sin x
sin A + sin B = 2 sin
6
∫ sin 3x + sin x dx = ∫ 2 sin 2 x cos x dx = ∫ 4 sin x cos
=
1 + sin x
1 + sin x
1 + sin x
第四节 几种特殊类型函数的积分
D xy
2 3a 4 .
显然
1 D1
xdS xdxdy 0 ,
1 1dxdy 0,
xdS x D
2 1
讨论3 时, 将投影域选在xoz 上.
（注意： y 1 x 2 分为左、右两片）
（左右两片投影相同）
xdS xdS xdS
3 31 32
2 2 2 x 1 y x yz dxdz Dxz
xoz
2 x 1
D xz
1
x2 1 x
2
dxdz
21
x2 x dx 0 dz 2 1 x
,
xdS 0 0 .
2 2 2 为内接于球面 例4 计算 ( x y z )dS , 其中
1. 若曲面 :
则
z z( x , y )
f ( x , y, z )dS
D
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy;
xy
( x, z ) 2.若曲面 ：
则 f ( x , y , z )dS
第四节 对面积的曲面积分
一、概念的引入
二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法
一、概念的引入
实例
若曲面 是光滑的 , 它的面密度为连
续函数( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
1 0 ( 1) dxdy 2dxdy,
故
2
( x y z ) y )dxdy 2 (5 x )dxdy
2 3a 4 .
显然
1 D1
xdS xdxdy 0 ,
1 1dxdy 0,
xdS x D
2 1
讨论3 时, 将投影域选在xoz 上.
（注意： y 1 x 2 分为左、右两片）
（左右两片投影相同）
xdS xdS xdS
3 31 32
2 2 2 x 1 y x yz dxdz Dxz
xoz
2 x 1
D xz
1
x2 1 x
2
dxdz
21
x2 x dx 0 dz 2 1 x
,
xdS 0 0 .
2 2 2 为内接于球面 例4 计算 ( x y z )dS , 其中
1. 若曲面 :
则
z z( x , y )
f ( x , y, z )dS
D
2 2 f [ x , y , z ( x , y )] 1 z x z y dxdy;
xy
( x, z ) 2.若曲面 ：
则 f ( x , y , z )dS
第四节 对面积的曲面积分
一、概念的引入
二、对面积的曲面积分的定义 三、计算法
一、概念的引入
实例
若曲面 是光滑的 , 它的面密度为连
续函数( x , y , z ) , 求它的质量.
所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动.
二、对面积的曲面积分的定义
1 0 ( 1) dxdy 2dxdy,
故
2
( x y z ) y )dxdy 2 (5 x )dxdy
空间解析几何基础知识总结
(10) (11)
∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx =
x x e dx = e +C ∫
( 5)
( 6)
∫
1 dx = arcsin x + C 2 1− x
− csc x + C
∫ cos xdx = sin x + C
(12)
x a +C (13) ∫ a x dx = ln a
连续，则积分上限的函数 Φ( x ) =
x 1 1 arctan dx = +C ∫ a2 + x 2 a a
( 21)
∫
x−a 1 1 dx = ln | | +C 2 2 x −a 2a x+a
( 22)
a+ x 1 1 dx = ln | ∫ a 2 − x 2 2a a − x | + C
( 23)
∫
1 x dx = arcsin + C 2 2 a a −x
（3） 简单无理函数的积分
讨论类型: R( x , ax + b )
n
ax + b R( x , ) cx + e
n
解决方法: 作代换去掉根号．
令t = ax + b;
n
ax + b ; 令t = n cx + e
定积分
问题1:
曲边梯形的面积
问题2:
变速直线运动的路程
存在定理
定积分 的性质
定积分
广义积分
定积分的 计算法
牛顿-莱布尼茨公式
∫
b
a
f ( x )dx = F ( b ) − F (a )
高数资料(特殊积分法)
t =∫ ⋅ 2 sin t cos t ⋅ d t = −2 ∫ t ⋅ d cos t cos t
= −2t cos t + 2 ∫ cos t ⋅ d t = −2t cos t + 2 sin t + C = −2 1 − x arcsin x + 2 x + C
5 3 2 = ln( x + 2 x + 4) − ∫ 3 2
dx
2
x + 1 1+ 3 5 x +1 3 arctan +C = ln( x 2 + 2 x + 4) − 3 3 2
例2
8 x + 31 2x + 4 dx ⋅ dx = 4 ∫ 2 ⋅ d x+ 15 ∫ 2 ∫ ( x 2 + 4 x + 13)2 ( x + 4 x + 13) 2 ( x + 4 x + 13) 2
1 1 1 = ∫ + ⋅dt 3 3 − t 3 + t 1 3+ t = ln +C 3 3−t
x 1 3 + tan 2 = ln +C x 3 3 − tan 2
例 6 解一
1 ∫ sin 4 x dx .
x u = tan , 2
2u sin x = , 2 1+ u
2 2
1 3 = − cot x − cot x + C . 3 结论 比较以上三种解法, 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳 方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得已才用万能置换. 不得已才用万能置换
几种特殊类型函数的积分
解：令 则
例10（补充题） 求
解： 一直做下去，一定可以积出来，只是太麻烦。 由此可以看出，万能代换法不是最简方法， 能不用尽量不用。
例11（1987.III) 求
解: 说明: 通常求含 的积分时, 往往更方便 . 的有理式 用代换
2.简单无理函数的积分
令
例如:
令
令
化为有理函数的积分. 被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换
例2
通分以后比较分子得：
我们也可以用赋值法来得到最简分式，比如前面的例2，两端去分母后得到
例3
整理得
例4 求积分
例3
例6 求
思考: 如何求
解: 原式 提示: 变形方法同例6, 并利用 第三节 例9 .
注意：
有理函数的积分就是对下列三类函数的积分： 多项式； 主要讨论（3）积分
万能代换
简单无理函数
三角代换
根式代换
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,
但不一定
要注意综合使用基本积分法 ,
简便计算 .
简便 ,
习题4-4 奇数题
课后练习
思考与练习
1. 如何求下列积分更简便 ?
解: （1）
（2） 原式
解法 1
令 原式 求
2. 求
解法 2 令 原式
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 原式 求
化为多项式与真分式之和
2）在实数范围内真分式总可以分解成几个最简式之和 最简分式是下面两种形式的分式
（1）分母中若有因式 ，则分解后为
3）有理函数化为部分分式之和的一般规律：
（2）分母中若有因式 ，其中
则分解后为
几种特殊函数的积分
2 2
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
p p x px q x q , 2 4 p 令 x t 2
记 x 2 px q t 2 a 2 ,
则
Mx N Mt b,
p2 2 a q , 4
Mp b N , 2
Mx N 2 dx n ( x px q ) Mt b 2 dt 2 dt 2 n 2 n (t a ) (t a )
真分式化为部分分式之和的待定系数法
x3 x3 A B 例1 2 , x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x 3 A( x 3) B( x 2), x 3 ( A B ) x ( 3 A 2 B ),
1 dx . 例4 求积分 2 x( x 1) 1 1 1 1 dx 解 2 2 dx x ( x 1) x ( x 1) x 1 1 1 1 dx dx dx 2 x ( x 1) x 1
1 ln x ln x 1 C. x 1
三、简单无理函数的积分
ax b 讨论类型 R( x, ax b ), R( x , ), cx e
n
n
解决方法 作代换去掉根号.
1 1 x 例10 求积分 dx x x
解
1 x 2 1 x 令 t t , x x
1 sin x dx. 例9 求积分 sin 3 x sin x A B A B 解 sin A sin B 2 sin cos 2 2 1 sin x 1 sin x sin 3 x sin x dx 2 sin 2 x cos x dx 1 sin x dx 2 4 sin x cos x 1 1 1 1 dx dx 2 2 4 sin x cos x 4 cos x
几种特殊类型的函数积分
反三角函数积分公式
∫sinxdx=−cosx+Cint sin x , dx = -cos x + C∫sinxdx=−cosx+C
∫cosxdx=sinx+Cint cos x , dx = sin x + C∫cosxdx=sinx+C
∫tanxdx=ln|secx|+Cint tan x , dx = ln |sec x| + C∫tanxdx=ln∣secx∣+C
底数小于1的对数函数积分公式
∫logₐ(x) dx = xlogₐ(x) - ∫x/lna dx = xlogₐ(x) x/lna + C，其中C为积分常数。
对数函数积分应用
解决对数方程
计算对数值
通过积分的方法，可以将对数方程转 化为代数方程，从而更容易求解。
利用对数函数的积分公式，可以计算 对数值，例如计算ln(e)、lg(10)等。
积分性质
对于三角函数的积分，有基本的 积分公式，如∫sin(x)dx = -cos(x) + C，∫cos(x)dx = sin(x) + C等。
三角函数的积分具有一些重要的 性质，如∫[sin(x)]^2dx = ∫[1 cos(2x)]/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + C。
积分变换
底数小于1的对数函 数
如以0.5为底的对数函数，记作 logₐ(x)，其定义域为(0, +∞)， 其中a为正实数且a≠1。
对数函数积分公式
自然对数函数积分公式
∫ln(x) dx = xln(x) - x + C，其中C为积分常数。
常用对数函数积分公式
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x x
dx
解:原式
d (x sin x) x sin x
ln | x sin x | C
例4
1 1
sin x dx c os x
解:原式
1
1 cos
dx x
sin x dx 1 cosx
1 2
c s c2
x 2
dx
d (1 cosx) 1 cosx
1 cot x ln |1 cosx | C 22
dx,
原式
dx
1
4
t 3dt
3
x (
1)4
(x
C1
112121(212x(xx221C)12x2x)21C212C, C,C,,
x 1 x 1
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二、几种特殊类型的积分
1. 一般积分方法
有理函数
分解
指数代换 万能代换 根式代换
多项式及 部分分式之和
主讲人： 苏本堂
指数函数有理式 三角函数有理式
三角代换
简单无理函数
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例5. 求
解:
原式
[ln(x
1
x2
1
) 5]2
d
[ ln(x
1 x2 ) 5]
2 ln(x
1
x2
)
5
3 2
C
3
分析:
(1 2x ) dx
d [ ln(x 1 x2 ) 5]
2 1 x2
x 1 x2
dx 1 x2
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2. 需要注意的问题
(1) 一般方法不一定是最简便的方法 , 要注意综合 使用各种基本积分法, 简便计算 .
(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 , 因此不一 定都能积出.
例如 ,
1 k 2 sin2 x dx (0 k 1),
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例13. 求
dx
一、 求不定积分的基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则 求不定积分的方法 .
2. 换元积分法
第一类换元法
第二类换元法 (代换: x (t))
(注意常见的换元积分类型)
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3. 分部积分法
u vdx u v uv dx
使用原则:
例6. 求
解:
原式
x
2 2
sin x 2
cos 2
cos x
x 2
dx
x
d
tan
x 2
tan
x 2
dx
x tan x C 2
2
例7. 求
解 : 原式
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例8. 求
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解: 原式 arctan exdex
ex arctan ex
ex
1
ex e2x
dx
ex arctan ex
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第四章习题课
一、求不定积分的基本方法 二、几种特殊类型的函数的积分
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主要内容
主讲人： 苏本堂
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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例11. 设
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证明递推公式:
In
1 secn2 n 1
x
tan
x
n2 n 1
In2
(n 2)
证: In secn2x sec2 x dx
secn2 x
(n 2) secn3x sec x tan x
secn2 x tan x (n 2) secn2x (sec2 x 1) dx
1 ln x 1 ln( x10 2) C .
2
20
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例16 求
dx
.
3 ( x 1)2 ( x 1)4
解 3 ( x 1)2 ( x 1)4 3 ( x 1)4 ( x 1)2 . x1
令 t x 1, x1
则有
dt
(
x
2 1)2
(1 e2x ) 1 e2x
e2x
dx
ex
arctan ex
x
1 2
ln
(1
e2
x
)
C
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例9. 求 解: (一) 令 x=tant 原式
高等数学
主讲人： 苏本堂
x2 1 x t 1
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例9. 求 解: (二)
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而 即 所以
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解: 原式
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1 (2u)(u2 1)
A 2u
B C
u 1 u 1
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例15 求
dx
x(2
x
10
. )
解
原式
x9dx 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
1 [ln x10 ln( x10 2)] C 20
a
x
ln
a
dx
1 ln
2 3
d (32) x 1 (32)2 x
ln3
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例2
计算
x2 a 6 x 6 dx
解:原式 1
3
(x3)2
1
(a
3
)
2
dx3
1 6a3
ln
x3 a3 x3 a3
C
例3
计算
1 cos x sin
1) 由 v 易求出 v ;
2) uv dx 比
好求 .
一般经验: 按“反, 对, 幂, 指 , 三” 的顺
序,
排前者取为 u , 排后者取为 v .
计算格式: 列表计算
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例1. 求
解: 原式
2x3x 32 x 22
x
dx
1
(
32)
(
2 3
x
)
da x 2 x dx
secn2 x tan x (n 2) In (n 2) In2
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例12. 求
高等数学
主讲人： 苏本堂
解: 设 F(x) x 1 x 1, x 1
1 x , x 1
则
1 2
x
2
x
C1
,
x 1
x
1 2
x2
C2
,
x 1
因 连续 , 利用
得
1 2
C1
1 2
C2
记作
C
得
1 2
1
x
x
x.
1 e2 e3 e6
主讲人： 苏本堂
解:
令
t
x
e6
,
则
x 6lnt ,
dx
6 t
dt
原式 6
(1
t3
d
t t
2
t)t
6
dt (t 1)(t 2 1)t
dt
6ln t 3ln t 1 3 ln(t2 1) 3arctan t C 2
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例14. 求不定积分
例10 求 x 1 dx.
x2 x2 1
解 令x 1 , (倒代换)
t
1
原式
1 t2
1 t (1)2
( 1
1 t2
)dt
t
1 t dt
1 t2
1 dt d(1 t 2 ) arcsin t
1 t2
2 1 t2
1 t2 C
x2 1
1
arcsin C.
x
x
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