2.1.2 椭圆的简单几何性质(1) 教案(人教A版选修1-1)

2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质

(教师用书独具) ●三维目标 1.知识与技能 掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义，明确其相互关系． 2．过程与方法 能够画出椭圆的图形，会利用椭圆的几何性质解决相关的简单问题． 3．情感、态度与价值观 从离心率大小变化对椭圆形状的影响，体现数形结合，体会数学的对称美、和谐美． ●重点、难点 重点：由标准方程分析出椭圆几何性质． 难点：椭圆离心率几何意义的导入和理解． 对重难点的处理：为了突出重点，突破难点，应做好①让学生自主探索新知，②重难点之处进行反复分析，③及时巩固

(教师用书独具) ●教学建议 根据教学内容并结合学生所具备的逻辑思维能力，为了体现学生的主体地位，遵循学生的认知规律，宜采用这样的教学方法：启发式讲解，互动式讨论，研究式探索，反馈式评价． ●教学流程 创设问题情境，引出问题：椭圆有哪些简单几何性质？⇒引导学生结合椭圆的图形，观察、比较、分析，导出焦点在x轴上的椭圆的简单几何性质.⇒引导学生类比导出焦点在y轴上椭圆的简单几何性质.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握已知椭圆方程求几何性质的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握由椭圆的几何性质求其标准方程的方法.⇒错误!⇒错误!⇒错误! (对应学生用书第22页)

课标解读 1.掌握椭圆的简单几何性质及应用．(难点) 2．掌握椭圆离心率的求法及a，b，c的几何意义．(难点) 3．理解长轴长、短轴长、焦距与长半轴长、短半轴长、半焦距的概念．(易混点)

椭圆的简单几何性质 【问题导思】

已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x225＋y216＝1，C2：y225＋x216＝1. 1．椭圆C1的焦点在哪个坐标轴上，a、b、c分别是多少？椭圆C2呢？ 【提示】 C1：焦点在x轴上，a＝5，b＝4，c＝3， C2：焦点在y轴上，a＝5，b＝4，c＝3. 2．怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？ 【提示】 对于方程C1：令x＝0，得y＝±4，即椭圆与y轴的交点为(0,4)与(0，－4)；令y＝0得x＝±5，即椭圆与x轴的交点为(5,0)与(－5,0)．同理得C2与y轴的交点(0,5)，(0，－5)，与x轴的交点(4,0)(－4,0). 焦点的 位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

续表 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 短轴长＝2b，长轴长＝2a 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为(0,0) 离心率 e＝ca 椭圆的离心率 【问题导思】 观察不同的椭圆，其扁平程度各不一样，如何刻画椭圆的扁平程度呢？ 【提示】 利用椭圆的离心率． 1．定义

椭圆的焦距与长轴长的比e＝ca，叫做椭圆的离心率． 2．性质 离心率e的范围是(0,1)．当e越接近于1，椭圆越扁，当e越接近于0，椭圆就越接近于圆． (对应学生用书第23页) 由椭圆方程研究几何性质 已知椭圆16x2＋9y2＝1，求椭圆的顶点坐标、焦点坐标、长轴长、短轴长、焦距和离心率． 【思路探究】 (1)所给椭圆方程是标准形式吗？(2)怎样由椭圆的标准方程求得a、b、c的值进而写出其几何性质中的基本量？

【自主解答】 将椭圆方程化为x2116＋y219＝1，则a2＝19，b2＝116，椭圆焦点在y轴上，c2

＝a2－b2＝19－116＝7144，所以顶点坐标为(0，±13)，(±14，0)，焦点坐标为(0，±712)，长轴长为23，短轴长为12，焦距为76，离心率为74.

1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型． 2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．同时要注意长轴长、短轴长，焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍．

本例中，若把椭圆方程改为“25x2＋16y2＝400”，试求其长轴长、短轴长、离心率、焦点与顶点坐标．

【解】 将方程变形为y225＋x216＝1， 得a＝5，b＝4，所以c＝3. 故椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝10和2b＝8，离心率e＝ca＝35， 焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)， 顶点坐标为A1(0，－5)，A2(0,5)，B1(－4,0)，B2(4,0). 由椭圆的几何性质求其标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；

(2)过(3,0)点，离心率e＝63. 【思路探究】 (1)椭圆的焦点位置确定了吗？(2)你将怎样求得a2、b2并写出标准方程？ 【自主解答】 (1)由题意知2a＝4b，∴a＝2b.

设椭圆标准方程为x2a2＋y2b2＝1或y2a2＋x2b2＝1，

代入点(2，－6)得，4a2＋36b2＝1或36a2＋4b2＝1， 将a＝2b代入得，a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13， 故所求的椭圆标准方程为x2148＋y237＝1或y252＋x213＝1.

(2)当椭圆焦点在x轴上时，有a＝3，ca＝63， ∴c＝6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3， ∴椭圆的标准方程为x29＋y23＝1；

当椭圆焦点在y轴上时，b＝3，ca＝63， ∴a2－b2a＝63， ∴a2＝27，∴椭圆的标准方程为x29＋y227＝1. 故所求椭圆标准方程为x29＋y227＝1或x29＋y23＝1.

求标准方程的常用方法是待定系数法，基本思路是“先定位、再定量”． 1．定位即确定椭圆焦点的位置，若不能确定，应分类讨论． 2．定量即通过已知条件构建关系式，用解方程(组)的方法求a2、b2.其中a2＝b2＋c2，e

＝ca是重要关系式，应牢记． 分别求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是6，离心率是23； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 【解】 (1)设椭圆的方程为 x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)．

由已知得2a＝6，a＝3.e＝ca＝23，∴c＝2. ∴b2＝a2－c2＝9－4＝5. ∴ 椭圆的标准方程为x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.

(2)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．

如图所示，△B1FB2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|B1B2|＝2b， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，

故所求椭圆的标准方程为x218＋y29＝1. 求椭圆的离心率

(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求其离心率． (2)若一个椭圆长轴长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【思路探究】 (1)由焦距与短轴长相等，你能得出a、b、c的关系吗？可以用离心率公式求离心率吗？ (2)由题意得2b＝a＋c，如何使用这一关系式求e? 【自主解答】 (1)由题意得：b＝c，

∴e2＝c2a2＝c2b2＋c2＝c22c2＝12. ∴e＝22. (2)∵椭圆的长轴长度、短轴长度与焦距成等差数列， ∴2b＝a＋c，∴4b2＝(a＋c)2. 又∵a2＝b2＋c2，∴4(a2－c2)＝a2＋2ac＋c2， 即3a2－2ac－5c2＝0， ∴(a＋c)(3a－5c)＝0. ∵a＋c≠0，∴3a－5c＝0，∴3a＝5c，

∴e＝ca＝35.

求椭圆离心率的常用方法： 1．直接法：求出a、c后用公式e＝ca求解；或求出a、b后，用公式e＝ 1－b2a2求解． 2．转化法：将条件转化为关于a、b、c的关系式，用b2＝a2－c2消去b，构造关于ca的方程来求解．

(1)求椭圆x216＋y28＝1的离心率． (2)已知椭圆的两个焦点F1、F2，点A为椭圆上一点，且AF1→·AF2→＝0，∠AF2F1＝60°，求椭圆的离心率．

【解】 (1)e＝ 1－b2a2＝ 1－816＝12＝22. (2)设F1F2＝2c，由题意知，△AF1F2中，∠A＝90°，∠AF2F1＝60°，∴|AF1|＝3c，|AF2|＝c. ∵|AF1|＋|AF2|＝3c＋c＝2a，

即(3＋1)c＝2a，∴e＝ca＝23＋1＝3－1.

(对应学生用书第25页) 混淆长轴长与长半轴长、短轴长与短半轴长的概念致误 求椭圆25x2＋y2＝25的长轴长和短轴长． 【错解】 将方程化为标准方程得：x2＋y225＝1， ∴a＝5，b＝1， ∴长轴长是5，短轴长是1. 【错因分析】 错解中将长半轴长、短半轴长与长轴长、短轴长混淆了，从而导致错误． 【防范措施】 根据定义，长轴长为2a，短轴长为2b，往往与长半轴长a、短半轴长b混淆，解题时要特别注意．

【正解】 将已知方程化成标准方程为x2＋y225＝1. ∴a＝5，b＝1，∴2a＝10,2b＝2. 故长轴长为10，短轴长为2.

1．通过椭圆方程可讨论椭圆的简单几何性质；反之，由椭圆的性质也可以通过待定系数法求椭圆的方程． 2．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，离心率可以从关于a、b、c的一个方程求得，也可以用公式求得．