全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总附答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知二次函数的图象过点O（0，0）．A（8，4），与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x＝3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若M是OB上的一点，作MN∥AB交OA于N，当△ANM面积最大时，求M的坐标；
（3）P是x轴上的点，过P作PQ⊥x轴与抛物线交于Q．过A作AC⊥x轴于C，当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．
【答案】（1）21342yxx；（2）当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；（3）P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【解析】
【分析】
（1）先利用抛物线的对称性确定B（6，0），然后设交点式求抛物线解析式；
（2）设M（t，0），先其求出直线OA的解析式为12yx直线AB的解析式为y=2x-12，直线MN的解析式为y=2x-2t，再通过解方程组1222yxyxt得N（42t,t33），接着利用三角形面积公式，利用S△AMN=S△AOM-S△NOM得到AMN112S4ttt223然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）设Q213m,mm42，根据相似三角形的判定方法，当PQPOOCAC时，△PQO∽△COA，则213mm2|m|42；当PQPOACOC时，△PQO∽△CAO，则2131mmm422，然后分别解关于m的绝对值方程可得到对应的P点坐标．
【详解】
解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x＝3，
∴B点坐标为（6，0），
设抛物线解析式为y＝ax（x﹣6），
把A（8，4）代入得a•8•2＝4，解得a＝14，
∴抛物线解析式为y＝14x（x﹣6），即y＝14x2﹣32x；
（2）设M（t，0），
易得直线OA的解析式为y＝12x，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把B（6，0），A（8，4）代入得6084kbkb，解得k2b12，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣12，
∵MN∥AB，
∴设直线MN的解析式为y＝2x+n，
把M（t，0）代入得2t+n＝0，解得n＝﹣2t，
∴直线MN的解析式为y＝2x﹣2t，
解方程组1222yxyxt得4323xtyt，则42Nt,t33，
∴S△AMN＝S△AOM﹣S△NOM
1124ttt223
21t2t3
21(t3)33，
当t＝3时，S△AMN有最大值3，此时M点坐标为（3，0）；
（3）设213m,mm42，
∵∠OPQ＝∠ACO，
∴当PQPOOCAC时，△PQO∽△COA，即PQPO84， ∴PQ＝2PO，即213mm2|m|42，
解方程213mm2m42得m1＝0（舍去），m2＝14，此时P点坐标为（14，0）；
解方程213mm2m42得m1＝0（舍去），m2＝﹣2，此时P点坐标为（﹣2，0）；
∴当PQPOACOC时，△PQO∽△CAO，即PQPO48，
∴PQ＝12PO，即2131mmm422，
解方程2131mmm422得m1＝0（舍去），m2＝8，此时P点坐标为（8，0）；
解方程2131mmm422得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）；
综上所述，P点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
2．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：
时间(天) 1 3 6 10 36 …
日销售量(件) 94 90 84 76 24 …
未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究 这种商品的有关问题.
(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数 、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.
【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4． 【解析】
分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围 ．
详解：（1）设数m=kt+b，有,解得
∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上
析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．
（2）设日销售利润为P，
由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，
∵21≤t≤40且对称轴为t=44，
∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，
∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），
答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.
（3）P1=（-2t+96）
=-+（14+2a）t+480-96n，
∴对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，
又∵a＜4，
∴3≤a＜4．
点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．
3．如果一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．
(1)任意抛物线都有“抛物线三角形”是 (填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”的面积为 ；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线的解析式；
(4)在(3)的前提下，该抛物线的顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上是否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）假；（2）22；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．
【解析】
分析：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到22yx，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，
由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到2122bb，解方程即可得到结论；
（4）分两种情况讨论：①当抛物线为y＝－x2＋2x 时，②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
详解：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：22yx，令y=0，得：x=2，∴ S=12222=12xx；
（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y＝－x2＋2bx=22()xbb，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到：2122bb，∴2bb，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，
∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．
（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），
则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即(2)2aaa．
∵a－2≠0，∴1a，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．
②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），
则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即(2)2aaa．
∵a+2≠0，∴1a，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．
综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．
点睛：本题是二次函数综合题．考查了二次函数的性质以及“抛物线三角形”的定义．解题的关键是弄懂“抛物线三角形”的定义以及分类讨论．
4．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，52），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+52；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0，72）或（0，﹣72）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣12（x﹣2）2+92，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，92﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，92﹣t），然后把P（2+t，92﹣t）代入y=﹣12x2+2x+52得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，92），D点坐标为（2，52），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+52+2）•2=8当m＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
中考数学总复习《二次函数与三角形》综合题(含答案)
二次函数与三角形
一 、填空题（本大题共2小题）
1.已知二次函数交轴于,两点，交轴于点，且是等腰三角形，请写出一个符合要求的二次函数的解析式 ．
2.二次函数的图象的顶点为，与轴正方向从左至右依次交于,两点，与轴正方向交于点，若和均为等腰直角三角形（为坐标原点），则 ．
二 、解答题（本大题共9小题）
3.如图，抛物线与轴交与，两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？，若存在，求出点的坐标及的面积最大值.若没有，请说明理由.
4.如图，已知二次函数的图象经过点、和原点．为二次函数图象上的一个动点，过点作轴的垂线，垂足为，并与直线交于点． 2yaxbxcxAByCABC△2yxbxcDxAByCABD△OBC△O2bc2yxbxcx10A，30B，yCQQAC△QPPBC△PPBC△CyxABOQCyxABOEPCyxABO33A，40B，OPPx0Dm，OAC（1）求出二次函数的解析式；
（2）当点在直线的上方时，求线段的最大值；
（3）当时，探索是否存在点，使得为等腰三角形，如果存在，求出的坐标；如果不存在，请说明理由．
5.已知二次函数22(2)4ymxmxn的图象的对称轴是直线2x，且它的最高点在直线 112yx上．
⑴ 求此二次函数的解析式；
⑵ 若此二次函数的图象开口方向不变，定点在直线112yx上移动到M点时，图象与x轴恰好交于A、B两点，且8ABMS，求这时的二次函数的解析式．
6.已知二次函数212yxbxc的图象经过点(36)A，并且与x轴相交于点(10)B，和点C，顶点为P
（1）求二次函数的解析式；
中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析
第 1 页 共 10 中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附带答案解析
一、单选题(共12题；共24分)
1．如图，△ABC是直角三角形，△A=90°，AB=8cm，AC=6cm。点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的最大面积是（ ）
A．0cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．24 cm2
2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（ ）
A．②④⑤⑥⑦ B．①②③⑥⑦ C．①③④⑤⑦ D．①③④⑥⑦
3．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（ ）
A． B．
C． 或 D．- 或
4．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
第 2 页 共 10 5．二次函数 𝑦=−𝑥2+6𝑥−7 ，当x取值为 𝑡≤𝑥≤𝑡+2 时有最大值t=2，则t的取值范围为（ ）
A．t≤0 B．0≤t≤3 C．t≥3 D．以上都不对
6．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A．√3cm2 B．32√3cm2 C．92√3cm2 D．272√3cm2
7．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是 （ ）
中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题及答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？
【答案】（1）足球飞行的时间是85s时，足球离地面最高，最大高度是4.5m；（2）能.
【解析】
试题分析：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．
解：（1）由题意得：函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣t2+5t+，
∴当t=时，y最大=4.5；
（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，
∴当t=2.8时，y=﹣×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，
∴他能将球直接射入球门．
考点：二次函数的应用．
2．抛物线2yxbxc（b，c为常数）与x轴交于点1,0x和2,0x，与y轴交于点A，点E为抛物线顶点。
（Ⅰ）当121,3xx时，求点A，点E的坐标；
（Ⅱ）若顶点E在直线yx上，当点A位置最高时，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若11,0xb，当(1,0)P满足PAPE值最小时，求b的值。
人教全国各地中考数学分类：二次函数综合题汇编含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1-12-12y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=14，
∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14x2-x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
214114yxyxx＝＝，解得：11114xy＝＝，2241xy＝＝，
中考数学总复习《二次函数的三种形式》专项练习题附答案
第 1 页 共 7 页 中考数学总复习《二次函数的三种形式》专项练习题附答案
一、单选题
1．抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为( )
A．（3，-4） B．（3，4） C．（-3，-4） D．（-3，4）
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是( )
A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0 C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜0
3．把二次函数y=x2-4x+3化成y=a（x-h）2+k的形式是（ )
A．y＝(x－2)2－1 B．y＝(x＋2)2－1
C．y＝(x－2)2＋7 D．y＝(x＋2)2＋7
4．抛物线𝑦=(𝑥+2)2−3的对称轴是（ ）
A．直线 x=2 B．直线x=-2 C．直线x=-3 D．直线x=3
5．将二次函数y=x2﹣6x+5用配方法化成y=（x﹣h）2+k的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．y=（x﹣6）2+5 B．y=（x﹣3）2+5
C．y=（x﹣3）2﹣4 D．y=（x+3）2﹣9
6．已知二次函数 𝑦=(𝑥−1𝑚)(𝑚𝑥−4𝑚) （其中m＞0），下列说法正确的是（ ）
A．当x＞2时都有y随着x的增大而增大
B．当x＜3时都有y随着x的增大而减小
C．若x＜n时都有y随着x的增大而减小，则 𝑛≥2+12𝑚
D．若x＜n时都有y随着x的增大而减小，则 𝑛≤2+12𝑚
7．将二次函数y=2x2﹣4x+1化成顶点式是（ ）
A．y=2（x+1）2﹣1 B．y=2（x﹣1）2﹣1
C．y=2（x+1）2+1 D．y=2（x﹣1）2+1
8．二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a（x﹣h）2+k的形式，下列正确的是（ ）
A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x﹣2）2+4
C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣1）2+3
第 2 页 共 7 页 9．在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x+3绕着原点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）
中考数学二次函数综合经典题含答案解析
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．新春佳节，电子鞭炮因其安全、无污染开始走俏．某商店经销一种电子鞭炮，已知这种电子鞭炮的成本价为每盒80元，市场调查发现，该种电子鞭炮每天的销售量y（盒）与销售单价x（元）有如下关系：y=﹣2x+320（80≤x≤160）．设这种电子鞭炮每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种电子鞭炮销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）该商店销售这种电子鞭炮要想每天获得2400元的销售利润，又想卖得快．那么销售单价应定为多少元？
【答案】（1）w=﹣2x2+480x﹣25600；（2）销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元（3）销售单价应定为100元
【解析】
【分析】
（1）用每件的利润80x乘以销售量即可得到每天的销售利润，即80802320wxyxx， 然后化为一般式即可；
（2）把（1）中的解析式进行配方得到顶点式221203200wx，然后根据二次函数的最值问题求解；
（3）求2400w所对应的自变量的值，即解方程2212032002400x．然后检验即可.
【详解】
（1）80802320wxyxx，
2248025600xx，
w与x的函数关系式为：2248025600wxx；
（2）2224802560021203200wxxx，
2080160x，，
∴当120x时，w有最大值．w最大值为3200．
答：销售单价定为120元时，每天销售利润最大，最大销售利润3200元．
（3）当2400w时，2212032002400x．
解得：12100140xx，．
∵想卖得快，
2140x不符合题意，应舍去．
中考数学《二次函数》专项练习(附答案解析)
第 1 页 共 28 页 中考数学《二次函数》专项练习（附答案解析）
一、综合题
1．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．
（1）经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（ ）（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是（ ），求出你所选方案中的抛物线的表达式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．
2．如图，抛物线 y =-x2+3x +4 与x轴负半轴相交于A点，正半轴相交于B点，与 y 轴相交于C 点．
（1）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线 BC 对称的点的坐标；
（2）在（1）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
3．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．
4．已知抛物线C1：y=ax2+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C1的解析式；
（3）现将抛物线C1绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C2，若抛物线C2的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C1上时，求m的值．
5．如图，抛物线 𝐺：𝑦=−𝑥2+2𝑚𝑥−𝑚2+𝑚+3 的顶点为 𝑃(𝑥𝑃，𝑦𝑃) ，抛物线 𝐺 与直线 𝑙：𝑥=3 交于点 𝑄 ．
中考数学二次函数综合题含答案解析
中考数学二次函数综合题含答案解析
一、二次函数
1．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线223432333yxx与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2323y=x+33；（-2，23）；（1,0）；
（2）N点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；
（3）E（-1，-433）、F（0，233）或E（-1，43-3），F（-4，1033）
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可
【详解】
（1）∵223432333yxx，a=233，则抛物线的“衍生直线”的解析式为2323y=x+33；
联立两解析式求交点2234323332323y=x+33yxx，解得x=-2y=23或x=1y=0，
∴A（-2，23），B（1,0）；
中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)
第 1 页 共 9 页 中考数学《二次函数的最值》专项练习题(附答案)
一、单选题
1．如图，已知二次函数 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 的图象如图所示，有下列5个结论 ①𝑎𝑏𝑐>0 ；
②𝑏−𝑎>𝑐 ； ③4𝑎+2𝑏+𝑐>0 ； ④3𝑎>−𝑐 ； ⑤𝑎+𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)(𝑚≠1 的实数 ). 其中正确结论的有（ ）
A．①②③ B．②③⑤ C．②③④ D．③④⑤
2．如图，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的对称轴是𝑥=−2，并与x轴交于A，B两点，若𝑂𝐴=5𝑂𝐵，则下列结论中：①𝑎𝑏𝑐>0；②(𝑎+𝑐)2−𝑏2=0；③9𝑎+4𝑐<0；④若m为任意实数，则𝑎𝑚2+𝑏𝑚+2𝑏≥4𝑎，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知二次函数𝑦=−𝑥2+2𝑥+𝑐，当−1≤𝑥≤2时，函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．关于二次函数 𝑦=𝑥2−4𝑥−4 的说法，正确的是( )
A．最大值为 −4 B．最小值为 −4
C．最大值为 −8 D．最小值为 −8
5．在平面直角坐标系中，点 𝑃 的坐标 (0,2) ，点 𝑄 的坐标为 (𝑡−1,−34𝑡−94)(𝑡 为实数)，当 𝑃𝑄
长取得最小值时， 𝑡 的值为（ ）
A．−75 B．−125 C．3 D．4
6．已知二次函数y=x2+2x+m2+2m﹣1（m为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3
第 2 页 共 9 页 7．已知二次函数𝑦=2(𝑥−1)2−3，则下列说法正确的是( )
A．y有最小值0，有最大值－3 B．y有最小值－3，无最大值
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案
第 1 页 共 12 中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案
一、单选题(共12题；共24分)
1．如图是二次函数 𝑦1=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0) 和一次函数 𝑦2=𝑚𝑥+𝑛(𝑚≠0) 的图象.则下列结论正确的是（ ）
A．若点 𝑀(−2，𝑑1)，𝑁(12，𝑑2)，𝑃(2，𝑑3) 在二次函数图象上，则 𝑑1<𝑑2<𝑑3
B．当 𝑥<−12 或 𝑥>3 时
C．2𝑎−𝑏=0
D．当 𝑥=𝑘2+2 （ 𝑘 为实数）时
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y1≠y2时，则取y1，y2中的较大值记为N；当y1=y2时，则N=y1=y2．则下列说法：①当0＜x＜2时，则N=y1；②N随x的增大而增大的取值范围是x＜0；③取y1，y2中的较小值记为M，则使得M大于4的x值不存在；④若N=2，则x=2﹣√2或x=1．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．已知抛物线y1= 14 （x﹣x1）（x﹣x2）交x轴于A（x1，0）B（x2，0）两点，且点A在点B的左边，直线y2=2x+t经过点A．若函数y=y1+y2的图象与x轴只有一个公共点时，则则线段AB的长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．无法确定
第 2 页 共 12 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c和直线y＝kx+b都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，那么下列说法正确的是（ ）
A．ac＞0 B．b2﹣4ac＜0
C．k＝2a+c D．x＝4是ax2+（b﹣k）x+c＜b的解
5．直线y=ax﹣6与抛物线y=x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为（ ）
A．a=2 B．a=10 C．a=2或a=﹣10 D．a=2或a=10
6．如图是函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象，有下列结论：