全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总及答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ，O 为坐标原点，OA ＝1，tan ∠BAO ＝3，将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°，得到△DOC ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t ，设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ，连接PE ，交CD 于F ，求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【解析】 【分析】

（1）根据正切函数，可得OB ，根据旋转的性质，可得△DOC ≌△AOB ，根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）分两种情况讨论：①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点；②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，得到△EFC ∽△EMP ，根据相似三角形的性质，可得PM 与ME 的关系，解方程，可得t 的值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案． 【详解】

（1）在Rt △AOB 中，OA ＝1，tan ∠BAO OB

OA

=

=3，∴OB ＝3OA ＝3． ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC ≌△AOB ，∴OC ＝OB ＝3，OD ＝OA ＝1，∴A ，B ，C 的坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为

09303a b c a b c c ++=??-+=??=?

，解得：123a b c =-??

=-??=?，抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；

（2）∵抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3，∴对称轴为l 2b

a

=-=-1，∴E 点坐标为（﹣1，0），如图，分两种情况讨论：

①当∠CEF ＝90°时，△CEF ∽△COD ，此时点P 在对称轴上，即点P 为抛物线的顶点，P

（﹣1，4）；

②当∠CFE ＝90°时，△CFE ∽△COD ，过点P 作PM ⊥x 轴于M 点，∵∠CFE=∠PME=90°，

∠CEF=∠PEM ，∴△EFC ∽△EMP ，∴

1

3

EM EF OD MP CF CO ===，∴MP ＝3ME ． ∵点P 的横坐标为t ，∴P （t ，﹣t 2﹣2t +3）．

∵P 在第二象限，∴PM ＝﹣t 2﹣2t +3，ME ＝﹣1﹣t ，t ＜0，∴﹣t 2﹣2t +3＝3（﹣1﹣t ），解得：t 1＝﹣2，t 2＝3（与t ＜0矛盾，舍去）．

当t ＝﹣2时，y ＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P （﹣2，3）．

综上所述：当△CEF 与△COD 相似时，P 点的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）． 【点睛】

本题是二次函数综合题．解（1）的关键是利用旋转的性质得出OC ，OD 的长，又利用了待定系数法；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出MP ＝3ME ．

2．抛物线2y x bx c =-++（b ，c 为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ，与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点。

（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点A ，点E 的坐标；

（Ⅱ）若顶点E 在直线y x =上，当点A 位置最高时，求抛物线的解析式； （Ⅲ）若11,

0x b =->，当(1,0)P 满足PA PE +值最小时，求b 的值。

【答案】（Ⅰ）()0,3A ，(1,4)E ；（Ⅱ）2

1

4

y x x =-++；（Ⅲ）317b = 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将（-1，0），（3，0）代入抛物线的解析式求得b 、c 的值，确定解析式，从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标，运用配方求出顶点E 的坐标即可；

（Ⅱ）先运用配方求出顶点E 的坐标，再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系，利用二次函数的性质得出当b=1时，点A 位置最高，从而确定抛物线的解析式； （Ⅲ）根据抛物线经过（-1，0）得出c=b+1，再根据（Ⅱ）中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标，然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式，再根据点在直线AP 上，此时PA PE +值最小，从而求出b 的值. 【详解】

解：（Ⅰ）把点(-1,0)和(3,0)代入函数2y x bx c =-++，

有10930b c b c --+=??-++=?

。解得2,3b c ==

2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴

（Ⅱ）由222424b c b y x bx c x +??=-++=--+ ???，得24,24b c b E ??+ ???

∵点E 在直线y x =上，2

424b c b +∴=

221111

(1)4244c b b b ∴=-+=--+

2110,(1)44A b ?

?∴--+ ??

?

当1b =时，点A 是最高点此时，2

1

4

y x x =-++

（Ⅲ）：抛物线经过点(1,0)-，有10b c --+=

1c b ∴=+

24,,(0,)2

4b c b E A c ??+ ???

2(2),,(0,1)2

4b b E A b ??

+∴+ ???

∴E 关于x 轴的对称点E '

为2(2),24b b ??

+- ???

设过点A ，P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+，得

(1)(1)y b x =-+-

把点2(2),2

4b b E '

??

+- ???代入(1)(1)y b x =-+-.

得

2(2)(1)142b b b +??

=-+- ???

，即2680b b --=

解得，3b =

0,3b b >∴=.

3b ∴=+【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离，数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键，属于中考压轴题．

3．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值. (2)求支柱MN 的长度.

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

【答案】（1）y=-350

x 2

+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】

试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．

（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．

试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0). 将B 、C 的坐标代入2

y ax c =+，得 6,

0100.c a c =??

=+?

解得3

,650

a c =-

=. ∴抛物线的表达式是2

3650

y x =-+. (2) 可设N (5,N y )， 于是23

56 4.550

N y =-

?+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.

(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，

则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).

过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23

176335050

H y =-

?+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

4．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．

（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；

（2）若动点P 在第二象限内的抛物线上，动点N 在对称轴l 上． ①当PA ⊥NA ，且PA=NA 时，求此时点P 的坐标；

②当四边形PABC 的面积最大时，求四边形PABC 面积的最大值及此时点P 的坐标．

【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32

，154） 【解析】

试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；

（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；

②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．

试题解析：（1）∵抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于

点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0

{3

1

2a b c c b

a

++==-=-，解得：1

{23a b c =-=-=，∴二次函数的

解析式为2

23y x x =--+=2

(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；

（2）令2

230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作

PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得

x=21-（舍去）或x=21--，∴点P （21--，2）；

②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形

=

12OB?OC+12AD?PD+12

(PD+OC)?OD =111

31+(3)(3)()222x y y x ???+++-=

333222x y -+ =2

333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228

x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32

-时，223y x x =--+=15

4，此时P

（32

-，15

4）．

考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．

5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB ：y ＝kx +b （k ＜0，b ＞0），与x 轴交于点A 、与y 轴交于点B ，直线CD 与x 轴交于点C 、与y 轴交于点D ．若直线CD 的解析式为y ＝﹣

1

k

（x +b ），则称直线CD 为直线AB 的”姊线”，经过点A 、B 、C 的抛物线称为直线AB 的“母线”．

（1）若直线AB 的解析式为：y ＝﹣3x +6，求AB 的”姊线”CD 的解析式为： （直接填空）；

（2）若直线AB 的”母线”解析式为：2

142

y x x =

-+，求AB 的”姊线”CD 的解析式； （3）如图2，在（2）的条件下，点P 为第二象限”母线”上的动点，连接OP ，交”姊线”CD 于点Q ，设点P 的横坐标为m ，PQ 与OQ 的比值为y ，求y 与m 的函数关系式，并求y 的最大值；

（4）如图3，若AB 的解析式为：y ＝mx +3（m ＜0），AB 的“姊线”为CD ，点G 为AB 的中点，点H 为CD 的中点，连接OH ，若GH 5AB 的”母线”的函数解析式．

【答案】（1）1

(6)3

y x =

+；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m ＝﹣32，y 最大值为338；（4）y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【解析】 【分析】

（1）由k ，b 的值以及”姊线”的定义即可求解；

（2）令x ＝0，得y 值，令y ＝0，得x 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而求得直线CD 的表达式；

（3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣

12

m 2

﹣m+4， 从而求得直线OP 的表达式，将直线OP 和CD 表达式联立并解得点Q 坐标，

由此求得P Q y y ，从而求得y ＝﹣12m 2﹣32m+3，故当m ＝﹣32，y 最大值为33

8；

（4）由直线AB 的解析式可得AB 的“姊线”CD 的表达式y ＝﹣1

m

（x+3），令x ＝0，得 y 值，令y ＝0，得x 值，可得点C 、D 的坐标，由此可得点H 坐标，同理可得点G 坐标， 由勾股定理得：m 值，即可求得点A 、B 、C 的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式． 【详解】

（1）由题意得：k ＝﹣3，b ＝6，

则答案为：y ＝

1

3

（x+6）； （2）令x ＝0，则y ＝4，令y ＝0，则x ＝2或﹣4，

点A 、B 、C 的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）， 则直线CD 的表达式为：y ＝

12（x+4）＝1

2

x+2； （3）设点P 的横坐标为m ，则点P （m ，n ），n ＝﹣12

m 2

﹣m+4， 则直线OP 的表达式为：y ＝

n m

x ，

将直线OP 和CD 表达式联立得1

22

n

y x m

y x ?=??

?

?=+??， 解得：点Q （2

438m m m --+，2228

38

m m m m +-+-） 则P Q y y ＝﹣12m 2﹣32

m+4， y ＝1P Q P Q Q y y y PQ OQ y y -==-＝﹣12m 2﹣3

2

m+3， 当m ＝﹣

32，y 最大值为33

8

； （4）直线CD 的表达式为：y ＝﹣1

m

（x+3）， 令x ＝0，则y ＝﹣

3

m

，令y ＝0，则x ＝﹣3， 故点C 、D 的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣3m ），则点H （﹣32，﹣32m

）， 同理可得：点G （﹣32m ，3

2

）， 则GH 2＝（

32+32m ）2+（32﹣32m

）2

2， 解得：m ＝﹣3（正值已舍去），

则点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0）， 则“母线”函数的表达式为：y ＝a （x ﹣1）（x+3）＝a （x 2﹣2x ﹣3）， 即：﹣3a ＝﹣3，解得：a ＝1，

故：“母线”函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ﹣3． 【点睛】

此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.

6．如图，已知直线y ＝﹣2x +4分别交x 轴、y 轴于点A 、B ．抛物线过A 、B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D ． （1）如图1，设抛物线顶点为M ，且M 的坐标是（12，9

2

），对称轴交AB 于点N ． ①求抛物线的解析式；

②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；

（2）是否存在这样的点D ，使得四边形BOAD 的面积最大？若存在，求出此时点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）①y＝﹣2x2+2x+4；；②不存在点P，使四边形MNPD为菱形；；（2）存在，点D的坐标是（1，4）．

【解析】

【分析】

（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝

a

2

19

22

x

??

-+

?

??

，把点B的坐标代入求得a的值即可；

②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，

根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝3

2

，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐

标，然后推知PN＝MN是否成立即可；

（2）设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD ＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数

S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．

【详解】

解：①如图1，

∵顶点M的坐标是

19

,

22

?? ???

，

∴设抛物线解析式为y＝

2

19

22

a x

??

-+

?

??

（a≠0）．

∵直线y＝﹣2x+4交y轴于点B，∴点B的坐标是（0，4）．

又∵点B在该抛物线上，

∴

2

19

22

a

??

-+

?

??

＝4，

解得a＝﹣2．

故该抛物线的解析式为：y＝

2

19

2

22

x

??

--+

?

??

＝﹣2x2+2x+4；

②不存在．理由如下：

∵抛物线y＝

2

19

2

22

x

??

--+

?

??

的对称轴是直线x＝

1

2

，且该直线与直线AB交于点N，

∴点N的坐标是

1

,3

2

?? ???

．

∴93

3

22

MN=-=．

设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝（﹣2m2+2m+4）﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m．

∵PD∥MN．

当PD＝MN时，四边形MNPD是平行四边形，即﹣2m2+4m＝3

2

．

解得 m1＝1

2

（舍去），m2＝

3

2

．

此时P（3

2

，1）．

∵PN

∴PN≠MN，

∴平行四边形MNPD不是菱形．

∴不存在点P，使四边形MNPD为菱形；（2）存在，理由如下：

设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），∵点P在线段AB上且直线PD⊥x轴，∴P（n，﹣2n+4）．

由图可知S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD．其中S△BOA＝1

2

OB?OA＝

1

2

×4×2＝4．

则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．

S△ABD＝1

2

（y D﹣y P）（x A﹣x B）

＝y D﹣y P

＝﹣2n2+2n+4﹣（﹣2n+4）

＝﹣2n2+4n

＝﹣2（n﹣1）2+2．

当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．

【点睛】

主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

7．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为()4,3A ，与y 轴相交于点()0,5B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点.

（1）求抛物线的表达式；

（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；

（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标. 【答案】（1）2

1452

=-

+-y x x ；（2）()2,1-M ，25y x =-；（3）点P 、Q 的坐标分别为()6,1或()2,1、()4,3-或()4,1． 【解析】 【分析】

（1）函数表达式为：()2

43y a x ==+，将点B 坐标代入上式，即可求解； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点

A 坐标代入上式，即可求解；

（3）分当AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可. 【详解】

解：（1）函数表达式为：()2

43y a x ==+， 将点B 坐标代入上式并解得：12

a =-， 故抛物线的表达式为：2

1452

=-

+-y x x ； （2）()4,3A 、()0,5B -，则点()2,1-M ， 设直线AB 的表达式为：5y kx =-，

将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-； （3）设点()4,Q s 、点21,452P m m m ??-

+- ???

， ①当AM 是平行四边形的一条边时，

点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ，

同样点21,452P m m m ??

-+-

???

向左平移2个单位、向下平移4个单位得到()4,Q s ， 即：24m -=，2

14542

m m s -

+--=， 解得：6m =，3s =-，

故点P 、Q 的坐标分别为()6,1、()4,3-； ②当AM 是平行四边形的对角线时， 由中点定理得：424m +=+，2

131452

m m s -=-

+-+，

解得：2m =，1s =，

故点P 、Q 的坐标分别为()2,1、()4,1；

故点P 、Q 的坐标分别为()6,1，()4,3-或()2,1、()4,3-，()2,1或()4,1． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等，其中（3），要主要分类求解，避免遗漏.

8．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线

2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．

（1）求b 、c 的值；

（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；

（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR ①求证：PG=RQ ；

②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．

【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-

，5125

）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG 的最小值为19P 的坐标（﹣919123）． 【解析】

试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2

y x bx c =-++即可解决问题．

（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．

（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由sin ∠ACM=

AM AC

=NQ

QC 求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．

试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，

0），B （0，3），∵抛物线2

y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3

{930

c b c =--+=，解得：

2{3

b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线2

23y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴

点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标

（2

3

-，1），设直线CE 为y=kx+b ，把E 、C 代入得到：2

1{30

k b k b -+=+=，解得：

35{35k b =-=，∴直线CE 为3355y x =-+，由233{5523y x y x x =-+=--+，解得10x y =??=?或12

5

{5125

x y =-=，

∴点M 坐标（125-

，51

25

）． （3）①∵△AGQ ，△APR 是等边三角形，∴AP=AR ，AQ=AG ，∠QAC=∠RAP=60°，∴∠QAR=∠GAP ，在△QAR 和△GAP 中，∵AQ=AG ，∠QAR=∠GAP ，AR=AP ，∴△QAR ≌△GAP ，∴QR=PG ．

②如图3中，∵PA+PB+PC=QR+PR+PC=QC ，∴当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ．∵∠GAO=60°，AO=3，∴AG=QG=AQ=6，∠AGO=30°，∵∠QGA=60°，∴∠QGO=90°，∴点Q 坐标（﹣6

，RT △QCN 中，

QN=CN=7，∠QNC=90°，∴

，∵sin ∠ACM=AM AC =NQ

QC

，

∴

∵△APR 是等边三角形，∴∠APM=60°，∵PM=PR ，cos30°=AM AP ，

∴

，∴

∴PC=CM ﹣

，∵PK CP CK QN CQ CN ==，∴CK=2819，

，∴OK=CK ﹣CO=919，∴点P 坐

标（﹣

919

，19

），∴PA+PC+PG

的最小值为，此时点P 的坐标（﹣919

，）．

考点：二次函数综合题；旋转的性质；最值问题；压轴题．

9．如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，

∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC 于点D，求△DMH周长的最大值．

【答案】（1）（﹣1，0）（2）y=﹣x2+x+（3）

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，在Rt△BOC中由三角函数定义可求得∠OCB=60°，则在Rt△AOC中可得∠ACO=30°，利用三角函数的定义可求得OA，则可求得A点坐标；

（2）由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（3）由平行线的性质可知∠MDH=∠BCO=60°，在Rt△DMH中利用三角函数的定义可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从而可表示出△DMH 的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，

∴B（3，0），C（0，），

∴OB=3，OC=，

∴tan∠BCO==，

∴∠BCO=60°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACO=30°，

∴=tan30°=，即=，解得AO=1，

∴A（﹣1，0）；

（2）∵抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点，

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+；

（3）∵MD∥y轴，MH⊥BC，

∴∠MDH=∠BCO=60°，则∠DMH=30°，

∴DH=DM，MH=DM，

∴△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM，

∴当DM有最大值时，其周长有最大值，

∵点M是直线BC上方抛物线上的一点，

∴可设M（t，﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），

∴DM=﹣t2+t+），则D（t，﹣t+），

∴DM=﹣t2+t+﹣（﹣t+）=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，DM有最大值，最大值为，

此时DM=×=，

即△DMH周长的最大值为．

考点：1、二次函数的综合应用，2、待定系数法，3、三角函数的定义，4方程思想

10．如图，直线y=﹣3x+3与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与直线y=c 分别交y 轴的正半轴于点C 和第一象限的点P ，连接PB ，得△PCB ≌△BOA （O 为坐标原点）．若抛物线与x 轴正半轴交点为点F ，设M 是点C ，F 间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m ．

（1）直接写出点P 的坐标和抛物线的解析式；

（2）当m 为何值时，△MAB 面积S 取得最小值和最大值？请说明理由； （3）求满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标．

【答案】（1）点P 的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4；（2）当m=0

时，S 取最小值，最小值为

1

2

；当m=3时，S 取最大值，最大值为5．（3）满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（247，124

49

）．

【解析】

【分析】（1）代入y=c 可求出点C 、P 的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A 、B 的坐标，再由△PCB ≌△BOA 即可得出b 、c 的值，进而可得出点P 的坐标及抛物线的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点F 的坐标，过点M 作ME ∥y 轴，交直线AB 于点E ，由点M 的横坐标可得出点M 、E 的坐标，进而可得出ME 的长度，再利用三角形的面积公式可找出S=﹣1

2

（m ﹣3）2+5，由m 的取值范围结合二次函数的性质即可求出S 的最大值及最小值；

（3）分两种情况考虑：①当点M 在线段OP 上方时，由CP ∥x 轴利用平行线的性质可得出：当点C 、M 重合时，∠MPO=∠POA ，由此可找出点M 的坐标；②当点M 在线段OP 下方时，在x 正半轴取点D ，连接DP ，使得DO=DP ，此时∠DPO=∠POA ，设点D 的坐标为（n ，0），则DO=n ，()()

22

304n -+-DO=DP 可求出n 的值，进而可得出点

D 的坐标，由点P 、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线PD 的解析式，再联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点M 的坐标．综上此题得解．

【详解】（1）当y=c时，有c=﹣x2+bx+c，

解得：x1=0，x2=b，

∴点C的坐标为（0，c），点P的坐标为（b，c），

∵直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，3），

∴OB=3，OA=1，BC=c﹣3，CP=b，

∵△PCB≌△BOA，

∴BC=OA，CP=OB，

∴b=3，c=4，

∴点P的坐标为（3，4），抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4；

（2）当y=0时，有﹣x2+3x+4=0，

解得：x1=﹣1，x2=4，

∴点F的坐标为（4，0），

过点M作ME∥y轴，交直线AB于点E，如图1所示，

∵点M的横坐标为m（0≤m≤4），

∴点M的坐标为（m，﹣m2+3m+4），点E的坐标为（m，﹣3m+3），∴ME=﹣m2+3m+4﹣（﹣3m+3）=﹣m2+6m+1，

∴S=1

2

OA?ME=﹣

1

2

m2+3m+

1

2

=﹣

1

2

（m﹣3）2+5，

∵﹣1

2

＜0，0≤m≤4，

∴当m=0时，S取最小值，最小值为1

2

；当m=3时，S取最大值，最大值为5；

（3）①当点M在线段OP上方时，∵CP∥x轴，

∴当点C、M重合时，∠MPO=∠POA，

∴点M的坐标为（0，4）；

②当点M在线段OP下方时，在x正半轴取点D，连接DP，使得DO=DP，此时∠DPO=∠POA，

设点D的坐标为（n，0），则DO=n，

∴n2=（n﹣3）2+16，

解得：n=25

6

，

∴点D的坐标为（25

6

，0），

设直线PD的解析式为y=kx+a（k≠0），

将P（3，4）、D（25

6

，0）代入y=kx+a，

3425

06k a k a +=???

+=

??，解得：247

1007k a ?=-????=??

， ∴直线PD 的解析式为y=﹣

247x+1007

， 联立直线PD 及抛物线的解析式成方程组，得：2241007734y x y x x ?

=+

???=-++?﹣，

解得：1134x y =??=?，22247124

49x y ?

=

????=??

．

∴点M 的坐标为（

247，124

49

）． 综上所述：满足∠MPO=∠POA 的点M 的坐标为（0，4）或（

247，124

49

）．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次（二次）函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用全等三角形的性质求出b 、c 的值；（2）利用三角形的面积公式找出S=﹣（m ﹣3）2+5；（3）分点M 在线段OP 上方和点M 在线段OP 下方两种情况求出点M 的坐标．