2020年中考数学试题分类汇编：方程组(含答案解析)

2020年中考数学试题分类汇编之三
方程（方程）组
一、选择题
1．（2020安徽）（4分）下列方程中，有两个相等实数根的是( ) A ．212x x +=
B ．210x +=
C ．223x x -=
D ．220x x -=
【解答】解：A 、△2(2)4110=--⨯⨯=，有两个相等实数根；
B 、△0440=-=-<，没有实数根；
C 、△2(2)41(3)160=--⨯⨯-=>，有两个不相等实数根；
D 、△2(2)41040=--⨯⨯=>，有两个不相等实数根．
故选：A ．
2．（2020广州）直线y x a =+不经过．．．第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ * ）．
（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）1个或
2个 【答案】D
3．(2020天津)方程组241x y x y +=⎧⎨-=-⎩
，的解是（ ）
A ．1
2x y =⎧⎨=⎩
B ．3
2x y =-⎧⎨=-⎩
C ．
2
x y =⎧⎨
=⎩ D ．31x y =⎧⎨=-⎩
答案:A
4.（2020河南）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根
【答案】A
【详解】解：根据定义得：2
110,x x x =--=☆
1,1,1,a b c ==-=-
()()2
2414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，
故选.A
5.（2020河南）国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为( ) A. ()5000127500x += B. ()5000217500x ⨯+= C. ()2
500017500x +=
D. ()()2
500050001500017500x x ++++= 【答案】D
【详解】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ， ∵2017年至2019年我国快递业务收入由500亿元增加到7500亿元 ∴可列方程：()()2
500050001500017500x x ++++=， 故选D ．
6．（2020南京）（2分）关于x 的方程2(1)(2)(x x p p -+=为常数）的根的情况，下列结论中正确的是( ) A ．两个正根
B ．两个负根
C ．一个正根，一个负根
D ．无实数根
解：关于x 的方程2(1)(2)(x x p p -+=为常数），
2220x x p ∴+--=，
∴△22184940p p =++=+>， ∴方程有两个不相等的实数根，
两个的积为22p --，
∴一个正根，一个负根，
选：C ．
7.（2020四川绵阳）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？ 此问题中羊价为（ ） A.160钱 .B.155钱 C. 150钱 D.145钱
【解析】本题考查列二元一次方程组解应用题。

解：设合伙人数为x 人，羊价为y 钱，
根据题意，可列方程组为：54573y x y x =+⎧⎨=+⎩解得：．21
150x y =⎧⎨=⎩
故选：C ．
8．（2020贵州黔西南）（4分）已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x +1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2
B ．m ≤2
C ．m ＜2且m ≠1
D ．m ≤2且m ≠1
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2﹣2x +1＝0有实数根， ∴{m −1≠0△=22−4×1×(m −1)≥0， 解得：m ≤2且m ≠1． 故选：D ．
9.（2020重庆A 卷）解一元一次方程11
(1)123
x x +=-时，去分母正确的是（ ）
A. 3(1)12x x +=-
B. 2(1)13x x +=-
C. 2(1)63x x +=-
D. 3(1)62x x +=-
【答案】D
解：方程两边都乘以6，得： 3（x +1）＝6﹣2x ， 故选：D ．
10．（2020新疆生产建设兵团）（5分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ） A ．x 2﹣x +1
4
=0 B ．x 2+2x +4＝0 C ．x 2﹣x +2＝0 D ．x 2﹣2x ＝0
选：D ．
11.(2020甘肃定西）已知1x =是一元二次方程2
2
(2)40m x x m -+-=的一个根，则m 的值为（ ） A.－1或2
B.－1
C.2
D.0
答案：B
12．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（ ） A ．102里
B ．126里
C ．192里
D ．198里
解：设第六天走的路程为x 里，则第五天走的路程为2x 里，依此往前推，第一天走的路程为32x 里，
依题意，得：x +2x +4x +8x +16x +32x ＝378， 解得：x ＝6． 32x ＝192， 6+192＝198，
答：此人第一和第六这两天共走了198里， 故选：D ．
13．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）已知二次函数y ＝（a ﹣2）x 2﹣（a +2）x +1，当x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y 总相等，则关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣（a +2）x +1＝0的两根之积为（ ） A ．0
B ．﹣1
C ．﹣
D ．﹣
解：∵二次函数，y ＝（a ﹣2）x 2﹣（a +2）x +1
当x 取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y 总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x ＝0，即y 轴， 则
，解得：a ＝﹣2，
∴关于x 的一元二次方程（a ﹣2）x 2﹣（a +2）x +1＝0为﹣4x 2+1＝0， ∴两根之积为，
故选：D ．
14．（2020黑龙江龙东）（3分）在抗击疫情网络知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，学校计划用200元钱购买A 、B 、C 三种奖品，A 种每个10元，B 种每个20元，C 种每个30元，在C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下，有多少种购买方案( ) A ．12种
B ．15种
C ．16种
D ．14种
解：设购买A 种奖品m 个，购买B 种奖品n 个， 当C 种奖品个数为1个时， 根据题意得102030200m n ++=， 整理得217m n +=，
m 、n 都是正整数，0217m <<，
1m ∴=，2，3，4，5，6，7，8；
当C 种奖品个数为2个时， 根据题意得102060200m n ++=， 整理得214m n +=，
m 、n 都是正整数，0214m <<，
1m ∴=，2，3，4，5，6；
∴有8614+=种购买方案．
故选：D ．
15．（2020湖南岳阳）（3分）（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y ＝﹣x 2﹣10x +m （m ≠0）有两个不相等的零点x 1，x 2（x 1＜x 2），关于x 的方程x 2+10x ﹣m ﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4（x 3＜x 4），则下列关系式一定正确的是（ ）
A ．0＜x
1x 3
＜1
B ．
x 1x 3
＞1
C ．0＜x
2x 4
＜1
D ．
x 2x 4
＞1
【解答】解：由题意关于x 的方程x 2+10x ﹣m ﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4（x 3＜x 4），就是关于x 的二次函数y ＝﹣x 2﹣10x +m （m ≠0）与直线y ＝﹣2的交点的横
坐标，
画出函数的图象草图如下：
∵抛物线的对称轴为直线x =−−10
2×(−1)=−5， ∴x 3＜x 1＜﹣5， 由图象可知：0＜x 1
x 3
＜1一定成立， 故选：A ．
16．（2020齐齐哈尔）（（3分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（ ） A ．3种
B ．4种
C ．5种
D ．6种
解：设可以购买x 支康乃馨，y 支百合， 依题意，得：2x +3y ＝30，∴y ＝10−2
3x ．
∵x ，y 均为正整数，∴{x =3y =8，{x =6y =6，{x =9y =4，{x =12
y =2，
∴小明有4种购买方案． 故选：B ．
17．（2020广西南宁）（3分）一元二次方程x 2﹣2x +1＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根
D ．无法确定
解：∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝1， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0， ∴有两个相等的实数根，故选：B ．
10．（2020广西玉林）（3分）（2020•玉林）观察下列按一定规律排列的n 个数：2，4，
6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n 等于（ ） A ．499
B ．500
C ．501
D ．1002
【解答】解：由题意，得第n 个数为2n ，
那么2n +2（n ﹣1）+2（n ﹣2）＝3000，解得：n ＝501， 故选：C ．
18．（2020贵州遵义）（4分）已知x 1，x 2是方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根，则x 12+x 22的值为（ ） A ．5
B ．10
C ．11
D ．13
【解答】解：根据题意得x 1+x 2＝3，x 1x 2＝﹣2， 所以x 12+x 22＝（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2＝32﹣2×（﹣2）＝13． 故选：D ．
19．（2020贵州遵义）（4分）如图，把一块长为40cm ，宽为30cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600cm 2，设剪去小正方形的边长为xcm ，则可列方程为（ ）
A ．（30﹣2x ）（40﹣x ）＝600
B ．（30﹣x ）（40﹣x ）＝600
C ．（30﹣x ）（40﹣2x ）＝600
D ．（30﹣2x ）（40﹣2x ）＝600
【解答】解：设剪去小正方形的边长是xcm ，则纸盒底面的长为（40﹣2x ）cm ，宽为（30﹣2x ）cm ，
根据题意得：（40﹣2x ）（30﹣2x ）＝32．故选：D ．
20．（2020四川自贡）（4分）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，则a 的值为（ ） A ．1
2
B ．−1
2
C ．1
D ．﹣1
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根， ∴{a ≠0△=(−2)2−4×a ×2=0， ∴a =1
2．
故选：A ．
21．（2020青海）（3分）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是（ ）
A ．π×（）2x ＝π×（）2×（x ﹣5）
B ．π×（）2x ＝π×（）2×（x +5）
C ．π×82x ＝π×62×（x +5）
D ．π×82x ＝π×62×5
解：依题意，得：π×（）2x ＝π×（）2×（x +5）．故选：B ．
22．（2020山东滨州）（3分）对于任意实数k ，关于x 的方程221(5)2250
2
x k x k k -++++=的根的情况为( ) A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法判定
解：221
(5)22502
x k x k k -++++=，
△22221
[(5)]4(225)625(3)162
k k k k k k =-+-⨯⨯++=-+-=---，
不论k 为何值，2(3)0k --，即△2(3)160k =---<， 所以方程没有实数根，故选：B ．
23．（3分）（2020•怀化）已知一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．k ＝4 B ．k ＝﹣4
C ．k ＝±4
D ．k ＝±2
选：C ．
24．（2020山东泰安）（4分）将一元二次方程x 2﹣8x ﹣5＝0化成（x +a ）2＝b （a ，b 为常数）的形式，则a ，b 的值分别是（ ） A ．﹣4，21 B ．﹣4，11
C ．4，21
D ．﹣8，69
选：A ．
25．（2020浙江宁波）（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，那么可列方程组为（ ） A ．{y =x +4.50.5y =x −1 B ．{y =x +4.5y =2x −1 C ．{y =x −4.50.5y =x +1
D ．{y =x −4.5
y =2x −1
选：A ．
二、填空题
26.已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 .
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式△=0，∴044=-k ，解得1=k
27.（2020北京）方程组1
,37x y x y -=⎧⎨
+=⎩
的解为 .
【解析】两个方程相加可得84=x ，∴2=x ，将2=x 代入1=-y x ，可得1-=y ，
故答案为⎩⎨
⎧-==1
2y x
28．（2020成都）（4分）《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两，
则可列方程组为 5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
．
【解答】解：设1头牛值金x 两，1只羊值金y 两， 由题意可得，5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩，
故答案为：5210
258x y x y +=⎧⎨+=⎩
．
29．（2020成都）（4分）关于x 的一元二次方程23
2402
x x m -+-=有实数根，则实数m 的取值范围是 7
2
m
． 【解答】解：关于x 的一元二次方程23
2402
x x m -+-
=有实数根， ∴△23(4)42()1681202
m m =--⨯⨯-=-+，
解得：72
m
， 故答案为：72
m
． 30．（2020黑龙江牡丹江）（3分）某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打 8 折． 【解答】解：设商店打x 折， 依题意，得：180********%10
x
⨯-=⨯，解得：8x =． 故答案为：8．
31.（2020江西）若关于x 的一元二次方程2
20x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为 ．
【解析】设一元二次方程的两根为21,x x ，并设11=x ，根据a
c
x x =21，可得212-=⋅x ，∴另外一根为-2，故答案为-2
32．（2020南京）（2分）已知x 、y 满足方程组31,23,x y x y +=-⎧⎨+=⎩，则x y +的值为 1 ．
解：3123x y x y +=-⎧⎨+=⎩
①②，
①2⨯-②得：55y =-， 解得：1y =-，
①-②3⨯得：510x -=-， 解得：2x =， 则211x y +=-=， 故答案为1．
33．（2020贵州黔西南）（3分）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 10 个人． 解：设每轮传染中平均每人传染了x 人．
依题意，得1+x +x （1+x ）＝121，即（1+x ）2＝121， 解方程，得x 1＝10，x 2＝﹣12（舍去）． 答：每轮传染中平均每人传染了10人．
34.（2020湖北黄冈）已知12,x x 是一元二次方程2
210x x --=的两根，则12
1
x x =____________．
解：∴一元二次方程x 2−2x−1＝0的两根为x 1，x 2， ∴x 1x 2＝-1，∴
12
1
x x =-1．故答案为：-1． 35.（2020无锡）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子最井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是___________尺． 解：设绳长x 尺， 由题意得
13x -4=1
4
x -1，解得x=36， 井深：
1
3
×36-4=8（尺）， 故答案为：8．
36.（2020重庆A 卷）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱.重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2．随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增
加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的2
5
，则摆摊的营业额将达到7月份总营业
额的7
20
，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还需增加的营业额与
7月份总营业额之比是__________．
解：设6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为3k，5k，2k，7月份总增
加的营业额为m，则7月份摆摊增加的营业额为2
5
m，设7月份外卖还需增加的营业额为x．
∵7月份摆摊的营业额是总营业额的7
20
，且7月份的堂食、外卖营业额之比为8：5，
∴7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为8：5：7，
∴设7月份的堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额分别为8a，5a，7a，
由题意可知：
3
38
5
55
2
27
5
k m x a
k x a
m k a
⎧
+-=
⎪
⎪
+=
⎨
⎪
⎪+=
⎩
，解得：
1
2
5
2
15
k a
x a
m a
⎧
=
⎪
⎪
⎪
=
⎨
⎪
=
⎪
⎪⎩
，
∴
5
1
2 857208
a
x
a a a a
==
++
，
故答案为：1
8
．
37．（2020上海）（4分）如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是4．
【解答】解：依题意，
∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
故答案为：4．
38.（2020重庆B卷）为刺激顾客到实体店消费，某商场决定在星期六开展促销活动.活动方案如下：在商场收银台旁放置一个不透明的箱子，箱子里有红、黄、绿三种颜色的球各一个（除颜色外大小、形状、质地等完全相同），顾客购买的商品达到一定金额可获得一次摸球机会，摸中红、黄、绿三种颜色的球可分别返还现金50元、30元、10元.商场分三个时段统计摸球次数和返现金额，汇总统计结果为:第二时段摸到红球次数为第一时段的3倍，摸到黄球次数为第一时段的2倍,摸到绿球次数为第一时段的4倍；第三时段摸到红球次数与第一时段相同，摸到黄球次数为第一时段的4倍,摸到绿球次数为第一时段的2倍,三个时段返现总金额为2510元,第三时段返现金额比第一时段多420元,则第二时段返现金额为____元
解析：设第一时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，b ，c ，则第二时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为3a ，2b ，4c ，第三时段统计摸到红、黄、绿球的次数分别为a ，4b ，2c.由题意得{250a +210b +70c =2510 (50a +120b +20c )−(50a +30b +10c )=420，即{25a +21b +7c =251
9b +c =42 ，
其整数解为{a =42n −37 b =25n −21 c =231−225n (其中n 为整数)，又a ，b ，c 均是正整数，易得n=1.所以{a =5
b =4
c =6.
代入150a+60b+40c 即可.答案：1230.
另解：由上9b+c=42，得知b=1，2，3，4.列举符合题意的解即可.
39．（2020四川南充）（4分）笔记本5元/本，钢笔7元/支，某同学购买笔记本和钢笔恰好用去100元，那么最多购买钢笔 10 支．
【解答】解：设某同学买了x 支钢笔，则买了y 本笔记本，由题意得： 7x +5y ＝100， ∵x 与y 为整数， ∴x 的最大值为10， 故答案为：10．
40.(2020甘肃定西）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动.某款式眼镜的广告如图，请你为广告牌填上原价.
答案：.200
41．（2020辽宁抚顺）（3分）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根，则k 的取值范围是 k ＜﹣1 ．
42．（2020吉林）（3分）一元二次方程x 2+3x ﹣1＝0根的判别式的值为 13 ．
43．（2020吉林）（3分）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x 天可以追上慢马，根据题意，可列方程为 （240﹣150）x ＝150×12 ．
44．（2020江苏泰州）（3分）方程2230x x +-=的两根为1x 、2x ，则12x x 的值为 3- ． 【解答】解：方程2230x x +-=的两根为1x 、2x ，
123c
x x a
∴=
=-． 故答案为：3-．
45．（(2020山东枣庄)4分）已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a = 1- ．
【解答】解：把0x =代入22(1)210a x x a --+-=得210a -=，解得1a =±， 10a -≠，1a ∴=-．故答案为1-．
46．（2020湖南岳阳）（4分）（2020•岳阳）我国古代数学名著《九章算术》上有这样一个问题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其大意是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现用30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为x 斗，行酒为y 斗，根据题意，可列方程组为 {x +y =250x +10y =30 ．
【解答】解：依题意，得：{x +y =2
50x +10y =30．
故答案为：{x +y =2
50x +10y =30
．
47．（3分）（2020•常德）今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是 4 次．
【解答】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x ，买到口罩的次数是y ，由题意得： {x +y =1015−1×10+5y =35
， 整理得：{x +y =105y =30
，解得：{x =4
y =6． 故答案为：4．
48．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x 3﹣（n 2+1）x +n 这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：
x 3﹣（n 2+1）x +n ＝x 3﹣n 2x ﹣x +n ＝x （x 2﹣n 2）﹣（x ﹣n ）＝x （x ﹣n ）（x +n ）﹣（x ﹣n ）＝（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）．
理解运用：如果x 3﹣（n 2+1）x +n ＝0，那么（x ﹣n ）（x 2+nx ﹣1）＝0，即有x ﹣n ＝0或x 2+nx ﹣1＝0，
因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．
【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，
∴x3﹣4x﹣x+2＝0，
∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，
∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，
∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，
解得x＝2或x＝﹣1±√2，
故答案为：x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．
49．（3分）（2020•荆门）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为1．
【解答】解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，
整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
50．（3分）（2020•烟台）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是m＞0且m≠1．
【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且△＝22﹣4（m﹣1）×（﹣1）＞0，
解得m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
51．（2020山西）（3分）如图是一张长12cm，宽10cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是24cm2的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为2cm．
解：设底面长为acm，宽为bcm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，解得a＝10﹣2x，b＝6﹣x，代入ab＝24中，得：（10﹣2x）（6﹣x）＝24，
整理得：x2﹣11x+18＝0，解得x＝2或x＝9（舍去），
答；剪去的正方形的边长为2cm．
故答案为：2．
52.（2020东莞）已知方程组
24
417
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
，则x y
-=_________.
答案：7
53．（2020青海）（2分）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝2，x2＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝1，x2＝5．请你写出正确的一元二次方程x2﹣6x+6＝0．
54．（2020四川眉山）（4分）设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则+的值为．
解：根据题意得x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣2，所以+＝＝＝．55．（2020云南）（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为1．
解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4c＝0，解得c＝1．
故答案为1．
56．（2020山东泰安）（4分）方程组{x +y =16，
5x +3y =72
的解是 {x =12y =4 ．
【解答】解：{x +y =16①5x +3y =72②
②﹣3×①，得2x ＝24，∴x ＝12． 把x ＝12代入①，得12+y ＝16，∴y ＝4． ∴原方程组的解为{
x =12
y =4
． 故答案为：{x =12
y =4
．
57．（4分）（2020•株洲）关于x 的方程3x ﹣8＝x 的解为x ＝ 4 ．
58．(2020杭州)（6分）以下是圆圆解方程
x+12
−
x−33
=1的解答过程．
解：去分母，得3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝1． 去括号，得3x +1﹣2x +3＝1． 移项，合并同类项，得x ＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 解：圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 3（x +1）﹣2（x ﹣3）＝6． 去括号，得3x +3﹣2x +6＝6． 移项，合并同类项，得x ＝﹣3．
59．（2020安徽）（10分）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%． （1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；
（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．
【解答】解：（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%，
∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04()a x -元．
故答案为：1.04()a x -．
（2）依题意，得：1.1 1.43 1.04()a x a x =+-， 解得：2
13
x a =
， ∴
21.43
1.430.22130.21.1 1.1 1.1a
x a a
a a
===． 答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2． 60．（2020广州）（本小题满分12分）
粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无人化是自动驾驶的终极目标．某公交集团拟在今明两年共投资9 000万元改装260辆无人驾驶出租车投放市场．今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶出租车的改装费用可下降50％．
（1）求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； （2）求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆．
【详解过程】解：（1）明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用为：50×（1-50%）=25（万元）。

所以：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是25万元.
（2）设今年改装了x 辆无人驾驶出租车，则明年预计改装（260-x )辆，由两年共投资9000万元，得：50x +50×(1-50%)(260-x )=9000 解这个方程，得：50x +6500-25x =9000
x =100
∴260-x =260-100=160(辆）
答：明年改装的无人驾驶出租车是160辆．
61.（2020福建）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，销售价为
10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公司每月这两种特产的销售量之和都是100吨，且甲特产的销售量都不超过20吨．
（1）若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元，问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨？
（2）求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润． 解：（1）设这个月该公司销售甲特产x 吨，则销售乙特产()100x -吨， 依题意，得()10100235+-=x x ， 解得15x =，则10085-=x ， 经检验15x =符合题意，
所以，这个月该公司销售甲特产15吨，乙特产85吨；
（2）设一个月销售甲特产m 吨，则销售乙特产()100m -吨，且020≤≤m ， 公司获得的总利润(10.510)(1.21)(100)0.320=-+--=+w m m m ， 因为0.30>，所以w 随着m 的增大而增大， 又因为020≤≤m ，
所以当20m =时，公司获得的总利润的最大值为26万元， 故该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.
62．（2020哈尔滨）（10分）昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元． （1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；
（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
【解答】解：（1）设每个大地球仪x 元，每个小地球仪y 元，根据题意可得： 3136
2132x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得：5228x y =⎧⎨
=⎩， 答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；
（2）设大地球仪为a 台，则小地球仪为(30)a -台，根据题意可得： 5228(30)960a a +-， 解得：5a ，
答：最多可以购买5个大地球仪．
63.（2020河北）用承重指数W 衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W 与木板厚度x （厘米）的平方成正比，当3x =时，3W =． （1）求W 与x 的函数关系式．
（2）如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板（不计分割损耗）．设薄板的厚度为x （厘米），Q W W =-厚薄．
∴求Q 与x 的函数关系式； ∴x 为何值时，Q 是W 薄的3倍？
【注：（1）及（2）中的∴不必写x 的取值范围】 【答案】（1）2
13
W x =
；（2）∴124Q x =-；∴2cm x =． 【详解】（1）设W=kx 2,
∴3x =时，3W = ∴3=9k ∴k=1
3
∴W 与x 的函数关系式为2
13
W x =
； （2）∴∴薄板的厚度为xcm ，木板的厚度为6cm ∴厚板的厚度为（6-x ）cm ， ∴Q=2
2
11(6)4123
3
x x x ⨯=-+-
- ∴Q 与x 的函数关系式为124Q x =-； ∴∴Q 是W 薄的3倍
∴-4x+12=3×
213
x 解得x1=2,x2=-6(不符题意，舍去) 经检验，x=2是原方程的解， ∴x=2时，Q 是W 薄的3倍．
64.（2020江西） 放学后，小贤和小艺来到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本，这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元，小贤要买3支笔芯，2本笔记本需花19元，小艺要买7支笔芯，1本笔记本需花费26元. （1）求笔记本的单价和单独购买一支笔芯的价格；
（2）小贤和小艺都还想再买一件单价为3元的小工艺品，但如果他们各自为要买的文具付款后，只有小贤还剩2元钱，他们要怎样做才能既买到各自的文具，又都买到小工艺品，请通过运算说明.
【解析】（1）设笔芯x 元/支，笔记本y 元/本，依题意可得,2671923⎩⎨⎧=+=+y x y x 解得,53
⎩
⎨⎧==y x
答：笔芯3元/支，笔记本5元/本. （2）方法一：合买笔芯，合算. ∴整盒购买比单只购买每支可优惠0.5元 ∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯 ∴共可节约：0.5×10=5元.
∴小工艺品的单价为3元，5+2＞3×2，
∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品. 方法二：合买笔芯，单算.
∴整盒购买比单支购买每支可优惠0.5元，∴小贤和小艺可一起购买整盒笔芯. ∴小工艺品的单价为3元，小贤：3×0.5+2=3.5＞3，小艺：7×0.5=3.5＞3 ∴他们既能买到各自需要的文具用品，又都能购买到一个小工艺品. 65.（2020乐山）解二元一次方程组：22,
839.
x y x y +=⎧⎨
+=⎩
【答案】321.
x y ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩，
解：22839x y x y +=⎧⎨
+=⎩①
②
，
∴-∴3⨯，得 23x =，
解得：32
x =， 把3
2
x =
代入∴，得 1y =-； ∴原方程组的解为321.
x y ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩，
66.（2020乐山）某汽车运输公司为了满足市场需要，推出商务车和轿车对外租赁业务．下面是乐山到成都两种车型的限载人数和单程租赁价格表：
（1）如果单程租赁2辆商务车和3辆轿车共需付租金1320元，求一辆轿车的单程租金为多少元？
（2）某公司准备组织34名职工从乐山赴成都参加业务培训，拟单程租用商务车或轿车前往．在不超载的情况下，怎样设计租车方案才能使所付租金最少？ 解：（1）设租用一辆轿车的租金为x 元． 由题意得：300231320x ⨯+=． 解得 240x =，
答：租用一辆轿车的租金为240元． （2）方法1：∴若只租用商务车，∴
342
563
=， ∴只租用商务车应租6辆，所付租金为30061800⨯=（元）； ∴若只租用轿车，∴
34
8.54
=， ∴只租用轿车应租9辆，所付租金为24092160⨯=（元）；
∴若混和租用两种车，设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元．
由题意，得 6434
300240m n W m n +=⎧⎨
=+⎩
由6434m n +=，得 4634n m =-+， ∴30060(634)602040W m m m =+-+=-+， ∴63440m n -+=≥，∴17
3
m ≤
，
∴15m ≤≤，且m 为整数， ∴W 随m 的增大而减小，
∴当5m =时，W 有最小值1740，此时1n =，
综上，租用商务车5辆和轿车1辆时，所付租金最少为1740元． 方法2：设租用商务车m 辆，租用轿车n 辆，租金为W 元． 由题意，得 6434
300240m n W m n +=⎧⎨
=+⎩
由6434m n +=，得 46340n m =-+≥，∴17
3
m ≤
， ∴m 为整数，∴m 只能取0，1，2，3，4，5，故租车方案有： 不租商务车，则需租9辆轿车，所需租金为92402160⨯=（元）； 租1商务车，则需租7辆轿车，所需租金为130072401980⨯+⨯=（元）； 租2商务车，则需租6辆轿车，所需租金为230062402040⨯+⨯=（元）； 租3商务车，则需租4辆轿车，所需租金为330042401860⨯+⨯=（元）； 租4商务车，则需租3辆轿车，所需租金
430032401920⨯+⨯=（元）
； 租5商务车，则需租1辆轿车，所需租金为530012401740⨯+⨯=（元）； 由此可见，最佳租车方案是租用商务车5辆和轿车1辆， 此时所付租金最少，为1740元．
67．（2020南京）（7分）解方程：2230x x --=． 解：原方程可以变形为(3)(1)0x x -+= 30x -=，10x += 13x ∴=，21x =-．
68.（2020贵阳）第33个国际禁毒日到来之际，贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动，某班开展了此项活动的知识竞赛．学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下：
（1）请用方程的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
（2）学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一本笔记本，但笔记本的单价
已模糊不清，只能辨认出单价是小于10元的整数，那么笔记本的单价可能是多少元？ 【答案】（1）方程见解析，因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了；（2）可能是2元或者6元
解：（1）设单价为6元的钢笔买了x 支，则单价为10元的钢笔买了（100x -）支， 根据题意，得610(100)1300378x x +-=-， 解得：19.5x =．
因为钢笔的数量不可能是小数，所以学习委员搞错了 （2）设笔记本的单价为a 元，根据题意，得
610(100)1300378x x a +-+=-，
整理，得139
42
x a =+， 因为010a <<，x 随a 的增大而增大，所以19.522x <<，
∴x 取整数， ∴20,21x =． 当20x
时，420782a =⨯-=，
当21x =时，421786a =⨯-=， 所以笔记本的单价可能是2元或者6元．
69.（2020湖北黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元．如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
解：设每盒羊角春牌绿茶x 元，每盒九孔牌藕粉y 元，依题意可列方程组：
64960
3300x y x y +=⎧⎨
+=⎩
解得：120
60x y =⎧⎨
=⎩
70.解方程：
（2020无锡）（1）210x x +-= 解：（1）由方程可得a=1，b=1，c=-1，。