2019年中考数学真题分类汇编大全
2019年全国各地中考数学试题分类汇编(第二期) 专题42 综合性问题(含解析)
综合性问题一.选择题1. （2019•铜仁•4分）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）A．12 B．14 C．24 D．21【解答】解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC＝＝＝5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝7，∴四边形EFGH的周长＝7+5＝12．故选：A．2. （2019•铜仁•4分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6，BD＝8，P是对角线BD上任意一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F．设BP＝x，EF＝y，则能大致表示y与x之间关系的图象为（）A．B．C．D．【解答】解：当0≤x≤4时，∵BO为△ABC的中线，EF∥AC，∴BP为△BEF的中线，△BEF∽△BAC，∴，即，解得y＝，同理可得，当4＜x≤8时，y＝（8﹣x）．故选：A．3.（2019•江苏宿迁•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则的值为（）A．B．C．2 D．【分析】设D（m，），B（t，0），利用菱形的性质得到M点为BD的中点，则M（，），把M（，）代入y＝得t＝3m，利用OD＝AB＝t得到m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，所以M（2m，m），根据正切定义得到tan∠MAB＝＝＝，从而得到＝．【解答】解：设D（m，），B（t，0），∵M点为菱形对角线的交点，∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，∴M（，），把M（，）代入y＝得•＝k，∴t＝3m，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝AB＝t，∴m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，∴M（2m，m），在Rt△ABM中，tan∠MAB＝＝＝，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了菱形的性质．4. （2019•四川自贡•4分）一次函数y＝ax+b与反比列函数y＝的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数与反比例函数图象找出a、b、c的正负，再根据抛物线的对称轴为x＝﹣，找出二次函数对称轴在y轴右侧，比对四个选项的函数图象即可得出结论．【解答】解：∵一次函数y1＝ax+c图象过第一、二、四象限，∴a＜0，b＞0，∴﹣＞0，∴二次函数y3＝ax2+bx+c开口向下，二次函数y3＝ax2+bx+c对称轴在y轴右侧；∵反比例函数y2＝的图象在第一、三象限，∴c＞0，∴与y轴交点在x轴上方．满足上述条件的函数图象只有选项A．故选：A．【点评】本题考查了一次函数的图象、反比例函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据一次函数与反比例函数的图象找出a、b、c的正负．本题属于基础题，难度不大，熟悉函数图象与系数的关系是解题的关键．5.（2019•四川自贡•4分）如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y 轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（）A．B．C．D．【分析】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．【解答】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，∵AD是切线，点D是切点，∴AD⊥KD，∵AK＝13，DK＝5，∴AD＝12，∵tan∠EAO＝＝，∴＝，∴OE＝，∴AE＝＝，作EH⊥AB于H．∵S△ABE＝•AB•EH＝S△AOB﹣S△AOE，∴EH＝，∴AH＝＝，∴tan∠BAD＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．二.填空题1.（2019•江苏扬州•3分）将一个矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠ABC=26°，则∠ACD= 128°.【考点】：矩形的性质，折叠问题，等腰三角形，平行线，平角【解析】：解：延长DC到F∵矩形纸条折叠∴∠ACB=∠∠BCF∵AB∥CD∴∠ABC=∠BCF=26°∴∠ACF=52°∵∠ACF+∠ACD=180°∴∠ACD =128°【答案】：128°2. （2019•江苏扬州•3分）如图，已知点E 在正方形ABCD 的边AB 上，以BE 为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG ，连接DF ，M 、N 分别是DC 、DF 的中点，连接MN .若AB =7，BE =5，则MN = 213 . 【考点】：正方形，中位线，勾股定理【解析】：连接FC ，∵M 、N 分别是DC 、DF 的中点∴FC =2MN∵AB =7，BE =5且四ABCD ，四EFGB 是正方形∴FC =22GC FG +=13∴MN =213 【答案】：MN =2133. （2 019·江苏盐城·3分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是__________.【答案】131-=x y 【解析】因为一次函数y ＝2x －1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，则A （21，0），B （0,-1），则AB =25. 过A 作AD ⊥BC 于点D ，因为∠ABC =45°，所以由勾股定理得AD =410，设BC =x ，则AC =OC -OA =2112--x ，根据等面积可得：AC ×OB =BC ×AD ，即2112--x =410x ，解得x =10.则AC =3，即C （3，0），所以直线BC 的函数表达式是131-=x y . 4. （2019•河南•3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝a ，点E 在边BC 上，且BE ＝a ．连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，若点B 的对应点B ′落在矩形ABCD 的边上，则a的值为 或 ．【分析】分两种情况：①点B ′落在AD 边上，根据矩形与折叠的性质易得AB ＝BE ，即可求出a 的值；②点B ′落在CD 边上，证明△ADB ′∽△B ′CE ，根据相似三角形对应边成比例即可求出a 的值．【解答】解：分两种情况：①当点B ′落在AD 边上时，如图1．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠B ＝90°，∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在AD 边上，∴∠BAE ＝∠B ′AE ＝∠BAD ＝45°，∴AB ＝BE ， ∴a ＝1，∴a ＝；②当点B ′落在CD 边上时，如图2．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AD ＝BC ＝a ．∵将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点B ′落在CD 边上，∴∠B ＝∠AB ′E ＝90°，AB ＝AB ′＝1，EB ＝EB ′＝a ，∴DB ′＝＝，EC ＝BC ﹣BE ＝a ﹣a ＝a ．在△ADB′与△B′CE中，，∴△ADB′∽△B′CE，∴＝，即＝，解得a1＝，a2＝0（舍去）．综上，所求a的值为或．故答案为或．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．进行分类讨论与数形结合是解题的关键．5.（2019•浙江杭州•4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于2（5+3）．【分析】设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，因为△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，推出A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，由△A′EP∽△D′PH，推出＝，推出＝，可得x＝2a，再利用三角形的面积公式求出a即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABC是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，由翻折可知：P A′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，∵△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，∴A′E＝4D′H，设D′H＝a，则A′E＝4a，∵△A′EP∽△D′PH，∴＝，∴＝，∴x2＝4a2，∴x＝2a或﹣2a（舍弃），∴P A′＝PD′＝2a，∵•a•2a＝1，∴a＝1，∴x＝2，∴AB＝CD＝2，PE＝＝2，PH＝＝，∴AD＝4+2++1＝5+3，∴矩形ABCD的面积＝2（5+3）．故答案为2（5+3）【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考填空题中的压轴题．6.7.8.9.10.三.解答题1. （2019•贵阳•12分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．【分析】（1）先根据题意得出点B的坐标，再利用待定系数法求解可得；（2）分点P在点C上方和下方两种情况，先求出∠OBP的度数，再利用三角函数求出OP的长，从而得出答案；（3）分对称轴x＝1在a到a+1范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性质求解可得．【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），代入y＝x2+bx+c，得：，解得，所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C（0，﹣3），则OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OBtan∠OBP＝3×＝，∴CP＝3﹣；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3×＝3，∴CP＝3﹣3；综上，CP的长为3﹣或3﹣3；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1﹣（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2+（负值舍去）；综上，a的值为1﹣或2+．【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用．25．（2019•贵阳•12分）（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系；（2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数；（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系．【分析】数学理解：（1）由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC，由正方形的性质可得DE＝DF＝CE，∠DFC＝∠DEC＝90°，可求AF＝DF＝CE，即可得AB＝（AF+BE）；问题解决：（2）延长AC，使FM＝BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得DM＝DB，通过△ADM≌△ADB，可得∠DAC＝∠DAB＝∠CAB，∠ABD＝∠CBD＝∠ABC，由三角形内角和定理可求∠ADB的度数；联系拓广：（3）由正方形的性质可得DE∥AC，DF∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD，可得AM＝MD，DN＝NB，即可求MN，AM，BN的数量关系．【解答】解：数学理解：（1）AB＝（AF+BE）理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝AC6∵四边形DECF是正方形∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90°∴∠A＝∠ADF＝45°∴AF＝DF＝CE∴AF+BE＝BC＝AC∴AB＝（AF+BE）问题解决：（2）如图，延长AC，使FM＝BE，连接DM，∵四边形DECF是正方形∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED ∴△DFM≌△DEB（SAS）∴DM＝DB∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE，∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD∴△ADM≌△ADB（SSS）∴∠DAC＝∠DAB＝∠CAB同理可得：∠ABD＝∠CBD＝∠ABC∵∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠CBA＝90°∴∠DAB+∠ABD＝（∠CAB+∠CBA）＝45°∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135°联系拓广：（3）∵四边形DECF是正方形∴DE∥AC，DF∥BC∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90°∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD∴AM＝MD，DN＝NB在Rt∠DMN中，MN2＝MD2+DN2，∴MN2＝AM2+NB2，【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．2. （2019•铜仁•14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1与x轴的交点为A（﹣1，0），B（2，0），且与y轴交于C点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点C关于x轴的对称点为C1，M是线段BC1上的一个动点（不与B、C1重合），ME⊥x轴，MF⊥y轴，垂足分别为E、F，当点M在什么位置时，矩形MFOE的面积最大？说明理由．（3）已知点P是直线y＝x+1上的动点，点Q为抛物线上的动点，当以C、C1、P、Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求出相应的点P和点Q的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（2，0）分别代入抛物线y＝ax2+bx﹣1中，得，解得：∴该抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1．（2）在y＝x2﹣x﹣1中，令x＝0，y＝﹣1，∴C（0，﹣1）∵点C关于x轴的对称点为C1，∴C1（0，1），设直线C1B解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C1（0，1）分别代入得，解得，∴直线C1B解析式为y＝﹣x+1，设M（t，+1），则E（t，0），F（0，+1）∴S矩形MFOE＝OE×OF＝t（﹣t+1）＝﹣（t﹣1）2+，∵﹣＜0，∴当t＝1时，S矩形MFOE最大值＝，此时，M（1，）；即点M为线段C1B中点时，S最大．矩形MFOE（3）由题意，C（0，﹣1），C1（0，1），以C、C1、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，分以下两种情况：①C1C为边，则C1C∥PQ，C1C＝PQ，设P（m，m+1），Q（m，﹣m﹣1），∴|（﹣m﹣1）﹣（m+1）|＝2，解得：m1＝4，m2＝﹣2，m3＝2，m4＝0（舍），P1（4，3），Q1（4，5）；P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）；P3（2，2），Q3（2，0）②C1C为对角线，∵C1C与PQ互相平分，C1C的中点为（0，0），∴PQ的中点为（0，0），设P（m，m+1），则Q（﹣m，+m﹣1）∴（m+1）+（+m﹣1）＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝﹣2，∴P4（﹣2，0），Q4（2，0）；综上所述，点P和点Q的坐标为：P1（4，3），Q1（4，5）或P2（﹣2，0），Q2（﹣2，2）或P3（2，2），Q3（2，0）或P4（﹣2，0），Q4（2，0）．3. （2019•海南•15分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）①S△PBC＝PG（x C﹣x B），即可求解；②分点P在直线BC下方、上方两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，即点C（﹣1，0）；（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：设点G（t，t+1），则点P（t，t2+6t+5），S△PBC＝PG（x C﹣x B）＝（t+1﹣t2﹣6t﹣5）＝﹣t2﹣t﹣6，∵＜0，∴S△PBC有最大值，当t＝﹣时，其最大值为；②设直线BP与CD交于点H，当点P在直线BC下方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍去﹣4），故点P（﹣，﹣）；当点P（P′）在直线BC上方时，∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍去﹣4），故点P（0，5）；故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（2），要主要分类求解，避免遗漏．4. （2019•江苏无锡•10分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE交y轴于点F，AC：CE＝2：1．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．【分析】（1）确定C（0，﹣4），则OA＜OB，则对称轴在y轴右侧，即，即可求解；（2）①过点D作DM⊥Oy，则，，求出D（m，﹣6），B（4m，0）、OE＝8，由S△BEF＝×4×4m＝8，即可求解；②分∠CDB为锐角、当∠BCD为锐角时，两种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即∵a＞0，∴b＜0；（2）①过点D作DM⊥Oy，则，∴，设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m ∵OC＝4，∴CM＝2，∴D（m，﹣6），B（4m，0），则，∴OE＝8，S△BEF＝×4×4m＝8，∴m＝1，∴A（﹣2，0），B（4，0），设y＝a（x+2）（x﹣4），即y＝ax2﹣2ax﹣8a，令x＝0，则y＝﹣8a，∴C（0，﹣8a），∴﹣8a＝﹣4，a＝，∴；②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，当∠CDB为锐角时，CD2+DB2＞CB2，m2+4+9m2+36＞16m2+16，解得﹣2＜m＜2；当∠BCD为锐角时，CD2+CB2＞DB2，m2+4+16m2+16＞9m2+36，解得，综上：，；故：．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行线分线段成比例、勾股定理运用等，其中（1），用平行线分线段成比例，是本题解题的关键．5. （2019•江苏无锡•12分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB′，设点P的运动时间为t（s）．（1）若AB＝2．①如图2，当点B′落在AC上时，显然△P AB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠P AM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠P AM＝45°”是否总是成立？请说明理由．【分析】（1）①利用勾股定理求出AC，由△PCB′∽△ACB，推出＝，即可解决问题．②分三种情形分别求解即可：如图2﹣1中，当∠PCB’＝90°时．如图2﹣2中，当∠PCB’＝90°时．如图2﹣3中，当∠CPB’＝90°时．（2）如图3﹣2中，首先证明四边形ABCD是正方形，如图3﹣2中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝，∵∠PCB′＝∠ACB，∠PB′C＝∠ABC＝90°，∴△PCB′∽△ACB，∴＝，∴＝，∴PB′＝2﹣4．②如图2﹣1中，当∠PCB’＝90°时，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，∴DB′＝＝，∴CB′＝CD﹣DB′＝，在Rt△PCB′中，∵B′P2＝PC2+B′C2，∴t2＝（）2+（3﹣t）2，∴t＝2．如图2﹣2中，当∠PCB’＝90°时，在Rt△ADB′中，DB′＝＝，∴CB′＝3在Rt△PCB’中则有：，解得t＝6．如图2﹣3中，当∠CPB’＝90°时，易证四边形ABP’为正方形，易知t＝2．综上所述，满足条件的t的值为2s或6s或2s．（2）如图3﹣1中，∵∠P AM＝45°∴∠2+∠3＝45°，∠1+∠4＝45°又∵翻折，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，又∵∠ADM＝∠AB’M，AM＝AM，∴△AMD≌△AMB′（AAS），∴AD＝AB’＝AB，即四边形ABCD是正方形，如图，设∠APB＝x．∴∠P AB＝90°﹣x，∴∠DAP＝x，易证△MDA≌△B’AM（HL），∴∠BAM＝∠DAM，∵翻折，∴∠P AB＝∠P AB’＝90°﹣x，∴∠DAB’＝∠P AB’﹣∠DAP＝90°﹣2x，∴∠DAM＝∠DAB’＝45°﹣x，∴∠MAP＝∠DAM+∠P AD＝45°．【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．6. （2019•江苏宿迁•12分）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【分析】（1）如图①利用三角形的中位线定理，推出DE∥AC，可得＝，在图②中，利用两边成比例夹角相等证明三角形细相似即可．（2）利用相似三角形的性质证明即可．（3）点G的运动路程，是图③﹣1中的的长的两倍，求出圆心角，半径，利用弧长公式计算即可．【解答】解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴＝，∴＝，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC＝∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三角形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，∴的长＝＝，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．7.（2019•江苏扬州•10分）如图，平面内的两条直线l1、l2,点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，或T（AB，l2）,特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1CCD）请依据上述定义解决如下问题（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）= 2 ；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AB，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.【考点】：新定义，投影问题，相似三角形，母子相似，点到直线的距离，含30°的直角三角形【解析】：解答：(1)过C作CE⊥AB，垂足为E∴由T（AC，AB）=3投影可知AE=3∴BE=2即T（BC，AB）=2(2)过点C作CF⊥AB于F∵∠ACB=90°CF⊥AB∴△ACF∽△CBF∴CF2=AF·BF∵T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9∴AF=4 BF=9即CF=6∴S8. （2019•江苏扬州•12分）问题呈现如图，四边形ABCD是矩形，AB=20，BC=10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G=90°，点M在线段AB上，且AM=a，点P沿折线AD-DG运动，点Q沿折线BC-CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB.设PQ与AB之间的距离为x. （1）若a=12.①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为____2_____；②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围.【考点】：矩形，等腰直角三角形，梯形面积，动点问题，函数思想，分段函数的最值【解析】：解：（1）①由题意得：PQ=20 AM=a=12S四AMQP=()()48212202=+=+xxAMPQ解得x=3②当P在AD上时，即0≤x≤10，S四AMQP=()2xAM PQ+S四AMQP=()()xxxAMPQ16212202=+=+当x=10时，S四AMQP最大值=160当P在DG上，即10≤x≤20，S四AMQP=()2xAM PQ+QP=40-2x，S四AMQP=()()2122-402+=+xxAMPQ=-x2+26x当x=13时，S四AMQP最大值=169综上：x=13时，S四AMQP最大值=169 （2）由上知：PQ=40-2xS四AMQP=()()()24022-4022xaxxaxxAMPQ++-=+=+∵10≤x≤20对称轴为：x=()440a+开口向下∴离对称轴越远取值越小当()440a+≤15时，S四AMQP最小值=10a≥50 得a≥5∴5≤a≤20当()440a+＞15时S四AMQP最小值=40+a≥50 得a≥20综上所述：5≤a≤20【答案】：（1）3 ；（2）169；（3）5≤a≤209. （2019•江苏扬州•12分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P事AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为__4____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l∥AC，则BB’的长度为（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值。
2019全国中考数学真题分类汇编之29：数学文化(含答案)
2019年全国中考数学真题分类汇编：数学文化一、选择题1. （2019年乐山市）《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱。
问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）()A 1,11 ()B 7,53 ()C 7,61 ()D 6,50 【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设人数人，物价y 钱.⎩⎨⎧=+=-y x yx 4738解得：⎩⎨⎧==537y x ，故选B.2.（2019年重庆市）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的钱数为，乙的钱数为y ，则可建立方程组为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】二元一次方程组的解法与应用 【解答】解：设甲的钱数为，乙的钱数为y ，依题意，得：．故选：A ．3. （2019年山东省德州市）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为（）A. B. C D【考点二元一次方程组的解法与应用、数学文化【解答】解：设绳长尺，长木为y尺，依题意得，故选：B．4.（2019年湖北省襄阳市）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，所列方程正确的是（）A．5﹣45＝7﹣3 B．5+45＝7+3 C．＝D．＝【考点】一元一次方程的应用【解答】解：设合伙人数为人，依题意，得：5+45＝7+3．故选：B．5. （2019年湖北省宜昌市）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（）A．6B．6C．18D．【考点】二次根式的应用【解答】解：∵a＝7，b＝5，c＝6．∴p＝＝9，∴△ABC的面积S＝＝6；故选：A．6．（2019年福建省）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好，一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意是：有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天的两倍，问他每天各读多少个字？已知《孟子》一书共有34685个字，设他第一天读个字，则下面所列方程正确的是（ ） A ．+2+4＝34685 B ．+2+3＝34685C ．+2+2＝34685D ．+12+14＝34685【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【解答】解：设他第一天读个字，根据题意可得：+2+4＝34685， 故选：A ．7．（2019年吉林省长春市）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出九钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为，买鸡的钱数为y ，可列方程组为（ ） A ． B ．C D ．【考】由实际问题抽象出二元一次方程组【解答】解：设人数为，买鸡的钱数为y ，可列方程组为： ． 故：D ．8．（2019年甘肃兰州）《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样的一个问题：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换一只，恰好一样重．问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为斤，一只燕的重量为y 斤，则可列方程组为（ ） A ． B ．CD ．【考由际问抽出二元一次方程组 【解答】解：由题意可得， ， 故：C ．9．（019年湖南省长沙市）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为尺，绳子长为y 尺，则所列方程组正确的是（）A．B．C．D．考点由实际问题抽象出二元一次方程组【解答】解：由题意可得，，故选A．10．（2019年浙江省舟山市）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（）A．B．C．D【考】二元一次方程组的应用【解答】解：设马每匹两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：．故：D．11．（2019年浙江省宁波市）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【考点】勾股定理【解答】解：设直角三角形的斜边长为c ，较长直角边为b ，较短直角边为a ， 由勾股定理得，c 2＝a 2+b 2，阴影部分的面积＝c 2﹣b 2﹣a （c ﹣b ）＝a 2﹣ac +ab ＝a （a +b ﹣c ）， 较小两个正方形重叠部分的宽＝a ﹣（c ﹣b ），长＝a ， 则较小两个正方形重叠部分底面积＝a （a +b ﹣c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积， 故选：C ． 二、填空题1. （2019年上海市）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛 ． 斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 【考点】二元一次方程组的解法【解答】解：设1个大桶可以盛米斛，1个小桶可以盛米y 斛， 则，故++y +5y ＝5， 则+y =56．答：1大桶加1小桶共盛56斛米．故答案为：56．2. （2019年辽宁省大连市）我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．问大小器各容几何．”其大意为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hu ，是古代的一种容量单位）．1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶、一个小桶分别可以盛酒多少斛？若设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒y 斛，根据题意，可列方程组为 ． 【考点】二元一次方程组的应用【解答】解：设1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒y 斛， 根据题意得：， 故案为．3（2019年江苏省南通市）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：共有几个人？”设共有个人共同出钱买鸡，根据题意，可列一元一次方程为．【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设有个人共同买鸡，根据题意得：9﹣11＝6+16．故答案为：9﹣11＝6+16．4．（2019年湖南省株洲市）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的人要走步才能追到速度慢的人．【解答】一元一次方程的应用【考点】解：设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据题意得：（100﹣60）t＝100，解得：t＝2.5，∴100t＝100×2.5＝250．答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．故答案是：250．5．（2019年湖北省咸宁市）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长尺，绳子长y尺，可列方程组为．【解答】二元一次方程组的应用【考点】解：设木条长尺，绳子长y尺，依题意，得：．答案为：．．（2019年江苏省泰安市）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为____．【解答】由实际问题抽象出二元一次方程组【考点】解：设每枚黄金重两，每枚白银重y两，由题意得：，故案为：．7（201年宁夏自治）你知道吗，对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法呢！以方程2+5﹣14＝0即（+5）＝14为例加以说明．数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图（如下面左图）中大正方形的面积是（++5）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14+52，据此易得＝2．那么在下面右边三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）中，能够说明方程2﹣4﹣12＝0的正确构图是．（只填序号）【解答】一元二次方程的应用【考点】解：∵2﹣4﹣12＝0即（﹣4）＝12，∴构造如图②中大正方形的面积是（+﹣4）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×12+42，据此易得＝6．故答案为：②．8．（2019年甘肃白银）一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：实验者德•摩根蒲丰费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数614040401000036000806403109204849791803139699出现“正面朝上”的次数频率0.5060.5070.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）．【解答】利用频率估计概率【考点】解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．三、解答题1.（2019年甘肃省）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？【考点】一元一次方程的解法及应用【解答】解：设共有人，根据题意得：+2＝，去分母得：2+12＝3﹣27，解得：＝39，∴＝15，则共有39人，15辆车．2．（2019年湖北省黄石市）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？【解答】一元一次方程的应用【考点】解：（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走步，由题意得：600＝100：60∴＝1000∴1000﹣600﹣100＝300答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，由题意得y＝200+60y100∴y＝500答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人．。
2019年全国各地中考数学试题分类汇编之专题6 不等式(组)(含解析)
不等式(组)一.选择题1. （2019•湖北天门•3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．2.(2019甘肃省陇南市)（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3 C．x≥3D．x≥﹣33. （2019•湖南衡阳•3分）不等式组的整数解是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．14. （2019•湖南衡阳•3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞25．（2019•浙江宁波•4分）不等式＞x的解为（）A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣16. （2019•山东省德州市 •4分）不等式组的所有非负整数解的和是（ ）A ．10B ．7C ．6D ．07. （2019•甘肃武威•3分）不等式2x +9≥3（x +2）的解集是（ ） A ．x ≤3 B ．x ≤﹣3 C ．x ≥3 D ．x ≥﹣38. （2019•湖南怀化•4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只． A ．55 B ．72 C ．83 D ．899. （2019•湖南岳阳•3分）对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1.x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＜﹣3 B ．c ＜﹣2C ．c ＜D ．c ＜110.(2019，山西，3分）不等式组⎩⎨⎧<->-42231x x 的解集是（ ）A.4>xB.1->xC.41<<-xD.1-<x11. （2019•南京•2分）实数A.B.c 满足a ＞b 且ac ＜bc ，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A ． B ．C ．D ．12（201▪9广西河池▪3分）不等式组的解集是（ ） A ．x ≥2B ．x ＜1C ．1≤x ＜2D ．1＜x ≤213. （2019•山东省滨州市•3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．14. （2019•山东省聊城市•3分）若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤2B．m＜2 C．m≥2D．m＞2二.填空题1. （2019•山东省滨州市•5分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为．2. （2019•江苏泰州•3分）不等式组的解集为．3. （2019•湖南株洲•3分）若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为．4. （2019•山东省德州市•4分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝．5. （2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）不等式组的解集是．6. （2019•甘肃•3分）不等式组的最小整数解是．7. （2019•湖南长沙•3分）不等式组的解集是．8. （2019•湖南邵阳•3分）不等式组的解集是．9. （2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）不等式组的解集是．10.（2019•浙江金华•4分）不等式3x-6≤9的解是________．11．（2019•浙江绍兴•5分）不等式3x﹣2≥4的解为．三.解答题1.（2019▪黑龙江哈尔滨▪10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？2.（(2019，山西，9分）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元. 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x 次，选择方式一的总费用为y 1（元），选择方式二的总费用为y 2（元）. （1）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数表达式.（2）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.3.(2019，四川成都，6分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+<--≤-②211425①54)2(3x x x x4.（2019，四川巴中，8分）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？5.（2019，山东淄博，5分）解不等式6.（2019▪湖北黄石▪7分）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．7. （2019•湖南衡阳•8分）某商店购进A.B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A.B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？8. （2019•山东省滨州市•10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．9. （2019•广东•6分）解不等式组：10. （2019•广东•7分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为70元，毎个足球的价格为80元．（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？11. ( 2019甘肃省兰州市)（本题5分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧-<++<-131512x x x x12. （2019•广西贵港•10分）（1）计算：﹣（﹣3）0+（）﹣2﹣4sin 30°；（2）解不等式组：，并在数轴上表示该不等式组的解集．13. （2019•江苏苏州•5分）()152437x x x +<⎧⎪⎨+>+⎪⎩解不等式组：14. （2019•江苏连云港•6分）解不等式组15. （2019•湖南湘西州•6分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．16. （2019•湖南岳阳•8分）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？17. （2019•山东省滨州市•12分）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．18. （2019•山东省聊城市•8分）某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？不等式(组)一.选择题1. （2019•湖北天门•3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣1＞0得x＞1，解不等式5﹣2x≥1得x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2，故选：C．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2.(2019甘肃省陇南市)（3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3 C．x≥3D．x≥﹣3【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．3. （2019•湖南衡阳•3分）不等式组的整数解是（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．1【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．【解答】解：解不等式①得：x＜0，解不等式②得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为﹣2＜x＜0，∴不等式组的整数解是﹣1，故选：B．【点评】本题考查了解一元一次不等式的应用，能灵活运用不等式的性质进行变形是解此题的关键．4. （2019•湖南衡阳•3分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx+b＞的解集是（）A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx+b＞的解集．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y2＝（m为常数且m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，∴不等式kx+b＞的解集是x＜﹣1或0＜x＜2故选：C．【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．5．（2019•浙江宁波•4分）不等式＞x的解为（）A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1【分析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．【解答】解：＞x，3﹣x＞2x，3＞3x，x＜1，故选：A．【点评】本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1．6. （2019•山东省德州市•4分）不等式组的所有非负整数解的和是（）A．10 B．7 C．6 D．0【考点】不等式组的非负整数解【分析】分别求出每一个不等式的解集，即可确定不等式组的解集，继而可得知不等式组的非负整数解．【解答】解：，解不等式①得：x＞﹣2.5，解不等式②得：x≤4，∴不等式组的解集为：﹣2.5＜x≤4，∴不等式组的所有非负整数解是：0，1，2，3，4，∴不等式组的所有非负整数解的和是0+1+2+3+4＝10，故选：A．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组的基本技能，准确求出每个不等式的解集是解题的根本，确定不等式组得解集及其非负整数解是关键．7. （2019•甘肃武威•3分）不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3B．x≤﹣3 C．x≥3D．x≥﹣3【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可．【解答】解：去括号，得2x+9≥3x+6，移项，合并得﹣x≥﹣3系数化为1，得x≤3；故选：A．【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．8. （2019•湖南怀化•4分）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（）只．A．55 B．72 C．83 D．89【分析】设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，根据“每户发放母羊7只时有一户可分得母羊但不足3只”列出关于x的不等式组，解之求得整数x的值，再进一步计算可得．【解答】解：设该村共有x户，则母羊共有（5x+17）只，由题意知，解得：＜x＜12，∵x为整数，∴x＝11，则这批种羊共有11+5×11+17＝83（只），故选：C．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的不等关系，并据此得出不等式组．9. （2019•湖南岳阳•3分）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1.x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是（ ） A ．c ＜﹣3B ．c ＜﹣2C ．c ＜D ．c ＜1【分析】由函数的不动点概念得出x 1.x 2是方程x 2+2x +c ＝x 的两个实数根，由x 1＜1＜x 2知，解之可得．【解答】解：由题意知二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1.x 2是方程x 2+2x +c ＝x 的两个实数根， 且x 1＜1＜x 2， 整理，得：x 2+x +c ＝0， 则．解得c ＜﹣2， 故选：B ．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c 的不等式．10.(2019，山西，3分）不等式组⎩⎨⎧<->-42231x x 的解集是（ ）A.4>xB.1->xC.41<<-xD.1-<x【解析】4,31>>-x x ；1,22,422-><-<-x x x ；∴4>x ，故选A11. （2019•南京•2分）实数A.B.c 满足a ＞b 且ac ＜bc ，它们在数轴上的对应点的位置可以是（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】根据不等式的性质，先判断c 的正负．再确定符合条件的对应点的大致位置． 【解答】解：因为a ＞b 且ac ＜bc ， 所以c ＜0．选项A 符合a ＞b ，c ＜0条件，故满足条件的对应点位置可以是A ．选项B不满足a＞b，选项C.D不满足c＜0，故满足条件的对应点位置不可以是B.C.D．故选：A．【点评】本题考查了数轴上点的位置和不等式的性质．解决本题的关键是根据不等式的性质判断c的正负．12（201▪9广西河池▪3分）不等式组的解集是（）A．x≥2B．x＜1 C．1≤x＜2 D．1＜x≤2【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得：x≤2，解②得：x＞1．则不等式组的解集是：1＜x≤2．故选：D．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13. （2019•山东省滨州市•3分）已知点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【考点】不等式组的解法【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于a的不等式组进而求出答案．【解答】解：∵点P（a﹣3，2﹣a）关于原点对称的点在第四象限，∴点P（a﹣3，2﹣a）在第二象限，∴，解得：a＜2．则a的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选：C．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及解不等式组，正确掌握是解题关键．14. （2019•山东省聊城市•3分）若不等式组无解，则m的取值范围为（）A．m≤2B．m＜2 C．m≥2D．m＞2【考点】解一元一次不等式组【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．【解答】解：解不等式＜﹣1，得：x＞8，∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选：A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．二.填空题1. （2019•山东省滨州市•5分）如图，直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），当kx+b＜x时，x的取值范围为x＞3．【考点】一次函数与一元一次不等式的关系【分析】根据直线y＝kx+b（k＜0）经过点A（3，1），正比例函数y＝x也经过点A从而确定不等式的解集．【解答】解：∵正比例函数y＝x也经过点A，∴kx+b＜x的解集为x＞3，故答案为：x＞3．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．2. （2019•江苏泰州•3分）不等式组的解集为x＜﹣3．．【分析】求出不等式组的解集即可．【解答】解：等式组的解集为x＜﹣3，故答案为：x＜﹣3．【点评】本题考查了不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．3. （2019•湖南株洲•3分）若a为有理数，且2﹣a的值大于1，则a的取值范围为a＜1且a为有理数．【分析】根据题意列出不等式，解之可得，【解答】解：根据题意知2﹣a＞1，解得a＜1，故答案为：a＜1且a为有理数．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4. （2019•山东省德州市•4分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[4.8]＝4，[﹣0.8]＝﹣1．现定义：{x}＝x﹣[x]，例：{1.5}＝1.5﹣[1.5]＝0.5，则{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝ 1.1．【考点】列出代数式【分析】根据题意列出代数式解答即可．【解答】解；根据题意可得：{3.9}+{﹣1.8}﹣{1}＝3.9﹣3﹣1.8+2﹣1+1＝1.1，故答案为：1.1【点评】此题考查解一元一次不等式，关键是根据题意列出代数式解答．5. （2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）不等式组的解集是x≥3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式≤0，得：x≥3，解不等式3x+2≥1，得：x≥﹣，∴不等式组的解集为x≥3，故答案为：x≥3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6. （2019•甘肃•3分）不等式组的最小整数解是0．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7. （2019•湖南长沙•3分）不等式组的解集是﹣1≤x＜2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得：x≥﹣1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，故答案为：﹣1≤x＜2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8. （2019•湖南邵阳•3分）不等式组的解集是﹣2≤x＜﹣1．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x+4＜3，得：x＜﹣1，解不等式≤1，得：x≥﹣2，则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1，故答案为：﹣2≤x＜﹣1．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9. （2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）不等式组的解集是x≥3．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式≤0，得：x≥3，解不等式3x+2≥1，得：x≥﹣，∴不等式组的解集为x≥3，故答案为：x≥3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.（2019•浙江金华•4分）不等式3x-6≤9的解是________．【答案】x≤5【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】解：∵3x-6≤9，∴x≤5.故答案为：x≤5.【分析】根据解一元一次不等式步骤解之即可得出答案.11．（2019•浙江绍兴•5分）不等式3x﹣2≥4的解为x≥2．【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．【解答】解：移项得，3x≥4+2，合并同类项得，3x≥6，把x的系数化为1得，x≥2．故答案为：x≥2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．3.4.5.6.7.8.9.10.三.解答题1.（2019▪黑龙江哈尔滨▪10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，∴，∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，∴z≤25，∴最多可以购买25副围棋；【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用；能够通过已知条件列出准确的方程组和不等式是解题的关键．2.（(2019，山西，9分）某游泳馆推出了两种收费方式.方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元.方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元.设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y 1（元），选择方式二的总费用为y 2（元）.（3）请分别写出y 1，y 2与x 之间的函数表达式.（4）小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x 在什么范围时，选择方式一比方式二省钱.【解析】（1）x y x y 40;2003021=+=（2）由21y y <得：x x 4020030<+解得：20>x ，∴当20>x 时选择方式一比方式2省钱3.(2019，四川成都，6分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+<--≤-②211425①54)2(3x x x x解： 5463-≤-x x1-∴≥x x 2425+-＜2＜x ∴4.（2019，四川巴中，8分）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？【分析】①设乙种物品单价为x 元，则甲种物品单价为（x +10）元，由题意得分式方程，解之即可；②设购买甲种物品y 件，则乙种物品购进（55﹣y ）件，由题意得不等式，从而得解．【解答】解：①设乙种物品单价为x 元，则甲种物品单价为（x +10）元，由题意得：＝解得x ＝90经检验，x ＝90符合题意∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．②设购买甲种物品y 件，则乙种物品购进（55﹣y ）件由题意得：5000≤100y +90（55﹣y ）≤5050解得5≤y ≤10∴共有6种选购方案．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的整数解的问题．本题中等难度．5.（2019，山东淄博，5分）解不等式【分析】将已知不等式两边同乘以2，然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集．【解答】解：将不等式两边同乘以2得，x﹣5+2＞2x﹣6解得x＜3．【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．6.（2019▪湖北黄石▪7分）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．【解答】解：，解①得：x≥4，解②得：x≤4，则不等式组的解是：x＝4，∵＝1，2x﹣9＝﹣1，∴点P的坐标为（1，﹣1），∴点P在的第四象限．【点评】本题主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．7. （2019•湖南衡阳•8分）某商店购进A.B两种商品，购买1个A商品比购买1个B商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等．（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A.B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？【分析】（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，根据数量＝总价÷单价结合花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍并且购买A.B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可找出各购买方案．【解答】解：（1）设购买一个B商品需要x元，则购买一个A商品需要（x+10）元，依题意，得：＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，∴x+10＝15．答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元．（2）设购买B商品m个，则购买A商品（80﹣m）个，依题意，得：，解得：15≤m≤16．∵m为整数，∴m＝15或16．∴商店有2种购买方案，方案①：购进A商品65个、B商品15个；方案②：购进A商品64个、B商品16个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．8. （2019•山东省滨州市•10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x是不等式组的整数解．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再解不等式组求出x的整数解，由分式有意义的条件确定最终符合分式的x的值，代入计算可得．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝，解不等式组得1≤x＜3，则不等式组的整数解为1.2，又x≠±1且x≠0，∴x＝2，∴原式＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解一元一次不等式组的能力．9. （2019•广东•6分）解不等式组：【答案】解：由①得x＞3，由②得x＞1，∴原不等式组的解集为x＞3.【考点】解一元一次不等式组10. （2019•广东•7分）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，己知每个篮球的价格为70元，毎个足球的价格为80元．（1）若购买这两类球的总金额为4600元，篮球、足球各买了多少个？（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，最多可购买多少个篮球？【答案】解：（1）设购买篮球x个，则足球（60-x）个.由题意得70x+80（60-x）=4600，解得x=20。
2019年中考数学真专题01数与式-分类汇编含答案解析
专题01 数与式1．（2019·宿迁）2019的相反数是A．12019B．-2019 C．12019D．2019【答案】B【解析】2019的相反数是-2019．故选B．2．（2019·潍坊）2019的倒数的相反数是A．-2019 B．12019C．12019D．2019【答案】B【解析】2019的倒数是12019，12019的相反数为12019，所以2019的倒数的相反数是12019，故选B．3．（2019?邵阳）下列各数中，属于无理数的是A．13B．1.414 C．2D．4【答案】C【解析】4=2是有理数；2是无理数，故选C．4．（2019?黄石）若式子12xx在实数范围内有意义，则x的取值范围是A．x≥１且x≠２B．x≤１C．x>1且x≠２D．x<1【答案】A【解析】依题意，得x-1≥０且x-200，解得x≥１且x≠２．故选A．5．（2019?河南）下列计算正确的是A．2a+3a=6a B．（-3a）2=6a2C．（x-y）2=x2-y2D．32222【答案】D【解析】2a+3a=5a，A错误；（-3a）2=9a2，B错误；（x-y）2=x2-2xy+y2，C错误；32222，D正确，故选D．6．（2019·安徽）2019年“五一”假日期间，某省银联网络交易总金额接近161亿元，其中161亿用科学记数法表示为A ．1.61×109B ．1.61×1010C ．1.61×1011D ．1.61×1012【答案】B【解析】161亿=16100000000=1.61×1010．故选B ．7．（2019?河南）成人每天维生素D 的摄入量约为0.0000046克．数据“0.0000046”用科学记数法表示为A ．46×10-7B ．4.6×10-7C ．4.6×10-6D ．0.46×10-5【答案】C【解析】0.0000046=4.6×10-6．故选C ．8．（2019·安徽）在-2，-1，0，1这四个数中，最小的数是A ．-2B ．-1C ．0D ．1【答案】A 【解析】在2、1、0、1这四个数中，大小顺序为：2101，所以最小的数是2，故选A ．9．（2019·重庆A 卷）下列各数中，比1小的数是A ．2B ．1C ．0D ．-2【答案】D【解析】根据负数小于0，0小于正数，且负数的绝对值越大，本身就越小，即可确定-2最小，故选D ．10．（2019·安徽）已知三个实数a ，b ，c 满足a-2b+c=0，a+2b+c<0，则A ．b>0，b 2-ac ≤０B ．b<0，b 2-ac ≤０C ．b>0，b 2-ac ≥０D ．b<0，b 2-ac ≥０【答案】D【解析】∵a-2b+c=0，∴a+c=2b ，∴a+2b+c=4b<0，∴b<0，∴a 2+2ac+c 2=4b 2，即22224aac cb，∴b 2-ac=22222220444a c aac caac c ac，故选D ．11．（2019?北京）如果m+n=1，那么代数式22221()()m n mn mmnm的值为A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】D【解析】原式=2()m n m n m mn ·（m+n ）（m -n ）=3()m m mn ·（m+n ）（m -n ）=3（m+n ），当m+n=1时，原式=3．故选D ．12．（2019?河北）如图，若x 为正整数，则表示22(2)1441x xxx 的值的点落在A ．段①B ．段②C ．段③D ．段④【答案】B【解析】∵2222(2)1(2)111441(2)111x x x xxx xx x x ，又∵x 为正整数，∴12≤x<1，故表示22(2)1441x xxx 的值的点落在②，故选B ．13．（2019·重庆A 卷）估计1(2362)3的值应在A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】C【解析】1(2362)3=2+623=2+24，又因为4<24<5，所以6<2+24<7，故选C ．14．（2019?北京）在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ，若CO=BO ，则a 的值为A ．-3 B ．-2C ．-1D ．1【答案】A 【解析】∵点C 在原点的左侧，且CO=BO ，∴点C 表示的数为-2，∴a=-2-1=-3．故选A ．15．（2019·滨州）下列各数中，负数是A ．(2)B ．2C ．22D ．02【答案】B 【解析】A 、22，故此选项错误；B 、22，故此选项正确；C 、224，故此选项错误；D 、021，故此选项错误，故选B ．16．（2019?山西）下列二次根式是最简二次根式的是A．12B．127C．8D．3【答案】D【解析】A、1222，故A不符合题意；B、1222177，故B不符合题意；C、822，故C不符合题意；D、3是最简二次根式，故D符合题意．故选D．17．（2019?广东）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是A．a>b B．|a|<|b| C．a+b>0 D．ab<0【答案】D【解析】由图可得：-2<a<-1，0<b<1，∴a<b，故A错误；|a|>|b|，故B错误；a+b<0，故C错误；ab<0，故D正确，故选D．18．（2019·金华）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是星期一二三四最高气温10 °C 12 °C 11 °C 9 °C最低气温 3 °C 0 °C -2 °C -3 °C A．星期一B．星期二C．星期三D．星期四【答案】C【解析】星期一温差：10-3=7 °C；星期二温差：12-0=12 °C；星期三温差：11-（-2）=13 °C；星期四温差：9-（-3）=12 °C，综上，周三的温差最大，故选C．19．（2019·温州）计算：（-3）×5的结果是A．-15 B．15 C．-2 D．2【答案】A【解析】（-3）×5=-15，故选A ．20．（2019·济宁）下列计算正确的是A ．2(3)3B ．3355C ．36=6D ．0.360.6【答案】D 【解析】A ．2(3)3，故此选项错误；B ．3355，故此选项错误；C ．366，故此选项错误；D ．0.360.6，正确．故选D ．21．（2019·南京）面积为4的正方形的边长是A ．4的平方根B ．4的算术平方根C ．4开平方的结果D ．4的立方根【答案】B 【解析】面积为4的正方形的边长是4，即为4的算术平方根，故选B ．22．（2019·南京）下列整数中，与1013最接近的是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】∵9<13<16，∴3<13<4，∴与13最接近的是4，∴与10-13最接近的是6．故选C ．23．（2019·天津）估计33的值在A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间【答案】D【解析】∵25<33<36，∴5<33<6．故选D ．24．（2019·临沂）下列计算错误的是A ．3243a b ab a bB ．2326mnm nC ．523aaaD ．2221455xyxyxy【答案】C 【解析】选项A ，单项式×单项式，323243a babaa b ba b ，选项正确；选项B ，积的乘方，2326mnm n ，选项正确；选项C ，同底数幂的除法，525(2)7aa a a ，选项错误；选项D ，合并同类项，2222215145555xyxyxyxyxy ，选项正确，故选C ．25．（2019·滨州）若8mx y 与36n x y 的和是单项式，则3m n 的平方根为A ．4B ．8C ．±4D ．±8【答案】D【解析】由8mx y 与36nx y 的和是单项式，得31m n，．333164m n，64的平方根为8．故选D ．26．（2019·南充）下列各式计算正确的是A ．2(2)(2)a a aB ．235()x x C ．623xx xD ．23x xx【答案】D【解析】A 、x+x 2，无法计算，故此选项错误；B 、（x 2）3=x 6，故此选项错误；C 、x 6÷x 2=x 4，故此选项错误；D 、x ·x 2=x 3，故此选项正确，故选D ．27．（2019·天津）计算2211a a a 的结果是A ．2B ．22aC ．1D ．41a a 【答案】A 【解析】原式=222(1)211a a a a ，故选A ．28．（2019·安徽）计算182的结果是__________．【答案】3 【解析】182=9=3，故答案为：3．29．（2019?绍兴）因式分解：x 2-1=__________．【答案】（x+1）（x-1）【解析】原式=（x+1）（x-1）．故答案为：（x+1）（x-1）．30．（2019?黄冈）分解因式3x 2-27y 2=__________．【答案】3（x+3y ）（x -3y ）【解析】原式=3（x 2-9y 2）=3（x+3y ）（x-3y ），故答案为：3（x+3y ）（x-3y ）．31．（2019?哈尔滨）把多项式a 3-6a 2b+9ab 2分解因式的结果是__________．【答案】a （a -3b ）2【解析】a 3-6a 2b+9ab 2=a （a 2-6ab+9b 2）=a （a -3b ）2．故答案为：a （a -3b ）2．32．（2019?衡阳）273=__________．【答案】23【解析】原式=33323．故答案为：23．33．（2019?镇江）氢原子的半径约为0.00000000005 m ，用科学记数法把0.00000000005表示为__________．【答案】5×10-11【解析】用科学记数法把0.00000000005表示为5×10-11．故答案为：5×10-11．34．（2019·重庆A 卷）计算：011(π3)()2=__________．【答案】3【解析】原式=1+2=3，故答案为：3．35．（2019·德州）33x x ，则x 的取值范围是__________．【答案】3x 【解析】根据绝对值的意义得，30x，∴3x ，故答案为：3x ．36．（2019·聊城）计算：115()324=__________．【答案】23【解析】原式=542()653，故答案为：-23．37．（2019·宿迁）实数4的算术平方根为__________．【答案】2 【解析】∵224，∴4的算术平方根是2．故答案为：2．38．（2019·临沂）一般地，如果40xa a，则称x 为a 的四次方根，一个正数a 的四次方根有两个．它们互为相反数，记为4a ，若4410m，则m __________．【答案】10【解析】∵4410m，∴4410m，∴10m，故答案为：10．39．（2019·连云港）64的立方根是__________．【答案】4【解析】∵43=64，∴64的立方根是4，故答案为：4．40．（2019·嘉兴）数轴上有两个实数a，b，且a>0，b<0，a+b<0，则四个数a，b，-a，-b的大小关系为__________（用“<”号连接）．【答案】b a a b【解析】∵a>0，b<0，a+b<0，∴四个数a，b，-a，-b在数轴上的分布为：∴b<-a<a<-b．故答案为：b<-a<a<-b．41．（2019·天津）计算(31)(31)的结果等于__________．【答案】2【解析】原式=3-1=2．故答案为：2．42．（2019·天津）计算5x x的结果等于__________．【答案】6x【解析】56x x x，故答案为：6x．43．（2019·南充）计算：2111xx x__________．【答案】x+1【解析】2111xx x=2111xx x211xx111x xx1x，故答案为：x+1．44．（2019·宿迁）计算：11()π1|13| 2．【解析】原式21313．45．（2019·扬州）计算或化简：（1）08(3π)4cos45；（2）2111aa a．【解析】（1）08(3π)4cos45=22-1-4×22=22-1-22=-1．（2）2111aa a=2111aa a =211aa =(1)(1)1a a a =a+1．46．（2019·济宁）计算：16sin 6012()|32018|2．【解析】原式362312018320192．47．（2019·重庆A 卷）计算：（1）2()(2)x y y xy ；（2）2949()22a a aaa．【解析】（1）原式=22222xxy yxyy =2x ．（2）原式=222949()222aa a a aaa 2269229aa a aa2(3)22(3)(3)a a a aa33a a．48．（2019?武汉）计算：（2x 2）3-x 2·x 4．【解析】（2x 2）3-x 2·x 4=8x 6-x6=7x 6．49．（2019?湖州）化简：（a+b ）2-b （2a+b ）．【解析】原式=a 2+2ab+b 2-2ab -b 2=a 2．50．（2019?益阳）化简：2244(4)2xxxx．【解析】原式=2(2)2(2)(2)x x xxx=242x x．51．（2019?河南）先化简，再求值：2212(1)244x x x xxx，其中x=3．【解析】原式=212(2)()22(2)x x x xxxx =322x x x=3x，当x=3时，原式=33=3．52．（2019?安顺）先化简2221(1)369x xxx ，再从不等式组24324x xx 的整数解中选一个合适的x的值代入求值．【解析】原式232(3)3(1)(1)x x xx x =31x x ，解不等式组24324x xx ①②得-2<x<4，∴其整数解为-1，0，1，2，3，∵要使原分式有意义，∴x 可取0，2．2019年全国中考数学真题分类汇编11 ∴当x=0时，原式=-3，（或当x=2时，原式=13）．53．（2019·安徽）观察以下等式：第1个等式：211=111，第2个等式：311=226，第3个等式：211=5315，第4个等式：211=7428，第5个等式：211=9545，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：__________；（2）写出你猜想的第n 个等式：（用含n 的等式表示），并证明．【解析】（1）第6个等式：211=11666．（2）21121(21)n nn n ．证明：∵右边112112(21)(21)21n n n n n n n 左边，∴等式成立．。
2019年中考数学真题知识点分类汇总—数据的分析
2019年中考数学真题知识点分类汇总—数据的分析一、选择题1. （2019广东深圳，5，3分）这组数据20，21，22，23，23的中位数和众数分别是（）A．20，23 B．21，23 C．21，22 D．22，23【答案】D【解析】数据是从小到大排列的，排在最中间的数据为22，则中位数是22；出现最多的数据是23，即众数是23．故选D．【知识点】中位数；众数2. （2019广西省贵港市，题号3，分值3分）若一组数据为：10，11，9，8，10，9，11，9，则这组数据的众数和中位数分别是()A．9，9 B．10，9 C．9，9.5 D．11，10【答案】C．【解析】解：将数据重新排列为8，9，9，9，10，10，11，11，∴这组数据的众数为9，中位数为9109.52+=，故选：C．【知识点】中位数；众数3. （2019广西河池，T6，F3分）某同学在体育备考训练期间，参加了七次测试，成绩依次为（单位：分）51，53，56，53，56，58，56，这组数据的众数、中位数分别是()A．53，53 B．53，56 C．56，53 D．56，56【答案】D．【解析】解：将数据重新排列为51，53，53，56，56，56，58，所以这组数据的中位数为56，众数为56，故选：D．【知识点】中位数；众数4. （2019贵州省毕节市，题号4，分值3分）在一次爱心义卖活动中，某中学九年级6个班捐献的义卖金额（单位：元）分别为800、820、930、860、820、850，这组数据的众数和中位数分别是（）A．820，850 B．820，930 C．930，835 D．820，835【答案】D．【解析】解：将数据重新排列为800、820、820、850、860、930，所以这组数据的众数为820、中位数为＝835，故选：D．【知识点】中位数；众数．5.（2019贵州遵义，6，4分）为参加全市中学生足球赛，某中学从全校学生中选拔22名足球运动员组建足球队，这22名运动员的年龄（岁）如右表所示，该足球队队员的平均年龄是(A) 12岁(B) 13岁(C) 14岁(D) 15岁【答案】B【解析】222153141013712⨯+⨯+⨯+⨯=x=13，所以选B【知识点】加权平均数6.（2019湖北十堰，6，3分）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）：A．80，80 B．81，80 C．80，2 D．81，2【答案】A【解析】解：根据题意，得80×5﹣（81+77+80+82）＝80（分），则丙的得分是80分；众数是80，故选：A．【知识点】众数；平均数7.（2019湖北孝感，4，3分）下列说法错误的是（）A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式【答案】C【解析】解：A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故选项A不合题意；B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项B不合题意；C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小．故选项C符合题意；D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项D不合题意．故选：C．【知识点】命题与定理；全面调查与抽样调查；众数；方差；随机事件8.（2019湖南湘西，16，4分）从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加射击比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是9环，方差分别是s甲2＝0.25克，s乙2＝0.3，s丙2＝0.4，s丁2＝0.35，你认为派谁去参赛更合适（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】A【解析】解：因为方差越小成绩越稳定，故选甲．故选：A．【知识点】方差9.(2019内蒙古包头市，3题，3分)一组数据2，3，5，x ，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ） A.4B.C.5D.【答案】B. 【解析】解：∵这组数据的众数是4， ∴x =4.∴这组数据从小到大排列为2，3，4，4，5，6，7，8，中间两个数是4和5， 故中位数是(4+5)÷2=4.5 . 故选B.【知识点】众数，中位数.10. （2019宁夏，4，3分）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外阅读时间，整理如下表：则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是（）．A ．0.70.7和B ．0.90.7和C ．10.7和D ．0.9 1.1和 【答案】B【解析】由于共有30名学生，所以学生一天课外阅读时间的中位数位于数据排序后的第15和第16个数，由于第15和第16个数均为0.9，所以这组数据的中位数为0.9，因为这30个数据中，阅读时间为0.7的人数最多，也就是0.7的个数最多，所以众数为0.7，故本题正确选项为B ． 【知识点】数据分析（求中位数和众数）．11. （2019北京市，8题，2分）某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④【答案】C【解析】①由条形统计图可得男生人均参加公益劳动时间为24.5h ，女生为52.5h ，则平均数一定在24.5——25.5之间，故①正确.②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为15，60，51，62，12，则中位数在20——30之间，故②正确.③由统计表类别栏计算可得，初中学生各时间段人数分别为25，36，44，11；共有116人，∴初中生参加公益劳动时间的中位数在对应人数为36的那一栏；即 中位数在20——30之间；故③正确.学生类别5④由统计表类别栏计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为15，35，15，18，1；共有84人，∴中位数在对应人数为35人对应的时间栏，即中位数在10——20之间；故④错误.【知识点】条形统计图、统计表、统计量——平均数、中位数.12.阅读【资料】，完成第8、9题【资料】如图，这是根据公开资料整理绘制而成的2004—2018年中美两国国内生产总值（GDP）的直方图及发展趋势线（注：趋势线由Excel系统根据数据自动生成，趋势线中的y表示GDP，x 表示年数）8．（2019年广西柳州市，8，3分）依据【资料】中所提供的信息，2016—2018年中国GDP的平均值大约是（）A．12.30 B．14.19 C．19.57 D ．19.71【答案】A【解析】从条形统计图中获取2016—2018年中国GDP 的值，则这三年的平均值为11.1912.2413.4612.303++≈，故选A ．【知识点】平均数；条形统计图9．（2019年广西柳州市，8，3分）依据【资料】中所提供的信息，可以推算出的GDP 要超过美国，至少要到（ ） A ．2052 B ．2038 C ．2037 D ．2034 【答案】B【解析】由统计图得：0.86x+0.468＞0.53x+11.778，解得x ＞34，即到2038年GDP 超过美国，因此本题选B ． 【知识点】折线统计图；一次函数与一元一次不等式13. (2019黑龙江大庆,7题,3分) 某企业1－6月份利润的变化情况如图所示,以下说法与图中反应的信息相符的是( )A.1－6月份利润的众数是130万元B.1－6月份利润的中位数是130万元C.1－6月份利润的平均数是130万元D.1－6月份利润的极差是40万元第7题图 【答案】D【解析】A.1－6月份利润的众数是120万元,故A 错误;B.1－6月份利润的中位数是125万元,故B 错误;C.1－6月份利润的平均数约是128万元,故C 错误;D.1－6月份利润的极差是40万元,故D 正确.故选D 【知识点】众数,中位数,平均数,极差14. （2019黑龙江省龙东地区，14，3）某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是（ ） A ．平均数B ．中位数C ．方差D ．极差【答案】B【解析】将最低成绩写得更低了，平均数变小，方差变大，极差也变大，但中位数不变，故选B. 【知识点】平均数；中位数；方差；极差15. （2019·江苏常州，8，2）随着时代的进步，人们对PM2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM2.5的值y 1（ug/m 3）随着时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0到t 时PM2.5的值的极差（即0时到时PM2.5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（ ）ABC ．2 D【答案】B【解析】本题考查了极差的意义及函数图像的应用，将一天24小时分成三段：0≤t ≤10、10≤t ≤20、20≤t ≤24，在0≤t ≤10，y 2随t 的增大而增大；在10≤t ≤20，y 2随t 的增大而不变（恒为85－42＝43），在20≤t ≤24，y 2随t 的增大而增大，因此本题选B ．【知识点】极差的意义；函数图像的应用A ．B ．C ．D ．第8题图16.（2019辽宁本溪，8，3分）下列事件属于必然事件的是A.打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”B.若原命题成立，则它的逆命题一定成立C.一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小D.在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数【答案】C.【思路分析】本题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．【解答过程】解：A选项，打开电视，正在播出系列专题片“航拍中国”，是随机事件，不合题意；B选项，若原命题成立，则它的逆命题一定成立，是随机事件，不合题意；C选项，一组数据的方差越小，则这组数据的波动越小，是必然事件，符合题意；D选项，在数轴上任取一点，则该点表示的数一定是有理数，是随机事件，不合题意，故选C．【知识点】方差；随机事件．17. （2019辽宁本溪，5，3分）下表是我市七个县（区）今年某日最高气温（℃）的统计结果：则该日最高气温（℃）的众数和中位数分别是：A. 25，25B.25，26C. 25，23D.24，25【答案】A.【解析】解：∵在这7个数中，25（℃）出现了3次，出现的次数最多，∴该日最高气温（℃）的众数是25；把这组数据按照从小到大的顺序排列位于中间位置的数是25， 则中位数为：25， 故选A ．【知识点】中位数；众数．18. （2019广西贺州，3，3分）一组数据2，3，4，x ，6的平均数是4，则x 是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】解：数据2，3，4，x ，6的平均数是4，∴234645x ++++=，解得5x =，故选：D ．【知识点】算术平均数19.（2019广西梧州，10，3分）某校九年级模拟考试中，1班的六名学生的数学成绩如下：96，108，102，110，108，82．下列关于这组数据的描述不正确的是( ) A ．众数是108 B ．中位数是105 C ．平均数是101 D ．方差是93【答案】D【解析】解：把六名学生的数学成绩从小到大排列为：82，96，102，108，108，110，∴众数是108，中位数为1021081052+=，平均数为82961021081081101016+++++=， 方差为2222221[(82101)(96101)(102101)(108101)(108101)(110101)]94.3936-+-+-+-+-+-≈≠； 故选：D ．【知识点】众数；算术平均数；中位数；方差20.（2019湖北荆州，8，3分）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（）A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高C．丁同学的身高为1.71米D．四位同学身高的众数一定是1.65【答案】C【解析】解：A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误；B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误；C、丁同学的身高为1.65×4﹣1.63×3＝1.71米，正确；D．四位同学身高的众数一定是1.65，错误．故选：C．【知识点】中位数；众数21.（2019湖南邵阳，5，3分）学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如表：下列说法正确的是()A．该班级所售图书的总收入是226元B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4C．在该班级所售图书价格组成的一纽数据中，众数是15D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2【答案】A【解析】解：A 、该班级所售图书的总收入为314411*********⨯+⨯+⨯+⨯=，所以A 选项正确； B 、第25个数为4，第26个数为5，所以这组数据的中位数为4.5，所以B 选项错误； C 、这组数据的众数为4，所以C 选项错误； D 、这组数据的平均数为2264.5250x ==，所以这组数据的方差 222221[14(3 4.52)11(4 4.52)10(5 4.52)15(6 4.52)] 1.450S =-+-+-+-≈，所以D 选项错误． 故选：A ．【知识点】中位数；众数；方差22. （2019江苏常州，8，2分）随着时代的进步，人们对PM 2.5（空气中直径小于等于2.5微米的颗粒）的关注日益密切．某市一天中PM 2.5的值y 1（ug /m 3）随时间t （h ）的变化如图所示，设y 2表示0时到t 时PM 2.5的值的极差（即0时到t 时PM 2.5的最大值与最小值的差），则y 2与t 的函数关系大致是（ ）【答案】B【解析】解：当t ＝0时，极差y 2＝85﹣85＝0，当0＜t ≤10时，极差y 2随t 的增大而增大，最大值为43； 当10＜t ≤20时，极差y 2随t 的增大保持43不变； 当20＜t ≤24时，极差y 2随t 的增大而增大，最大值为98； 故选：B ．【知识点】函数的图象；极差23. （2019四川省雅安市，5，3分）已知一组数据5，4，x ，3，9的平均数为5，则这组数据的中位数是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B【解析】根据一组数据5，4，x，3，9的平均数为5得：543955x++++=，得x=4，把这组数据按从小到大的顺序排列为3，4，4，5，9，所以中位数是4，故选B．【知识点】平均数；中位数24.（2019江苏徐州，5，3分）【答案】B【解析】本题解答时要把数据按由小到大的顺序重新排列.解：把数据重新排列为：37，37，38，39，40，40，40，所以它的众数和中位数分别为40，39，故本题选B.【知识点】众数；中位数二、填空题1. （2019广西北部湾，15，3分）甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：环）为：9，8，9，6，10，6.甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4，那么成绩较为稳定的是.（填“甲”或“乙”）【答案】甲.【解析】解：甲的平均数x=16(9+8+9+6+10+6)=8，所以甲的方差=16[(9-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6-8)2]=73，因为甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩比较稳定． 故答案为甲．【知识点】平均数；方差.2. （2019贵州黔西南州，11，3分）一组数据：2，1，2，5，3，2的众数是 ． 【答案】2【解析】解：在数据2，1，2，5，3，2中2出现3次，次数最多，所以众数为2，故答案为：2． 【知识点】众数3. (2019黑龙江绥化,14题,3分)已知一组数据1,3,5,7,9,则这组数据的方差是________. 【答案】8【解析】平均数＝(1+3+5+7+9)÷5＝5,∴方差＝15[(1－5)2+(3－5)2+(5－5)2+(7－5)2+(9－5)2]＝8.【知识点】方差4. （2019·湖南张家界，11，3）为了建设“书香校园”，某校七年级的同学积极捐书，下表统计了七（1）班40名学生的捐书情况：该班学生平均每人捐书 本． 【答案】6． 【解析】∵x ＝354751*********⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝24040＝6，∴故答案为6．【知识点】统计；加权平均数5.（2019湖南郴州，14，3分）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s甲2、s乙2，则s甲2s乙2．（填“＞”，“＝”或“＜”）【答案】＜【解析】解：由图象可知：乙偏离平均数大，甲偏离平均数小，所以乙波动大，不稳定，方差大，即S甲2＜S乙2．故答案为：＜．【知识点】折线统计图；方差6.（2019湖南郴州，12，3分）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中位数是．【答案】8【解析】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9，故这组数据的中位数是8．故答案为：8．【知识点】中位数7. (2019内蒙古包头市，16题，3分)甲、乙两班举行数学知识竞赛，参赛学生的竞赛得分统计结果如下表：某同学分析上表手得到如下结论：①甲、乙两班学生的平均成绩相同；②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数(竞赛得分≥85分为优秀)；③甲班成绩的波动比乙班小.上述结论中正确的是.(填写所有正确结论的序号)【答案】①②③.【解析】解：对于①，表格中两个班级的平均分均为83分，故正确；对于②，甲班中位数是86分，说明优秀人数至少为23人；乙班中位数是84分，说明优秀人数最多为22人，故乙班优秀人数少于甲班优秀的人数，故正确；对于③，甲班方差＜乙班方差，说明甲班成绩波动比乙班小.故答案为①②③.【知识点】平均数，中位数，方差.8.（2019宁夏，13，3分）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图，则该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为小时．【答案】1.15【解析】该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为0.58116 1.512241.15816124⨯+⨯+⨯+⨯=+++小时．【知识点】加权平均数的计算．9.（2019山东东营，13，3分）东营市某中学为积极响应“书香东营，全民阅读”活动，助力学生良好阅读习惯的养成，形成浓厚的阅读氛围，随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如下表所示，则在本次调查中，学生阅读时间的中位数是____________小时．【答案】1【解析】由表格看出，共52个从小到大排列的数据，第26个和第27个数据都是1，故中位数是112+=1． 【知识点】中位数10. （2019北京市，15题，2分） 小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s _______20s . (填“>”，“=”或“<”)【答案】=【解析】数据92，90，94，86，99，85的平均数929094869985916x +++++==；新数据2，0，4，-4，9，-5的平均数为()()204495`16x +++-++-==；∴()()()()()()2222222016892919091949186919991859163S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦；()()()()()()2222222116821014141915163S ⎡⎤=-+-+-+--+-+--=⎣⎦；∴2201S S =.事实上由“将一组数据中的每个数加上或减去同一个数后，所得的新数据的方差与原数据的方差相同”易得2201S S =.【知识点】方差的计算和性质、平均数.11. （2019年广西柳州市，18，3分）已知一组数据共有5 个数，它们的方差是0.4，众数、中位数和平均数都是8，最大的数是9，则最小的数是___________．【答案】7【思路分析】根据5个数的平均数是8，可知这5个数的和为40，根据5个数的中位数是8，得出中间的数是8，根据众数是8，得出至少有2个8，再根据5个数的和减去2个8和1个9得出前面2个数的和为15，再根据方差得出前面的2个数为7和8，即可得出结果．【解题过程】∵5个数的平均数是8，∴这5个数的和为40，∵5个数的中位数是8，∴中间的数是8，∵众数是8，∴至少有2个8，∵40﹣8﹣8﹣9＝15，由方差是0.4得：前面的2个数的为7和8，∴最小的数是7．【知识点】方差、平均数、中位数、众数12. （2019贵州省安顺市，16，4分）已知一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差为2，则另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3x n的方差为．【答案】18【思路分析】如果一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差是s2，若平均数为x那么数据kx1，kx2，kx3，…，kx n的方差是k2s2（k≠0），依此规律即可得出答案．【解题过程】解：∵一组数据x1，x2，x3，…，x n的方差为2，∴另一组数据3x1，3x2，3x3，…，3x n的方差为32×2＝18．故答案为18．【知识点】方差13.（2019·江苏镇江，3，2）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x＝．【答案】5．【解析】本题考查了众数的概念，根据一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数，可知“数据4，3，x，1，5的众数是5”，则这组数据中必有两个5，故x＝5，因此本题答案为5．【知识点】统计；众数14.（2019广西桂林，14，3分）某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，王老师每周对各小组合作学习的情况进行综合评分．下表是各小组其中一周的得分情况：这组数据的众数是．【答案】90【解析】解：众数是一组数据中出现次数最多的数．90出现了4次，出现的次数最多，则众数是90；故答案为：90【知识点】众数15.（2019江苏镇江，3，2分）一组数据4，3，x，1，5的众数是5，则x=．【答案】5【解析】解：数据4，3，x，1，5的众数是5，5∴=，故答案为：5．x【知识点】众数16.（2019内蒙古赤峰，16，3分）如图是甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的统计表和折线统计图．你认为甲、乙两名运动员，的射击成绩更稳定．（填甲或乙）【答案】乙【解析】解：由统计表可知，甲和乙的平均数、中位数和众数都相等，由折线统计图可知，乙的波动小，成绩比较稳定，故答案为：乙．【知识点】折线统计图；算术平均数；中位数；众数；方差17.（2019四川泸州，13，3分）4的算术平方根是．【答案】2【解析】解：4的算术平方根是2．故答案为：2．【知识点】算术平方根三、解答题1. （2019广西北部湾，22，8分）红树林学校在七年级新生中举行了全员参加的“防溺水”安全知识竞赛，试卷题目共10题，每题10分.现分别从三个班中各随机取10名同学的成绩（单位：分），收集数据如下：1班：90，70，80，80，80，80，80，90，80，100；2班：70，80，80，80，60，90，90，90，100，90；3班：90，60，70，80，80，80，80，90，100，100；整理数据：分析数据：根据以上信息回答下列问题：（1）请直接写出表格中a，b，c，d的值；（2）比较这三组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个班的成绩比较好？请说明理由；（3）为了让学生重视安全知识的学习，学校将给竞赛成绩满分的同学颁发奖状，该校七年级新生共570人，试估计需要准备多少张奖状？【思路分析】本题主要考查众数、平均数、中位数，用样本估计总体.（1）根据众数和中位数的概念求解可得；（2）分别从平均数、众数和中位数三个方面比较大小即可得；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解题过程】解：（1）由题意知a=4，b=110×(90+60+70+80+80+80+80+90+100+100)=83，2班成绩重新排列为60，70，80，80，80，90，90，90，90，100，∴c=80+902=85，d=90；（2）从平均数上看三个班都一样；从中位数看，1班和3班一样是80，2班最高是85；从众数上看，1班和3班都是80，2班是90；综上所述，2班成绩比较好；（3）570×430=76（张），答：估计需要准备76张奖状．【知识点】用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数．2.（2019湖北咸宁，20，8分）某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组：60≤x＜80，80≤x＜100，…，180≤x＜200）在100≤x＜120这一组的是：100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119根据以上信息，回答下列问题：（1）表中a＝；（2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是（填“甲”或“乙”），理由是．（3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？【思路分析】（1）根据中位数，结合条形统计图及所给数据求解可得；（2）将甲、乙成绩与对应的中位数对比，从俄日得出答案；（3）利用样本估计总体思想求解可得．【解题过程】解：（1）∵七年级50名学生成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别是117、119，∴中位数a118，故答案为：118；（2）∴在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是甲，理由是甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126，故答案为：甲，甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126．（3）估计一分钟跳绳不低于116次的有500270（人）．【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；：算术平均数；中位数；众数3. (2019黑龙江大庆,23题,7分)某校为了解七年级学生的体重情况,随机抽取了七年级m名学生进行调查,将抽取学生的体重情况绘制如下不完整的频数分布表和扇形统计图.第23题图请根据图表信息回答下列问题:(1)填空:①m ＝______;②n ＝______;③在扇形统计图中,C 组所在扇形的圆心角的度数等于______度;(2)若把每组中各个体重值用这组数据的中间值代替(例如:A 组数据的中间值为40千克),则被调查学生的平均体重是多少千克?(3)如果该校七年级有1000名学生,请估算七年级体重低于47.5千克的学生大约有多少人? 【思路分析】(1)20÷20%＝100(人),100－10－40－20－10＝20(人),40360144100⨯=;(2)总体重除以总人数可得;(3)用样本百分比计算总体中体重低于47.5千克的人数. 【解题过程】(1)①m ＝100;②n ＝20;③144度;(2)(10×40+20×45+40×50+20×55+10×60)÷100＝50(千克).答:被调查学生的平均体重是50千克. (3)1000×10+20100＝300(人),答:七年级体重低于47.5千克的学生大约有300人.【知识点】扇形统计图,总数频数百分比之间的关系,加权平均数,样本估计总体4. （2019吉林长春，19，7分）网上学习越来越受到学生的喜爱.某校信息小组为了解七年级学生网上学习的情况，从该校七年级随机抽取20名学生，进行了每周网上学习的调查.数据如下（单位：时）： 3 2.5 0.6 1.5 1 2 2 3.3 2.5 1.8 2.5 2.2 3.5 4 1.5 2.5 3.1 2.8 3.3 2.4 整理上面的数据，得到表格如下：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中的中位数m 的值为 ，众数的值为（2）用样本中的平均数估计该校七年级学生平均每人一学期（按18周计算）网上学习的时间。
2019全国中考数学真题分类汇编：直角三角形、勾股定理及参考答案
一、选择题1．(2019·广元)如图,△ABC中,∠ABC＝90°,BA＝BC＝2,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC,连接BD,则BD2的值是________【答案】843【解析】连接AD,过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,易得△ACD是等边三角形,四边形BNDM是正方形,设CM＝x,则DM＝MB＝x+2,∵BC＝2,∴CD＝AC＝,∴在Rt△MCD中,由勾股定理可求得,x1,DM＝MB1,∴在Rt△BDM中,BD2＝MD2+MB2＝843.2．（2019·绍兴）如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为 ( )A.524 B.532C.173412D.173420【答案】A【解析】如图所示：设DM ＝x ，则CM ＝8﹣x ， 根据题意得：（8﹣x +8）×3×3＝3×3×5， 解得：x ＝4，∴DM ＝6，∵∠D ＝90°，由勾股定理得：BM =＝5， 过点B 作BH⊥AH，∵∠HBA+∠ABM＝∠ABM+∠ABM＝90°， ∴∠HBA+＝∠ABM，所以Rt△ABH∽△MBD， ∴BH BD AB BM =，即385BH =，解得BH ＝524，即水面高度为524． 3．（2019·益阳）已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM=MN=2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC 、BC ，则△ABC 一定是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形【答案】B【解析】如图所示， ∵AM=MN=2，NB ＝1，∴AB=AM=MN+NB ＝2+2+1=5，AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=BN+MN1+2=3， ∴25522==AB ，16422==AC ，9322==BC , ∴222AB BC AC =+， ∴△ABC 是直角三角形.4．(2019·广元)如图,在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E.使得∠CDE ＝15°,连接BE 并延长BE 到F,使CF ＝CB,BF 与CD 相交于点H,若AB ＝1,有下列结论:①BE ＝DE;②CE+DE ＝EF;③S △DEC ＝134,④231DH HC.则其中正确的结论有( )A.①②③B.①②③ ④C.①②④D.①③④【答案】A【解析】①利用正方形的性质,易得△BEC ≌△DEC,∴BE ＝DE,①正确;②在EF 上取一点G,使CG ＝CE,∵∠CEG ＝∠CBE+∠BCE ＝60°,∴△CEG 为等边三角形,易得△DEC ≌△FGC,CE+DE ＝EG+GF ＝EF,②正确;③过点D 作DM ⊥AC 于点M,S △DEC ＝S △DMC －S △DME ＝13412,③正确;④tan ∠HBC ＝2－,∴HC ＝2－,DH ＝1－HC ＝－1,∴3+1DH HC,④错误.故选A.5. (2019·宁波)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图1,以直角三角形的各边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积C.较小两个正方形重叠部分的面积D.最大正方形与直角三角形的面积和【答案】C【解题过程】设图中三个正方形边长从小到大依次为:a,b,c,则S阴影＝c 2－a 2－b 2+b(a+b －c),由勾股定理可知,c 2＝a 2－b 2,∴S 阴影＝c 2－a 2－b 2+S 重叠＝S 重叠,即S 阴影＝S 重叠,故选C.6.（2019·重庆B 卷）如图，在△ABC 中，∠ABC =45°，AB =3，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 与点E ，AE =1.连接DE ，将△AED 沿直线AE 翻折至△ABC 所在的平面，得△AEF ，连接DF .过点D 作DG ⊥DE 交BE 于点G.则四边形DFEG 的周长为( ) B. C. D.【答案】D【解析】∵∠ABC =45°，AD ⊥BC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AD=BD.∵BE ⊥AC ，AD ⊥BD ， ∴∠DAC =∠DBH ，4212题图F∴△D BH ≌△DAC （ASA ）. ∵DG ⊥DE ， ∴∠BDG =∠ADE ，∴△DBG ≌△DAE （ASA ）， ∴BG=AE ，DG=DE ，∴△DGE 是等腰直角三角形， ∴∠DEC =45°.在Rt △ABE 中，BE ， ∴GE =，∴DE =.∵D ，F 关于AE 对称， ∴∠FEC =∠DEC =45°，∴EF=DE=DG =，DF=GE =，∴四边形DFEG 的周长为2（+2-）=.故选D ． 二、填空题221221222221127．（2019·苏州）“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造．可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”图①是由边长为10cm的正方形薄板分为7块制作成的“七巧板”，图②是用该“七巧板”拼成的一个“家”的图形该“七巧板”中7块图形之一的正方形边长为 cm（结果保留根号）.（图①）（图②）（第15题）【解析】本题考查了正方形性质、等腰直角三角形性质的综合，由题意可知，等腰×10=5cm，设正方形阴影部分三角形①与等腰三角形②全等，且它们的斜边长都为12x=sin45°，解得x.的边长为x cm，则5第15题答图8．（2019·威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接AC，BD.若∠ACB＝90°，AC＝BC,AB＝BD,则∠ADC＝°【答案】105°【解析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB垂足为F，由∠ACB＝90°，AC＝BC,得△ABC是等腰直角三角形，由三线合一得CF为中线，从而推出2CF＝AB，由AB∥CD得DE＝CF，由AB＝BD得BD＝2DE，在Rt△DEB中利用三角函数可得∠ABD ＝30°，再由AB＝BD得∠BAD＝∠ADB＝75°，最后由AB∥CD得∠BAD＋∠ADC＝180°求出∠ADC＝105°.9．（2019·苏州）如图，一块舍有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为8 cm，cm，则图中阴影部分的面积三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为为 cm：（结果保留根号）．（第18题）【答案】第18题答图解析：，所以△ABC与△DEF 有公共内心O ，连接AD 、BE 、FC 并延长相交于点O ，过O 作OG ⊥AB 于G ，交DE 于H .则GH =，S △ABC =12OG ×（AB +AC +BC ）=12AB ×AC ，∴OG =8AB AC AB AC BC ⨯==-+-OH =8-∵DE ∥AB ，∴△ODE ∽△OAB ，∴OH DEOGAB=8DE=，解得DE =6-S阴影= S △ABC -S △DEF =(2211861022⨯--=+10．（2019·江西）在平面直角坐标系中，A ，B ，C 三点的坐标分别为(4，0)、(4，4)，(0，4)，点P 在x 轴上，点D 在直线AB 上，若DA ＝1，CP ⊥DP 于点P ，则点P 的坐标为 .【答案】（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）【解析】设点P 的坐标为（x ，0），（1）当点D 在线段AB 上时，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224-，22）. ∴222)224()]224(4[-+--=CD 22)22(2416)22(+-+=2417-=， 222)22()]224([+--=x PD 222)22()224()224(2+-+--=x x 2417)28(2-+--=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+，∴2417)28(2-+--x x 3282+-+x x 2417-=， 即032)216(22=+--x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯---=2322-＜0， ∴原方程无解，即符合要求的点P 不存在. （2）当点D 在线段BA 的延长线上，如图所示：∵DA=1，∴点D 的坐标为（224+，22-）. ∴222)]22(4[)]224(4[--++-=CD 22)224()22(++-=2417+=， 222)22()]224([-++-=x PD 222)22()224()224(2++++-=x x 2417)28(2+++-=x x ， 2224)4(+-=x PC 3282+-=x x .∵CP ⊥DP 于点P ，∴222CD PD PC =+， ∴2417)28(2+++-x x 3282+-+x x 2417+=， 即032)216(22=++-x x ，∵△=3224)]216([2⨯⨯-+-=2322+＞0， ∴222322216⨯+±+=x 42322216+±+=， ∴点P 的坐标为（42322216+++，0）或（42322216+-+，0）.11.(2019·枣庄)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D在同一直线上,若AB＝2,则CD＝________.过点A作AM⊥BD于点M,则AM＝【解析】在等腰直角△ABC中,∵AB＝2,∴BC＝MC＝112. (2019·巴中)如图,等边三角形ABC内有一点P,分别连接AP,BP,CP,若AP＝6,BP＝8,CP＝10,则S△ABP+S△BPC＝________.【答案】【解析】将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBP',连接PP',所以BP＝BP',∠PBP'因为PP'＝8,P'C＝60°,所以△BPP'是等边三角形,其边长BP为8,所以S＝PA＝6,PC＝10,所以PP'2+P'C2＝PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C＝24,所以S△＝S△BPP'+S△PP'C＝ABP+S△BPC.三、解答题13.(2019·巴中)如图,等腰直角三角板如图放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m与点D.（1）求证:EC＝BD;（2）若设△AEC三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.证明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠ACB＝90°,AC＝BC, ∴∠ACE+∠BCD＝90°,∵AE⊥EC, ∴∠EAC+∠ACE＝90°,∴∠BCD＝∠CAE,∵BD⊥CD, ∴∠AEC＝∠CDB＝90°,∴△AEC≌△CDB(AAS), ∴EC＝BD.（2）∵△AEC≌△CDB,△AEC三边分别为a，b，c,，∴BD＝EC＝a,CD＝AE＝b,BC＝AC＝c,∴S梯形＝12(AE+BD)ED＝12(a+b)(a+b),S梯形＝12ab+12c2+12ab，∴12(a+b)(a+b)＝12ab+12c2+12ab,整理可得a2+b2＝c2,故勾股定理得证.。
2019年全国中考数学真题分类汇编36---投影、三视图与展开图
【答案】A 【解析】正方体折叠还原后-2 的对面是 6，所以-2×6=-12. 4．（2019·淮安）下图是由 4 个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（）
1
【答案】C 6【．（解2析0】19从·正长面沙看）几某何个体几共何有体的3 列三，视图第如一图列所2 示块，，该第几二何列体和是第三【列都是】一块，所以主视图为 C.
2019 年全国中考数学真题分类汇编
知识点 36 投影、三视图与展开图
一、选择题 2．（2019·德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】本题考查了轴对称和中心对称图形的识别，A．轴对称图形；B．中心对称图形；C．既不是轴对称图形，
也4．（不是20中19·心对滨称州图）形如；图D，．一既个是几轴何对体称由图5形个，大又小是相中同心、对棱称长图为形1，的故小选正D方．体搭成，下列说法正
3.（2019·滨州）如图，一个几何体由 5 个大小相同、棱长为 1 的小正方体搭成，下列说法正确的是（ ）
3
CA．．俯主视视图图的的面面积积为为
4 3
BD．．左三视种图视的图面的积面为积都4 是 4
【【答解案析】】A观察该几何体，主视图有四个小正方形，面积为 4；左视图有 3 个小正方形，面积为 3；俯视图有四个
A
B
C
D
【【答解案析】】C正方体的俯视图与正方形，其它三个的俯视图都是圆，故选 C．
2A.（.长2方01体9·无锡）一个几B.何四体棱的锥主视图、左C.视三图棱、锥俯视图都是长方D形.圆，锥这个几何体可能是（）
【答案】A
【解析】本题考查了由视图判断几何体，主视图、左视图、俯视图都是长方形的几何体是长方体，故选 A.
2019年江苏省中考数学真题分类汇编 专题15 图形的变化之解答题(解析版)
专题15 图形的变化之解答题参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．（2019•徐州）如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：（1）∠ECB＝∠FCG；（2）△EBC≌△FGC．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠BCD，由折叠可得，∠A＝∠ECG，∴∠BCD＝∠ECG，∴∠BCD﹣∠ECF＝∠ECG﹣∠ECF，∴∠ECB＝∠FCG；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B，AD＝BC，由折叠可得，∠D＝∠G，AD＝CG，∴∠B＝∠G，BC＝CG，又∵∠ECB＝∠FCG，∴△EBC≌△FGC（ASA）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．2．（2019•常州）如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E．（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论．【答案】解：（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是AC′∥BD，故答案为：AC′∥BD；（2）EB与ED相等．由折叠可得，∠CBD＝∠C'BD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴BE＝DE．【点睛】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3．（2019•淮安）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）将线段AB向上平移两个单位长度，点A的对应点为点A1，点B的对应点为点B1，请画出平移后的线段A1B1；（2）将线段A1B1绕点A1按逆时针方向旋转90°，点B1的对应点为点B2，请画出旋转后的线段A1B2；（3）连接AB2、BB2，求△ABB2的面积．【答案】解：（1）线段A1B1如图所示；（2）线段A1B2如图所示；（3）S4×42×22×42×4＝6．【点睛】本题考查了平移变换和旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．4．（2019•常州）将图中的A型（正方形）、B型（菱形）、C型（等腰直角三角形）纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．（1）搅匀后从中摸出1个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的2个盒子中摸出1个盒子，把摸出的2个盒中的纸片长度相等的边拼在一起，求拼成的图形是轴对称图形的概率．（不重叠无缝隙拼接）【答案】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子，可能为A型（正方形）、B型（菱形）或C型（等腰直角三角形）这3种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有2种，∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有2种：A和C，C和A，∴拼成的图形是轴对称图形的概率为．【点睛】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．5．（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．①∠BEP＝50°；②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是EC∥AB．（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．【答案】解：（1）①如图②中，∵∠BPE＝80°，PB＝PE，∴∠PEB＝∠PBE＝50°，②结论：AB∥EC．理由：∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝90°，∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，∵AE垂直平分线段BC，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠EBC＝40°，∵AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠ABC＝∠ACB＝40°，∴∠ABC＝∠ECB，∴AB∥EC．故答案为50，AB∥EC．（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．∵AD垂直平分线段BC，∴PB＝PC，∴∠BCE∠BPE＝40°，∵∠ABC＝40°，∴AB∥EC．（3）如图④中，作AH⊥CE于H，∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，平行线的判定，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．6．（2019•苏州）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．（1）求证：EF＝BC；（2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．【答案】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°﹣65°×2＝50°，∴∠F AG＝∠BAE＝50°．∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠F AG+∠F＝50°+28°＝78°．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明△ABC≌△AEF是解题的关键．7．（2019•扬州）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．直线1是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B′．（1）如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，则AB′的长度为4；（2）如图2，当PB＝5时，若直线1∥AC，则BB′的长度为5；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线1始终垂直于AC，△ACB′的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB＝6时，在直线1变化过程中，求△ACB′面积的最大值．【答案】解：（1）如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，AB＝BC＝AC＝8，∵PB＝4，∴PB′＝PB＝P A＝4，∵∠A＝60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′＝AP＝4．故答案为4．（2）如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠A＝60°，∠BEP＝∠C＝60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB＝5，∴∵B，B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′＝2OB∴OB＝PB•sin60°，∴BB′＝5．故答案为5．（3）如图3中，结论：面积不变．∵B，B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC∥BB′，∴S△ACB′＝S△ACB•82＝16．（4）如图4中，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，∵P A＝2，∠P AE＝60°，∴PE＝P A•sin60°，∴B′E＝6，∴S△ACB′的最大值8×（6）＝424．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．8．（2019•宿迁）如图①，在钝角△ABC中，∠ABC＝30°，AC＝4，点D为边AB中点，点E为边BC中点，将△BDE绕点B逆时针方向旋转α度（0≤α≤180）．（1）如图②，当0＜α＜180时，连接AD、CE．求证：△BDA∽△BEC；（2）如图③，直线CE、AD交于点G．在旋转过程中，∠AGC的大小是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出这个角的度数；（3）将△BDE从图①位置绕点B逆时针方向旋转180°，求点G的运动路程．【答案】解：（1）如图②中，由图①，∵点D为边AB中点，点E为边BC中点，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△DBA∽△EBC．（2）∠AGC的大小不发生变化，∠AGC＝30°．理由：如图③中，设AB交CG于点O．∵△DBA∽△EBC，∴∠DAB＝∠ECB，∵∠DAB+∠AOG+∠G＝180°，∠ECB+∠COB+∠ABC＝180°，∠AOG＝∠COB，∴∠G＝∠ABC＝30°．（3）如图③﹣1中．设AB的中点为K，连接DK，以AC为边向右作等边△ACO，连接OG，OB．以O为圆心，OA为半径作⊙O，∵∠AGC＝30°，∠AOC＝60°，∴∠AGC∠AOC，∴点G在⊙O上运动，以B为圆心，BD为半径作⊙B，当直线与⊙B相切时，BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∵BK＝AK，∴DK＝BK＝AK，∵BD＝BK，∴BD＝DK＝BK，∴△BDK是等边三角形，∴∠DBK＝60°，∴∠DAB＝30°，∴∠DOG＝2∠DAB＝60°，∴的长，观察图象可知，点G的运动路程是的长的两倍．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，弧长公式，等边三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会正确寻找点的运动轨迹，属于中考压轴题．9．（2019•南京）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求作菱形DEFG，使点D在边AC 上，点E、F在边AB上，点G在边BC上．小明的作法1．如图②，在边AC上取一点D，过点D作DG∥AB交BC于点G．2．以点D为圆心，DG长为半径画弧，交AB于点E．3．在EB上截取EF＝ED，连接FG，则四边形DEFG为所求作的菱形．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形．（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．【答案】（1）证明：∵DE＝DG，EF＝DE，∴DG＝EF，∵DG∥EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵DG＝DE，∴四边形DEFG是菱形．（2）如图1中，当四边形DEFG是正方形时，设正方形的边长为x．在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，则CD x，AD x，∵AD+CD＝AC，∴x＝3，∴x，∴CD x，观察图象可知：0≤CD时，菱形的个数为0．如图2中，当四边形DAEG是菱形时，设菱形的边长为m．∵DG∥AB，∴，∴，解得m，∴CD＝3，如图3中，当四边形DEBG是菱形时，设菱形的边长为n．∵DG∥AB，∴，∴，∴n，∴CG＝4，∴CD，观察图象可知：当0≤CD或CD≤3时，菱形的个数为0，当CD或CD时，菱形的个数为1，当CD时，菱形的个数为2．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，作图﹣复杂作图等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考常考题型，题目有一定难度．10．（2019•宿迁）宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，∠BCD＝64°，BC＝60cm，坐垫E与点B的距离BE为15cm．（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为80cm，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E'，求EE′的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05）【答案】解：（1）如图1，过点E作EM⊥CD于点M，由题意知∠BCM＝64°、EC＝BC+BE＝60+15＝75cm，∴EM＝EC sin∠BCM＝75sin64°≈67.5（cm），则单车车座E到地面的高度为67.5+32≈99.5（cm）；（2）如图2所示，过点E′作E′H⊥CD于点H，由题意知E′H＝80×0.8＝64，则E′C71，1，∴EE′＝CE﹣CE′＝75﹣71.1＝3.9（cm）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．11．（2019•泰州）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB 的高度为10m，从顶棚的D处看E处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C、D两点间的距离为4m，E 处到观众区底端A处的水平距离AF为3m．求：（1）观众区的水平宽度AB；（2）顶棚的E处离地面的高度EF．（sin18°30′≈0.32，tan l8°30′≈0.33，结果精确到0.1m）【答案】解：（1）∵观众区AC的坡度i为1：2，顶端C离水平地面AB的高度为10m，∴AB＝2BC＝20（m），答：观众区的水平宽度AB为20m；（2）作CM⊥EF于M，DN⊥EF于N，则四边形MFBC、MCDN为矩形，∴MF＝BC＝10，MN＝CD＝4，DN＝MC＝BF＝23，在Rt△END中，tan∠EDN，则EN＝DN•tan∠EDN≈7.59，∴EF＝EN+MN+MF＝7.59+4+10≈21.6（m），答：顶棚的E处离地面的高度EF约为21.6m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．（2019•连云港）如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°，cos37°＝sin53°，tan37°，tan76°≈4）【答案】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B，∴AC＝AB•sin37°＝2515（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝1512，AM＝AC•cos∠CAM＝159．在Rt△AMD中，tan∠DAM，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．13．（2019•南京）如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）【答案】解：延长AB交CD于H，则AH⊥CD，在Rt△AHD中，∠D＝45°，∴AH＝DH，在Rt△AHC中，tan∠ACH，∴AH＝CH•tan∠ACH≈0.51CH，在Rt△BHC中，tan∠BCH，∴BH＝CH•tan∠BCH≈0.4CH，由题意得，0.51CH﹣0.4CH＝33，解得，CH＝300，∴EH＝CH﹣CE＝220，BH＝120，∴AH＝AB+BH＝153，∴DH＝AH＝153，∴HF＝DH﹣DF＝103，∴EF＝EH+FH＝323，答：隧道EF的长度为323m．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．。