空间向量和立体几何练习题及答案
高考数学一轮复习《空间向量与立体几何》练习题(含答案)
高考数学一轮复习《空间向量与立体几何》练习题（含答案）一、单选题1．已知空间向量()3,4,5AB =-，则AB =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．522．设直线1l 、2l 的方向向量分别为a ，b ，能得到12l l ⊥的是（ ） A ．(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =- B ．(2,2,1)a =-，(3,2,10)b =- C ．(1,0,0)a =，(3,0,0)b =-D ．(2,3,5)a =-，(2,3,5)b =3．已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（ ） A ．16B ．23C ．2121D ．421214．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，M ，N 分别为棱BC ，PD 上的点，12CM BM =，N 是PD 的中点，向量MN AB x AD y AP =-++，则（ ）A ．13x =，12y =-B ．16x =-，12y =C ．13x，12y =D ．16x =，12y =-5．有以下命题：①一个平面的单位法向量是唯一的②一条直线的方向向量和一个平面的法向量平行，则这条直线和这个平面平行 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交④若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直 其中真命题的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（ ） A ．48585B ．48585-C ．0D ．17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别是棱1111,C D A D 上的动点．给出下面四个命题①直线EF 与直线AC 平行；②若直线AF 与直线CE 共面，则直线AF 与直线CE 相交； ③直线EF 到平面ABCD 的距离为定值； ④直线AF 与直线CE 所成角的最大值是3π．其中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．在以下命题中：①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若222OP OA OB OC =--，则P ，A ，B ，C 四点共面④若a ，b 是两个不共线的向量，且(,,,0)c a b R λμλμλμ=+∈≠，则{},,a b c 构成空间的一个基底⑤若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； 其中真命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知向量(4,2,4),(6,3,2)a b =--=-，则下列结论正确的是（ ） A ．(10,5,2)a b +=- B ．(2,1,6)a b -=-C ．(24,6,8)a b ⋅=-D ．||6a =10．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N 分别为1BB ，CD 的中点．有下列结论：①三棱锥11A MND -在平面11D DCC 上的正投影图为等腰三角形； ②直线//MN 平面11A DC ；③在棱BC 上存在一点E ，使得平面1AEB ⊥平面MNB ；④若F 为棱AB 的中点，且三棱锥M NFB -的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为6π． 其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是( )A 235B 665C 13D 312．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，90BAD ∠=︒，112PA AB BC AD ====，//BC AD ，已知Q 是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为30，则ADQ △面积的取值范围是（ ）A ．2150,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦B ．250,5⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．2100,15⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．3100,5⎛⎤ ⎥ ⎝⎦二、填空题13．已知a =(3，2，－1)，b = (2，1，2)，则()()2a b a b -⋅+=___________． 14．若空间中有三点()()()1,0,1,0,1,1,1,2,0A B C - ，则点()1,2,3P 到平面ABC 的距离为______.15．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，3AB =，点N 为侧面11BCC B 上一动点（不含边界），且满足1D N CN ⊥.记直线1D N 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的取值范围为_________.16．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111AC B D F =，若1AF xAB yAD zAA =++，则x y z ++=___________.三、解答题17．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，3BC =3AC =，E 是AB 的中点，D 在AC 上，DE AB ⊥.沿着DE 将ADE 折起，得到几何体A BCDE -，如图2(1)证明：平面ABE ⊥平面BCDE ；(2)若二面角A DE B --的大小为60︒，求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.18．已知正方体1111ABCD A B C D -中，棱长为2a ，M 是棱1DD 的中点.求证：1DB ∥平面11A MC .19．四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，90PDA BAD ∠=∠=︒，12PD DA AB CD ===，S 为PC中点，BS CD ⊥．（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）平面SAD 交PB 于Q ，求CQ 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图，在多面体ABCDEF 中，AD ⊥平面ABF ，AD ∥BC ∥4EF AD =，，3,2BC AB BF EF ====，120ABF ︒∠=．（1）证明：AC DE ⊥；（2）求直线AE 与平面CDE 所成角的大小．21．如图（1）,在直角梯形ABCD 中,AB CD ∥,AB BC ⊥,22CD AB BC ==,过A 点作AE CD ⊥,垂足为E ,现将ADE ∆沿AE 折叠,使得DE EC ⊥,如图（2）.（1）求证:平面DAB ⊥平面DAE ; （2）求二面角D AB E --的大小.22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，24CD AB ==，2AD =，PAB 为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点.(1)求证：//AE 平面PBC ； (2)求二面角A EB C --的余弦值.23．如图所示，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直且2DE =，//ED AF 且90DAF ∠=︒．(1)求BD 和面BEF 所成的角的正弦； (2)求点C 到直线BD 的距离；(3)线段EF 上是否存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，若存在，求EP 与PF 的比值：若不存在，说明理由．24．如图，在三棱锥A BCD -中，ABD △是等边三角形，2AC =，2BC CD ==，BC CD ⊥，E 为空间内一点，且CDE 为以CD 为斜边的等腰直角三角形．（1）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）若2BE =，试求平面ABD 与平面ECD 所成锐二面角的余弦值参考答案1．D2．B3．B4．B5．A6．B7．B8．D9．D10．D11．B12．A 13．21415．13,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭16．2 17．（1）证明：因为在图1中DE AB ⊥，沿着DE 将ADE 折起， 所以在图2中有DE AE ⊥，DE BE ⊥， 又AEBE E =，所以DE ⊥平面ABE ， 又因为DE ⊂平面BCDE ， 所以平面ABE ⊥平面BCDE ； （2）解：由（1）知，DE AE ⊥，DE BE ⊥， 所以AEB ∠是二面角A DE B --的平面角， 所以60AEB ∠=︒， 又因为AE BE =， 所以ABE 是等边三角形， 连接CE ，在图1中，因为90C ∠=︒，BC =，3AC = 所以60EBC ∠=︒，AB =因为E 是AB 的中点，所以BE BC == 所以BCE 是等边三角形. 取BE 的中点O ，连接AO ，CO ， 则AO BE ⊥，CO BE ⊥，因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE ⋂平面BCDE BE =，所以AO ⊥平面BCDE ， 所以OB ，OC ，OA 两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，OA 为x ，y ，z 轴建系，如图所示.30,0,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 所以3322AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，330,,22AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，332AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即330,2330.22z y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩取1z =，得平面ABC 的一个法向量为()3,1,1n =，所以33311125cos ,52n AD AD n n AD ⎛⎛⎫⨯+-⨯ ⎪⋅⎝⎭===⨯设直线AD 与平面ABC 所成角为θ，则5sin θ=. 18．以点D 为原点，分别以DA ､DC 与1DD 的方向为x ､y 与z 轴的正方向，建立空间直角坐标系.则()0,0,0D ､()2,0,0A a ､()0,2,0C a ､()2,2,0B a a ､()10,0,2D a ､()12,0,2A a a ､()10,2,2C a a ､()12,2,2B a a a ，M 是棱1DD 的中点得()0,0,M a ，()12,2,2DB a a a =.设面11A MC的一个法向量为(),,n x y z =，()12,0,MA a a =，()10,2,MC a a =，则1120,0,20,0,ax az n MA ay az n MC ⎧+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎩⎩令1y =，则()1,1,2n =-.又110DB n DB n ⋅=⇒⊥，因为1DB ⊄平面11A MC ，所以1DB ∥平面11A MC .19．（1）取CD 中点为M ，则DM AB =且//DM AB ， 所以四边形ABMD 为平行四边形，可得//BM AD ， 所以BM CD ⊥，又由BS CD ⊥，BM BS B ⋂=，所以CD ⊥平面BSM ，又因为SM ⊂平面BSM ，所以CD SM ⊥, 又由//SM PD ，所以CD PD ⊥，AD PD ⊥，CDAD D =，所以PD ⊥平面ABCD ．（2）延长CB ，DA 交于N ，连SN 与PB 交点即为Q ，因为B 为CN 中点，S 为PC 中点，故Q 为PNC △的重心，故2PQ QB =，以D 为原点，,,DA DC DP 方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，不妨设1AB =，则()1,1,0B ，()0,0.1P ，设(),,Q x y z 且2PQ QB =，可得()()()212112x x y y z z ⎧=-⎪=-⎨⎪-=-⎩，所以221,,333x y z ===，可得241,,333CQ ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为AD PD ⊥，AD CD ⊥且PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ． 平面PCD 的法向量为()1,0,0DA =，可得2cos ,211CQ DA CQ DA CQ DA⋅===⋅⋅．即CQ 与平面PCD20．（1）因为AD∥BC∥EF，AD⊥平面ABF，所以BC⊥平面ABF，EF⊥平面ABF，所以四边形ABCD与四边形BCEF都是直角梯形，以B为坐标原点,BA BC所在直线分别为x轴、y轴，过点B且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(2,0,0),(1,0,3),(1,2,3),(0,3,0),(2,4,0)A F E C D--，所以(2,3,0),(3,2,3)AC DE=-=--，所以6600AC DE⋅=-+=，所以AC DE⊥.（2）由（1）知，(3)AE=-，(2,1,0)CD=，(3,23)DE=--，，设平面CDE的法向量为(,,)n x y z=，则CD nDE n⎧⋅=⎨⋅=⎩，即203230x yx y z+=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取=1x -，则32,3y z ==，所以31,2,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面CDE 的一个法向量， 设直线AE 与平面CDE 所成的角为0,2πθθ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 则|||341|3sin |cos ,|2||||4343AE n AE n AE n θ⋅++=〈〉===⋅⨯，所以3πθ=， 所以直线AE 与平面CDE 所成角的大小为3π. 21．证明：（1） AE CD ⊥,AB CD ∥,∴ AE AB ⊥DE EC ⊥,AB EC ∥, ∴DE AB ⊥又AE DE E =,故:AB ⊥平面DAE ,AB ⊂平面DAB ,故:平面DAB ⊥平面DAE .（2）以E 为原点,EA 为x 轴,EC 为y 轴,ED 为z 轴,建立空间直角坐标系,如图:设2DE EC ED ===,∴ ()2,0,0A ,()0,0,2D ,()0,0,0E ,()2,2,0B ,可得:()2,0,2AD =-,()0,2,0AB =,设平面DAB 的法向量(),,n x y z =,则22020n AD x z n AB y ⎧⋅=-+=⎨⋅==⎩,取1x =,得()1,0,1n =, 平面ABE 的法向量()0,0,1m =,设二面角D AB E --的大小为θ,则12cos 22m n m n θ⋅===⋅, ∴ 45θ=︒,∴二面角D AB E --的大小为45︒.22．（1）如图，取PC 的中点F ，连接EF ，BF ，∵PE DE =，PF CF =，∴//EF CD ，2CD EF =，∵//AB CD ，2CD AB =，∴//AB EF ，且EF AB =.∴四边形ABFE 为平行四边形，∴//AE BF .∵BF ⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，故//AE 平面PBC .（2）取AB 中点O ，CD 中点M ，以O 为原点，OM 为x 轴，AB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系：则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()1,2,0C ，()0,0,1P ，()1,2,0D -，11,1,22E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11,2,22BE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,2,0AB =，()1,1,0BC =， 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，平面CBE 的一个法向量为()222,,n x y z =， 则111120112022m AB y m BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11x =，则()1,0,1m =-， 222220112022n BC x y n BE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，21x =，则()1,1,5n =--， 设m 与n 的夹角为θ，则66cos 3233m n m n θ⋅===⋅，由二面角A EB C --为钝角，则余弦值为63-.23．（1）解：（1）因为AC 、AD 、AB 两两垂直，建立如图坐标系，则()2,0,0B ，()0,0,2D ，()1,1,2E ，()2,2,0F ，()0,2,0C ，则(2,0,2),(1,1,2),(0,2,0)DB BE BF =-=-=设平面BEF 的法向量(,,)n x y z =，则200n BE x y z n BF y ⎧⋅=-++=⎨⋅==⎩令1z =，则2x =，0y =，所以(2,0,1)n =， ∴向量DB 和()2,0,1n =所成角的余弦为2222220210212(2)DB nDB n ⋅+-=⋅++-．即BD 和面BEF 10 （2）解：因为()2,0,2DB =-，()2,2,0BC =-，所以()()2202024DB BC ⋅=⨯-+⨯+⨯-=-，22DB =，22BC =C 到直线BD 的距离()2222422622DB BC d BC DB ⎛⎫⋅-⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）解：假设线段EF 上存在点P 使过P 、A 、C 三点的平面和直线DB 垂直，不妨设EP 与PF 的比值为m ，即EP mPF =，设(),,P x y z ，即()()1,1,22,2,x y z m x y z ---=---，所以()()12122x m x y m y z mz ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得12112121m x m m y m z m +⎧=⎪+⎪+⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩集P 点坐标为12122(,,)111m m m m m +++++， 则向量12122(,,)111m m AP m m m++=+++，向量1212(,,)111m CP m m m +=-+++， 因为()2,0,2DB =-所以()()12122202011112122020111m m m m m m m m m ++⎧⨯+⨯+-⨯=⎪⎪+++⎨+-⎪⨯+⨯+-⨯=⎪+++⎩，解得12m =． 所以存在p ，求EP 与PF 的比值1224．解：（1）取BD 的中点O ，连接OC ，OA ，因为ABD △是等边三角形，2BD =，所以AO BD ⊥，且3AO =，又因为2BC CD ==，所以OC BD ⊥112CO BD ==，又2AC = 222AO OC AC AO OC ∴+=∴⊥又AO BD ⊥，因为CO BD O ⋂=，二面角A BD C --的平面角AOC ∠是直角，∴平面ABD ⊥平面BCD ；（2）由（1）以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴建立空间直角坐标系， 不妨令E 在平面BCD 上方取CD 的中点F ，连接OF ，EF ，则,OF CD EF CD ⊥⊥．OF EF F ⋂=，,OF EF ⊂平面EOF ，∴CD ⊥平面EOF ，CD ⊂平面OCD ，∴平面EOF ⊥平面OCD ，OF =，EF =， 设EFO πθ∠=-，则(0,0,0)O ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D，A ，(0,1,0)B -11111113cos ,cos ,cos ,cos 22222222E BE θθθθθθ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13322,cos ,sin ,244BE E θθ⎛==∴=∴=∴ ⎝⎭所以(1,1,0)CD =-，13,44CE ⎛=- ⎝⎭，设平面ECD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00CD n CE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，013044x y x y z -+=⎧⎪∴⎨-+=⎪⎩， 令1x =，则1,1,n ⎛=- ⎝⎭因为平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)OC =，所以1|cos ,|4OC n〈〉==，即平面ABD 与平面ECD。
空间向量与立体几何练习题(带答案)
空间向量与立体几何练习题（带答案）一、选择题1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量【解析】若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．【答案】D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，CD→的相反向量是()A.BA→B．A1C1→C.A1B1→D．AA1→【解析】由相反向量的定义可知，A1B1→是CD→的相反向量．【答案】C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，AC→〉相等的是() A．〈AB→，BC→〉B．〈BC→，CA→〉C．〈C1B1→，AC→〉D．〈BC→，B1A1→〉【解析】∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，BC→〉＝〈AB→，AC→〉＝〈BC→，B1A1→〉＝60°，故选D．【答案】D4．在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB，CD的中点，设〈EF→，AC→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等于()A.π6B．π4C.π3D．π2【解析】如图，取BC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AC，FG∥BD，故∠FEG＝α，∠EFG＝β.∵A－BCD是正三棱锥，∴AC⊥BD．∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2.∴α＋β＝∠FEG＋∠EFG＝π2.【答案】D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()图2－1－9A．8个B．7个C．6个D．5个【解析】与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，B1A1→，C1D1→，D1C1→，CD→，DC→，共8个，故选A.【答案】A二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则向量CE→和BD→的夹角为________．【解析】∵BD→为平面ACC1A1的法向量，而CE在平面ACC1A1中，∴BD→⊥CE→.∴〈BD→，CE→〉＝90°.【答案】90°7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4.②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④8．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a ＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】8三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量．【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与AD→的夹角．【解】∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC又∵BD∩SO＝O∴AC⊥平面SBD．∴AC→为平面SBD的一个法向量．∴〈AC→，AD→〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．【解】(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊12BC，又BC綊AD，∴EF綊12AD，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴FM→就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴DE→是平面PBC的一个法向量，由(1)可知FM→＝ED→，∴FM→就是平面PBC的一个法向量.。
空间向量和立体几何练习题与答案
空间向量和立体几何练习题与答案
1.若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形就是( )
A.一个圆
B.一个点
C.半圆
D.平行四边形
答案:A
2.在长方体 ABCD-A₁B ₁C ₁D ₁中,下列关于AC₁的表达中错误的 一个就是( )
A. AA₁+A ₁B ₁+A ₁D ₁
B. AB+DD₁
+D ₁C ₁
C. AD+CC₁+D ₁C ₁
D.12(AB 1+CD 1)+A 1C 1
答案:B
3.若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，下列等式不一定成立的就是( )
A.(a+b)+c=a+(b+c)
B.(a+b)•c=a•c+b•c
C. m(a+b)=ma+mb
D.(a·b)·c=a·(b·c)
答案:D
4.若三点A, B, C 共线,P 为空间任意一点,且PA+αPB=βPC,则α-β的值为( )
A.1
B.-1
C.12
D.-2
答案:B
5.设a=(x,4,3), b=(3,2, z),且a ∥b,则xz 等于( )
A.-4
B.9
C.-9
D.649
答案:B
6.已知非零向量 e ，e₂不共线，如果AB=e₁+e ₂ A C=2e ₂ 8e ₂AD=3e ₁3 ,则四点 A. B C (
) A.一定共圆
B.恰就是空间四边形的四个顶点心
C.一定共面
D.肯定不共面
答案:C。
空间向量与立体几何测试题及答案
高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题一、选择题1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++ Ｂ．111AB DD D C ++Ｃ．111AD CC D C ++Ｄ．11111()2AB CD AC ++答案：Ｂ3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=，则αβ-的值为（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ．12Ｄ．2-答案：Ｂ5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ．649答案：Ｂ6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-，，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ7．如图1，空间四边形ABCD 的四条边及对 角线长都是a ，点E F G ，，分别是AB AD CD ，， 的中点，则2a 等于（ ）Ａ．2BA AC · Ｂ．2AD BD ·Ｃ．2FG CA ·Ｄ．2EF CB·答案：Ｂ8．若123123123=++=-+=+-，，a e e e b e e e c e e e ，12323d e e e =++，且x y z =++d a b c ，则，，x y z 的值分别为（ ）Ａ．51122--，， Ｂ．51122-，， Ｃ．51122--，， Ｄ．51122，，答案：ＡＡ．2 Ｂ．2- Ｃ．2-或255Ｄ．2或255-答案：Ｃ 10．已知ABCD 为平行四边形，且(413)(251)(375)A B C --，，，，，，，，，则顶点D 的坐标为（ ） Ａ．7412⎛⎫- ⎪⎝⎭，， Ｂ．(241)，， Ｃ．(2141)-，， Ｄ．(5133)-，，答案：Ｄ11．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC BD ，的交点，则1C O 与1A D 所成角的（ ）Ａ．60° Ｂ．90° Ｃ．3arccos3Ｄ．3arccos6答案：Ｄ12．给出下列命题： ①已知⊥a b ，则()()a b c c b a b c ++-=···；②，，，A B M N 为空间四点，若BA BM BN ，，不构成空间的一个基底，那么A B M N ，，，共面； ③已知⊥a b ，则，a b 与任何向量都不构成空间的一个基底；④若，a b 共线，则，a b 所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｃ二、填空题13．已知(315)(123)==-，，，，，a b ，向量c 与z 轴垂直，且满足94==-，··c a c b ，则c = ． 答案：2221055⎛⎫- ⎪⎝⎭，，14．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ= ．答案：21515．已知线段AB ⊥面α，BC α⊂，CD BC ⊥，DF ⊥面α于点F ，30DCF ∠=°，且D A ，在平面α的同侧，若2AB BC CD ===，则AD 的长为 ． 答案：2216．在长方体1111ABCD A B C D -中，1B C 和1C D 与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线1B C 和1C D 所成角的余弦值为 ． 答案：64三、解答题17．设123423223325=-+=+-=-+-=++，，，a i j k a i j k a i j k a i j k，试问是否存在实数λμν，，，使4123a a a a λμν=++成立？如果存在，求出λμν，，；如果不存在，请写出证明．答案：解：假设4123a a a a λμν=++成立． 1234(211)(132)(213)(325)a a a a =-=-=--=，，，，，，，，，，，∵， (22323)(325)λμνλμνλμν+--++--=，，，，∴． 22332235λμνλμνλμν+-=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩，，，∴解得213λμν=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，． 所以存在213v λμ=-==-，，使得412323a a a a =-+-． 理由即为解答过程．18．如图2，正三棱柱111-ABC A B C 的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求1AC 与侧面11ABB A 所成的角．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则113(000)(00)(002)222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，aA B a A a C a a ． 由于(100)=-，，n 是面11ABB A 的法向量，1111312cos 6023a AC AC AC a AC ===⇒=，，·°n n n n．故1AC 与侧面11ABB A 所成的角为30°．19．如图3，直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，90ACB ∠=°，侧棱12AA D E =，，分别是1CC 与1A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD △的重心G ，求点1A 到平面AED 的距离．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设2CA a =，则1221(200)(020)(001)(202)(1)333a a A a B a D A a E a a G ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．从而2(021)333a a GE BD a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ，，，，，．由0GE BD GE BD ⊥⇒=·，得1a =，则1(202)(200)(111)A A E ，，，，，，，，．自1A 作1A H ⊥面AED 于M ，并延长交xOy 面于H ，设(0)H x y ，，， 则1(22)A H x y =--，，． 又(201)AD =- ，，，(111)AE =- ，，． 由112(2)20(2)20A H AD x A H AE x y ⊥---=⎧⎧⇒⎨⎨⊥--+-=⎩⎩，，11x y =⎧⇒⎨=⎩，，得(110)H ，，．又1111cos A M A A A A A M = ，·111426cos 2326A A A A A H ==⨯=，·．20．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P Q ，分别是BC CD ，上的动点，且2PQ =，确定P Q ，的位置，使11QB PD ⊥．解：建立如图所示的空间直角坐标系，设BP t =， 得22(2)CQ t =--，222(2)DQ t =---．那么211(202)(022)(20)(22(2)20)B D P t Q t ---，，，，，，，，，，，， 从而21(2(2)22)QB t =--- ，，，1(222)PD t =-- ，，， 由11110QB PD QB PD ⊥⇒=·， 即222(2)2(2)401t t t -----+=⇒=． 故P Q ，分别为BC CD ，的中点时，11QB PD ⊥．21．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD -中，90ABC ∠=°，SA ⊥面ABCD ，112SA AB BC AD ====，，求面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则1(000)(100)(110)00(001)2A B C D S ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．延长CD 交x 轴于点F ，易得(100)F ，，， 作AE SF ⊥于点E ，连结DE ，则DEA ∠即为面SCD 与面SBA 所成二面角的平面角．又由于SA AF =且SA AF ⊥，得11022E ⎛⎫⎪⎝⎭，，，那么102EA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，12，111222ED ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，，，从而6cos 3EA ED EA ED EA ED ==，·， 因此2tan 2EAF ED =，． 故面SCD 与面SBA 所成二面角的正切值为22． 22．平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠，试问：当1CDCC 的值为多少时，1AC ⊥面1C BD ？请予以证明． 解：欲使1AC ⊥面1C BD ，只须11AC C D ⊥，且11AC C B ⊥． 欲证11AC C D ⊥，只须证110CA C D = ·， 即11()()0CA AA CD CC +-=·， 也就是11()()0CD CB CC CD CC ++-= ·，即22111cos cos 0CD CC CB CD BCD CB CC C CB -+∠-∠=．由于1C CB BCD ∠=∠，显然，当1CD CC =时，上式成立； 同理可得，当1CD CC =时，11AC C B ⊥． 因此，当11CDCC =时，1AC ⊥面1C BD ．一.选择题：(10小题共40分)1.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C一定共面的是 ( ) A.OC OB OA OM ++= B.OC OB OA OM --=2C.OC OB OA OM 3121++= D.OC OB OA OM 313131++=2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 ( )A.c b a -+B.c b a +-C.c b a ++-D.c b a -+-3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( )A.n m //B.n m ⊥C.n m n m 也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是 ( ) A.若OB OA OP3121+=,则P 、Ａ、Ｂ三点共线 B.设向量},,{c b a 是空间一个基底，则{a +b ，b +c ，c +a }构成空间的另一个基底 C.cb ac b a ⋅⋅=⋅)(D.△ABC 是直角三角形的充要条件是0=⋅AC AB 5.对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是( )A.b a =B.b a -=C.a b λ=D.b a λ= 6.已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90°D.180°7.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M为AC与BD的交点，若c A A b D A a B A ===11111,,，则下列向量中与M B 1相等的是 ( ) A.c b a 212121++-B.c b a 212121++C.c b a +-2121D.-c b a +-2121 8.已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+=( )A.21,51 B.5，2C.21,51--D.-5，-29.已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= ( )A.-15B.-5C.-3D.-110.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是( )A.52-B.52 C.53 D.1010 二.填空题: (4小题共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12.已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14.已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 .三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， (1)求证：MN ⊥平面PCD ；(2)求NM 与平面ABCD 所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S —ABCD 中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，如图. (1)求二面角B —SC —D 的大小；(2)求DP 与SC 所成的角的大小.18.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点； (1)求;的长BN(2)求;,cos 11的值><CB BA (3).:11M C B A ⊥求证(4)求CB 1与平面A 1ABB 1所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1，1，1) 13.60014.3 15.(1)略 (2)45016.45017.(1) 13-(2) π 18.(1)3 (2)3010 (3) 略 (4)3101018.如图，建立空间直角坐标系O —xyz.（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA . 图（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121 +0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M. 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.。
空间向量与立体几何试题与答案
空间向量与立体几何测试题1．已知向量),2,3(),1,,(z b y x a ==，且b a //，则yz xz +的值是（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）32．已知向量)2,0,1(),1,1,0(=-=b a ，若向量b a k +与向量-互相垂直，则k 的值是（ ） （A ）23 （B ）2 （C ）45 （D ）47 3．下面命题正确的个数是（ ） ①若23p x y =+，则p 与x 、y 共面；②若23MP MA MB =+，则M 、P 、A 、B 共面；③若0OA OB OC OD +++=，则A 、B 、C 、D 共面；④若151263OP OA OB OC =+-，则P 、A 、B 、C 共面； （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）44．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）（A ）448(,,)333 （B ）123(,,)234（C ） 131(,,)243 （D ）447(,,)333 5．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把ABD ∆和ACD ∆折成互相垂直①0≠⋅AC BD ；②60=∠BAC ；③三棱锥ABC D -是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直. 其中正确的是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）①④CC6．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于（ ） （A ）627 （B ）637 （C ）647 （D ）6577．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，E 是11B A 的中点，则E 到平面11D ABC 的距离（ ） （A ）23 （B ）33 （C ）21 （D ）22 8. 如图，正方体1111ABCD A BC D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变； ②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的编号是（ ）（A ）①③④ （B ）③④ （C ）①③ （D ）①②③9. 已知空间三点)1,1,0(),0,1,1(),0,0,0(B A O -, 在直线OA 上有一点H满足OA BH ⊥，则点H 的坐标为 ．10. 如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中 点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________。
空间向量立体几何含答案
立体几何一、选择题(每小题6分，共48分)1．已知点A (－4,8,6)，则点A 关于y 轴对称的点的坐标为( )．A ．(－4，－8,6)B ．(－4，－8，－6)C ．(－6，－8,4)D ．(4,8，－6) 2．若a ＝(0,1，－1)，b ＝(1,1,0)，且(a ＋λb )⊥a ，则实数λ的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－23．若向量a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，a ，b 夹角的余弦值为89，则λ等于( )， A ．2 B ．－2 C ．－2或255 D ．2或255-4．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为( )．A B ．2C ．4D ．85．如图，在四面体ABCD 中，已知AB ＝b ，AD ＝a ，AC ＝c ，12BE EC =，则DE 等于( )．A ．2133-++a b cB ．2133++a b cC ．2133-+a b cD ．2133-+a b c6．在三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ⊥平面ABC ，且P A ＝AB ，则二面角A －PB－C 的平面角的正切值为( )．A B C D 7．已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动(O 为原点)，则当QA QB ⋅取最小值时，点Q 的坐标为( )．A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭8．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，则点F 到平面A 1D 1E 的距离为( )．A ．310a B C D ．710a 二、填空题(每小题6分，共18分)9．若向量a ＝(4,2，－4)，b ＝(1，－3,2)，则2a ·(a ＋2b )＝________． 10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，EF ∥BC 且AE ＝2EB ，G 为BC 的中点，K 为△AFD 的外心，沿EF 将矩形折成120°的二面角A －EF －B ，此时KG 的长为__________． 11．已知直线AB ，CD 是异面直线，AC ⊥AB ，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，且AB ＝2，CD ＝1，则异面直线AB 与CD 所成角的大小为________．三、解答题(共3小题，共34分)12．(10分)已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．(1)求|2a＋b|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得OE⊥b？(O为原点)13．(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为BAD＝120°，且P A⊥平面ABCD，P A＝M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明：MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．14．(14分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1．D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1．(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；周三小测（立体几何）参考答案1答案：D2答案：D 解析：a ＋λb ＝(λ，1＋λ，－1)． 由(a ＋λb )⊥a ，知(a ＋λb )·a ＝0， 所以1＋λ＋1＝0，解得λ＝－2． 3答案：C 解析：由公式cos 〈a ，b 〉＝|||⋅a b a b ，知89==解方程得λ＝－2或255． 4答案：A 解析：|a |＝3，|b |＝3，而a·b ＝4＝|a||b|cos ,a b ，∴cos ,a b ＝49，故sin ,a b=于是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 S ＝|a||b|sin ,a b＝33⨯= 5答案：A 解析：DE ＝DA ＋AB ＋BE ＝DA ＋AB ＋13(AC －AB )＝2133-++a b c ． 6答案：A 解析：设P A ＝AB ＝2，建立空间直角坐标系，平面P AB 的一个法向量是m ＝(1,0, 0)，平面PBC 的一个法向量是n＝3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 则cos 〈m ，n〉＝·3||||||||3===m nm n m n ． ∴正切值tan 〈m ，n7答案：D 解析：由题意可知OQ ＝λOP ，故可设Q (λ，λ，2λ)，∴QA ·QB ＝6λ2－16λ＋10＝242633λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴43λ=时，QA ·QB 取最小值，此时Q 的坐标为448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭． 8答案：C 解析：建立如图所示的坐标系，则A 1(a,0，a )，D 1(0,0，a )，A (a,0,0)，B (a ，a,0)，B 1(a ，a ，a )，E ,,2a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，F 0,,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设平面A 1D 1E 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则11·0A D =n ，11·0A E =n ，即(x ，y ，z )·(－a,0,0)＝0，(x ，y ，z )·0,,2a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝0， ∴－ax ＝0，02aay z -=． ∴x ＝0，2z y =． ∴n ＝0,,2z z ⎛⎫ ⎪⎝⎭．∴10,||||FD d ⎛ ⋅⎝==n n ．9答案：32 解析：2a·(a ＋2b )＝2|a|2＋4a·b ＝2×36＋4×(－10)＝32． 10答案：3 解析：如图，过K 作KM ⊥EF ，M 为垂足， 则向量MK 与FC 的夹角为120°.KG ＝KM ＋MF ＋FC ＋CG ，2KG ＝2KM ＋2MF ＋2FC ＋2CG ＋2KM ·MF ＋2FC ·CG ＋2KM ·FC ＋2KM ·CG . ∴2KG ＝1＋14＋1＋14＋0＋0＋2×1×1×cos 60°＋0＋0＋2×12×12×cos 180°＝2＋12＋1－12＝3．∴3KG =．答案：60° 解析：设AB 与CD 所成的角为θ， 则cos θ＝cos ,AB CD ＝AB CD AB CD⋅．由于AB ·CD ＝(AC ＋CD ＋DB )·CD ＝AC ·CD ＋2CD ＋DB ·CD ＝0＋12＋0＝1， ∴cos θ＝11212ABCD AB CD⋅==⨯． 由于0°＜θ≤90°，∴θ＝60°，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为60°．12答案：解：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|答案：解：OE ＝OA ＋AE ＝OA ＋t AB ＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE ⊥b ，则OE ·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得95t =，因此存在点E ，使得OE ⊥b ，此时E 点坐标为6142,,555⎛⎫--⎪⎝⎭． 13答案：证明：连结BD ，因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MN 是△PBD 的中位线．所以MN ∥BD ． 又因为MN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以MN ∥平面ABCD ．答案：解法一：连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示． 在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB＝BD＝6．又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AC ．在直角△P AC中，AC =PA =AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4，由此知各点坐标如下：A(0,0)，B (0，－3,0)，C0,0)，D (0,3,0)，P(0,)，M 322⎛-- ⎝，N 322⎛- ⎝，Q 33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． 设m ＝(x ，y ，z )为平面AMN 的法向量． 由AM＝3,22⎛-⎝，AN＝322⎛- ⎝，知30,230.2x y x y -+=++= 取z ＝－1，得m ＝(0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由QM＝32⎛-⎝⎭， QN＝32⎛- ⎝⎭知30,230.623x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩ 取z ＝5，得n ＝(0,5)．于是cos 〈m ，n 〉＝·||||=m n m n ．所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为33．解法二：在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ． 又因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥AD ． 所以PB ＝PC ＝PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB ＝P A ＝故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE 在直角△P AC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝222526PB PC BC PB PC +-=⋅，得MQ =在等腰△MQN 中，MQ ＝NQ MN ＝3，得2QE ==.在△AEQ 中，2AE =，2QE =，AQ =得cos ∠AEQ ＝2222AE QE AQ AE QE +-=⋅.所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为33． 14答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．答案：解：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A 1xyz ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1，∴111C P C D xAC CD x==-． 由此可得D (0,1，x )，P 0,1,01x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，∴1A B ＝(1,0,1)，1A D ＝(0,1，x )，1B P ＝1,1,01x x ⎛⎫-+⎪-⎝⎭． 设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ， c )，则11110,0.A B a c A D b cx ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n 令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)． ∵PB 1∥平面BA 1D ， ∴n 1·1B P ＝1×(－1)＋x ·11x x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭＋(－1)×0＝0． 由此可得12x =，故CD ＝C 1D ． 答案：解：由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝11,,12⎛⎫- ⎪⎝⎭． 又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量，∴cos 〈n 1，n 2〉＝1212123||||312⋅==⨯n n n n ．故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23．(3)求点C 到平面B 1DP 的距离．答案：解：∵1PB ＝(1，－2,0)，PD ＝10,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， 设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)，则311113120,0.2PB a b c PD b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n 令c 1＝1，可得n 3＝11,,12⎛⎫⎪⎝⎭．又10,0,2DC ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴点C 到平面B 1DP 的距离33||1||3DC d ⋅==n n ．。
高二数学-空间向量与立体几何测试题及答案
高二数学空间向量与立体几何测试题第1卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 在下列命题中：CD若a、b共线则a、b所在的直线平行；＠若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；＠若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；＠已知三向量a、b、c,则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p=a+yb+zc,, y, z R.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若三点共线为空间任意一点且则的值为（）A. lB.C.D.3. 设，且，则等千（）A. B. 9 C. D4. 已知a=(2, —1, 3) , b= C—1, 4, —2) , c= (7, 5, 入），若a、b、c三向量共面，则实数入等千（）A. B. C.5.如图1,空间四边形的四条边及对角线长都是，点分别是的中点则等千（）D.A.C.．．BD6. 若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件7. 已知点0是LABC所在平面内一点满足• = • = • '则点0是LABC的（）A. 三个内角的角平分线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点C. 三条中线的交点8. 已知a+b+c=O,al =2, bl =3,A. 30°B. 45°D.三条高的交点l e = , 则向量a与b之间的夹角为（）C. 60°D. 以上都不对9. 已知， ＇ ，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为（）A.B.10. 给出下列命题：CD已知，则C. D.＠为空间四点若不构成空间的一个基底，那么共面；＠已知则与任何向量都不构成空间的一个基底；＠若共线则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（）C. 3A.1B.2D.4 第II卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.已知LABC的三个顶点为A(3, 3, 2) , B (4, —3, 7) , C (0, 5, 1) , 则BC边上的中线长为12. 已知三点不共线为平面外一点若由向量确定的点与共面，那么13. 已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m,n的夹角为14. 在空间四边形ABC D中，AC和B D为对角线G为L:.ABC的重心，E是B D上一点BE=3E D, 以｛， ， ｝为基底，则＝15. 在平行四边形ABCD中，AB=AC=l,乙ACD=90, 将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B,D两点间的距离为16. 如图二面角a-t -B的棱上有A,B两点直线AC,B D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直千AB,已知AB=4,AC=6, B D=8, C D= ,二面角Q—t—B的大小三、解答题（本大题共5小题，满分70分），17. C lo分）设试问是否存在实数，使成立？如果存在，求出；如果不存在，请写出证明．18. (12分）如图在四棱锥中，底面ABC D是正方形，侧棱底面ABC D,, 是PC的中点，作交PB千点F.(1)证明PAIi平面EDB:(2)证明PB上平面E F D:(3)求二面角的大小．、、、、、、、、.、19. (12分）如图在直三棱柱ABC—AlBlCl中，底面是等腰直角三角形，乙ACB=90°.侧棱AA1=2, D. E 分别是CCl与AlB的中点点E在平面ABO上的射影是DAB D的重心G.(1)求AlB与平面ABO所成角的大小．(2)求Al到平面ABO的距离1) 20. 12分）如图在三棱柱ABC-AlBlCl中，AB上AC,顶点Al在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.2)求棱AA1与BC所成角的大小；在棱BlCl上确定一点P,使AP=, 并求出二面角P—AB—Al的平面角的余弦值A1C1B21. (12分）如图直三棱柱ABC-AlBlCl中AB上AC,D.E分别为AAl.B lC的中点DEl_平面BCCl.C I)证明：A B=ACC II)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小c,22. (12分）P是平面ABC D外的点四边形ABC D是平行四边形，AP= (-1, 2, -1)(1)求证：PA 平面ABC D.(2)对千向量，定义一种运算：，试计算的绝对值；说明其与几何体P—ABC D的体积关系，并由此猜想向量这种运算的绝对值的几何意义（几何体P-ABC D叫四棱锥，锥体体积公式：V= ) .一、选 1 2 择题（本大题土2上、10小题，每3 4空间向量与立体几何(2)参考答案5 6 7 8 9 10小题5/刀\.让,/、50分）题号答案D D D A B C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11. (0, ,) 12. 0 13. 1, —3 14. 90° l厮—15。
空间向量与立体几何(含答案)
空间向量与立体几何例1（08年）四棱锥A BCDE-中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，2BC=，CD=AB AC=．（Ⅰ）证明：AD CE⊥；（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45，求二面角C AD E--的余弦值．例2 （2010年）（19）如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：SE=2EB；（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.CE AB例3 （2011年）如图，四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形．AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)证明：SD⊥平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值．例4（2012年大纲）1如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A－PB－C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．例5 (2013大纲全国，理19)如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△P AB和△P AD都是等边三角形．(1)证明：PB⊥CD；(2)求二面角A－PD－C的余弦值．例6．[2014·北京卷] 如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P -ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG；(2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．例7．[2014·四川卷] 三棱锥A -BCD及其侧视图、俯视图如图所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A -NP -M的余弦值．例8 [2014·安徽卷] 如图，四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD＝2BC.过A1，C，D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q.(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA1＝4，CD＝2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．空间向量与立体几何 参考答案例1 解：（Ⅰ）作AO ⊥BC ，垂足为O 。
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1.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ＡBCD为正方形,平面ＰＡD⊥平面AＢＣＤ,点M在线段PB上,PＤ∥平面MAＣ,ＰA=PD=，ＡB=4．(１）求证:M为PＢ的中点；（２）求二面角B﹣ＰD﹣A的大小；（3）求直线MＣ与平面BDP所成角的正弦值．【分析】（1)设AC∩BD=O，则Ｏ为ＢD的中点,连接OM，利用线面平行的性质证明ＯＭ∥PD,再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；(2）取AＤ中点G,可得PG⊥AD,再由面面垂直的性质可得ＰＧ⊥平面AＢCD，则PG⊥AD，连接ＯG,则ＰＧ⊥OＧ，再证明ＯG⊥AＤ．以G为坐标原点,分别以ＧD、ＧO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PA Ｄ的一个法向量,由两法向量所成角的大小可得二面角Ｂ﹣PD﹣Ａ的大小；(3）求出的坐标，由与平面ＰBＤ的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BＤＰ所成角的正弦值．【解答】（1）证明:如图，设AＣ∩BD=O,∵AＢＣD为正方形，∴Ｏ为BD的中点,连接OM，∵PD∥平面MAC,ＰＤ⊂平面PBD，平面PBＤ∩平面ＡMC＝OM,∴PＤ∥ＯM,则,即Ｍ为ＰB的中点；(2)解：取AD中点Ｇ，∵PＡ=PD，∴PG⊥AD,∵平面PＡD⊥平面ABＣＤ,且平面PＡD∩平面ABCD=AＤ,∴PG⊥平面ＡＢCＤ,则PG⊥AＤ,连接OG,则PＧ⊥ＯＧ,由G是AD的中点,O是AC的中点,可得OG∥ＤＣ，则OG⊥AＤ.以G为坐标原点,分别以GD、GO、GＰ所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，由PＡ=PD=,AＢ＝4,得D（2,0,０），A（﹣2，0,0),P(0,0，)，Ｃ(２,４，0），Ｂ(﹣2,4，0)，M（﹣1,2,）,，．设平面PBD的一个法向量为,则由，得，取z＝，得.取平面PAＤ的一个法向量为.∴cｏs＜＞＝=．∴二面角B﹣PD﹣A的大小为６0°；(３)解:，平面BＤＰ的一个法向量为．∴直线MＣ与平面BDP所成角的正弦值为｜coｓ＜>|=||=||=．【点评】本题考查线面角与面面角的求法,训练了利用空间向量求空间角,属中档题.2．如图，在三棱锥P﹣ABC中,PＡ⊥底面ABＣ，∠BAＣ=90°.点D,Ｅ，N分别为棱PA，PＣ,BC的中点，M是线段AD的中点,PA=AC=4，AB＝2.(Ⅰ）求证:ＭN∥平面BDＥ；(Ⅱ）求二面角C﹣EＭ﹣N的正弦值；(Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线ＮＨ与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【分析】(Ⅰ）取AB中点F，连接ＭＦ、NF,由已知可证ＭF∥平面BDＥ,NＦ∥平面ＢＤE.得到平面MFN∥平面ＢDE,则MN∥平面ＢＤE；（Ⅱ)由PＡ⊥底面ＡBC,∠BAC=90°．可以A为原点，分别以ＡB、AC、AＰ所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MＥＮ与平面CMＥ的一个法向量,由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值,进一步求得正弦值；（Ⅲ)设AＨ＝t，则Ｈ（0,０，ｔ），求出的坐标，结合直线ＮH与直线B Ｅ所成角的余弦值为列式求得线段AＨ的长.【解答】（Ⅰ)证明:取AB中点F,连接ＭF、NＦ,∵M为AD中点,∴MF∥ＢＤ,∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面ＢＤE,∴MF∥平面BDＥ．∵N为ＢC中点，∴NF∥AC，又D、E分别为AＰ、PＣ的中点，∴ＤE∥ＡC，则NF∥DE.∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BＤE,∴NF∥平面ＢDE.又MF∩NF=F．∴平面MFN∥平面BＤE,则MＮ∥平面BDE；(Ⅱ)解:∵PＡ⊥底面ＡＢC,∠BAC=９0°.∴以A为原点,分别以ＡB、AC、ＡP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∵PA=AC=4，AB=2,∴Ａ(0，0，0),B(２，0，０）,C（0,４，0)，M（０,0，1)，Ｎ（1，2,0),Ｅ(０,2,２），则,,设平面MＥＮ的一个法向量为，由,得，取z=２，得.由图可得平面CME的一个法向量为.∴cｏs<>＝.∴二面角Ｃ﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为;(Ⅲ）解:设ＡH=t，则H(０,０,t）,，.∵直线ＮH与直线BＥ所成角的余弦值为，∴|cos＜＞|＝||=|｜=．解得：ｔ=或ｔ=.∴当H与P重合时直线NＨ与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为或.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,考查了利用空间向量求解空间角,考查计算能力,是中档题.３．如图,几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部)以AＢ边所在直线为旋转轴旋转１2０°得到的,G是的中点.（Ⅰ）设P是上的一点,且AＰ⊥BE,求∠CＢP的大小；（Ⅱ)当ＡＢ=3，ＡD=２时,求二面角Ｅ﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ)由已知利用线面垂直的判定可得BＥ⊥平面ABＰ，得到BＥ⊥BＰ,结合∠ＥBC=１２0°求得∠CＢP＝３0°;(Ⅱ)法一、取的中点H，连接EＨ，ＧＨ,CH,可得四边形ＢEGH为菱形，取AG 中点M，连接EＭ,CM，EC，得到ＥＭ⊥AＧ，ＣM⊥AG,说明∠ＥMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AＧ﹣C的大小．法二、以B为坐标原点,分别以BE,BP，BA所在直线为ｘ，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E,G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角Ｅ﹣AG﹣C的大小．【解答】解:（Ⅰ)∵AP⊥BE,AＢ⊥BE,且AB，AP⊂平面ＡBP，ＡB∩AP=A,∴BE⊥平面ABＰ,又BP⊂平面ＡBP,∴BE⊥BＰ，又∠EBC=１2０°，因此∠CＢＰ=３0°;（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH,GH，CH，∵∠EBＣ=１20°，∴四边形ＢＥCH为菱形，∴AE=GE＝AC=GC=．取AG中点M,连接EM,ＣＭ，EＣ,则EＭ⊥AG,CM⊥AG,∴∠EMＣ为所求二面角的平面角．又AM=1，∴ＥＭ=CM＝．在△BEC中，由于∠EＢC=120°,由余弦定理得：EC2=２２＋２2﹣2×2×2×cｏs120°＝12，∴，因此△ＥMC为等边三角形，故所求的角为60°.解法二、以B为坐标原点，分别以BE,BP，BA所在直线为x，y,z轴建立空间直角坐标系．由题意得:Ａ(0，0，３)，E(２，0,0)，G（１，,３),Ｃ（﹣１，，0），故,,．设为平面AEG的一个法向量，由，得,取z1=2,得；设为平面ACＧ的一个法向量,由，可得,取z2＝﹣2,得.∴ｃos<＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为６0°．【点评】本题考查空间角的求法,考查空间想象能力和思维能力,训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小,是中档题．4.如图,在以Ａ，B，C,D，E，F为顶点的五面体中，面ＡＢＥＦ为正方形,ＡF＝2ＦD，∠AＦD＝90°，且二面角D﹣AＦ﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是６0°.(Ⅰ）证明平面ＡBEF⊥平面EFDC；(Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（Ⅰ)证明AF⊥平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ＡBE Ｆ⊥平面ＥFDC;(Ⅱ)证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点,建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】(Ⅰ）证明:∵ＡBＥF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠ＡFD=90°，∴AF⊥DF，∵ＤＦ∩ＥF＝F，∴ＡF⊥平面EＦDＣ,∵AF⊂平面ＡBEＦ,∴平面ABEF⊥平面EFDＣ；（Ⅱ)解:由AF⊥DF,ＡＦ⊥EF,可得∠DFＥ为二面角D﹣AF﹣E的平面角;由ABEF为正方形，ＡＦ⊥平面ＥFDC,∵BE⊥ＥF，∴ＢE⊥平面EＦDC即有ＣE⊥ＢE，可得∠ＣEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFＥ=∠CEF=６0°.∵AB∥ＥF，AB⊄平面EFＤC，ＥＦ⊂平面EFDC，∴ＡB∥平面EＦDＣ,∵平面EFDＣ∩平面ABCＤ=ＣD,AＢ⊂平面ABＣD，∴ＡB∥CD,∴CＤ∥EF，∴四边形ＥＦDC为等腰梯形．以Ｅ为原点，建立如图所示的坐标系,设FＤ=a，则E（０，0，0）,B（0,2ａ，０),C(，0,a)，A(2a,2a，0)，∴=(0，2a，0),＝（，﹣２ａ,a）,＝（﹣2ａ,0,０）设平面BＥC的法向量为=(x，ｙ1，ｚ1）,则,１则,取=（,0，﹣1)．，y2,z2),则,设平面ABC的法向量为=（ｘ２则，取=（０,,4）.设二面角Ｅ﹣BC﹣A的大小为θ,则ｃosθ===﹣，则二面角E﹣BC﹣Ａ的余弦值为﹣.【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角,建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．5．如图，菱形AＢCD的对角线ＡC与ＢD交于点Ｏ，ＡB=5，ＡC=6，点E,F分别在AD,CD上,AE=CF=,EF交于ＢD于点H，将△ＤEF沿EF折到△Ｄ′ＥF的位置，OD′=.(Ⅰ）证明：D′Ｈ⊥平面ＡBCＤ；(Ⅱ）求二面角Ｂ﹣D′A﹣C的正弦值.【分析】（Ⅰ）由底面ABCＤ为菱形,可得AＤ=CD，结合AE＝CF可得EF∥AC,再由ＡBCD是菱形,得ＡC⊥ＢD，进一步得到ＥF⊥BD,由EF⊥ＤＨ,可得EＦ⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由线面垂直的判定得D′H⊥平面ＡBCD；(Ⅱ）以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,由已知求得所用点的坐标,得到的坐标，分别求出平面ABＤ′与平面ＡD′C的一个法向量，设二面角二面角Ｂ﹣D′A﹣C的平面角为θ,求出|ｃoｓθ|.则二面角B﹣D′A﹣Ｃ的正弦值可求．【解答】（Ⅰ）证明:∵ＡBCD是菱形，∴AD＝ＤC，又AＥ=CＦ=,∴,则EF∥AC,又由ABCD是菱形，得AC⊥ＢD，则EＦ⊥BD，∴EF⊥DH，则EF⊥D′H，∵AC=６,∴AO=3，又AB＝5，AO⊥OB，∴OB=4,∴OH==１，则DH=D′H=３,∴|ＯＤ′|2=｜OH|2+｜D′H|２,则D′H⊥OH,又OH∩ＥF=Ｈ，∴D′H⊥平面ABCD;(Ⅱ)解：以H为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=５,ＡＣ=6,∴B（５,0，0），Ｃ(1,3,0），Ｄ′(0,0,3），A(1,﹣3，0),，，设平面ＡBD′的一个法向量为,由,得,取x=3，得y＝﹣４,ｚ=5.∴.同理可求得平面ＡＤ′C的一个法向量,设二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角为θ，则|coｓθ｜=．∴二面角B﹣D′Ａ﹣C的正弦值为sｉnθ=.【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法,训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法,是中档题.6.在三棱柱AＢC﹣A1B1C1中，CA＝CB,侧面ABB1A1是边长为2的正方形,点E,F分别在线段AA１、A１B1上，且AE=,A1F=,CE⊥ＥF.(Ⅰ)证明：平面AＢB1A1⊥平面ＡＢC；(Ⅱ）若ＣＡ⊥CＢ，求直线AC1与平面ＣＥF所成角的正弦值.【分析】(I)取AB的中点D，连结ＣＤ，DF,DＥ．计算DＥ，EＦ，DF，利用勾股定理的逆定理得出DE⊥EＦ，由三线合一得ＣD⊥ＡB,故而CＤ⊥平面ABB1A1,从而平面AＢＢ1A1⊥平面ＡBC；(ＩI)以Ｃ为原点建立空间直角坐标系，求出和平面ＣＥＦ的法向量，则直线AC1与平面CＥF所成角的正弦值等于|coｓ<＞|.【解答】证明:（I)取ＡB的中点Ｄ，连结CD，ＤF，ＤE.∵ＡC=BＣ，Ｄ是ＡＢ的中点，∴CD⊥ＡB．∵侧面AＢＢ1A1是边长为２的正方形,AＥ=,A1F=．∴A1E=,EF==,DＥ==，DF==,∴EF2+DE2=DF２，∴ＤE⊥EＦ,又CE⊥EF，CE∩DE=Ｅ，CＥ⊂平面CDＥ,DE⊂平面CＤE，∴ＥF⊥平面CＤＥ，又CＤ⊂平面CDE,∴ＣD⊥EF，又CD⊥AB，AB⊂平面ABB1A１，EF⊂平面ABB1Ａ1,AＢ，EF为相交直线，A1,又CD⊂AＢC,∴ＣD⊥平面ＡBB１∴平面AＢB1Ａ1⊥平面ABC．A1⊥平面ABＣ,（II)∵平面AＢＢ１∴三棱柱ABC﹣AＢ1C1是直三棱柱,∴CＣ1⊥平面ABＣ.１∵ＣA⊥CB，AB＝2,∴AC=ＢC=．以C为原点,以CＡ,CB，CＣ1为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示:则A（，0,0),C(０，0，0)，C1（0,0,2）,E(，0，），F(，,2）．∴＝(﹣，0,２）,=（,0，),=(，,2）．设平面CEＦ的法向量为=(x,ｙ，ｚ)，则，∴，令z＝4,得＝(﹣，﹣9，4).∴=10，||＝6,||=.∴sin<＞=＝．∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定,线面角的计算,空间向量的应用,属于中档题．7.如图，在四棱锥中P﹣ABCD，ＰA⊥平面ABCD，AD∥ＢC，AD⊥CD，且ＡＤ=CD ＝2，BC＝4，PA=2.(1)求证：AＢ⊥ＰC;(2)在线段ＰD上,是否存在一点M,使得二面角Ｍ﹣AＣ﹣Ｄ的大小为4５°,如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【分析】（1）利用直角梯形的性质求出ＡＢ,AC的长,根据勾股定理的逆定理得出ＡB⊥AC,由PA⊥平面ABCD得出AB⊥ＰA,故AB⊥平面ＰＡC，于是AＢ⊥PＣ; (2）假设存在点M,做出二面角的平面角,根据勾股定理求出M到平面ABCＤ的距离从而确定M的位置,利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离ｈ，根据勾股定理计算BM，则即为所求角的正弦值．【解答】解：（1)证明:∵四边形ＡＢCD是直角梯形,ＡD=CD＝2,ＢC＝4，∴AＣ=4，AＢ===4，∴△ＡBC是等腰直角三角形，即AＢ⊥AC,∵PA⊥平面ABCD，AＢ⊂平面AＢCD，∴PＡ⊥AＢ，∴AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PＡＣ,∴AB⊥PC.(2）假设存在符合条件的点Ｍ，过点M作MN⊥AD于N,则MＮ∥PA,∴ＭN⊥平面AＢCD，∴MN⊥AC.过点M作MＧ⊥AC于G,连接NG，则ＡC⊥平面MNG，∴AＣ⊥NＧ,即∠MGN是二面角M﹣AＣ﹣Ｄ的平面角．若∠MGN=4５°,则ＮG=ＭN，又AN=ＮG＝MN,∴MN=1,即M是线段PＤ的中点．∴存在点M使得二面角M﹣ＡC﹣D的大小为4５°.在三棱锥Ｍ﹣ABC中，VＭ﹣ＡBC ＝Ｓ△ＡBC•ＭN＝=,设点B到平面MAC的距离是ｈ,则ＶＢ﹣MＡC=，∵MG=MN=，∴S△ＭＡＣ===２,∴=,解得ｈ=2．在△ABN中,AB=4，ＡＮ＝，∠BＡN＝135°,∴BN==，∴BＭ=＝3,∴BM与平面ＭAC所成角的正弦值为=.【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质,空间角与空间距离的计算，属于中档题．８．如图,在各棱长均为2的三棱柱ＡBC﹣A1B1Ｃ1中，侧面A1ACＣ1⊥底面ABC,∠A1AC=６０°.(1）求侧棱AA1与平面AB１C所成角的正弦值的大小；(２）已知点D满足=＋，在直线AA1上是否存在点P，使DＰ∥平面ＡB1C?若存在,请确定点P的位置，若不存在，请说明理由.【分析】(1）推导出A1O⊥平面ABC,ＢＯ⊥AC,以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyｚ,利用向量法能求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值.(2）假设存在点P符合题意，则点Ｐ的坐标可设为P（0，y，z),则.利用向量法能求出存在点Ｐ,使ＤP∥平面AB1C,其坐标为(０，0,)，即恰好为A点．１【解答】解:(1)∵侧面Ａ1ACC1⊥底面ＡBC，作A1Ｏ⊥AC于点O,∴AO⊥平面ＡBC.１又∠ABＣ=∠A1AC＝60°，且各棱长都相等,∴AO=1，OA=OB=，BO⊥ＡC.…（2分)１故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz,则Ａ(０，﹣1，0),B(,0，0），A1（０，0,），C(0,１,0)，∴＝(0,1,)，=()，＝(0，2,0）.…（4分)设平面AB1C的法向量为,则，取x=1，得=（1,0,１）.设侧棱AA1与平面AB1C所成角的为θ，则ｓinθ=|cos＜,＞|＝|｜＝,∴侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值为.…(6分)(2)∵=,而，,∴=（﹣２，0,0),又∵B(）,∴点Ｄ（﹣，０,0）.假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0,y,z)，∴．∵DP∥平面ＡB1C，=（﹣１,０,１）为平面ＡB1C的法向量，∴由＝λ，得,∴y=0.…(10分)又DP⊄平面AB1C，故存在点P,使DP∥平面AB1Ｃ,其坐标为(0,０,），即恰好为A1点．…(12分）【点评】本题考查线面角的正弦值的求法,考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.9．在三棱柱ABC﹣A１B１C1中，侧面ABB１A1为矩形，AB=2,AA１=2,D是AA1的中点,ＢD与ＡB1交于点O,且CO⊥平面ＡBB1A１．（Ⅰ)证明:平面AB1C⊥平面ＢCD；(Ⅱ）若OC=OA,△AB１C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）通过证明AB1⊥ＢD,AB１⊥CO,推出AB１⊥平面BCＤ,然后证明平面AB１C⊥平面BCD．（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OD,OＢ,OC所在直线为x，y，z轴，建立如图１所示的空间直角坐标系O﹣xyｚ.求出平面ABC的法向量，设直线GD与平面ABC 所成角α,利用空间向量的数量积求解直线GＤ与平面ABC所成角的正弦值即可．【解答】(本小题满分１２分）解：（Ⅰ)∵ＡBB 1Ａ1为矩形,AＢ=２，，D是AA1的中点，∴∠BAD=90°,，,从而,，∵,∴∠AＢD=∠AB1B,…（2分）∴,∴，从而AB1⊥BD…（４分）∵CO⊥平面ABＢ1A1,AＢ１⊂平面ABＢ1A１,∴AB1⊥CO，∵BD∩CO=Ｏ，∴AB1⊥平面BCＤ，⊂平面ＡＢ1C,∵AB１∴平面AＢ1C⊥平面BCD…（６分)(Ⅱ)如图,以O为坐标原点,分别以OＤ,OB1，OC所在直线为x，y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Ｏ﹣xyz.在矩形ABB1A1中，由于AD∥BB1,所以△AOD和△B1OB相似,从而又,∴,，，，∴,,C的重心，∴∵Ｇ为△ＡB１,…(8分)设平面ABＣ的法向量为，，由可得,令y=1,则z＝﹣１,，所以．…（1０分)设直线GD与平面ABC所成角α，则=，所以直线GD与平面ABＣ所成角的正弦值为…（１2分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力.10．在矩形ABＣD中,AＢ=4，AD=2，将△ABD沿BD折起,使得点A折起至A′，设二面角A′﹣BD﹣C的大小为θ.(1)当θ=90°时,求Ａ′C的长；（2）当cｏｓθ=时，求BC与平面A′BD所成角的正弦值.【分析】(１)过A作BD的垂线交BD于E，交ＤC于F,连接CE，利用勾股定理及余弦定理计算AＥ，CE，由A′E⊥CE得出A′C；（2)利用余弦定理可得A′F=，从而得出A′Ｆ⊥平面AＢCＤ，以F为原点建立坐标系,求出和平面A′BＤ的法向量,则BC与平面Ａ′BD所成角的正弦值为|c ｏs<>|.【解答】解：(1）在图１中，过A作BD的垂线交BD于E,交DC于F，连接ＣE．∵AB=4,AD=2,∴ＢＤ==10.∴,BE==8，ｃos∠ＣＢE==.在△BCE中，由余弦定理得ＣE==2．∵θ＝90°，∴A′Ｅ⊥平面ABCD,∴A′E⊥CE.∴|A′Ｃ|==２.(2）ＤＥ==2．∵tan∠FDE=，∴EF=1,ＤF==．当即ｃｏｓ∠A′EF=时,.∴A′E2=A′Ｆ２＋EF２，∴∠Ａ＇FＥ=90°又BD⊥ＡE,ＢD⊥EF，∴ＢＤ⊥平面A'EF，∴BD⊥Ａ＇F∴A＇F⊥平面ABCＤ．以F为原点，以FC为x轴，以过F的AＤ的平行线为y轴，以FA′为z轴建立空间直角坐标系如图所示：∴Ａ′(0，0，），D(﹣,0,0),B(3,2,0），C（３，０，0).∴=（0，２,０)，＝(４，2，0），=(,0,）.设平面A′BD的法向量为=（x，y，z）,则,∴，令z＝1得＝（﹣,２，1）.∴cos＜>===.∴BC与平面A＇BＤ所成角的正弦值为.【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算,空间向量的应用,属于中档题．1１．如图，由直三棱柱ABＣ﹣Ａ１B1C1和四棱锥Ｄ﹣ＢＢ1C1C构成的几何体中，∠ＢAC＝90°,AB=1,BC＝BB＝2，Ｃ1D=CD=,平面ＣC１D⊥平面ACC１A1.１(Ⅰ）求证：AC⊥DC１；(Ⅱ）若M为DC1的中点，求证:AM∥平面DＢＢ1；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点P,使直线DP与平面BB1D所成的角为?若存在,求的值,若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ)证明AC⊥CC1,得到AC⊥平面CC1D,即可证明AＣ⊥DＣ１．(Ⅱ)易得∠BAＣ=90°,建立空间直角坐标系A﹣xyz，依据已知条件可得Ａ（0，0，０)，，，B(0,0,1）,B(2，０，1），，１利用向量求得ＡＭ与平面DBB1所成角为0，即AM∥平面ＤBＢ1.（Ⅲ)利用向量求解【解答】解:(Ⅰ）证明:在直三棱柱ABC﹣A1B1Ｃ1中，ＣＣ１⊥平面ABＣ，故AC ,⊥CＣ１由平面CC1D⊥平面ACC１A1，且平面ＣC1D∩平面ACC1A1=ＣC1,所以AＣ⊥平面CC1D,又Ｃ1D⊂平面CＣ1Ｄ，所以ＡＣ⊥DＣ1.（Ⅱ）证明:在直三棱柱ABC﹣A1Ｂ1C1中,AA1⊥平面ＡBC,所以ＡA1⊥AＢ，AＡ1⊥AC，又∠ＢAＣ=９0°,所以，如图建立空间直角坐标系A﹣ｘyｚ,依据已知条件可得A（0,0，0)，,,B（0,0，１)，B 1(2，0，1),，所以,，设平面DBB1的法向量为,由即令y=1,则,x=０，于是,因为Ｍ为DC1中点,所以，所以，由，可得,所以AM与平面ＤBB1所成角为0，即AＭ∥平面ＤＢＢ1．（Ⅲ）解：由(Ⅱ）可知平面BB1Ｄ的法向量为.设，λ∈[0，１］,则,．若直线DＰ与平面ＤBＢ成角为,则１,解得,故不存在这样的点.【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定,向量法求二面角.属于中档题12.如图,在多面体ABCDEF中，底面ABCＤ为正方形,平面AＥD⊥平面ＡＢＣＤ，AB=EA=ＥD，ＥＦ∥BD（I）证明:AE⊥CＤ（II)在棱ED上是否存在点Ｍ，使得直线ＡＭ与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由．【分析】(I）利用面面垂直的性质得出ＣD⊥平面ＡED，故而AE⊥CD;(II）取AD的中点Ｏ，连接EＯ,以O为原点建立坐标系,设，求出平面BDE Ｆ的法向量，令|cｏs<>｜=，根据方程的解得出结论．【解答】（I)证明：∵四边形ＡBCD是正方形，∴CD⊥ＡD,又平面AED⊥平面ABCＤ,平面AED∩平面AＢCD=ＡD,CD⊂平面ABＣＤ,∴ＣＤ⊥平面AＥD,∵AＥ⊂平面AＥD,∴ＡE⊥ＣD.(II)解：取AＤ的中点O,过O作ＯＮ∥AB交BC于N,连接ＥＯ，∵ＥA=ED,∴OE⊥AD，又平面ＡEＤ⊥平面ＡBCＤ，平面AＥD∩平面ABCD=AD，OE⊂平面AEＤ，∴OE⊥平面ABCD,以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz,如图所示：设正方形ACD的边长为２，，则A(1，０，0）,B（1，2，0），Ｄ(﹣１,０,０），E(0,0，1),M（﹣λ，０,1﹣λ）∴=（﹣λ﹣１,０,1﹣λ）,=（1，0，１)，=（2，2,0），设平面BDEF的法向量为=(x,y，z），则，即,令x=1得＝(１,﹣1，﹣1),∴ｃos＜>＝＝，令｜|=,解得λ＝0,∴当M与点Ｅ重合时,直线AM与平面ＥFＢD所成角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定,空间向量与线面角的计算，属于中档题.１３．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,∠AＢC＝∠ACD=90°,∠ＢAC＝∠CAＤ＝6０°，ＰＡ⊥平面ABCD，ＰＡ=2，AＢ=1.(1）设点Ｅ为PD的中点，求证：ＣE∥平面PＡＢ;(２)线段PD上是否存在一点Ｎ，使得直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为？若存在,试确定点N的位置，若不存在,请说明理由．【分析】(1)取AD中点M，利用三角形的中位线证明EＭ∥平面PAB，利用同位角相等证明MC∥AB,得到平面ＥMC∥平面ＰAＢ,证得EC∥平面PＡＢ；（2)建立坐标系,求出平面PＡC的法向量,利用直线CN与平面PAC所成的角θ的正弦值为,可得结论．【解答】(1)证明：取AD中点M,连EM,CM，则EM∥ＰＡ.∵EM⊄平面PＡB，PA⊂平面PAＢ，∴EM∥平面ＰAＢ．在Rｔ△ACD中，∠CAD＝60°,AC＝ＡM=２,∴∠AＣM=60°.而∠BAC=60°,∴ＭC∥AB．∵MC⊄平面PAB,AB⊂平面PAB，∴MC∥平面ＰAB.∵EM∩MC＝M，∴平面ＥMC∥平面PAB．∵ＥC⊂平面ＥMC,∴EＣ∥平面PAB．（2)解：过A作AF⊥AD，交BＣ于F，建立如图所示的坐标系，则Ａ(0，0，0），B（，﹣,0）,C(,1,0)，D(０，4，0），P(0,0，２）,设平面PAＣ的法向量为＝(x,ｙ,z),则,取=(，﹣3,0)，设=λ（０≤λ≤1),则=(０，4λ,﹣２λ）,＝(﹣λ﹣1，2﹣2λ）,∴｜coｓ<,>|＝=，∴,∴N为ＰD的中点，使得直线CN与平面PAＣ所成的角θ的正弦值为．【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.14．如图,四棱锥Ｐ﹣AＢＣＤ的底面ABCD为平行四边形,平面PＡB⊥平面AＢC Ｄ,ＰB=PC，∠ABC＝４5°，点Ｅ是线段PA上靠近点A的三等分点.（Ⅰ)求证:AB⊥PC；（Ⅱ）若△PAB是边长为2的等边三角形,求直线DE与平面ＰＢC所成角的正弦值.【分析】(Ⅰ）作PO⊥ＡＢ于O，连接OC,可得ＰO⊥面ABCD.由△POB≌△ＰO Ｃ,∠ＡBＣ=４5°,得OC⊥ＡB,即得AB⊥面ＰＯC，可证得ＡＢ⊥PＣ．(Ⅱ)以O 为原点建立空间坐标系,,利用向量求解．【解答】解:（Ⅰ）作PＯ⊥ＡB于O…①,连接OC，∵平面ＰAＢ⊥平面ABCD,且面PAB∩面ＡBCD=AＢ，∴PＯ⊥面ABＣD．…(２分）∵PＢ=PC，∴△POB≌△POC,∴OＢ=OC，又∵∠ABＣ=４5°,∴OC⊥AB…②又PO∩CＯ=O,由①②，得AB⊥面POC，又PC⊂面POC，∴AB⊥PC．…（6分）(Ⅱ)∵△PAＢ是边长为２的等边三角形,∴.如图建立空间坐标系,设面ＰBC的法向量为，，由,令,得;，.,设DE与面ＰＢＣ所成角为θ,∴直线DＥ与平面ＰＢC所成角的正弦值.…(１２分）【点评】本题考查了空间线线垂直的判定，向量法求线面角,属于中档题．１５．在三棱柱ABC﹣A1Ｂ1C1中,CA=CB,侧面ＡBB1A1是边长为２的正方形，点E,F分别在线段AA l,A1Ｂ1上，且AE=，A１F=,ＣE⊥EＦ，Ｍ为ＡB中点( I）证明:EF⊥平面CME；(Ⅱ）若CＡ⊥CB,求直线AＣ1与平面ＣＥＦ所成角的正弦值．【分析】(Ⅰ)推导出Rｔ△EAＭ∽Ｒt△FＡ1E,从而EF⊥ＭE，又EF⊥CE,由此能证明EＦ⊥平面CＥＭ.（Ⅱ)设线段Ａ1B1中点为N,连结ＭN,推导出MC,MA,MＮ两两垂直，建空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AC1与平面CＥＦ所成角的正弦值.【解答】证明：（Ⅰ)在正方形ABＢA1中,Ａ1Ｅ＝，ＡM=1,１在Rt△EAＭ和Rt△FA1E中，，又∠EAM=∠FＡ1E=，∴Rt△EAM∽Rt△FA1Ｅ，∴∠AEM=∠A1FE，∴EF⊥EM,又EＦ⊥ＣE,ME∩ＣE=Ｅ,∴EF⊥平面ＣEM．解：(Ⅱ)在等腰三角形△CAB中，∵CA⊥ＣB，AB=２,∴CA＝ＣＢ=，且CM=１,设线段A1B1中点为Ｎ，连结MN,由(Ⅰ）可证CM⊥平面ＡBB1A１，∴MC,ＭA,MN两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则Ｃ（1，0，0）,E(0，１，），F(0，,2)，A(０，１，０)，Ｃ1(1，0，2)，=(﹣１，１,），=(０，﹣，),=（1，﹣1，２）,设平面CEF的法向量为=（x,y,z）,则，取z=2,得=（5，4，2)，设直线AC1与平面CEF所成角为θ，则sinθ==,∴直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为.【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值求法，是中档题，解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.。