【北师大版】数学八年级上册《期末考试题》附答案

北师大版八年级上学期期末考试数学试题
A 卷（100分）
一、选择题．（每小题3分，共30分）
1.下列各数中，是无理数的是（ ） A. 3.14
B.
4
3
C. 0.57
D. π
2.三角形的三边长为22()2a b c ab +=+，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形
B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 锐角三角形
3.下列哪组数是二元一次方程组2102x y y x
+=⎧⎨
=⎩，
的解( )
A. 43x y =⎧⎨=⎩
B. 3
6x y =⎧⎨=⎩
C. 2
4x y =⎧⎨=⎩
D. 4
2x y =⎧⎨=⎩
4.甲、乙、丙、丁四人进行100m 短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s ，10次测试成绩的方差如下表则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
5.关于点()1,3P -和点()1,5Q -，下列说法正确的是（ ） A. 关于直线4x =对称 B. 关于直线2x =对称 C. 关于直线4y =对称
D. 关于直线2y =对称
6.下列各组数为勾股数的是（ ） A. 6，12，13
B. 3，4，7
C. 8，15，16
D. 5，12，13
7.下列说法中，正确的是（ ） A. 若a b >，则22 ac bc > B. 若a b >，则 22a b >
C. 若a b >，则
11a b
< D. 若a b c d >>，，则a c b d ->-
8.如图，等边ABC ∆边长为5cm ，将ABC ∆沿AC 向右平移1cm ，得到DEF ∆，则四边形ABEF 的周长为（ ）
A. 18cm
B. 17cm
C. 16cm
D. 15cm
9.如图，ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将ABC ∆分成3个三角形，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆=（ ）
A. 3:2:4
B. 1:1:1
C. 2:3:4
D. 4:3:2
10.如图，已知点A 的坐标为()2,2，点B 的坐标为()0,1-，点C 在直线y x =-上运动，当CA CB +最小时，点C 的坐标为（ ）
A. 22,55⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B. ()1,1-
C. 22,55⎛⎫
-
⎪⎝⎭
D. ()1,1-
二、填空题．（每小题4分，共16分）
11.9的平方根是________；125-的立方根是__________． 12.3
x -x 的取值范围是__________． 13.将正比例函数y ＝﹣3x 的图象向上平移5个单位，得到函数_____的图象．
14.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，66ABC ∠=︒，将ABC ∆绕点C 旋转到A B C '''∆的位置，使顶
点B '恰好在斜边AB 上，AC 与A B ''相交于点D ，则B DC '∠=_________．
三、解答题（共54分）
15.计算 （1）21
183
(2)43
--+-- （2）2(32)(32)(12)+-++ （3）()35223x x -<+ （4）
121132
x x
+++≥ 16.（1）解方程组3213
410x y x y -=⎧⎨+=⎩
（2）解不等式组412510
2(23)3(1)12x x x x -≥-⎧⎨--+≥-⎩
17.已知32x =
+，32y =-，求()22
xy x y -的值．
18.某校八年级全体同学参加了爱心捐款活动，该校随机抽查了部分同学捐款情况统计如图：
（1）求出本次抽查的学生人数，并将条形统计图补充完整； （2）捐款金额的众数是___________元，中位数是_____________； （3）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元有多少人？
19.若关于x y 、的二元一次方程组24524x y m x y m +=-+⎧⎨+=+⎩的解满足6
.8x y x y --⎧⎨
+⎩
＞＜ (1)_________x y x y -=+=；(用含m 的代数式表示)； (2)求m 的取值范围.
20.如图，直角坐标系xOy 中，一次函数
1
52
y x =-+的图像1l 分别与x 、y 轴交于,A B 两点，正比例函数的图像2l 与1l 交于点(),3C m ．
（1）求m 的值及2l 的解析式； （2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；
（3）在坐标轴上找一点P ，使以OC 为腰的OCP ∆为等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．
B 卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
21.已知3a b +=，2ab =a b
b a
的值为_________． 22.如果关于x 的不等式15
32
223
x x x x a +⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＞＜只有4个整数解，那么a 的取值范围是________________________．
23.如图，直线1y kx b =+过点A(0，2)，且与直线2y mx =交于点P(1，m)，则不等式组mx > +kx b > mx -2的解集是_________
24.如图，在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，若3BH =，1AH =，则HC =___________．
25.如图，将等边ABC ∆沿AC 翻折得ADC ∆，23AB =，点E 为直线AD 上的一个动点，连接CE ，将线段EC 绕点C 顺时针旋转BCD ∠的角度后得到对应的线段CF （即ECF BCD ∠=∠），EF 交CD 于点
P ，则下列结论：①AO OC =；②AC BD ⊥；③当E 为线段AD 的中点时，则3PF AB =；④四边形
ABCD 的面积为43；⑤连接AF 、DF ，当DF 的长度最小时，则ACF ∆的面积为
9
32
．则说法正确的有________（只填写序号）
二、解答题（共30分）
26.2019年是中国建国70周年，作为新时期的青少年，我们应该肩负起实现祖国伟大复兴的责任，为了培养学生的爱国主义情怀，我校学生和老师在5月下旬集体乘车去抗日战争纪念馆研学，已知学生的人数是老师人数的12倍多20人，学生和老师总人数有540人．
（1）请求出去抗日战争纪念馆研学的学生和老师的人数各是多少？
（2）如果学校准备租赁A 型车和B 型车共14辆（其中B 型车最多7辆），已知A 型车每年最车可以载35人，B 型车每车最多可以载45人，共有几种租车方案？
（3）已知A 型车日租金为2000元，B 型车日租金为3000元，设租赁B 型大巴车m 辆，求出租赁总租金为W 元与m 的函数解析式，并求出最经济的租车方案．
27.如图1，已知ABC ∆，DCB ∆，且A D ∠=∠，ABC DCB ∠=∠．
（1）求证：ABC DCB ∆∆≌；
（2）如图2，若42BE =，22EC =，折叠纸片，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，且DE BC ⊥． ①求证：//EF AC ；
②点Q 是线段BD 上一点，连接AQ ，一动点P 从点A 出发，沿线段AQ 以每秒1个单位的速度运动到点Q ，再沿线段QB 以每秒2个单位的速度运动到B 后停止，点P 在整个运动过程中用时最少多少秒？ 28.如图，点()1,0M ，过点M 做直线l 平行于y 轴，点()1,0B -关于直线l 对称点
C ．
（1）求点C 的坐标；
（2）点D 在直线l 上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到BAD ∆，若点A 恰好落在直线l 上，求点A 的坐标和直线BD 的解析式；
（3）设点P 在直线y x =上，点Q 在直线l 上，当CPQ ∆为等边三角形时，求点P
坐标．
答案与解析
A 卷（100分）
一、选择题．（每小题3分，共30分）
1.下列各数中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B.
4
3
C. 0.57
D. π
【答案】D 【解析】 【分析】
根据无理数的定义，分别判断，即可得到答案. 【详解】解：π是无理数；3.14，4
3
，0.57是有理数； 故选：D.
【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2.三角形的三边长为22()2a b c ab +=+，则这个三角形是（ ） A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
利用完全平方公式把等式变形为a 2+b 2=c 2，根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角形，可得答案． 【详解】∵2
2
()2a b c ab +=+， ∴a 2+2ab+b 2=c 2+2ab ， ∴a 2+b 2=c 2，
∴这个三角形是直角三角形， 故选：C ．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角． 3.下列哪组数是二元一次方程组2102x y y x +=⎧⎨
=⎩
，
的解( )
A. 43x y =⎧⎨=⎩
B. 3
6x y =⎧⎨=⎩
C. 2
4x y =⎧⎨=⎩
D. 4
2x y =⎧⎨=⎩
【答案】C 【解析】
试题解析：2102x y y x +⎧⎨
⎩
＝
①＝②， 把②代入①得：x+4x=10，即x=2， 把x=2代入②得：y=4，
则方程组的解为2
4x y =⎧⎨=⎩
． 故选C ．
4.甲、乙、丙、丁四人进行100m 短跑训练，统计近期10次测试的平均成绩都是13.2s ，10次测试成绩的方差如下表则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】B 【解析】 分析】
方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解:∵s 2丁＞s 2丙＞s 2甲＞s 2乙，
方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越
好． ∴乙最稳定． 故选B ．
【点睛】本题考查了方差，正确理解方差的意义是解题的关键． 5.关于点()1,3P -和点()1,5Q -，下列说法正确的是（ ）
A. 关于直线4x =对称
B. 关于直线2x =对称
C. 关于直线4y =对称
D. 关于直线2y =对称
【答案】C 【解析】 【分析】
根据点坐标的特征，即可作出判断.
【详解】解：∵点()1,3P -，点()1,5Q -， ∴点P 、Q 的横坐标相同，故A 、B 选项错误； 点P 、Q 的中点的纵坐标为：
35
42
+=， ∴点()1,3P -和点()1,5Q -关于直线4y =对称； 故选：C.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握关于直线对称的点坐标的特征. 6.下列各组数为勾股数的是（ ） A. 6，12，13 B. 3，4，7
C. 8，15，16
D. 5，12，13
【答案】D 【解析】
A 选项：62+122≠132，故此选项错误；
B 选项：32+42≠72，故此选项错误；
C 选项：因为82+152≠162，故此选项错误；
D 选项：52+122=132，故此选项正确． 故选D ．
【点睛】一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数．验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，从而作出判断． 7.下列说法中，正确的是（ ） A. 若a b >，则22 ac bc > B. 若a b >，则 22a b > C .
若a b >，则
11
a b
< D. 若a b
c d >>，，则a c b d ->-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据不等式的性质逐一对选项进行分析即可． 【详解】A. 若a b >，当0c
时，则22 ac bc =，故该选项错误；
B. 若a b >，则 22a b >，故该选项正确；
C. 若,0,0a b a b >><，则11
a b
>，故该选项错误； D. 若a b c d >>，，则a c -不一定比b d -大，故该选项错误；
故选：B ．
【点睛】本题主要考查不等式，考虑到a,b 可能是任意实数是解题的关键．
8.如图，等边ABC ∆边长为5cm ，将ABC ∆沿AC 向右平移1cm ，得到DEF ∆，则四边形ABEF 的周长为（ ）
A. 18cm
B. 17cm
C. 16cm
D. 15cm
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平移的性质易得AD=CF=BE=1，那么四边形ABFD 的周长即可求得． 【详解】解：∵将边长为5cm 的等边△ABC 沿边AC 向右平移1cm 得到△DEF ， ∴AD=BE=CF=1，各等边三角形的边长均为5． ∴四边形ABFD 的周长=AD+AB+BE+FE+DF=17cm ． 故选：B.
【点睛】本题考查平移的性质，找出对应边，求出四边形各边的长度，相加即可．
9.如图，ABC ∆的三边AB 、AC 、BC 的长分别为6、4、8，其三条内角平分线将ABC ∆分成3个三角形，则::OAB OAC OBC S S S ∆∆∆=（ ）
A. 3:2:4
B. 1:1:1
C. 2:3:4
D. 4:3:2
【答案】A
【解析】
【分析】 由角平分线的性质可得，点O 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解．
【详解】解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，
∵O 是三角形三条角平分线的交点，
∴OD=OE=OF ，
∵AB=6，AC=4，BC=8，
∴S △OAB ：S △OAC ：S △OBC =3:2:4．
故选：A ．
【点睛】此题主要考查角平分线的性质和三角形面积的求法，作辅助线很关键．解题时注意：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
10.如图，已知点A 的坐标为()2,2，点B 的坐标为()0,1-，点C 在直线y x =-上运动，当CA CB +最小时，点C 的坐标为（ ）
A. 22 ,
55
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
B. ()
1,1
- C.
22
,
55
⎛⎫
-
⎪
⎝⎭
D. ()
1,1
-
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AB，与直线y x
=-的交点就是点C，此时CA CB
+最小，先求出直线AB的解析式，然后求出点C 的坐标即可
【详解】解：根据题意，如图，连接AB，与直线y x
=-的交点就是点C，
则此时CA CB
+最小，
设点A、B所在
的直线为y kx b=+，则221k b b+=⎧⎨=-⎩，解得：321k b⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴312y x=-，∴312y x y x=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：2525x y⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴点C的坐标为：22,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；故选：A. 【点睛】本题考查了一次函数的图形和性质，以及最短路径问题，解题的关键是正确确定点C的位置，求
出直线AB的解析式，进而求出点C.
二、填空题．（每小题4分，共16分）
11.9的平方根是________；125
-的立方根是__________．
【答案】 (1). 3± (2). 5-
【解析】
【分析】
根据平方根和立方根的定义，即可得到答案.
【详解】解：9的平方根是3±；125-的立方根是5-；
故答案为：3±，5-.
【点睛】本题考查了平方根的定义和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题.
12.x 的取值范围是__________． 【答案】3x ≥
【解析】
【分析】
根据二次根式有意义的条件，即可求出x 的取值范围.
有意义， ∴30x -≥，
∴3x ≥.
故答案为：3x ≥.
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握被开方数大于或等于0.
13.将正比例函数y ＝﹣3x 的图象向上平移5个单位，得到函数_____的图象．
【答案】y=-3x+5
【解析】
【分析】
平移时k 的值不变，只有b 发生变化．
【详解】解：原直线的k=-3，b=0；向上平移5个单位得到了新直线，那么新直线的k=-3，b=0+5=5． ∴新直线的解析式为y=-3x+5．
故答案为y=-3x+5.
【点睛】求直线平移后的解析式时要注意平移时k 和b 的值的变化，掌握这点很重要．
14.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，66ABC ∠=︒，将ABC ∆绕点C 旋转到A B C '''∆的位置，使顶点B '恰好在斜边AB 上，AC 与A B ''相交于点D ，则B DC '∠=_________．
【答案】24°
【解析】
【分析】
根据旋转的性质，得到BC B C '=，66ABC
A B C ，然后利用三角形内角和定理，求出B DC '∠的度数.
【详解】解：由旋转的性质，得BC B C '=，66ABC
A B C ， ∴66B BC A B C ，
∵90ACB ∠=︒，
∴90DCB ∠=︒，
∴1809066=24B DC '∠=︒-︒-︒︒；
故答案为：24︒.
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边对等角，以及三角形内角和定理，解题的关键是正确得到66B BC A B C .
三、解答题（共54分）
15.计算
（1）21183(2)43
-（2）2(32)(32)(12)+++
（3）()35223x x -<+
（4）121132
x x +++≥
【答案】（1）-（2）10+（3）3x >-；（4）5x ≥-
【解析】
【分析】
（1）先化简二次根式，然后合并同类项，即可得到答案.
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，然后合并同类项即可；
（3）先去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
（4）先去分母，去括号，然后移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案；
【详解】解：（1）2(-
=22--
=-
（2）2(3(1+++
=9212-+++
=10+
（3）()35223x x -<+，
∴3546x x -<+，
∴39x -<，
∴3x >-；
（4）121132
x x +++≥， ∴2(12)63(1)x x ++≥+，
∴24633x x ++≥+，
∴5x ≥-.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，以及解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算.
16.（1）解方程组3213410x y x y -=⎧⎨+=⎩
（2）解不等式组4125102(23)3(1)12
x x x x -≥-⎧⎨--+≥-⎩
【答案】（1）32x y =⎧⎨=-⎩
；（2）32x --≤≤. 【解析】
【分析】
（1）利用加减消元法解方程组，即可得到答案.
（2）先求出每个不等式的解集，然后取解集的公共部分，即可得到答案.
【详解】解：（1）3213410x y x y -=⎧⎨+=⎩①②
， 由①+②2⨯，得：1133x =，
∴3x =，
把3x =代入②，解得：2y =-，
∴方程组的解是：32x y =⎧⎨=-⎩
； （2）4125102(23)3(1)12x x x x -≥-⎧⎨--+≥-⎩
①② 解不等式①，得：2x -≤；
解不等式②，得：3x ≥-；
∴不等式组的解集为：32x --≤≤.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组和解不等式组的步骤和方法.
17.
已知x =
y =()22xy x y -的值．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，先求出x y +和x y -的值，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】解：∵x =
y =
∴x y +==
x y -==
∴()22()()xy x y xy x y x y -=+- =(32)(32)2322+⨯-⨯⨯
=(32)2322-⨯⨯
=46.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，以及完全平方公式和平方差公式的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.
18.某校八年级全体同学参加了爱心捐款活动，该校随机抽查了部分同学捐款的情况统计如图：
（1）求出本次抽查的学生人数，并将条形统计图补充完整；
（2）捐款金额的众数是___________元，中位数是_____________；
（3）请估计全校八年级1000名学生，捐款20元的有多少人？
【答案】（1）50人，条形图见详解；（2）10，12.5；（3）140人.
【解析】
【分析】
（1）有题意可知，捐款15元的有14人，占捐款总人数的28%，由此可得总人数，将捐款总人数减去捐款5、15、20、25元的人数可得捐10元的人数；
（2）从条形统计图中可知，捐款10元的人数最多，可知众数，将50人的捐款总额除以总人数可得平均数，求出第25、26个数据的平均数可得数据的中位数；
（3）由捐款20元的人数占总数的百分数，依据全校八年级1000名学生，即可得到结论．
【详解】解：（1）本次抽查的学生有：14÷28%=50（人），
则捐款10元的有50-9-14-7-4=16（人），
补全条形统计图图形如下：
（2）由条形图可知，捐款10元人数最多，故众数是10元； 中位数是1015=12.52
+（元）， 故答案为：10，12.5；
（3）1000×750
=140（人）， ∴全校八年级1000名学生，捐款20元的大约有140人．
【点睛】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，平均数和众数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
19.若关于x y 、的二元一次方程组24524x y m x y m +=-+⎧⎨+=+⎩的解满足6.8x y x y --⎧⎨+⎩
＞＜ (1)_________x y x y -=+=；(用含m 的代数式表示)；
(2)求m 的取值范围.
【答案】（1）1-5m ，3-m ；（2）-5＜m ＜75
． 【解析】
【分析】
（1）将方程组两方程相减可得x-y ，两式相加可得x+y ；
（2）把x-y 、x+y 代入不等式组可得关于m 的不等式组，求解可得．
【详解】（1）在方程组24524x y m x y m +=-+⎧⎨+=+⎩
①②中， ①+②，得：3x+3y=9-3m ，即x+y=3-m ，
①-②，得：x-y=1-5m ，
故答案为1-5m ，3-m ；
（2）∵68x y x y --⎧⎨+⎩
＞＜， ∴15638m m ＞＜--⎧⎨-⎩
， 解得：-5＜m ＜7
5
． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，根据题意得出关于m 的不等式是解题的关键．
20.如图，直角坐标系xOy 中，一次函数152
y x =-
+的图像1l 分别与x 、y 轴交于,A B 两点，正比例函数的图像2l 与1l 交于点(),3C m ．
（1）求m 的值及2l 的解析式；
（2）求AOC BOC S S ∆∆-的值；
（3）在坐标轴上找一点P ，使以OC 为腰的OCP ∆为等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．
【答案】（1）m=4，l 2的解析式为34
y x =
；（2）5；（3）点P 的坐标为（50-，），（0，5-），（0，5），（5，0），（8，0），（0，6）.
【解析】
【分析】
（1）先求得点C 的坐标，再运用待定系数法即可得到l 2的解析式；
（2）过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD=3，CE=4，再根据A （10，0），B （0，5），可得AO=10，BO=5，进而得出S △AOC -S △BOC 的值；
（3）由等腰三角形的定义，可对点P 进行分类讨论，分别求出点P 的坐标即可.
【详解】解：（1）把C （m ，3）代入一次函数152y x =-+，可得 1352
m =-+， 解得m=4，
∴C （4，3），
设l 2的解析式为y=ax ，则3=4a ，
解得：a=34
， ∴l 2的解析式为：34y x =
； （2）如图，过C 作CD ⊥AO 于D ，CE ⊥BO 于E ，则CD=3，CE=4，
由152
y x =-+，令x=0，则y=5；令y=0，则x=10， ∴A （10，0），B （0，5），
∴AO=10，BO=5，
∴S △AOC -S △BOC =12×10×312
-×5×4=15-10=5； （3）∵OCP ∆是以OC 为腰的等腰三角形，
则点P 的位置有6种情况，如图：
∵点C 的坐标为：（4，3），
∴5OC ==，
∴1234565OC OP OP OP OP CP CP =======，
∴点P 的坐标为：（50-，）
，（0，5-），（0，5），（5，0），（8，0），（0，6）. 【点睛】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质，勾股定理及分类讨论思想等．
B 卷（50分）
一、填空题（每小题4分，共20分）
21.已知3a b +=，2ab =
的值为_________．
【答案】2
【解析】
【分析】
先把二次根式进行化简，然后把3a b +=，2ab =，代入计算，即可得到答案.
b a
=+
=(a b ab
+， ∵3a b +=，2ab =，
∴原式
=3=22
；
故答案为：2
. 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的运算法则进行解题.
22.如果关于x 的不等式1532223
x x x x a +⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＞＜只有4个整数解，那么a 的取值范围是________________________．
【答案】−5<a⩽−14 3
.
【解析】
【分析】
首先利用不等式的基本性质解不等式组，再从不等式的解集中找出适合条件的整数解，在确定字母的取值范围即可．
【详解】
15
3
2
22
3
x
x
x
x a
+
⎧
-
⎪⎪
⎨
+
⎪+
⎪⎩
＞①
＜②
，
由①得：x<21，
由②得：x>2−3a，
不等式组的解集为：2−3a<x<21
∵不等式组只有4个整数解20、19、18、17
∴16⩽2−3a<17
∴−5<a⩽−
14
3
.
故答案为−5<a⩽−
14
3
.
【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键在于掌握不等式组的运算法则.
23.如图，直线1y kx b
=+过点A(0，2)，且与直线
2
y mx
=交于点P(1，m)，则不等式组mx> +
kx b> mx-2的解集是_________
【答案】12
x
<<
【解析】
【详解】解：由于直线过点A（0，2），P（1，m），
则
2
k b m
b
+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
2
2
k m
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
1(2)2y m x ∴=-+，
故所求不等式组可化为：
mx ＞（m-2）x+2＞mx-2，
0＞-2x+2＞-2，
解得：1＜x ＜2，
24.如图，在ABC ∆中，135BAC ∠=︒，AH BC ⊥于H ，若3BH =，1AH =，则HC =___________．
【答案】2
【解析】
【分析】
延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 于点D ，则△ACD 是等腰直角三角形，设CD=AD=h ，CH=x ，利用面积相等和勾股定理，得到关于h 与x 的方程组，解方程组，求出x ，即可得到CH 的长度.
【详解】解：延长BA ，过点C 作CD ⊥BA 于点D ，如图：
∵135BAC ∠=︒，
∴∠CAD=45°，
∴△ACD 是等腰直角三角形，
∴CD=AD ，
∵AH BC ⊥，
∴△ABH 和△ACH 是直角三角形，
设CD=AD=h ，CH=x ，由勾股定理，得
221310AB +=222212AC x h =+=， ∵1122
ABC S BC AH AB CD ∆=•=•，
∴(3)110x h +⨯=•，
联合方程组，得2212310x h x h
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：2102x h =⎧⎪⎨=⎪⎩或12104
x h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）； ∴2HC =.
故答案为：2.
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理和面积相等法，正确得到边之间的关系，从而列式计算.
25.如图，将等边ABC ∆沿AC 翻折得ADC ∆，23AB =，点E 为直线AD 上的一个动点，连接CE ，将线段EC 绕点C 顺时针旋转BCD ∠的角度后得到对应的线段CF （即ECF BCD ∠=∠），EF 交CD 于点P ，则下列结论：①AO OC =；②AC BD ⊥；③当E 为线段AD 的中点时，则3PF AB =；④四边形ABCD 的面积为43；⑤连接AF 、DF ，当DF 的长度最小时，则ACF ∆的面积为
932
．则说法正确的有________（只填写序号）
【答案】①②
【解析】
【分析】
由等边三角形的性质和折叠的性质，得到四边形ABCD 是菱形，则可以判断①、②；当点E 时AD 中点时，可得△CPF 是直角三角形，CE=CF=3，得到23PF AB ==，可以判断③；求出对角线的长度，然后求出菱形的面积，可以判断④；当点E 与点A 重合时，DF 的长度最小，此时四边形ACFD 是菱形，求出对角线EF 和CD 的长度，求出面积，可以判断⑤；即可得到答案.
【详解】解：根据题意，将等边ABC ∆沿AC 翻折得ADC ∆，如图：
∴23AB AD BC CD AC =====，∠BCD=120°，
∴四边形ABCD 是菱形，
∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ；故①、②正确； ∴132
AO AC ==， ∴22(23)(3)3BO =-=，
∴6BD =，
∴菱形ABCD 的面积=112366322
AC BD •=⨯⨯=，故④错误； 当点E 时AD 中点时，CE ⊥AD ，
∴DE=3，∠DCE=30°，
∴3CF CE ==，
∵120ECF BCD ∠=∠=︒，
∠PCF=120°3090-︒=︒，∠F=30°，
∴23PF AB ==，故③错误；
当点E 与点A 重合时，DF 的长度最小，如图：
∵AD ∥CF ，AD=AC=CF ，
∴四边形ACFD 是菱形，
∴CD ⊥EF ，CD=236EF BD ==，
∴11123633222
ACF ACFD S S ∆==⨯⨯=菱形；故⑤错误；
∴说法正确的有：①②；
故答案为：①②.
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质，菱形的性质、等边三角形的性质，勾股定理、菱形的面积，三角形面积公式等知识；本题综合性强，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的性质是解决问题的关键．
二、解答题（共30分）
26.2019年是中国建国70周年，作为新时期的青少年，我们应该肩负起实现祖国伟大复兴的责任，为了培养学生的爱国主义情怀，我校学生和老师在5月下旬集体乘车去抗日战争纪念馆研学，已知学生的人数是老师人数的12倍多20人，学生和老师总人数有540人．
（1）请求出去抗日战争纪念馆研学的学生和老师的人数各是多少？
（2）如果学校准备租赁A 型车和B 型车共14辆（其中B 型车最多7辆），已知A 型车每年最车可以载35人，B 型车每车最多可以载45人，共有几种租车方案？
（3）已知A 型车日租金为2000元，B 型车日租金为3000元，设租赁B 型大巴车m 辆，求出租赁总租金为W 元与m 的函数解析式，并求出最经济的租车方案．
【答案】（1）去抗日战争纪念馆研学的学生有500人，老师有40人；（2）3；（3）租赁A 型大巴车9辆和租赁B 型大巴车5辆．
【解析】
【分析】
（1）设去参观抗日战争纪念馆学生有x 人，老师有y 人，根据题意，得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租赁B 型大巴车m 辆，则租赁A 型大巴车（14-m ）辆，由B 型大巴车最多有7辆及租赁的14辆车至少能坐下540人，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为正整数即可得出m 的值，从而得到租车方案；
（3）设租赁总租金为w 元，根据总租金=每辆车的租金金额×租车辆数，即可得出w 关于m 的函数关系式，再利用一次函数的性质即可找出最经济的租赁车辆方案．
【详解】解：（1）设去去抗日战争纪念馆研学的学生有x 人，老师有y 人，
依题意，得：
1220540x y x y =+⎧⎨+=⎩，解得：50040x y =⎧⎨=⎩
． 答：去抗日战争纪念馆研学的学生有500人，老师有40人．
（2）设租赁B 型大巴车m 辆，则租赁A 型大巴车（14-m ）辆，
依题意，得：
735(14)45540m m m ≤⎧⎨-+≥⎩
， 解得：5≤m ≤7．
∵m 为正整数，
∴m=5，6或7．
∴租车方案有3种：①租A 型车9辆，B 型车5辆；②租A 型车8辆，B 型车6辆；③租A 型车7辆，B 型车7辆；
（3）设租赁总租金为w 元，依题意，得：
w=3000m+2000（14-m ）=1000m+28000，
∵1000＞0，
∴w 的值随m 值的增大而增大，
∴当m=5时，w 取得最小值，
∴最经济的租赁车辆方案为：租赁A 型大巴车9辆和租赁B 型大巴车5辆．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
27.如图1，已知ABC ∆，DCB ∆，且A D ∠=∠，ABC DCB ∠=∠．
（1）求证：ABC DCB ∆∆≌；
（2）如图2，若42BE =22EC =B 与点D 重合，折痕为EF ，且DE BC ⊥． ①求证：//EF AC ；
②点Q 是线段BD 上一点，连接AQ ，一动点P 从点A 出发，沿线段AQ 以每秒1个单位的速度运动到点Q ，再沿线段QB 2个单位的速度运动到B 后停止，点P 在整个运动过程中用时最少多少秒？
【答案】（1）见详解；（2）①见详解；②42
【解析】
【分析】
（1）直接利用AAS ，即可证明结论成立；
（2）①由折叠的性质，得到BE=DE ，EF 平分∠BED ，由DE ⊥BC ，得到∠DBE=∠ACB=∠FEB=45°，即可得到EF ∥AC ；
②当点Q 是EF 与BD 的交点时，点P 在整个运动过程中用时最少；连接AQ 、AD ，可得△ADQ 是等腰直角三角形，根据勾股定理求出BD ，然后得到BQ=DQ=12
BD ，然后求出AQ ，即可求出点P 运动所用的时间.
【详解】解：（1）由题意，
∵A D ∠=∠，ABC DCB ∠=∠，BC=CB ，
∴ABC DCB ∆∆≌（AAS ）；
（2）①如图：
由折叠的性质，得到BE=DE ，∠BEF=∠DEF ，
∵DE ⊥BC ，
∴∠BED=90°，
∴∠BEF=∠DEF=∠DBE=∠BDE=45°；
∵ABC DCB ∆∆≌，
∴∠ACB=∠DBE ，
∴∠ACB=∠DBE=∠FEB=45°，
∴EF ∥AC ；
②如图，连接AQ 交BC 于点H ，连接AD ，当点Q 是EF 与BD 的交点时，点P 在整个运动过程中用时最少；
此时AQ ∥DE ，AD ∥BC ，
∴∠ADQ=45°，∠DAQ=90°，
∴△ADQ 是等腰直角三角形，
∴AD=AQ ，
∵点Q 时BD 中点，
∴点H 是BE 的中点，
∵BE=DE=42，22CE =，
∴22(42)(42)8BD =+=，22HE =
∴4BQ =，22AQ AD HE ===，
∴点P 运动所用的时间为：
22222242122
AQ t =+=+=+=（秒）. 【点睛】本题考查了三角形的综合问题，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，折叠的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题.注意运用数形结合的思想.
28.如图，点()1,0M ，过点M 做直线l 平行于y 轴，点()1,0B -关于直线l 对称点为C ．
（1）求点C 的坐标；
（2）点D 在直线l 上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿直线BD 翻折得到BAD ∆，若点A 恰好落在直线l 上，求点A 的坐标和直线BD 的解析式；
（3）设点P 在直线y x =上，点Q 在直线l 上，当CPQ ∆为等边三角形时，求点P 的坐标．
【答案】（1）（3，0）；（2）A （1，23）；直线BD 为3333
y x =+；（3）点P 的坐标为（31+，31+）或（132-，132
-）. 【解析】
【分析】
（1）根据题意，点B 、C 关于点M 对称，即可求出点C 的坐标；
（2）由折叠的性质，得AB=CB ，BD=AD ，根据勾股定理先求出AM 的长度，设点D 为（1，a ），利用勾股定理构造方程，即可求出点D 坐标，然后利用待定系数法求直线BD.
（3）分两种情形：如图2中，当点P 在第一象限时，连接BQ ，PA ．证明点P 在AC 的垂直平分线上，构建方程组求出交点坐标即可．如图3中，当点P 在第三象限时，同法可得△CAQ ≌△CBP ，可得∠CAQ=∠CBP=30°，构建方程组解决问题即可．
【详解】解：（1）根据题意，
∵点B 、C 关于点M 对称，且点B 、M 、C 都在x 轴上，
又点B （10-，）
，点M （1，0）， ∴点C 为（3，0）；
（2）如图：
由折叠的性质，得：AB=CB=4，AD=CD=BD ，
∵BM=2，∠AMB=90°，
∴22224223AM AB BM =--=，
∴点A 的坐标为：（1，3；
设点D 为（1，a ），则DM=a ，BD=AD=23a ，
在Rt △BDM 中，由勾股定理，得
222
(23)2
a a
-=+，
解得：
23
a=，
∴点D的坐标为：（1，
23
3
）；
设直线BD为y kx b
=+，则
23
k b
k b
-+=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
，解得：
3
3
3
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴直线BD为：
33
33
y x
=+；
（3）如图2中，当点P在第一象限时，连接BQ，PA．
∵△ABC，△CPQ都是等边三角形，
∴∠ACB=∠PCQ=60°，
∴∠ACP=∠BCQ，
∵CA=CB，CP=CQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP=BQ，
∵AD垂直平分线段BC，
∴QC=QB，
∴PA=PC，
∴点P在AC的垂直平分线上，
由
33
32 y x
y x
⎧
=+
⎪
⎨
⎪=
⎩
，解得
31
31
2
x
y
⎧+
=
⎪⎪
⎨
+
⎪=
⎪⎩
，
∴P（
31
2
+
，
31
2
+
）．
如图3中，当点P在第三象限时，同法可得△CAQ≌△CBP，
∴∠CAQ=∠CBP=30°，
∵B（-1，0），
∴直线PB的解析式为
33
33
y x
=--，
由
33
33
y x
y x
⎧
=--
⎪
⎨
⎪=
⎩
，解得：
13
2
13
x
y
⎧-
=
⎪⎪
⎨
-
⎪=
⎪⎩
∴P
13
-13
-
）.
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方程组确定交点坐标，属于中考压轴题．。