江苏省苏州市高考数学一模试卷解析版
2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷(解析版)
2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2=0，设数列{b n} 20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大題共14小败，每小題5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则∁U M= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则∁U M={6，7}．故答案为：{6，7}．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=•SABCD•PO=×4×1=．故答案为：．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my ﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且•=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求•即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴•=λ•[+（λ﹣1）]=λ•+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．由x3﹣x2≥x﹣⇔（x﹣）2（x+2）≥0，当x=时，取得等号．则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B∈．解得：B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC⊂平面A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）•高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．2=0，设数列{b n} 20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，化为：=2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n•4n﹣1．数列{b n}满足b n=，可得b1，b2，b3，利用数列{b n}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12S n﹣a14n2=16b m，即可得出a1．【解答】（1）证明：数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，∴=a n，即=2，+1∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：=，∴=n•4n﹣1．∵b n=，∴b1=，b2=，b3=，∵数列{b n}是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2⇒ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．（2）a2k﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ•tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=•tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．（2）a2k+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ•[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年4月18日。
2021年高考数学一模试卷(江苏省) (2)(含答案解析)
2021年高考数学一模试卷（江苏省） (2)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={−1,0,1,6}，B={x|x>0,x∈R}，则A∩B=____．2.已知复数z=2+3i ，则|z|=．3.从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为________．4.如图，某报刊亭老板根据以往报纸的销售记录，绘制了某100天的报纸日销售量(单位：份)的频率分布直方图(每组包含最小值，不包含最大值)，不慎将频率分布直方图弄污，则这家报刊亭在这100天中，报纸日销售量在[100,150)内的天数为________．5.执行如图所示的流程图，则输出的M应为______6.已知双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线方程是y=±2x，那么此双曲线的离心率为______ ．7.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥P−BDD1B1的体积为______8. 已知p:x ≤1，q:x ≤a ，若p 是q 的必要不充分条件，则a 的取值范围是_________．9. 在△ABC 中，若AC =6，cosB =45，C =π4,则AB =____．10. 已知数列的前{a n }的前n 项和为S n =2n+1,b n =log 2(a n 2⋅2a n )，数列的{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1024的最小n 的值为______．11. 已知集合P ={−4,−2,0,2,4},Q ={x|−1<x <3}，则P ∩Q =_______.12. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，当x <0时，f(x)=x(1−x)，则当x >0时，函数f(x)=__________．13. 在△ABC 中，AC =4，M 为AC 的中点，BM =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．14. 若点A(a,2)既是曲线y =mx 2上的点，又是直线x +y =0上的点，则m =________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知函数f (x )=Asin (ωx +φ)，x ∈R ，(其中A >0,ω>0,0<φ<π2)的周期为π，且图像上的一个最低点为M (2π3,−2)．(1)求f (x )的解析式．(2)当x ∈[0,π12]时，求f (x )的最值．16. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°，PA =AC ，PB =PD =√2AC ，E 是PD 的中点，求证：(1)PB//平面ACE；(2)平面PAC⊥平面ABCD．17.如图，在圆心角为变量2θ(0<2θ<π)的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．(1)当圆Q的半径不低于OA时，求θ的最大值；9(2)设BH为点B到半径OA的距离，当BH取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”.求“最PE理想扇形”的面积．18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a<b<0)的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P(1,√22)，且PF2垂直于x轴．(1)求椭圆C的方程；(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作出直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设这条直线的斜率分别为k1,k2，且k1+k2=2，证明：直线AB过定点．19.已知数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=(12)n，(n∈N∗)(1)求a1，a2，a3，a4(2)求证：数列{a2n}与{a2n−1}(n∈N∗)都是等比数列．20.已知函数f(x)=x4−4x3+ax2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．(1)求a的值；(2)在区间[−2,2]上，试求函数f(x)的最大值和最小值．21.已知矩阵A=[12−14]，向量α=[74].(1)求A的特征值和对应的特征向量；(2)计算A5α的值．22.在极坐标系中，已知直线与圆ρ=acosθ(a>0)相切，求a的值．23.设x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，且4x+3y+2z=√29，求x+y+z的值．24.若直线x=m与抛物线y2=4√3x交于A、B两点，F是其焦点，若△ABF为等边三角形，求m的值．25.记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知，a2+a12=24.S11=121(1)求{a n}的通项公式；(2)令b n=1，T n=b1+b2+⋯+b n，若24T n−m≥0对一切n∈N∗成立，求实数m的最a n+1a n+2大值．【答案与解析】1.答案：{1,6}解析：本题考查集合的交集运算，属于基础题目．由交集的定义直接得出即可．解：∵A={−1,0，1，6}，B={x|x>0,x∈R}，∴A∩B={1,6}．故答案为{1,6}．2.答案：√13解析：本题考查复数模的求法，根据复数的求模公式计算即可．解：因为z=2+3i，所以|z|=√22+32=√13．故答案为√13．3.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出所求概率．解：从由数字1，2，3所组成的所有两位数中随机抽取一个数，基本事件个数n=3×3=9，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m=3×2=6，∴该数为没有重复数字的两位数的概率为p=69=23．故答案为：23．4.答案：30解析：本题主要考查频率分布直方图，考查考生分析问题、解决问题的能力，是基础题.利用据矩形面积和为1即可求解．解：由题图知，没有被弄污的频率的和为50×(0.003+0.005+0.004+0.002)=0.7，所以被弄污这组的频率为1−0.7=0.3，所以这家报刊亭在这100天中，报纸日销售量在[100,150)内的天数为100×0.3=30．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：√5解析：解：∵焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±2x，∴设双曲线方程为x2λ−y24λ=1，λ>0，∴双曲线的标准方程为x2λ−y24λ=1，∴a2=λ，b2=4λ，c2=5λ，∴此双曲线的离心率e=√5λ√λ=√5．故答案为：√5由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±2x，知双曲线的标准方程可设为x2λ−y24λ=1，由此能求出此双曲线的离心率．本题考查双曲线的离心率的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意双曲线渐近线方程的合理运用．7.答案：13解析：四棱锥P−AA1C1C的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积．本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基本知识的考查．解：V ABD−A1B1D1=12V正方体=12，V P−BDD1B1=23V ABD−A1B1D1=13故答案为：13．8.答案：(−∞,1)解析：解：∵p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，通过数轴可判断1位于a的右侧，∴a<1，即a的取值范围为(−∞,1)．故答案为：(−∞,1)．p是q的必要不充分条件，所以q要真包含于p，可判断1与a的大小．本题主要考查简易逻辑推理，通过数轴解决，属于基础题．9.答案：5√2解析：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型．首先根据cosB=45求出sin B，再利用正弦定理即可求解．解：∵cosB=45，∴B为锐角，∴sinB=35，∵AC=6，C=π4,由正弦定理得ACsinB =ABsinC，∴635=√22，∴AB=5√2．故答案是5√2．10.答案：9解析：解：n≥2，a n=S n−S n−1=2n+1−2n=2n.n=1，a1=S1=4．∴a n={4,n=12n,n≥2．∴b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n．数列的{b n}的前n项和为T n=8+4(2n−1−1)2−1+2×n(n+1)2=2n+1+4+n2+n．由T n>1024，即满足2n+1+4+n2+n>1024的最小n的值为9．故答案为：9．n≥2，a n=S n−S n−1.n=1，a1=S1=4.可得a n.b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：{0,2}解析：本题考查了集合的交集及其运算，属于基础题． 解：∵P ={−4,−2,0,2,4},Q ={x|−1<x <3}， ∴P ∩Q ={0,2}， 故答案为{0,2}．12.答案：x(1+x)解析：当x >0时，−x <0，f(x)=−f(−x)=−[(−x)(1+x)]=x(1+x)．13.答案：5解析：解：∵M 为AC 的中点，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=36，① ∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16，② ①−②得：4BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5． 故答案为：5．由题意可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，对两式平方相减即可得出答案． 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于在中档题．14.答案：12解析：本题主要考查了点与直线及曲线的关系，考查了计算能力，属于基础题．由题意，将点A(a,2)代入直线方程，可得a =−2，则点A(−2,2)在曲线y =mx 2上，代入可求出m 的值．解：因为点A(a,2)在直线x +y =0上， 所以a +2=0，即a =−2， 又点A(−2,2)在曲线y =mx 2上， 所以4m =2，解得m =12． 故答案为12．15.答案：解：①由T =π，可知ω=2πT=2，又图像上有最低点M (2π3,−2),∴A =2， 又有2sin (4π3+φ)=−2得sin (4π3+φ)=−1∴4π3+φ=−π2+2kπ ，k ∈z故φ=−11π6+2kπ k ∈z 又φ∈(0,π2) ∴φ=π6 ∴f (x )的解析式为f (x )=2sin (2x +π6)．(2)∵x ∈[0,π12] ∴2x +π6∈[π6,π3] 又正弦函数y =sinx 在[0,π2]上单调递增 又[π6,π3]⊆[0,π2]∴当2x +π6=π6即x =0时，f (x )min =1 当2x +π6=π3即x =π12时，f (x )max =√3．解析：此题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．(1)由题意知，A =2，T =π，可求得ω=2πT=2，由ω·2π3φ=2kπ−π2,k ∈Z ，可求得φ=π6，从而可求f(x)的解析式； (2)由x 的范围求得的范围，利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的最值．16.答案：证明：(1)连BD 交AC 于点O ，连接EO ，则O 为BD 的中点，∵E 为PD 的中点， ∴PB//OE ，∵OE ⊂平面EAC ，PB ⊄平面EAC ， ∴PB//平面ACE ；(2)∵底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°， 设AB =BC =CD =DA =AC =a ，∵PA =AC ， ∴PA =AB =a ，PB =√2a ，∴PA ⊥AB ，同理可得PA ⊥AD ，∵AB ∩AD =A ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ， 又PA ⊂平面PAC ， 故平面PAC ⊥平面ABCD ．解析：本题主要考查了线面平行，面面垂直的判定，属于基础题． (1)连BD 交AC 于点O ，则PB//OE ，从而得到PB//平面ACE ； (2)先证得PA ⊥平面ABCD ，从而得到面面垂直．17.答案：解：(1)由题意得OP =PE sinθ=rsinθ，又OP +PE =OA ，∴rsinθ+r =OA ，∴OA =1+sinθsinθr ，又OQ =QDsinθ且OP =OQ +CQ +PC ，∴rsinθ=QDsinθ+QD +r ， ∴QD =1−sinθ1+sinθr则当圆Q 的半径不小于OA9，即QD ≥OA9也即1−sinθ1+sinθr ≥1+sinθ9sinθr ，整理得10sin 2θ−7sinθ+1≤0，即15≤sinθ≤12， 又θ∈(0,π2)，y =sinθ在θ∈(0,π2)单调增， 故θ的最大值为π6；(2)∵BH =OBsin2θ=sin2θ×1+sinθsinθr =2cosθ(1+sinθ)r ，∴BH PE=2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，则f′(θ)=−sinθ(1+sinθ)+cos 2θ=−2sin 2θ−sinθ+1 令f′(θ)>0可解得−1<sinθ<12，可得θ∈(0,π6)， 同理令f′(θ)<0可得θ∈(π6,π2)，则当θ∈(0,π6)时，f(θ)为增函数，当θ∈(π6,π2)时，f(θ)为减函数， ∴当θ=π6时，BHPE 取得最大值，此时OA =1+1212r =3r ，故“最理想扇形”的面积为12×π6×OA 2=π12×(3r)2=34πr 2解析：(1)由题意得OA =1+sinθsinθ，QD =1−sinθ1+sinθr ，由QD ≥OA 9可得sinθ的不等式，解不等式解正弦函数的单调性可得；(2)可得BHPE =2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，由导数法可得函数的最值，可得结论．本题考查导数和三角函数的综合应用，涉及新定义和导数法判函数的单调性，属难题．18.答案：(1)解：∵椭圆C 过点P(1,√22)，∴1a 2+12b 2=1①，∵PF ⊥x 轴，则c =1，∴a 2−b 2=1，②， 由①②得a 2=2，b 2=1， ∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；(2)证明：当直线AB 的斜率不存在时， 设A(x 0,y 0)，则B(x 0,−y 0)， 由k 1+k 2=2得y 0−1x 0+ −y 0−1 x 0=2，得x 0=−1，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y =kx +m(m ≠1)， A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{x 22+y 2=1y =kx +m⇒(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−2=0，得x 1+x 2= −4km 1+2k2 ,x 1⋅x 2= 2m 2−21+2k2，k 1+k 2=2⇒ y 1−1x 1 + y 2−1x 2 =2⇒(kx 2+m−1)x 1+(kx 1+m−1)x 2x 1x 2 =2，即(2−2k)x 2x 1=(m −1)(x 2+x 1)⇒(2−2k)(2m 2−2)=(m −1)(−4km)， 由m ≠1，(1−k)(m +1)=−km ⇒k =m +1， 即y =kx +m =(m +1)x +m ⇒m(x +1)=y −x ，故直线AB 过定点(−1,−1)．解析：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系及斜率计算公式，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)根据题意可得1a 2+12b 2=1，a 2−b 2=1，联立解出即可得出结果；(2)对直线AB 的斜率分类讨论：当直线AB 的斜率不存在时，利用k 1+k 2=2，及其斜率计算公式即可得出．当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y =kx +m(m ≠1)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线方程与椭圆方程联立化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．19.答案：(1)解：∵数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，∴a 1=1，a 2=12，a 3=12，a 4=14； (2)证明：∵a n a n+1=(12)n ， ∴a n+2a n=12，∴数列a 1，a 3，…a 2n−1，是以1为首项，12为公比的等比数列； 数列a 2，a 4，…，a 2n ，是以12为首项，12为公比的等比数列．解析：(1)利用数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，可求a 1，a 2，a 3，a 4； (2)由a n a n+1=(12)n ，可得a n+2a n=12，根据等比数列的定义判定出数列{a 2n }与{a 2n−1}(n ∈N ∗)都是等比数列．本题主要考查了等比关系的确定．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握．20.答案：解：(1)由f(x)=x 4−4x 3+ax 2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减．∴当x =1时，f(x)有极大值，∴f′(1)=0.又∵f′(x)=4x 3−12x 2+2ax ， ∴f′(1)=4−12+2a =0⇒a =4．当a =4时，f′(x)=4x(x 2−3x +2)=4x(x −1)(x −2)， 在(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增； 在(1,2)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，则x =1是极大值点，符合题设． ∴a =4．(2)令f′(x)=4x 3−12x 2+8x =0，得x =0，1，2． 此时，f(0)=−1，f(1)=0，f(2)=−1，f(−2)=63， ∴f(x)max =63，f(x)min =−1．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了计算能力与推理能力，属于中档题． (1)根据函数f(x)=x 4−4x 3+ax 2−1在区间[0,1]上单调递增，在区间[1,2)上单调递减，知道当x =1是f(x)的极大值点，令f′(x )=0，可得a 的值，再验证即可；(2)由(1)得f′(x)=4x 3−12x 2+8x =0，得x =0，1，2，由此能求出函数f(x)在区间[−2,2]上的最大值和最小值．21.答案：解：(1)矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−4|=λ2−5λ+6=0，解得：λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，得α1=[21]；当λ2=3时，得α2=[11]；(2)由α=mα1+nα2，可得：{2m +n =7m +n =4，解得m =3，n =1，∴A 5α=A 5(3α1+α2)=3(A 5α1)+A 5α2=3(λ15α1)+λ25α2=3×25[21]+35[11]=[435339]．解析： 本题考查矩阵的特征值与特征向量的计算，注意解题方法的积累，属于基础题． (1)通过令矩阵A 的特征多项式为f(λ)=0，可得特征值，进而可得对应的特征向量； (2)通过解方程组α=mα1+nα2，可得m =3，n =1，进而可得结论．22.答案：解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴，建立平面直角坐标系xoy ，则将直线化为普通方程：，即x −√3y −4=0.将圆ρ=acosθ(a>0)化为普通方程：x2+y2=ax，即(x−a2)2+y2=a24.因为直线与圆相切，所以|a2−4|2=a2 (a>0)，解得a=83.解析：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆相切的充要条件的应用．首先把曲线和直线的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步利用圆心到直线的距离等于半径求出结果．23.答案：解：由柯西不等式可得，(x2+y2+z2)(42+32+22)≥(4x+3y+2z)2=29，则29≥(4x+3y+2z)2，又4x+3y+2z=√29，∴x4=y3=z2，代入x2+y2+z2=1，解得x=29，y=29，z=29，∴x+y+z=9√2929．解析：利用柯西不等式可得29≥(4x+3y+2z)2，然后结合条件即可得到x+y+z的值．本题考查了柯西不等式的应用，属基础题．24.答案：解：抛物线y2=4√3x的焦点F坐标为(√3,0)．将直线x=m代入抛物线方程y2=4√3x，可得y2=4√3m(m>0)，所以y=±√4√3m，即|AB|=2√4√3m．由条件可知|AB|=|AF|，则2√4√3m=m+√3，两边平方解得m=7√3−12或7√3+12．解析：本题考查抛物线的定义和与直线的关系，属于基础题．首先将直线x=m代入抛物线方程可得|AB|=2√4√3m.|AF|=m+√3，结合条件即可得到m的值．25.答案：解：(1)∵等差数列{a n }中，a 2+a 12=24，S 11=121．∴{2a 7=2411a 6=121，解得{a 7=12a 6=11． ∴d =a 7−a 6=12−11=1， ∴a n =a 6+(n −6)d =n +5,n ∈N ∗．(2)∵b n =1a n+1⋅a n+2=1(n +6)(n +7)=1n +6−1n +7∴T n =17−18+18−19+19−110+⋯+1n+6−1n+7=17−1n+7=n7(n+7)，∴{T n }是递增数列，T n ≥T 1=156， ∵24T n −m ≥0,对一切n ∈N ∗成立，∴m ≤24(T n )min =2456=37∴实数m 的最大值为37．解析：(1)利用等差数列的通项公式以及前11项和，求出数列的第6，7项与公差，然后求解通项公式．(2)求出通项公式，利用裂项法求解数列的和，通过不等式求解即可． 本题考查数列求和，通项公式的应用，考查转化思想以及计算能力．。
江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷解析版
高考数学一模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=______．2.i为虚数单位，复数（1-2i）2的虚部为______．3.抛物线y2=4x的焦点坐标是______．4.箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为______．5.如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为______．6.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．7.已知函数，若，则实数a=______．8.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马在最后一天行走的里程数为______．9.已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为______．10.设定义在区间（0，）上的函数的图象与y=3cos2x+2的图象交于点P，则点P到x轴的距离为______．11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a=8b，A=2B，则sin（A-）=______．12.若直线l：ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2+y2=1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为______．13.在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠BAC=90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则的最大值为______．14.已知函数f（x）=x2+|x-a|，g（x）=（2a-1）x+a ln x，若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共148.0分）15.如图，三棱锥D-ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分別为BD，CD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）BD⊥平面ACE．16.已知向量=（2cosα，2sinα），=（cosα-sinα，cosα+sinα）．（1）求向量与的夹角；（2）若⊥，求实数λ的值．17.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．（1）求出n关于m的函数关系式；（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．18.已知椭圆E：的离心率为，焦点到相应准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知P（t，0）为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值．19.已知函数f（x）=（x+1）ln x+ax（a∈R）．（1）若函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求实数a，b的值；（2）设函数g（x）=，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a=-1时，求函数g（x）的最大值；②若函数h（x）=||是单调减函数，求实数a的取值范围．20.定义：若有穷数列a1，a2，…，a n同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．①首项a1=1；②a1＜a2＜…＜a n；③对于该数列中的任意两项a i和a j（1≤i＜j≤n），其积a i a j或商仍是该数列中的项．（1）问等差数列1，3，5是否为P数列？（2）若数列a，b，c，6是P数列，求b的取值范围；（3）若n＞4，且数列b1，b2，…，b n是P数列，求证：数列b1，b2，…，b n是等比数列．21.已知x，y∈R，是矩阵A=的属于特征值-1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值．22.在极坐标系中，已知直线l：，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为（t为参数）．设l 与C交于A，B两点，求AB的长．23.若不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．24.从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P（X=2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X=3）”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X的数学期望E（X）．25.已知f（n）=+++…+，g（n）=+++…+，其中n∈N*，n≥2．（1）求f（2），f（3），g（2），g（3）的值；（2）记h（n）=f（n）-g（n），求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞．答案和解析1.【答案】{0}【解析】解：∵集合A={0，1，2}，B={x|-1＜x＜1}，∴A∩B={0}．故答案为：{0}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】-4【解析】解：∵（1-2i）2=12+（2i）2-4i=1-4-4i=-3-4i故复数（1-2i）2的虚部为-4故答案为：-4根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（1-2i）2的值，即可得到复数（1-2i）2的虚部．本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（1-2i）2的值是解答本题的关键，本题易错误理解虚部的概念，而错解为-4i．3.【答案】（1，0）【解析】解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且p=2，则抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．4.【答案】【解析】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，基本事件总数n==6，摸到的2只球颜色相同包含的基本事件个数m==3，则摸到的2只球颜色相同的概率p=．故答案为：．基本事件总数n==6，摸到的2只球颜色相同包含的基本事件个数m==3，由此能求出摸到的2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】40【解析】解：如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，由频率分布直方图得到前3组的频率和为：1-（0.0375+0.0125）×5=0.75，∵从左到右的前3组的频率成等差数列，∴第2组的频率为=0.25，∴第2组的频数为160×0.25=40．故答案为：40．由频率分布直方图得到前3组的频率和为1-（0.0375+0.0125）×5=0.75，由从左到右的前3组的频率成等差数列，得到第2组的频率为=0.25，由此能求出第2组的频数．本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】-【解析】解：由程序框图知所求为cos的值，当k=5时s=cos=故答案为：．由程序框图知所求为cos的值．本题考查程序框图的循环，属于简单题．7.【答案】log23【解析】解：函数，若，可得：，解得a=4-＞0舍去．，解得a=log23＞0，成立．故答案为：log23．利用分段函数列出方程，转化求解即可．本题考查分段函数的应用，对数的运算法则，考查计算能力．8.【答案】【解析】解：每天走的里程数是等比数列{a n}，公比q=，则S7==700，解得a1=，∴a7=×（）6=里，故答案为：设该匹马第一日走a1里，利用等比数列前n项和公式求出a1，即可求出这匹马在最后一天行走的里程数为本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】2π【解析】解：设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，∴4a2+b2=4，设a=cosα，b=2sinα（0＜α＜），∴圆柱的侧面积S=2πab=2π×cosα•2sinα=2πsin2α，∴圆柱的侧面积的最大值为2π．故答案为：2π．设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，求出底面半径，代入圆柱侧面积公式，利用三角函数求最值．本题考查的知识点是旋转体的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积公式是关键，是基础题．10.【答案】3【解析】解：由=3cos2x+2得：3-6sin2x-3sin x+2=0，即6sin2x+3sin x-5=0，得sin x=====，sin x====-=-，∵x∈（0，），∴sin x＞0，∴sin x=，即点P到x轴的距离为y=3×=3，故答案为：3．联立方程组求出sin x的值，然后代入求出y的值，即可求出点P到x轴的距离．本题主要考查三角函数的应用，联立方程组求出sin x的值是解决本题的关键．11.【答案】【解析】解：∵5a=8b，A=2B，由正弦定理可得，5sin A=8sin B=5sin2B，∴10sin B cosB=8sin B，∵sin B≠0，∴cos B=，∴sin B==，∴sin A===，cos A=cos2B=2cos2B-1=，则sin（A-）==，故答案为：．由已知结合正弦定理可求cos B，结合同角平方关系可求sin B=进而可求sin A，cos A，再结合两角差的正弦公式可求sin（A-）．本题主要考查了正弦定理，同角平方关系及两角差正弦公式，二倍角公式的简单应用，属于中档试题．12.【答案】[-，]【解析】解：根据题意，若△ABC为等腰直角三角形，其中C为直角顶点且|AB|=2，则C到AB的距离为=1，若圆O：x2+y2=1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形，则圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解可得：-≤a≤，即a的取值范围[-，]；故答案为：[-，]．根据题意，由直角三角形的性质分析可得C到AB的距离为=1，结合直线与圆的位置关系可得圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解得a的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．13.【答案】-【解析】解：以A为原点，AC为x轴建立如图所示的直角坐标系：则B（0，2），C（1，0），D（，1），E（，），设直线PQ的方程为：+=1，则由E在直线PQ上，得+=1，（a＞0，b＞0），∴Q（a，0），P（0，b）．•=（a-0，-2）•（-1，b）=-a-2b=-（a+2b），∵（a+2b）（+）=+1++≥+2=，∴•=-（a+2b）≤-=-，故答案为：-．建立直角坐标系，利用向量的坐标运算以及基本不等式可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.【答案】（1，+∞）【解析】解：已知函数f（x）=x2+|x-a|，g（x）=（2a-1）x+a ln x，若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，转换成利用函数f（x）-g（x）的零点个数为2个求解，①a＜0时，h（x）=f（x）-g（x）很显然，a＜0，h（x）=f（x）-g（x）单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②a＞0时，令h（x）=f（x）-g（x）=x2+|x-a|-（2a-1）x-a ln x=，可以求得a＞0时，h（x）=0由两个零点时，h（a）＜0，解得：a＞1，所以a＞1，故实数a的取值范围为（1，+∞）；函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，可转换成利用函数f（x）-g（x）的零点个数为2个即可求解．本题考查函数的交点，选取分类讨论法是解决本题的关键，属于中档题．15.【答案】解：（1）证明：因为E，F分別为BD，CD的中点，所以EF∥BC，又BC⊂面ABC，所以EF∥面ABC，（2）证明：因为AC⊥BC，AC⊥DC，所以AC⊥面BCD，又BD⊂面BCD，所以BD⊥AC，又BC=DC，E为BD的中点．所以BD⊥CE，又AC∩CE=C，所以BD⊥面ACE，命题得证【解析】（1）由线面平行的判定得：因为E，F分別为BD，CD的中点，所以EF∥BC，又BC⊂面ABC，所以EF∥面ABC，（2）由线面垂直的判定定理得：因为BD⊥AC，BD⊥CE，又AC∩CE=C，所以BD⊥面ACE ，命题得证．本题考查了线线平行、线面平行的判定及线线垂直，线面垂直的判定定理，属中档题．16.【答案】解：（1），+2sin2α=2；∴；又；∴与的夹角为；（2）∵；∴；∴λ=2．【解析】考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．属于基础题.（1）根据向量的坐标即可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角；（2）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出实数λ．17.【答案】解：（1）以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴，不妨设f（x）=ax2+40，∵直路AB长为40米，∴B（20，0），∴0=400a+40，解得a=-，∴f（x）=-x2+40，∵C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米，∴n=-m2+40，0≤m≤20；（2）由（1）可得CD=2m，AB=40，∴S梯形ABCD=（2m+40）n=（m+20）（-m2+40）=-m3-2m2+40m+800设g（m）=-m3-2m2+40m+800，0≤m≤20∴g′（m）=-m2-4m+40=-（3m-20）（m+20），0≤m≤20令g′（m）=0，解得m=，当0≤m＜时，g′（m）＞0，函数g（m）单调递增，当＜m≤20时，g′（m）＜0，函数g（m）单调递减，∴g（m）max=g（）=（+20）（-×+40）=答：当m=时，腰梯形草坪ABCD的面积最大，其最大值为．【解析】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了导数求函数的最值，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．（1）以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴，不妨设f（x）=ax2+40，求出a的值，即可得到n关于m的函数关系式，（2）S梯形ABCD=-m3-2m2+40m+800，设g（m）=-m3-2m2+40m+800，0≤m≤20，利用导数求出函数的最值即可．18.【答案】（1）解：（1）由题可得e==，，解得a=2，c=，则b2=a2-c2=1．由此椭圆的标准方程为：+y2=1．（2）证明：设直线PB的方程为：y=k1（x-t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，可得：由整理，得：（1+4）x2-8k t•x+4（k2t2-1）=0，∴x1+x2=，x1x2=，∵==．同理，可得：．∴====．再设直线PD的方程为：y=k2（x-t），设C（x3，y3），D（x4，y4），则由上面过程同理，可得到：．∴==．∵k1和k2是定值．∴是定值．∴为定值．【解析】（1）由题设条件推导出e==，所以，由此能求出椭圆的标准方程．（2）分别设出两条直线方程，然后与椭圆的标准方程+y2=1联立，通过设而不求的方法消去不定的值t，剩下的算式只与定值k1和k2有关，最终得证．本题第（1）主要考查椭圆的离心率和准线方程以此得到椭圆的标准方程；第（2）主要考查平面解析几何中的设而不求的方法来判断定值问题，本题属中档题．19.【答案】解：（1）f′（x）=ln x++a，f′（1）=a+2=-1，a=-3，（1分）f（1）=a=-3，将点（1，-3）代入x+y+b=0，解得b=2．（2分）（2）①因为g（x）=（+1）ln x-1，则g′（x）=-+=．（3分）令φ（x）=x-ln x+1，则φ′（x）=1-≥0，函数φ（x）在区间[1，e]上单调递增．（5分）因为φ（x）≥φ（1）＞0，（6分）所以g′（x）＞0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数g（x）的最大值为g（e）=．（8分）②同理，单调增函数g（x）=∈[a，a+1+]，（9分）则h（x）=•．1°若a≥0，g（x）≥0，h（x）=，h′（x）=≤0，令u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1，则u′（x）=-（1+2x）ln x--（2a+1）x＜0，即函数u（x）区间在[1，e]上单调递减，所以u（x）max=u（1）=-a+2≤0，所以a≥2．（11分）2°若a≤-，g（x）≤0，h（x）=-，由1°知，h′（x）=，又函数h（x）在区间[1，e]上是单调减函数，所以u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1≥0对x∈[1，e]恒成立，即ax2≤x+1-（1+x+x2）ln x对x∈[1，e]恒成立，即a≤+-ln x对x∈[1，e]恒成立．令φ（x）=+-ln x，x∈[1，e]，φ′（x）=---（-）ln x-（++1）=---+（+）ln x，记μ（x）=ln x-x+1（1≤x≤e），又μ′（x）=-1=≤0，所以函数μ（x）在区间[1，e]上单调递减，故μ（x）max=μ（1）=0，即ln x≤x-1，所以φ′（x）=---+（+）ln x≤---+（+）ln x（x-1）=--＜0，即函数φ（x）在区间[1，e]上单调递减，所以φ（x）min=φ（e）=+-（++1）ln e=-1，所以a≤φ（x）min=-1，又a≤-，所以a≤-．（13分）3°若-＜a＜0，因为g（x）==（1+）ln x+a，g′（x）=-+=≥=＞0，所以函数g（x）=在区间[1，e]上单调递增．又g（1）g（e）=a（a+1+）＜0，则存在唯一的x0∈（1，e），使得h（x0）==0，所以函数h（x）在区间[1，e]上不单调．（15分）综上，实数a的取值范围为（-∞，-1-]∪[2，+∞）．（16分）【解析】（1）f′（x）=ln x++a，f′（1）=a+2=-1，解得a．f（1）=-3，将点（1，-3）代入x+y+b=0，解得b．（2）①g（x）=（+1）ln x-1，可得g′（x）=-+=．令φ（x）=x-ln x+1，利用导数研究其单调性即可得出最值．②同理，单调增函数g（x）=∈[a，a+1+]，h（x）=•．对a分类讨论，研究其单调性最值即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：（1）等差数列1，3，5不是P数列，由于其中3，5不满足3×5或仍在数列中；（2）数列a，b，c，6是P数列，所以1=a＜b＜c＜6，由于6b或是数列中的项，而6b大于数列中的最大项6，则是数列中的项，同理也是数列中的项，考虑到1＜＜＜6，于是=b，=c，即bc=6，又1＜b＜c，所以1＜b＜，综上，b的取值范围是（1，）．（3）证明：数列{b n}是P数列，所以1=b1＜b2＜b3＜…＜b n，由于b2b n或是数列中的项，而b2b n大于数列中的最大项b n，则是数列{b n}中的项，同理，，…，，也都是数列{b n}中的项，考虑到1＜＜…＜＜b n，且1，．…，，b n这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，b n中的项，∴=b2，…，=b n-1，从而b n=b i b n+1-i（i =1，2，…，n-1），①又∵b n-1b3＞b n-1b2=b n，所以b n-1b3不是数列{b n}中的项，∴是数列{b n}中的项，同理，…也都是数列{b n}中的项，考虑到1＜＜…＜＜＜=b n-2＜b n-1＜b n，且1，，…，，，，b n-1，b n这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，b n中的项，于是，同理有，b n-1=b i b n-i（i=1，2，…，n-2），②在①中将i换成i+1后与②相除，得=，i=1，2，…，n-2，∴b1，b2，…，b n是等比数列．【解析】（1）由新定义考虑3，5两个元素不符题意，即可判断；（2）由P数列，可得1＜b＜c＜6，即有bc=6，进而得到b的范围；（3）由数列为P数列，考虑b n与b2，b3，…，b n-1，的比在数列中，推得b n=b i b n+1-i（i =1，2，…，n-1），①，b n-1=b i b n-i（i=1，2，…，n-2），②，再由等比数列的定义，即可得证．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于综合题．21.【答案】解：由特征值与特征向量的定义，可知：Aα=-1•α．即：•=-1•整理，得：=∴，解得：．∴A=．∵矩阵A的特征多项式f（λ）==（λ+3）（λ+1）．令f（λ）=0，即（λ+3）（λ+1）=0，解得：λ=-1，或λ=-3．∴矩阵A的另一个特征值为-3．【解析】本题可根据特征值与特征向量的定义写出算式Aα=-1•α，然后将矩阵代入计算可得x、y的值，然后写出矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0即可找到矩阵A的另一个特征值．本题主要考查根据特征值与特征向量的定义式计算出矩阵中的参数，然后根据矩阵的特征多项式计算出矩阵的另一个特征值．本题属中档题．22.【答案】解：由ρsin（θ-）=0得ρsinθcos-ρcosθ=0，即y=x，由消去t得y2-x2=1，联立解得A（，），B（-，-），∴|AB|===2．【解析】由ρsin（θ-）=0得ρsinθcos-ρcosθ=0，即y=x，消去参数t可得曲线C的直角坐标方程，联立直线l与曲线C可解得A，B的坐标，再用两点间的距离公式可得|AB|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意x∈R恒成立⇔（|x+1|+|x-a|）min≥5，∵|x+1|+|x-a|≥|x+1-（x-a）|=|1+a|，∴|a+1|≥5，即a≥4或a≤-6，所以实数a的取值范围为：（-∞，-6]∪[4，+∞）．【解析】不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意x∈R恒成立⇔（|x+1|+|x-a|）min≥5，由绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的性质的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．24.【答案】解：由于批量较大，可以认为随机变量X～B（10，0.05），（1）恰好有2件不合格的概率为P（X=2）=×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率为P（X=3）=．因为P（X=2）÷{P（X=3）}==＞1，所以P（X=2）＞P（X=3），即恰好有2件不合格的概率大．（2）因为P（X=k）=，（k=0，1，2，…，10）．随机变量X的概率分布为：X012 (910)P…故E（X）==10×0.05=0.5故随机变量X的期望为E（X）=0.5【解析】（1）随机变量X服从二项分布，利用二项分布的概率公式求出恰好有2件不合格的概率P（X=2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X=3）”比较即可．（2）确定X的取值从0到10，按照二项分布的概率公式求出X每个取值对应的概率，列出分布列，求期望．本题考查了二项分布及其期望的求法，主要考查简单的计算，二项分布的期望为np（p 为成功概率），属于中档题．25.【答案】解：（1）f（2）==，f（3）==，g（2）=，g（3）==（2）∵====，∴h（n）=f（n）-g（n）==，下面用数学归纳法证明：对对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞．当m=2时，h（4）=++=，当m=3时，h（8）=+++＞+=+＞1，假设当m=t，t≥2，总有h（2t）＞．则当m=t+1，h（2t+1）=h（2t）+++…+＞+（+）++ +…+∵t≥3时，+-=＞0，∴+＞，又++…+＞++…+=，∴h（2t+1）＞++=，即当m=t+1时，命题成立，综上命题对任意的任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞成立．【解析】（1）利用n=2，n=3直接代入求解即可．（2）先化简，求出h（n）=f（n）-g（n）的表达式，利用数学归纳法进行证明即可．本题主要考查函数与不等式的证明，求出函数的表达式，利用数学归纳法以及结合组合数公式的性质进行证明是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。
2021年高考数学一模试卷(江苏省) (1)(含答案解析)
2021年高考数学一模试卷（江苏省） (3)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.集合A={4,7,15},B={x|x<10,x∈Z}，则A∩B=_____．2.已知z=4−3i，则|z|=______．3.从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是_______________．4.一家企业据以往某种新产品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．由频率分布直方图，估计这种新产品的日销售量的中位数为______ .(结果保留整数)5.执行如图所示的流程图，则输出的M应为______6.若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0 ,b>0)的渐近线为y=±√3x，则双曲线C的离心率为______ ．7.在四棱锥S−ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，SD=AD=2，M，N，P分别是棱AB，AD，AS的中点，三棱柱MNP−M1N1P1的顶点都位于四棱锥S−ABCD的棱上，则三棱柱MNP−M1N1P1的体积为__________．8.“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”是“φ=0”的__________条件．9. 在△ABC 中，若AC =6，cosB =45，C =π4,则AB =____．10. 已知数列的前{a n }的前n 项和为S n =2n+1,b n =log 2(a n 2⋅2a n )，数列的{b n }的前n 项和为T n ，则满足T n >1024的最小n 的值为______．11. 若集合P ={x ∈N|1≤x ≤10}，Q ={x ∈R|x 2+x −6=0}，则P ∩Q =____.12. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，当x <0时，f(x)=x(1−x)，则当x >0时，函数f(x)=__________．13. 在△ABC 中，AC =4，M 为AC 的中点，BM =3，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．14. 设曲线L 的方程为y 4+(2x 2+2)y 2+(x 4−2x 2)=0，对于曲线L ，有下列3个结论，所有正确结论的序号是____________．①曲线L 是轴对称图形；②曲线C 是中心对称图形；③曲线L 上所有的点的纵坐标y ∈[−12,12]二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(0<ω<1,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M(3π4,0)对称．(1)求ω，φ的值；(2)若x ∈[−3π4,π2]，求f(x)的最大值与最小值．16. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是菱形，PA ⊥平面 ABCD ，PA =3，F 是棱 PA 上的一个动点，E 为 PD 的中点． (Ⅰ)求证：平面 BDF ⊥平面 PCF ；(Ⅱ)若AF=1，求证：CE//平面BDF．17.如图，在圆心角为变量2θ(0<2θ<π)的扇形OAB内作一半径为r的内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，圆P与圆Q相切于C点，圆P和圆Q与半径OA分别切于E，D两点．(1)当圆Q的半径不低于OA时，求θ的最大值；9(2)设BH为点B到半径OA的距离，当BH取得最大值时，扇形被称之为“最理想扇形”.求“最PE理想扇形”的面积．18.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点M(1,32)，左焦点为F(−1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线y=kx+2与椭圆C有两个不同的交点P，Q，点N(0,−2)，记直线NP，NQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的取值范围．19.已知数列{a n}中，a1=1，a n a n+1=(12)n，(n∈N∗)(1)求a1，a2，a3，a4(2)求证：数列{a2n}与{a2n−1}(n∈N∗)都是等比数列．20.已知函数f(x)=lnx+2ax，a∈R．(1)若函数f(x)在[2,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为3，求实数a 的值．21. 21 (本题10分)已知矩阵M =[−12523] ．(1)求M 的特征值和特征向量；(2)若向量α=[116]，求M 3α．22. 在极坐标系中，已知圆C 的方程为ρ=2sinθ，直线l 的方程为ρsin(θ+π3)=a.若直线l 与圆C相切，求实数a 的值．23.已知：x，y，z是正实数，且x+2y+3z=1．(1)求1x +1y+1z的最小值；(2)求证：x2+y2+z2≥114．24.已知抛物线y2=2px(p>0)过点(4,4)，它的焦点F，倾斜角为π3的直线l过点F且与抛物线两交点为A，B，点A在第一象限内．(1)求抛物线和直线l的方程；(2)求|AF|：|BF|的值．25.设数列{a n}的前n项和S n=n(n+1)(4n−1)6，n∈N∗(1)求数列{a n}的通项公式．(2)证明：对一切正整数n，有1a12+4a22+⋯n2a n2<54．【答案与解析】1.答案：{4,7}解析：本题主要考查了交集及其运算，属于基础题．由题意即可得出答案．解：因为A={4,7,15},B={x|x<10,x∈Z}，故A∩B={4,7}．故答案为{4,7}．2.答案：5解析：解：|z|=√42+(−3)2=5．故答案为：5．利用复数模的计算公式即可得出．本题考查了复数模的计算公式，属于基础题．3.答案：59解析：本题考查古典概型概率计算，解题关键是列举出所有的基本事件．解：无重复数字的两位数有10，12，13，20，21，23，30，31，32，共9个.其中偶数有10，12，20，30，32，共5个．．所以所求概率为59故答案为5．94.答案：117解析：解：从频率分布直方图，可以知道要使得两边的面积相等，平分面积的直线应该在100～150之间，设该直线为x=a，则50×(0.002+0.005)+0.006×(a−100)=0.06×(150−a)+50×(0.004+0.002)解得a≈117，即这种新产品的日销售量的中位数为大约是117．故答案为：117：．从频率分布直方图中求中位数，即求要使得两边的面积相等的数，设该数为x=a，则x=a的左边部分面积为12，可以看出平分面积的直线应该在100～150之间，计算出第一个和第二个矩形面积之和，再加上第三个矩形中x=a的左边部分面积0.006×(a−100)为0.5，即可解出a．本题考查频率分布直方图、利用频率分布直方图进行总体估计：求中位数，属基本知识、基本运算的考查．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：2解析：解：∵双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0 ,b>0)的渐近线为y=±√3x，∴ba=√3∴c2−a2a2=3即e2−1=3∴e=2故答案为2先利用双曲线的几何性质，焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±ba x，得ba=√3，在两边平方，利用双曲线离心率的定义求其离心率即可本题主要考查了双曲线的标准方程、双曲线的几何性质，双曲线的渐近线定义及其应用，双曲线的离心率定义及求法，属基础题7.答案：1解析：【试题解析】由题意画出图形，可得三棱柱MNP−M1N1P1的底面为直角三角形，且为直三棱柱，由已知求出底面直角三角形的边长与高，则体积可求．本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．解：由题意画出图形如图，则三棱柱MNP−M1N1P1的底面为直角三角形MNP，高为侧棱M1M，且由已知可得PN=12SD=1，MN=12BD=√2，MM1=12AC=√2，∴三棱柱MNP−M1N1P1的体积为12×1×√2×√2=1．故答案为：1．8.答案：必要不充分解析：因为函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数，不一定有φ=0，但是φ=0一定有f(x)=sin(x+φ)为奇函数，因此可以判断“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”是“φ=0”的必要不充分条件．9.答案：5√2解析：本题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题型．首先根据cosB=45求出sin B，再利用正弦定理即可求解．解：∵cosB=45，∴B为锐角，∴sinB=35，∵AC=6，C=π4,由正弦定理得ACsinB =ABsinC，∴635=√22，∴AB=5√2．故答案是5√2．10.答案：9解析：解：n≥2，a n=S n−S n−1=2n+1−2n=2n.n=1，a1=S1=4．∴a n={4,n=12n,n≥2．∴b1=log2(42×24)=8，n≥2时，b n=log2[(2n)2⋅22n]=2n+2n．数列的{b n}的前n项和为T n=8+4(2n−1−1)2−1+2×n(n+1)2=2n+1+4+n2+n．由T n >1024，即满足2n+1+4+n 2+n >1024的最小n 的值为9．故答案为：9．n ≥2，a n =S n −S n−1.n =1，a 1=S 1=4.可得a n .b 1=log 2(42×24)=8，n ≥2时，b n =log 2[(2n )2⋅22n]=2n +2n.利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11.答案：{2}解析：本题考查函数性质的应用，比较基础．求得集合P ，Q 再由交集的定义求解即可．解：因为P ={x ∈N|1≤x ≤10}={1,2，3，4，5，6，7，8，9，10}，Q ={x ∈R|x 2+x −6=0}={−3,2}，所以P ∩Q ={2}．故答案为{2}．12.答案：x(1+x)解析：当x >0时，−x <0，f(x)=−f(−x)=−[(−x)(1+x)]=x(1+x)．13.答案：5解析：解：∵M 为AC 的中点，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=36，①∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA⃗⃗⃗⃗⃗ 2=16，② ①−②得：4BA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =20， ∴BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5．故答案为：5．由题意可得BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，对两式平方相减即可得出答案．本题考查了平面向量线性运算的几何意义，平面向量的数量积运算，属于在中档题．14.答案：①②③解析：本题考查曲线与方程及根据方程分析曲线具有的几何性质，属于中档题．根据方程结合几何性质分析即可．解：y4+(2x2+2)y2+(x4−2x2)=0(∗)，在(∗)式中，将x换成−x，方程不变，所以曲线C关于y轴对称；将y换成−y，方程不变，所以曲线C关于x轴对称；同时将x换成−x，将y换成−y，方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①②正确；(∗)式可变形为x4+(2y2−2)x2+(y4+2y2)=0，可以看成是关于x2的二次方程，则，所以y2⩽14, −12⩽y⩽12，所以③正确．故答案①②③．15.答案：解：(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)是R上的偶函数，所以φ=π2+kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ=π2，即f(x)=cosωx．因为图象关于点M(34π,0)对称，所以ω⋅34π=π2+mπ，m∈Z，ω=23+4m3，又0<ω<1，所以ω=23．(2)因为x∈[−3π4,π2 ]，所以23x∈[−π2,π3]，当23x=0时，即x=0，函数f(x)的最大值为1，当23x=−π2时，即x=−3π4，函数f(x)的最小值为0．解析：本题考查三角函数y=Asin(ωx+φ)图象和的性质，题目基础．(1)由函数为偶函数，可得φ=π2，再由对称点可得ω=23；(2)由x∈[−3π4,π2]可得23x∈[−π2,π3]，再根据函数的单调性求解最值即可．16.答案：证明：(Ⅰ)连接AC交BD于O，则AC⊥BD，∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面PAC，即平面BDF⊥平面PCF；(Ⅱ)如图所示，取PF中点G，连接EG，CG，连接FO．由题可得F为AG中点，O为AC中点，∴FO//GC；又G为PF中点，E为PD中点，∴GE//FD．又GE∩GC=G，GE、GC⊂面GEC，FO∩FD=F，FO，FD⊂面FOD．∴面GEC//面FOD．∵CE⊂面GEC，∴CE//面BDF；解析：(Ⅰ)连接AC交BD于O，证明BD⊥平面PAC，即可证明结论；(Ⅱ)取PF中点G，连接EG，CG，连接FO.由三角形中位线定理可得FO//GC，GE//FD.然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC//面FOD，进一步得到CE//面BDF．本题考查直线与平面平行的判定，考查了线面垂直、面面垂直的证明，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．17.答案：解：(1)由题意得OP =PE sinθ=r sinθ，又OP +PE =OA ，∴r sinθ+r =OA ，∴OA =1+sinθsinθr ， 又OQ =QD sinθ且OP =OQ +CQ +PC ，∴r sinθ=QD sinθ+QD +r ，∴QD =1−sinθ1+sinθr则当圆Q 的半径不小于OA 9，即QD ≥OA 9也即1−sinθ1+sinθr ≥1+sinθ9sinθr ， 整理得10sin 2θ−7sinθ+1≤0，即15≤sinθ≤12，又θ∈(0,π2)，y =sinθ在θ∈(0,π2)单调增，故θ的最大值为π6；(2)∵BH =OBsin2θ=sin2θ×1+sinθsinθr =2cosθ(1+sinθ)r ， ∴BH PE =2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，则f′(θ)=−sinθ(1+sinθ)+cos 2θ=−2sin 2θ−sinθ+1令f′(θ)>0可解得−1<sinθ<12，可得θ∈(0,π6)，同理令f′(θ)<0可得θ∈(π6,π2)，则当θ∈(0,π6)时，f(θ)为增函数，当θ∈(π6,π2)时，f(θ)为减函数，∴当θ=π6时，BH PE 取得最大值，此时OA =1+1212r =3r ， 故“最理想扇形”的面积为12×π6×OA 2=π12×(3r)2=34πr 2解析：(1)由题意得OA =1+sinθsinθ，QD =1−sinθ1+sinθr ，由QD ≥OA 9可得sinθ的不等式，解不等式解正弦函数的单调性可得；(2)可得BH PE =2cosθ(1+sinθ)，设f(θ)=cosθ(1+sinθ)，θ∈(0,π2)，由导数法可得函数的最值，可得结论．本题考查导数和三角函数的综合应用，涉及新定义和导数法判函数的单调性，属难题．18.答案：解：(1)因为左焦点为F(−1,0)，所以c =1，因为过点M(1,32)，所以1a 2+94b 2=1，解之得a 2=4，b 2=3，所以椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，联立方程{x 24+y 23=1y =kx +2，得(3+4k 2)x 2+16kx +4=0， 由Δ=(16k)2−4×4(3+4k 2)>0可得k 2∈(14,+∞) ，则x 1+x 2=−16k 3+4k 2，x 1x 2=43+4k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=123+4k 2，y 1y 2=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4=12−12k 23+4k 2， 所以k 1k 2=y 1+2x 1·y 2+2x 2=y 1y 2+2(y 1+y 2)+4x 1x 2=k 2+12 ， 因为k 2∈(14,+∞)，所以k 2+12∈(494,+∞)，所以k 1k 2取值范围为(494,+∞)．解析：本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆相交问题，属于中档题．(1)根据题目条件列方程组，求出a ，b ，c 的值即可；(2)设P ，Q 点坐标，将所求的k 1k 2表示成点P ，Q 坐标的关系，再利用韦达定理代入即可． 19.答案：(1)解：∵数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，∴a 1=1，a 2=12，a 3=12，a 4=14；(2)证明：∵a n a n+1=(12)n ，∴a n+2a n =12， ∴数列a 1，a 3，…a 2n−1，是以1为首项，12为公比的等比数列；数列a 2，a 4，…，a 2n ，是以12为首项，12为公比的等比数列．解析：(1)利用数列{a n }中，a 1=1，a n a n+1=(12)n ，可求a 1，a 2，a 3，a 4；(2)由a n a n+1=(12)n ，可得a n+2a n =12，根据等比数列的定义判定出数列{a 2n }与{a 2n−1}(n ∈N ∗)都是等比数列．本题主要考查了等比关系的确定．解题的关键是对等比数列基础知识点的熟练掌握． 20.答案：解：(1)f ′(x)=x−2ax 2，∵f(x)在区间[2,+∞)上是增函数，∵x 2>0，∴x −2a ≥0即2a ≤x 在区间[2,+∞)恒成立，即2−2a ≥0，解得a ≤1；∴实数a 的取值范围为(−∞,1]．(2)f ′(x)=x−2a x 2， ①当a ≤12时，f′(x)=x−2ax 2≥0在[1,e]恒成立，∴f(x)在区间[1,e]为增函数，∴f(x)min =f(1)=2a =3，得a =32不符合题意舍；②当12<a <e 2时，f′(x)=x−2ax 2≤0在[1,2a]成立，∴f(x)在区间[1,2a]为减函数，f′(x)=x−2ax 2≥0在[2a,e]成立，∴f(x)在区间[2a,e]为增函数， ∴f(x)min =f(2a)=ln(2a)+1=3，解得a =e 22(舍)； ③当a ≥e 2时，f′(x)=x−2ax 2≤0在[1,e]恒成立，∴f(x)在区间[1,e]为减函数，∴f(x)min =f(e)=lne +2a e =3，解得a =e ．综上可得，a 的值为e ．解析：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用，以及转化思想和分类讨论的思想方法，运算求解能力，属于难题．(1)求出f(x)的导数，由题意可得x −2a ≥0即2a ≤x 在区间[2,+∞)恒成立，求得x 的最小值，即可得到a 的范围；(2)求出f(x)的导数，讨论①当a ≤12时，②当12<a <e 2时，③当a ≥e 2时，由单调性和恒成立思想解方程可得a 的值．21.答案：解：(1)M =[−12523]有两个特征值λ1=4,λ2=−2；属于λ1=4的一个特征向量为α1=[25]；属于λ2=−2的一个特征向量为α2=[−21]． (2)α=[116]=3α1+α2， ∴M 3α=3λ13α1+λ23α2=[208952]．解析：本题考查特征值、特征向量的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)考查矩阵特征值和特征向量；(2)考查的矩阵的运算，利用α=[116]=3α1+α2计算即可． 22.答案：解：由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，由ρsin(θ+π3)=a ，得ρ(12sinθ+√32cosθ)=a ， 所以直线l 的直角坐标方程为√3x +y −2a =0，因为直线l 与圆C 相切，所以√3+1=1， 解得a =32或a =−12．解析：先把直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据相切得圆心到直线的距离等于半径列方程可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：(1)解：1x +1y +1z =(1x +1y +1z )(x +2y +3z)≥(√x ⋅1x +√2y ⋅1y +√3z ⋅1z )2=(1+√2+√3)2=6+2√2+2√3+2√6， 当且仅当x =√2y =√3z 时，等号成立，因此，1x +1y +1z 的最小值为6+2√2+2√3+2√6；(2)证：由柯西不等式可得(12+22+32)(x 2+y 2+z 2)≥(x +2y +3z)2=1，即14(x 2+y 2+z 2)≥1，则x 2+y 2+z 2≥114，当且仅当x=y2=z3时，等号成立．解析：(1)将1x +1y+1z与x+2y+3z相乘，利用柯西不等式可求出1x+1y+1z的最小值；(2)将x2+y2+z2与数12+22+32相乘，利用柯西不等式进行配凑可证明x2+y2+z2≥114．本题考查柯西不等式，解题的关键在于对代数式进行合理的配凑，属于中等题．24.答案：解：(1)∵抛物线y2=2px(p>0)过点(4,4)，∴16=8p，∴p=2，∴抛物线的方程为y2=4x，焦点F(1,0)，直线方程为y=√3(x−1)；(2)直线y=√3(x−1)与抛物线方程联立{y2=4xy=√3(x−1),可得3x2−10x+3=0，∴x=13或3，又∵点A在第一象限，∴x A=3，x B=3∴|AF|=3+1=4，|BF|=13+1=43，∴|AF|：|BF|=4：43=3．解析：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．(1)抛物线y2=2px(p>0)过点(4,4)，代入，求出p，可得抛物线方程，求出焦点F(1,0)，可得直线方程；(2)y=√3(x−1)与抛物线方程联立，可得3x2−10x+3=0，求出A，B的横坐标，即可求出|AF|：|BF|的值25.答案：(1)解：a n=S n−S n−1=n(n+1)(4n−1)6−(n−1)n(4n−5)6=n(2n−1)；显然，当n=1时，a1=1×(2×1−1)=1，故数列{a n}的通项公式为a n=n(2n−1)；(2)证明：根据(2)可得：a n=n(2n−1)，故n 2a n2=n2n2(2n−1)2=1(2n−1)2<1(2n−1+1)(2n−1−1)=14(1n−1−1n)(n≥2)，所以1a12+4a22+⋯n2a n2<1+14(1−12+12−13+⋯+1n−1−1n)=1+14(1−1n)<54．解析：本题主要考查数列的通项公式，是数列与不等式相结合的综合题，难度较大，考查了分析问题与解决问题的能力．(1)根据S n与a n的关系，即可求数列{a n}的通项公式；(2)利用n2a n2=1(2n−1)2<1(2n−1+1)(2n−1−1)放缩、并项相加即可计算．。
2023年江苏省苏州市高考数学模拟试卷及答案解析
2023年江苏省苏州市高考数学模拟试卷本试卷满分150分。
共22道题。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上。
将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若非空且互不相等的集合A、B、C，满足：A∪B＝A，B∩C＝C，则A∩C＝（）A．A B．B C．C D．∅2．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i（其中i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．C．2D．3．在△ABC中，满足A＞2B，则下列说法正确的是（）A．cos A＜2cos B B．sin A＞2sin B C．sin A＞sin2B D．tan A＞2tan B 4．已知直线m，n是平面α的两条斜线，若m，n为不垂直的异面直线，则m，n在平面α内的射影m'，n'（）A．不可能平行，也不可能垂直B．可能平行，但不可能垂直C．可能垂直，但不可能平行D．可能平行，也可能垂直5．已知，则正确的大小顺序是（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．c＜a＜b6．已知数列{a n}满足a n＝n，在a n，a n+1之间插入n个1，构成数列{b n}：a1，1，a2，1，1，a3，1，1，1，a4，⋯，则数列{b n}的前100项的和为（）A．178B．191C．206D．2167．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若，，则实数λ＝（）A．2B．3C．4D．58．已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），若函数f（x）＝P（x≤ξ≤x+2）是偶函数，则实数μ＝（）A．0B．C．1D．2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．已知二项式，则下列说法中正确的有（）A．二项展开式中有常数项B．二项展开式的系数和为0C．二项展开式的第2项系数为2022D．二项展开式的第1012项的系数最大（多选）10．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是底面ABCD内的动点，若，则（）A．B1P⊥BD1B．B1P∥平面A1DC1C．四面体PA1DC1的体积为定值D．B1P与底面ABCD所成的角最大为45°（多选）11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，点A（2，0），过点A的直线与圆C交于两点P，Q，且AP＜AQ．则（）A．直线PQ的斜率k≥1B．AQ的最小值为2C．AP的最小值为D．•＝4（多选）12．已知函数f（x）＝|sin x|cos x，x∈R，则（）A．函数f（x）的值域为B．函数f（x）是一个偶函数，也是一个周期函数C．直线是函数f（x）的一条对称轴D．方程f（x）＝log4x有且仅有一个实数根三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∀x∈R，x2﹣1＜0”的否定是“”．14．已知θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ的值为．15．在三棱锥A﹣BCD中，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC 与BD所成角的余弦值为．16．设随机变量ξ的分布列如下：ξ12345678910P a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10且数列{a n}满足P（ξ≤k）＝ka k（k＝1，2，3，⋯，10），则E（ξ）＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）若，求证：数列{b n}是等差数列；（2）求出数列{a n}的通项公式a n和前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，AB•tan C＝AC•tan B，点D是边BC上一点，且满足2+•＝0．（1）证明：△ABC为等腰三角形；（2）若BD＝3CD，求∠BAC的余弦值．19．（12分）如图，以C为直角顶点的等腰直角三角形ABC所在的平面与以O为圆心的半圆弧所在的平面垂直，P为上异于A，B的动点，已知圆O的半径为1．（1）求证：CO⊥PB；（2）若二面角P﹣BC﹣A的余弦值为，求点P到平面ABC的距离．20．（12分）某校举行青年教师视导活动，对48位青年教师的备课本进行了检查，相关数据如表：性别等级合计良好优秀男教师a1018女教师1020合计3048附：（其中n＝a+b+c+d）．临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.001P（χ2≥x0）x0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）是否有90%的把握认为备课本是否优秀与性别有关？（2）从48本备课本中不放回的抽取两次，每次抽取一本，求第一次取到女教师备课本的条件下，第二次取到优秀备课本的概率．21．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的极值；（2）对任意实数x＞0，f（x）≤（x﹣a）lnx+1恒成立，求正实数a的取值范围．22．（12分）离心率为e的椭圆经过抛物线y2＝8x的焦点，且直线y＝ex是双曲线的一条渐近线．椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线AP的斜率为k1，直线QB的斜率为k2．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线PQ过x轴上一定点（m，0），求（用含m的式子表示）．2023年江苏省苏州市高考数学模拟试卷本试卷满分150分。
2019届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷【含答案及解析】
2019届江苏省苏州市高三第一次模拟考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、填空题1. 设全集U＝｛x|x ≥ 2 ，x ∈ N ｝，集合A＝｛x|x 2 ≥5，x ∈ N ｝，则___________ ．2. 复数，其中i为虚数单位，＝，则a的值为___________ ．3. 双曲线的离心率为___________ ．4. 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为___________ ．5. 已知向量a= （ 1，2 ），b= （ x，-2 ），且a⊥ （ a-b ），则实数x=___________ ．6. 阅读算法流程图，运行相应的程序，输出的结果为___________ ．7. 函数的值域为___________ ．8. 连续2次抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6 ），则事件“ 两次向上的数字之和等于7” 发生的概率为___________ ．9. 将半径为5的圆分割成面积之比为的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为，则＝___________ ．10. 已知是第三象限角，且，则＝___________ ．11. 已知是等差数列，a 5 ＝15，a 10 ＝－10，记数列的第 n 项到第n+ 5项的和为 T n ，则取得最小值时的 n 的值为___________ ．12. 若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则＝___________ ．13. 已知函数f （ x ）＝－kx （x≥0，k ∈ R ）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为，则＝_________ ．14. 已知，，则的最小值为___________ ．二、解答题15. 在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（ 2 ）若的面积为，，求边的长．16. 如图，在直四棱柱 ABCD ﹣ A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB ， BC 的中点， A 1 C 1 与 B 1 D 1 交于点 O ．（1）求证： A 1 ， C 1 ， F ， E 四点共面；（2）若底面 ABCD 是菱形，且 A 1 E，求证：平面 A 1 C 1 FE．17. 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧的中点，渠宽AB为2米．（1）当渠中水深CD为0．4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？18. 如图，已知椭圆O ：＋ y 2 ＝1 的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点（与y轴交点除外），直线PC交椭圆于另一点M ．（1）当直线PM过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；（2）①记直线BM，BP的斜率分别为k 1 ，k 2 ，求证：k 1 · k 2 为定值；②求的取值范围．19. 已知数列满足：，， , ．（1）若，且数列为等比数列，求的值；（ 2 ）若，且为数列的最小项，求的取值范围．20. 已知函数（a ∈ R ），为自然对数的底数．（ 1 ）当 a ＝ 1 时，求函数的单调区间；（ 2 ）①若存在实数，满足，求实数的取值范围；②若有且只有唯一整数，满足，求实数的取值范围．21. 如图，四边形 ABDC 内接于圆， BD=CD ，过 C 点的圆的切线与 AB 的延长线交于 E 点．（ 1 ）求证：；（2）若BD ⊥ AB ， BC=BE ， AE=2 ，求 AB 的长．22. 已知二阶矩阵 M 有特征值 =3 及对应的一个特征向量，并且矩阵 M 对应的变换将点（ -1,2 ）变换成（ 9,15 ），求矩阵 M ．23. 在直角坐标系xOy中，已知曲线的参数方程是，在以坐标原点O为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程是，求曲线与的交点在直角坐标系中的直角坐标．24. 设函数 f （ x ）＝＋ |x － a| （ a ＞ 0 ）．（ 1 ）证明： f（x）≥ 2 ；（ 2 ）若 f （ 3 ）＜ 5 ，求实数 a 的取值范围．25. 一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的三种商品有购买意向．已知该网民购买种商品的概率为，购买种商品的概率为，购买种商品的概率为．假设该网民是否购买这三种商品相互独立．（ 1 ）求该网民至少购买2种商品的概率；（ 2 ）用随机变量表示该网民购买商品的种数，求的概率分布和数学期望．26. 如图，由若干个小正方形组成的 k 层三角形图阵，第一层有 1 个小正方形，第二层有 2 个小正方形，依此类推，第 k 层有 k 个小正方形．除去最底下的一层，每个小正方形都放置在它下一层的两个小正方形之上．现对第 k 层的每个小正方形用数字进行标注，从左到右依次记为，其中（），其它小正方形标注的数字是它下面两个小正方形标注的数字之和，依此规律，记第一层的小正方形标注的数字为．（ 1 ）当 k = 4 时，若要求为 2 的倍数，则有多少种不同的标注方法？（ 2 ）当 k = 11 时，若要求为 3 的倍数，则有多少种不同的标注方法？参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】第26题【答案】。
2022年江苏省苏州市高考数学一模试卷及答案解析
2022年江苏省苏州市高考数学一模试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）设i 为虚数单位，若复数（1﹣i ）（1+ai ）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．22．（5分）设集合A ＝{x ∈N *|1＜log 2x ＜3}，B ＝{1，2，3，4}，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．93．（5分）已知圆锥的高为√6，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A ．2√2B ．2√3C ．2√6D ．4√24．（5分）在△ABC 中，∠BAC =π2，点P 在边BC 上，则“AP =12BC ”是“P 为BC 中点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 3+S 6=15，则a 3a 3+a 6=（ ） A ．215B ．14C ．516D ．136．（5分）北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A ，B 两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是（ ） A ．59B ．89C ．1718D ．35367．（5分）已知a ＞b +1＞1，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．|b ﹣a |＞b B ．a +1a ＞b +1bC ．b+1a−1＜e b lnaD ．a +lnb ＜b +lna8．（5分）若斜率为k （k ＞0）的直线l 与抛物线y 2＝4x 和圆M ：（x ﹣5）2+y 2＝9分别交于A ，B 和C ，D 两点，且AC ＝BD ，则当△MCD 面积最大时k 的值为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）折纸发源于中国．19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则（ ）A ．EH →∥FC →B ．AH →⋅BE →=0 C ．EG →=EH →+EF →D ．EC →⋅EH →=EC →⋅ED →（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ） A ．若z 1，z 2为复数，则|z 1z 2|＝|z 1|•|z 2| B ．若a →，b →为向量，则 |a →⋅b →|=|a →|⋅|b →|C ．若z 1，z 2为复数，且|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1z 2＝0D ．若a →，b →为向量，且|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⋅b →=0（多选）11．（5分）已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+1，则（ ） A ．∀a ∈R ，函数f （x ）在R 上均有极值B ．∃a ∈R ，使得函数f （x ）在R 上无极值C ．∀a ∈R ，函数f （x ）在（﹣∞，0）上有且仅有一个零点D ．∃a ∈R ，使得函数f （x ）在（﹣∞，0）上有两个零点（多选）12．（5分）甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2，方差在区间[1.2，2.4]内，则这五个点数（）A．众数可能为1B．中位数可能为3C．一定不会出现6D．出现2的次数不超过两次三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）记数列{a n}的前n项积为T n，写出一个同时满足①②的数列{a n}的通项公式：a n＝．①{a n}是递增的等比数列；②T3＝T6．14．（5分）设点P是曲线y=√x−32lnx上的任意一点，则P到直线y＝﹣x的最小距离是．15．（5分）已知F1，F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左，右焦点，若点F2关于双曲线C的渐近线的对称点E在C上，则双曲线C的离心率为．16．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝BB1＝2，D，E分别为棱A1C1，AB的中点，过点B1，D，E作平面α将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为V1，V2（V1＜V2），则V2＝；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①MC＝2MB；②sinC=√2114③S△ABM=√3这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2√7，bsin B+C2=asinB．（1）求A；（2）若M为边AC上一点，且∠ABM＝∠BAC，_______，求△ABC的面积．18．（12分）若数列{a n}满足a n+m＝a n+d（m∈N*，d是不等于0的常数）对任意n∈N*恒成立，则称{a n}是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列{a n}中，a1＝1，a n+a n+1＝4n+1（n∈N*）．（1）求证：{a n}是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2，a2022的值；（2）若数列{b n}满足b n＝a n+1﹣a n（n∈N*），求{b n}的前n项和T n．19．（12分）2021年8月国务院印发《全民健身计划2021﹣2025》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等．在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动．某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查．愿意不愿意合计男性252550女性401050合计6535100（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关？附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P（K2＞k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加．市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元．求补贴金额的分布列及数学期望（四舍五入精确到元）．20．（12分）如图，在四面体ABCD中，已知△ABD是边长为2的等边三角形，△BCD是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，E为线段AB的中点，G为线段BD的中点，F为线段BD上的点．（1）若AG∥平面CEF，求线段CF的长；（2）若二面角A﹣BD﹣C的大小为30°，求CE与平面ABD所成角的大小．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），直线P A与直线PB的斜率之积为−14，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若点M为曲线C上的任意一点（不含短轴端点），点D（0，1），直线AM与直线BD交于点Q，直线DM与x轴交于点G，记直线AQ的斜率为k1，直线GQ的斜率为k2，求证：k1﹣2k2为定值．22．（12分）已知函数f（x）＝ln（e x﹣1）﹣lnx．（1）判断f（x）的单调性，并说明理由；（2）若数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝f（a n），求证：对任意n∈N*，a n＞a n+1＞12n ．2022年江苏省苏州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）设i 为虚数单位，若复数（1﹣i ）（1+ai ）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【解答】解：∵（1﹣i ）（1+ai ）＝1+ai ﹣i +a ＝1+a +（a ﹣1）i 为纯虚数， ∴{1+a =0a −1≠0，解得a ＝﹣1． 故选：A ．2．（5分）设集合A ＝{x ∈N *|1＜log 2x ＜3}，B ＝{1，2，3，4}，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【解答】解：集合A ＝{x ∈N *|1＜log 2x ＜3}＝{3，4，5，6，7}， B ＝{1，2，3，4}，则集合A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6，7}， ∴A ∪B 的元素个数为7． 故选：B ．3．（5分）已知圆锥的高为√6，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A ．2√2B ．2√3C ．2√6D ．4√2【解答】解：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ， ∵圆锥的高为√6，其侧面展开图为一个半圆， ∴12⋅2πl =2πr ，解得l ＝2r ，∴h =√3r =√6， 解得r =√2，l ＝2√2． ∴该圆锥的母线长为2√2． 故选：A ．4．（5分）在△ABC 中，∠BAC =π2，点P 在边BC 上，则“AP =12BC ”是“P 为BC 中点”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：在直角三角形ABC中，若P为BC中点，则AP=12BC成立，即必要性成立，构造矩形ABDC，则BC＝AD，∵点P在边BC上，且AP=12 BC，∴AP=12AD，则AP＝AO，则P不一定与O重合，即充分性不成立，故“AP=12BC”是“P为BC中点”的必要不充分条件，故选：B．5．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若S3S3+S6=15，则a3a3+a6=（）A．215B．14C．516D．13【解答】解：因为数列{a n}为等差数列且S3S3+S6=15，所以5S3＝S3+S6，即4S3＝S6，则4（3a1+3d）＝6a1+15d，整理得，d＝2a1，则a3a3+a6=a1+2d2a1+7d=516．故选：C．6．（5分）北京时间2021年10月16日0时23分，神舟十三号载人飞船在酒泉卫星发射中心成功发射，受到国际舆论的高度关注．为弘扬航天精神、普及航天知识、激发全校学生为国争光的荣誉感和责任感，某校决定举行以“传航天精神、铸飞天梦想”为主题的知识竞赛活动．现有A，B两队均由两名高一学生和两名高二学生组成．比赛共进行三轮，每轮比赛两队都随机挑选两名成员参加答题，若每位成员被选中的机会均等，则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是（ ） A ．59B ．89C ．1718D ．3536【解答】解：四个学生来自同一年级的概率为P =C 21C 22C 22C 42C 42=118则第三轮比赛中被两队选中的四位学生不全来自同一年级的概率是： 1﹣P ＝1−118=1718． 故选：C ．7．（5分）已知a ＞b +1＞1，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．|b ﹣a |＞b B ．a +1a ＞b +1bC ．b+1a−1＜e b lnaD ．a +lnb ＜b +lna【解答】解：∵a ＞b +1＞1， ∴a ﹣b ＞1，b ＞0，a ＞1，对于A ：当a ＝3.5，b ＝2时，满足a ＞b +1＞1，但是|b ﹣a |＝1.5＜|b |＝2，故A 不成立； 对于B ：当a ＝2，b ＝0.5时，2+12=12+2，故B 不成立； 对于D ：当a ＝e ，b =1e 时，e ﹣1＞1e +1，故D 不成立． 对于C ：先证明e x ≥x +1，令y ＝e x ﹣x ﹣1，y ′＝e x ﹣1， 当x ＞0时，y ′＞0，y 递增；当x ＜0时，y ′＜0，y 递减． ∴x ＝0时，y 有极小值，也是最小值e 0﹣1﹣1＝0， ∴y ＝e x ﹣x ﹣1≥0，当且仅当x ＝0时取等号，由e x ≥x +1，当x ﹣1≥lnx ，当且仅当x ＝1时取得等号， ∵a ＞b +1＞1，得到e b ＞b +1，lna ＜a ﹣1， ∴a−1lna＞1＞b+1e b，∴b+1a−1＜e b lna，故C 正确．故选：C ．8．（5分）若斜率为k （k ＞0）的直线l 与抛物线y 2＝4x 和圆M ：（x ﹣5）2+y 2＝9分别交于A ，B 和C ，D 两点，且AC ＝BD ，则当△MCD 面积最大时k 的值为（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．2√2【解答】解：因为AC ＝BD ，设CD 的中点为N ，则N 为AB 的中点，设直线l 的方程为：y ＝kx +t ，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则M 到直线l 的距离d =√1+k ，CD ＝2√r 2−d 2，所以S △MCD =12•CD •MN =12d •2√9−d 2=√−d 4+9d 2，当d 2=92时，S 最大，即(5k+t)21+k 2=92①，联立{y =kx +t y 2=4x ，整理可得：k 2x 2+（2kt ﹣4）x +t 2＝0，则x 1+x 2=−2kt−4k2，y 1+y 2＝k （x 1+x 2）+2t =−2k 2t+4kk2+2t =4k ，可得AB 的中点N （−kt+2k 2，2k ），所以k MN =2k −kt+2k2−5=2k−kt+2−5k2，因为MN ⊥AB ，所以−1k =2k −kt+2−5k 2，整理可得t =2−3k2k ，②， 将②代入①中可得（5k +2−3k 2k ）2=92（1+k 2）2，整理可得：k 2＝8，k ＞0，解得k ＝2√2， 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）折纸发源于中国．19世纪，折纸传入欧洲，与自然科学结合在一起称为建筑学院的教具，并发展成为现代几何学的一个分支．我国传统的一种手工折纸风车（如图1）是从正方形纸片的一个直角顶点开始，沿对角线部分剪开成两个角，将其中一个角折叠使其顶点仍落在该对角线上，同样操作其余三个直角制作而成的，其平面图如图2，则（ ）A ．EH →∥FC →B ．AH →⋅BE →=0 C ．EG →=EH →+EF →D ．EC →⋅EH →=EC →⋅ED →【解答】解：选项A ，由对称性知，EH ∥FG ，而FG 与FC 不重合，即A 错误； 选项B ，设风车的中心为O ，AH →•BE →=（OH →−OA →）•（OE →−OB →）=OH →•OE →−OH →•OB →−OA →•OE →+OA →•OB →＝0−OH →•OB →−OA →•OE →+0=OF →•OB →−OA →•OE →=0，即B 正确； 选项C ，EG →=EH →+HG →=EH →+EF →，即C 正确； 选项D ，EC →•EH →=|EC →|•|EH →|cos ∠CEH ＝|EC →|•|OE →|， EC →•ED →=|EC →|•|ED →|cos ∠CED ＝|EC →|•|OE →|，即D 正确． 故选：BCD ．（多选）10．（5分）下列命题正确的是（ ） A ．若z 1，z 2为复数，则|z 1z 2|＝|z 1|•|z 2| B ．若a →，b →为向量，则 |a →⋅b →|=|a →|⋅|b →|C ．若z 1，z 2为复数，且|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，则z 1z 2＝0D ．若a →，b →为向量，且|a →+b →|=|a →−b →|，则a →⋅b →=0【解答】解：选项A ，设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，z 1•z 2＝（a +bi ）（c +di ）＝（ac ﹣bd ）+（ad +bc ）i ，所以|z 1•z 2|=√(ac −bd)2+(ad +bc)2=√(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2， |z 1|•|z 2|=√a 2+b 2•√c 2+d 2=√(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2，即A 正确； 选项B ，因为a →•b →=|a →|•|b →|cos ＜a →，b →＞，所以|a →•b →|≠|a →|•|b →|，即B 错误；选项C ，因为|z 1+z 2|＝|z 1﹣z 2|，所以（z 1+z 2）2＝（z 1﹣z 2）2，即z 12+2z 1z 2+z 22=z 12−2z 1z 2+z 22，所以z 1z 2＝0，即C 正确；选项D ，因为|a →+b →|=|a →−b →|，所以（a →+b →）2＝（a →−b →）2，即|a →|2+|b →|2+2a →•b →=|a →|2+|b →|2﹣2a →•b →，所以a →•b →=0，即a →⊥b →，故D 正确． 故选：ACD ．（多选）11．（5分）已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+1，则（ ） A ．∀a ∈R ，函数f （x ）在R 上均有极值B ．∃a ∈R ，使得函数f （x ）在R 上无极值C ．∀a ∈R ，函数f （x ）在（﹣∞，0）上有且仅有一个零点D ．∃a ∈R ，使得函数f （x ）在（﹣∞，0）上有两个零点【解答】解：由函数f(x)=13x 3+12ax 2+1，得f ′（x ）＝x 2+ax ，a ＝0时，f ′（x ）≥0，f （x ）无极值，故A 错误，B 正确；当a ＝0时，f （x ）在R 上是单调递增，f （﹣3）＝﹣8，f （0）＝1，f （﹣3）f （0）＜0，所以f （x ）在（﹣∞，0）有且仅有一个零点，当a ＜0时，f ′（x ）＞0在（﹣∞，0）恒成立，f （x ）在（﹣∞，0）是单调递增， 当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞，f （0）＝1＞0，所以函数f （x ）在（﹣∞，0）上有且仅有一个零点，当a ＞0时，f ′（x ）＝0，解得x ＝﹣a 或x ＝0，f （x ）在（﹣∞，﹣a ）是单调递增，（﹣a ，0）单调递减，f （x ）极大值＝f （﹣a ）＞f （0）＝1，又当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞，函数f （x ）在（﹣∞，0）上有且仅有一个零点， 所以∀a ∈R ，函数f （x ）在（﹣∞，0）上有且仅有一个零点，故C 正确，D 错误． 故选：BC ．（多选）12．（5分）甲同学投掷骰子5次，并请乙同学将向上的点数记录下来，计算出平均数和方差．由于记录遗失，乙同学只记得这五个点数的平均数为2，方差在区间[1.2，2.4]内，则这五个点数（ ） A ．众数可能为1 B ．中位数可能为3 C ．一定不会出现6 D ．出现2的次数不超过两次【解答】解：对于A ，向上的点数为1，1，1，2，5时，众数为1，平均数为2， 方差为15[（1﹣2）2+（1﹣2）2+（1﹣2）2+（2﹣2）2+（5﹣2）2]＝1.2∈[1.2，2.4]，故A正确；若中位数为3，设五次数据从小到大为：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 3＝3， ∴a 1+a 2+a 4+a 5＝2×5﹣3＝7，a 1+a 2≥2，a 4+a 5≤5，矛盾，故B 错误；若出现了6，则其它四次和为4，即数据为1，1，1，1，6，方差为15[（1﹣2）2+（1﹣2）2+（1﹣2）2+（1﹣2）2+（6﹣2）2]＝4∉[1.2，2.4]，矛盾，故C 正确；若出现3次2，则其它2次和为4，这两次为1，4，方差为15[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（4﹣2）2]＝0.4∉[1.2，2.4]，矛盾，故D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）记数列{a n }的前n 项积为T n ，写出一个同时满足①②的数列{a n }的通项公式：a n ＝ a n ﹣5（a ＞1） ．①{a n }是递增的等比数列； ②T 3＝T 6．【解答】解：因为{a n }是递增的等比数列且T 3＝T 6， 所以a 4a 5a 6=a 53=1， 所以a 5＝1，故满足条件的a n ＝a n ﹣5（a ＞1）．故答案为：a n ＝a n ﹣5（a ＞1）．14．（5分）设点P 是曲线y =√x −32lnx 上的任意一点，则P 到直线y ＝﹣x 的最小距离是 √2 ．【解答】解：设P （t ，√t −32lnt ），在P 到直线y ＝﹣x 的距离为： d =√t−32lnt|√2，令f （t ）＝t +√t −32lnt ，则f ′（t ）＝112√t 32t，由f ′（t ）＝0得t ＝1，当t ∈（0，1）时，f ′（t ）＜0，f （t ）单调递减；t ∈（1，+∞）时，f ′（t ）＞0，f （t ）单调递增，故f （t ）min ＝f （1）＝2＞0，故|t +√t −32lnt |min ＝f （1）＝2， 故d min =√2=√2． 故答案为：√2．15．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，若点F 2关于双曲线C 的渐近线的对称点E 在C 上，则双曲线C 的离心率为 √5 ． 【解答】解：设F 2（c ，0），渐近线方程为y =ba x ， F 2的对称点为E （m ，n ）， 即有n m−c=−ab，且12•n =12•b(m+c)a， 解得m =b 2−a 2c ，n =−2abc ，将E （b 2−a 2c ，−2ab c ），即（c 2−2a 2c，−2abc ），代入双曲线的方程可得(c 2−2a 2)2c 2a 2−4a 2b 2c 2b 2=1，化简可得c 2a 2−4＝1，即有e 2＝5，解得e =√5． 故答案为：√5．16．（5分）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝BB 1＝2，D ，E 分别为棱A 1C 1，AB 的中点，过点B 1，D ，E 作平面α将此三棱柱分成两部分，其体积分别记为V 1，V 2（V 1＜V 2），则V 2＝176；平面α截此三棱柱的外接球的截面面积为269π ．【解答】解：取AC 中点D 1，取AD 1中点F ，连EF ，DF ，EF ∥DB 1，∴平面α为平面DB 1EF ，∵AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝BB 1＝2，D ，E 分别为棱A 1C 1，AB 的中点， 所以S △A 1B 1D 1=12×2×2×12=1，S △AEF =14， 由棱台体积公式可得V 1=13（1+14+12）×2=76， V 2=12×2×2×2−76=176， 由AB ⊥BC ，可得三棱柱外接球球心在DD 1的中点， 所以有三棱柱外接球半径=√2+1=√3，如图以B 点为原点，CB 为x 轴，AB 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B （0，0，0），B 1（0，0，2），D （﹣1，﹣1，2），E （0，﹣1，0）， 设平面α的法向量n →=（x ，y ，z ），{n →⋅B 1D →=0n →⋅DE →=0，可得{−x −y =0x −2z =0，不妨设z ＝1，则x ＝2，y ＝﹣2，n →=（2，﹣2，1）， ∴球心M （﹣1，﹣1，1）到平面α距离d =|MB 1→⋅n →||n →|=13，∴r =√3−19=√269，S ＝πr 2=269π． 故答案为：176；269π．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①MC ＝2MB ；②sinC =√21③S △ABM =√3这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）的横线上，并解答下列题目．在△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =2√7，bsin B+C2=asinB ． （1）求A ；（2）若M 为边AC 上一点，且∠ABM ＝∠BAC ，_______，求△ABC 的面积． 【解答】解：（1）由条件bsin B+C2=asinB ，得bsin(90°−A2)=asinB ， 所以bcosA2=asinB ， 由正弦定理得sinBcos A2=sinAsinB ， 又△ABC 中，sin B ≠0，所以cos A2=sinA ， 即 2sin A2cos A2=cos A2， 又 0＜A ＜180°， 所以 cosA 2≠0，则 sin A 2=12， 所以 A ＝60°．（2）由（1）得 A ＝60°，由条件∠ABM ＝∠BAC 可知△ABM 为等边 三角形， 若选①：MC ＝2MB ， 不妨设 MB ＝x ，MC ＝2x ，在△BCM 中由余弦定理得 x 2+4x 2﹣4x 2cos120°＝a 2，解得x ＝2， 所以MA ＝MB ＝2，MC ＝4， △ABC 的面积为 12AB ⋅AM ⋅sinA +12MB ⋅MC ⋅sin∠BMC =3√3； 若选②sinC =√2114，由正弦定理得asinA=c sinC，解得 c ＝2，由余弦定理 a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，解得b ＝6（负值舍去）， 所以△ABC 的面积为12bcsinA =3√3；若选③，S △ABM =√3，由等边三角形ABM 的面积为 √3， 可得其边长为 2，即c ＝AB ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，解得b ＝6（负值舍去）， 所以△ABC 的面积为12bcsinA =3√3．18．（12分）若数列{a n }满足a n +m ＝a n +d （m ∈N *，d 是不等于0的常数）对任意n ∈N *恒成立，则称{a n }是周期为m ，周期公差为d 的“类周期等差数列”．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n +a n +1＝4n +1（n ∈N *）．（1）求证：{a n }是周期为2的“类周期等差数列”，并求a 2，a 2022的值； （2）若数列{b n }满足b n ＝a n +1﹣a n （n ∈N *），求{b n }的前n 项和T n ．【解答】证明：（1）由a n +a n +1＝4n +1可知，当n ＝1时，a 1+a 2＝5，所以 a 2＝4， 且a n +1+a n ⋅2＝4n +5， 两式相减得 a n +2﹣a n ＝4，所以 {a n }是周期为2 的“类周期等差数列”，且周期公差为 4， 所以 a 2022＝a 2+（2022﹣2）÷2×4＝4044． 解：（2）因为 b n ＝a n +1﹣a n ， 所以 {b n }的前 n 项和 T n ＝a n +1﹣a 1，由（1）得 {a n }是周期为 2，周期公差为 4 的“类周期等差数列”， 所以当 n 为奇数时，n +1为偶数，a n +1＝a 2+（n +1﹣2）÷2×4＝2n +2， 所以 T n ＝2n +1；当n 为偶数时，n +1为奇数，a n +1＝a 1+（n +1﹣1）÷2×4＝2n +1， 所以 T n ＝2n ；综上，T n ={2n +1，n 为奇数2n ，n 为偶数．19．（12分）2021年8月国务院印发《全民健身计划2021﹣2025》，《计划》中提出了各方面的主要任务，包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活动、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等．在各种健身的方式中，瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动．某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民，对于是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式作了调查．愿意 不愿意 合计 男性 25 25 50 女性 40 10 50 合计6535100（1）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P （K 2＞k 0）0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8416.6357.87910.828（2）为了推广全民健身，某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动，在全市范围内开设一期公益瑜伽课，先从上述参与调查的100人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出13人，再从13人中随机抽取2人免费参加．市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴，补贴方案为：男性每人1000元，女性每人500元．求补贴金额的分布列及数学期望（四舍五入精确到元）．【解答】解：（1）设 H 0：“愿意把瑜伽作为健身方式”与性别无关．K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(250−1000)250×50×65×35≈9.890＞7.879，则能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作：为主要健身方式”与性别有关．答：能在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为“愿意把瑜伽作为主要健身方式”与性别 标关．（2）从上述参与调查的 100 人中选择“愿意”的人按分层抽样抽出 13 人， 则有男性：13×2565=5人，女性：13×4065=8人，设补贴金额为变量 X ，则 X 的可能值为 1000，1500，2000．P(X =1000)=C 82C 132=1439，P(X =1500)=C 51C 81C 132=2039，P(X =2000)=C 52C 132=539，X 100015002000P1439 2039539E(X)=1000×1439+1500×2039+2000×539≈1385元 答：补贴金额的数学期望是 1385 元．20．（12分）如图，在四面体ABCD 中，已知△ABD 是边长为2的等边三角形，△BCD 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，E 为线段AB 的中点，G 为线段BD 的中点，F 为线段BD 上的点．（1）若AG ∥平面CEF ，求线段CF 的长；（2）若二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为30°，求CE 与平面ABD 所成角的大小．【解答】解：（1）由 AG ∥平面 CEF ，AG ⊂平面 ABD ，平面 CEF ∩平面 ABD ＝EF ， 得 AG ∥EF ，又 E 为线段 AB 的中点，所以 F 是 BG 中点．因为△ABD 是边长为 2 的等边 三角形，G 为线段 BD 的中点，AG ⊥BD ，△BCD 是以点 C 为直角顶点的等腰直角 三角形，得 FG =12． 连结 CG ，得 CG ⊥BD 且CG ＝1． Rt △CFG 中，CF =√CG 2+FG 2=√52．（2）△ABD 是边长为2的等边三角形，G 为线段BD 的中点，AG ⊥BD ，△BCD 是以点C 为直角顶点的等腰直角三角形，G 为线段BD 的中点，CG ⊥BD ，由二面角 A ﹣BD ﹣C 的大小为 30°，得∠AGC 为二面角 A ﹣BD ﹣C 的平面角，∠AGC ＝30°，AG =√3，CG ＝1，以 C 为坐标原点，作CH ⊥平面BCD ，分别以 CB ，CD ，CH 为 x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系． 则 C(0，0，0)，B(√2，0，0)，D(0，√2，0)，A(−√24，−√24，√32)，E(3√28，−√28，√34)，AD →=(√24，5√24，−√32)． 设面 ABD 的法向量为n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅BD →=−√2x +√2y =0n →⋅AD →=√24x +5√24y −√32z =0，令 x ＝1，则 y =1，z =√6， 所以一个法向量n →=(1，1，√6)，cos〈n →，CE →〉=n →⋅CE→|n →||CE →|=3√28−√28+3√24√12√1+1+6=√22，∴＜n →，CE →＞=π4，则CE 与平面ABD 所成角的大小π4．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （﹣2，0），B （2，0），直线P A 与直线PB 的斜率之积为−14，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若点M 为曲线C 上的任意一点（不含短轴端点），点D （0，1），直线AM 与直线BD 交于点Q ，直线DM 与x 轴交于点G ，记直线AQ 的斜率为k 1，直线GQ 的斜率为k 2，求证：k 1﹣2k 2为定值．【解答】（1）解：设 P （x ，y ），则直线 P A 与直线 PB 的斜率之积为 y x+2⋅yx−2=−14，且 x ≠±2， 所化简得x 24+y 2=1，且x ≠±2，所以曲线 C 的方程为x 24+y 2=1，且x ≠±2．（2）证明：设 M （x 0，y 0），则 DM ：y =y 0−1x 0x +1，令 y ＝0，则 x =−xy 0−1，所以 G(−x 0y 0−1，0)，AM ：y =y0x 0+2(x +2)，BD ：y =−12x +1，所以Q 点坐标满足{y =y0x 0+2(x +2)y =−12x +1，解得{x =2x 0−4y 0+4x 0+2y 0+2y =4y 0x 0+2y 0+2，所以Q （）， 所以k 2=4y 0x 0+2y 0+22x 0−4y 0+4x 0+2y 0+2+x 0y 0−1=4y 0(y 0−1)x 02−4y 02+4x 0y 0+8y 0−4=4y 0(y 0−1)−8y 02+4x 0y 0+8y 0=y 0−1−2y 0+x 0+2，所以k 1−2k 2=y0x 0+2+2y 0−12y 0−x 0−2=y 0(2y 0−x 0−2)+2(x 0+2)(y 0−1)(x 0+2)(2y 0−x 0−2)=2y 02+x 0y 0−2x 0−4−x 02+2x 0y 0−4x 0−4=2y 02+x 0y 0−2x 0−44y 02+2x 0y 0−4x 0−8=12． 所以k 1﹣2k 2为定值12．22．（12分）已知函数f （x ）＝ln （e x ﹣1）﹣lnx ． （1）判断f （x ）的单调性，并说明理由；（2）若数列{a n }满足a 1＝1，a n +1＝f （a n ），求证：对任意n ∈N *，a n ＞a n +1＞12n ． 【解答】（1）解：f′(x)=e xe x −1−1x =xe x −e x +1(e x −1)x =(x−1)e x +1(e x −1)x ， 令g （x ）＝（x ﹣1）e x +1，g '（x ）＝e x +（x ﹣1）e x ＝xe x ＞0， g （x ）在（0，+∞）上递增，∴g （x ）＞g （0）＝0，∴f '（x ）＞0， f （x ）在（0，+∞）上单调递增．（2）证明：由a n+1=f(a n )⇒ln(e a n −1)−lna n =a n+1， 要证a n ＞a n+1＞12n ，只需证a n ＞a n+1＞12a n ， 即证：a n ＞ln(e a n −1)−lna n ＞12a n ，∵e a n ＞a n +1， ∴a n+1=ln(e a n −1)−lna n ＞lna n −lna n =0，∴a n ＞0， 先证左边：ln e a n −1an＜a n ⇔e a n −1a n＜e a n ， 令a n ＝x （x ＞0）⇔证 e x ﹣1＜xe x ，即证xe x ﹣e x +1＞0，令h （x ）＝xe x ﹣e x +1，h '（x ）＝xe x ＞0，h （x ）在（0，+∞）上递增，∴h （x ）＞h （0）＝0，得证．再证右边：ln e x−1x＞12x，即证e x−1＞xex2，e x−xex2−1＞0，令H(x)=e x−xe x2−1，H′(x)=e x−ex2−x2ex2=ex2(ex2−x2−1)＞0，∴H（x）在（0，+∞）上递减，H（x）＞H（0）＝0，也得证．综上：对∀n∈N*，a n＞a n+1＞12a n，∴a n＞a n+1＞12n．第21 页共21 页。
2022年江苏苏州高三一模数学试卷(苏锡常镇四市联考)-学生用卷
2022年江苏苏州高三一模数学试卷（苏锡常镇四市联考）-学生用卷一、单选题1、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第1题设全集U =R ，集合A ={x||x −2|≤1}，B ={x |2x −4≥0}，则集合A⋂(∁U B )=（ ）A. (1,2)B. (1,2]C. [1,2)D. [1,2]2、【来源】 2021~2022学年江苏苏州高新区苏州高新区第一中学高二下学期期中第2题 在(x −1x )4的二项展开式中，第二项的系数为（ ） A. 4 B. −4 C. 6 D. −63、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第3题i 是虚数单位，设复数z 满足iz =|−√32+i 2|+i ，则z 的共轭复数z =（ ） A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i4、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第4题如果在一次实验中，测得(x,y )的五组数值如下表所示，经计算知，y 对x 的线性回归方程是y ^=6.5x +a ^，预测当x =6时，y =（ ）附：在线性回归方程y ^=a ^+b ^x 中，b ^=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−n (x )2，a ^=y −b ^x ，其中x ，y 为样本平均值. A. 47.5 B. 48 C. 49 D. 49.55、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第5题平面内三个单位向量a →，b →，c →满足a →+2b →+3c →=0→，则（ ） A. a →，b →方向相同B. a→，c→方向相同C. b→，c→方向相同D. a→，b→，c→两两互不共线6、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第6题若双曲线C1：y2−3x2=λ(λ≠0)的右焦点与抛物线C2：y2=8x的焦点重合，则实数λ=（）A. ±3B. −√3C. 3D. -37、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第7题有5个形状大小相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是（）A. “恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B. “恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C. “至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D. “至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率8、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第8题正四面体ABCD的棱长为a，O是棱AB的中点，以O为球心的球面与平面BCD的交线和CD相切，则球O的体积是（）πa3A. 16πa3B. √26πa3C. √36πa3D. √23二、多选题9、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第9题记S n为等差数列{a n}的前n项和，则（）A. S6=2S4−S2B. S6=3(S4−S2)C. S2n，S4n−S2n，S6n−S4n成等差数列D. S22，S44，S66成等差数列10、【来源】 2022年广东茂名调研测试（四）第9题某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果X服从正态分布N(75,81)，其中检测结果在60以上为体能达标，90以上为体能优秀，则（）附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.A. 该校学生的体能检测结果的期望为75B. 该校学生的体能检测结果的标准差为81C. 该校学生的体能达标率超过0.98D. 该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等11、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第11题下列函数中，最大值是1的函数有（）A. y=|sin x|+|cos x|B. y=sin2x−cos2xC. y=4sin2xcos2xD. y=tanxtan2xtan2x−tanx12、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第12题已知函数f(x)=a⋅e xx−x+lnx(a∈R)，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得f(t)< f(s)，则满足条件的实数a的可能值有（）A. -1B. 0C. 1eD. 1三、填空题13、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第13题已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为S1，S2，则S1S2=.14、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第14题已知圆C：(x−2)2+(y+4)2=2，点 A是 x轴上的一个动点，直线 AP， AQ分别与圆C相切于P， Q两点，则圆心 C到直线 PQ的距离的取值范围是.15、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第15题已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，其中点 P， Q分别是图象的最高点和最低点，点 M是图象与 x轴的交点，且MP⊥MQ.若f(12)=√32，则tanφ=.四、双空题16、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第16题已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(|x|+1)=2f(|x|−1).若当x∈(0,1)时，f(x)=1−|2x−1|，则f(x)在区间(−1,3)上的值域为，g(x)=f(x)−45x 在区间(−1,3)内的所有零点之和为五、解答题17、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第17题在①sinB +sinC =10√29，②cosB +cosC =109，③b +c =5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且a =3，sinA =2√23，___________，求△ABC 的面积.18、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第18题某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔.为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并参加下一个项目的选拔，否则该同学不通过此项目的选拔，且不能参加后续项目的选拔.通过了全部三个项目选拔的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中获得“优”、“良”、“中”的概率分别为16，p 2，p 3，且该同学在每个项目中能获得何种成绩等第相互独立.(1)求甲同学能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲同学在本次数学建模社团选拔中恰好通过X 个项目，求X 的概率分布及数学期望.19、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第19题已知数列{a n }，a 1=1，且a n+1=a n −1n (n+1)，n ∈N ∗.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n 2}的前n 项和为S n ，求证：S n <4n 2n+1.20、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第20题如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，AA1=AB，点D，E分别为棱BC，B1C1上的点，且BDBC =C1EC1B1=t(0<t<1).(1)若t=12，求证：AD//平面A1EB；(2)若二面角C1−AD−C的大小为π3，求实数t的值.21、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第21题已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，且椭圆C的右焦点F到右准线的距离为√3.点A是第一象限内的定点，点 M， N是椭圆C上两个不同的动点（均异于点 A），且直线 AM， AN的倾斜角互补.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线MN的斜率k=1，求点A的坐标.22、【来源】 2022年江苏苏州高三一模（苏锡常镇四市联考）第22题已知实数a>0，函数f(x)=xlna−alnx+(x−e)2，e是自然对数的底数.(1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)存在极值点x0，并求x0的最小值.1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 D;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 D;7 、【答案】 C;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;C;D;10 、【答案】 A;D;11 、【答案】 B;C;12 、【答案】 A;B;13 、【答案】 2;14 、【答案】 (0,12];15 、【答案】 √3−2;16 、【答案】 [−2;<ab >\frac{5}{2}$/ 2.5;17 、【答案】 2√2.;18 、【答案】 (1)827；(2)分布列见解析，3827.;19 、【答案】 (1)a n =1n (2)证明见解析;20 、【答案】 (1)证明见解析(2)t =2−√2;21 、【答案】 (1)x 26+y 23=1(2)A(2,1);22 、【答案】 (1)单调增区间为(e,+∞)，单调减区间为(0,e)(2)证明见解析，x 0的最小值是e ．;。
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2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷一.填空题：本大题共14小败，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则?U M=．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．3．函数f（x）=的定义域为．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l的右焦点，则双曲线的离心率为．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且?=1，则实数λ的值为．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．2=0，设数列{b n} 20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年江苏省苏州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题：本大题共14小败，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}，则?U M= {6，7} ．【考点】补集及其运算．【分析】解不等式化简集合M，根据补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5，6，7}，M={x|x2﹣6x+5≤0，x∈Z}={x|1≤x≤5，x∈Z}={1，2，3，4，5}，则?U M={6，7}．故答案为：{6，7}．2．若复数z满足z+i=，其中i为虚数单位，则|z|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由z+i=，得=，则|z|=．故答案为：．3．函数f（x）=的定义域为{x|x＞且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数的性质以及分母不是0，得到关于x的不等式组，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故函数的定义域是{x|x＞且x≠1}，故答案为：{x|x＞且x≠1}．4．如图是给出的一种算法，则该算法输出的结果是24【考点】伪代码．【分析】模拟程序代码的运行过程，可知程序的功能是利用循环结构计算并输出变量t的值，由于循环变量的初值为2，终值为4，步长为1，故循环体运行只有3次，由此得到答案．【解答】解：当i=2时，满足循环条件，执行循环t=1×2=2，i=3；当i=3时，满足循环条件，执行循环t=2×3=6，i=4；当i=4时，满足循环条件，执行循环t=6×4=24，i=5；当i=5时，不满足循环条件，退出循环，输出t=24．故答案为：24．5．某高级中学共有900名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，则该校高二年级学生人数为300．【考点】分层抽样方法．【分析】用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，根据高一年级抽20人，高三年级抽10人，得到高二年级要抽取的人数，根据该高级中学共有900名学生，算出高二年级学生人数．【解答】解：∵用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，∴高二年级要抽取45﹣20﹣10=15，∵高级中学共有900名学生，∴每个个体被抽到的概率是=∴该校高二年级学生人数为=300，故答案为：300．6．已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是，则该正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，求出PO，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：如图，正四棱锥P﹣ABCD中，AB=2，PA=，设正四棱锥的高为PO，连结AO，则AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=．故答案为：．7．从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的槪率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==6，再利用列举法求出这两个数的和为3的倍数包含的基本事件个数，由此能求出这两个数的和为3的倍数的槪率．【解答】解：从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，基本事件总数n==6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有：（1，2），（2，4），共2个，∴这两个数的和为3的倍数的槪率p=．故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=8x的焦点恰好是双曲线﹣=l 的右焦点，则双曲线的离心率为2．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得c=2，由双曲线的方程可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则双曲线﹣=l的右焦点为（2，0），即有c==2，不妨设a=1，可得双曲线的离心率为e==2．故答案为：2．9．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，则a8的值为2．【考点】等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出，由此能求出a8的值．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3，S9，S6成等差数列．且a2+a5=4，∴，解得，∴a8==（a1q）（q3）2=8×=2．故答案为：2．10．在平面直角坐标系xOy中，过点M（1，0）的直线l与圆x2+y2=5交于A，B 两点，其中A点在第一象限，且=2，则直线l的方程为x﹣y﹣1=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，利用韦达定理，结合向量知识，即可得出结论．【解答】解：由题意，设直线x=my+1与圆x2+y2=5联立，可得（m2+1）y2+2my ﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1=﹣2y2，y1+y2=﹣，y1y2=﹣联立解得m=1，∴直线l的方程为x﹣y﹣1=0，故答案为：x﹣y﹣1=0．11．在△ABC中，已知AB=1，AC=2，∠A=60°，若点P满足=+，且?=1，则实数λ的值为﹣或1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算，把、用、与λ表示出来，再求?即可．【解答】解：△ABC中，AB=1，AC=2，∠A=60°，点P满足=+，∴﹣=λ，∴=λ；又=﹣=（+λ）﹣=+（λ﹣1），∴?=λ?[+（λ﹣1）]=λ?+λ（λ﹣1）=λ×2×1×cos60°+λ（λ﹣1）×22=1，整理得4λ2﹣3λ﹣1=0，解得λ=﹣或λ=1，∴实数λ的值为﹣或1．故答案为：﹣或1．12．已知sinα=3sin（α+），则tan（α+）=2﹣4．【考点】两角和与差的正切函数；两角和与差的正弦函数．【分析】利用同角三角的基本关系、两角和差的三角公式求得tanα、tan的值，可得tan（α+）的值．【解答】解：sinα=3sin（α+）=3sinαcos+3cosαsin=sinα+cosα，∴tanα=．又tan=tan（﹣）===2﹣，∴tan（α+）====﹣=2﹣4，故答案为：2﹣4．13．若函数f（x）=，则函数y=|f（x）|﹣的零点个数为4．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用分段函数，对x≥1，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当x＜1时，利用数形结合求解函数的零点个数即可．【解答】解：当x≥1时，=，即lnx=，令g（x）=lnx﹣，x≥1时函数是连续函数，g（1）=﹣＜0，g（2）=ln2﹣=ln＞0，g（4）=ln4﹣2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）=lnx﹣，有2个零点．（结合函数y=与y=可知函数的图象由2个交点．）当x＜1时，y=，函数的图象与y=的图象如图，考查两个函数由2个交点，综上函数y=|f（x）|﹣的零点个数为：4个．故答案为：4．14．若正数x，y满足15x﹣y=22，则x3+y3﹣x2﹣y2的最小值为1．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），求出y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，求出导数和单调区间、极值和最值，即可得到所求最小值．【解答】解：由正数x，y满足15x﹣y=22，可得y=15x﹣22＞0，则x＞，y＞0，又x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2），其中y3﹣y2+y=y（y2﹣y+）=y（y﹣）2≥0，即y3﹣y2≥﹣y，当且仅当y=时取得等号，设f（x）=x3﹣x2，f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），当x=时，f（x）的导数为×（﹣2）=，可得f（x）在x=处的切线方程为y=x﹣．由x3﹣x2≥x﹣?（x﹣）2（x+2）≥0，当x=时，取得等号．则x3+y3﹣x2﹣y2=（x3﹣x2）+（y3﹣y2）≥x﹣﹣y≥﹣=1．当且仅当x=，y=时，取得最小值1．故答案为：1．二.解答题：本大题共6小题，共计90分15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．若acosB=3，bcosA=l，且A﹣B=（1）求边c的长；（2）求角B的大小．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由acosB=3，bcosA=l，利用余弦定理化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加即可得出c．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，可得A=B+，C=，可得sinC=sin．代入可得﹣16sin2B=，化简即可得出．【解答】解：（1）∵acosB=3，bcosA=l，∴a×=3，b×=1，化为：a2+c2﹣b2=6c，b2+c2﹣a2=2c．相加可得：2c2=8c，解得c=4．（2）由（1）可得：a2﹣b2=8．由正弦定理可得：==，又A﹣B=，∴A=B+，C=π﹣（A+B）=，可得sinC=sin．∴a=，b=．∴﹣16sin2B=，∴1﹣﹣（1﹣cos2B）=，即cos2B﹣=，∴﹣2═，∴=0或=1，B∈．解得：B=．16．如图，在斜三梭柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，E是棱AB上一点，且OE∥平面BCC1B1（1）求证：E是AB中点；（2）若AC1⊥A1B，求证：AC1⊥BC．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的性质．【分析】（1）利用同一法，首先通过连接对角线得到中点，进一步利用中位线，得到线线平行，进一步利用线面平行的判定定理，得到结论．（2）利用菱形的对角线互相垂直，进一步利用线面垂直的判定定理，得到线面垂直，最后转化成线线垂直．【解答】证明：（1）连结BC1，取AB中点E′，∵侧面AA1C1C是菱形，AC1与A1C交于点O，∴O为AC1的中点，∵E′是AB的中点，∴OE′∥BC1；∵OE′?平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，∴OE′∥平面BCC1B1，∵OE∥平面BCC1B1，∴E，E′重合，∴E是AB中点；（2）∵侧面AA1C1C是菱形，∴AC1⊥A1C，∵AC1⊥A1B，A1C∩A1B=A1，A1C?平面A1BC，A1B?平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，∵BC?平面A1BC，∴AC1⊥BC．17．某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC （如图），设计要求彩门的面积为S （单位：m2）?高为h（单位：m）（S，h为常数），彩门的下底BC固定在广场地面上，上底和两腰由不锈钢支架构成，设腰和下底的夹角为α，不锈钢支架的长度和记为l．（1）请将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）问当α为何值时l最小？并求最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）求出上底，即可将l表示成关于α的函数l=f（α）；（2）求导数，取得函数的单调性，即可解决当α为何值时l最小？并求最小值．【解答】解：（1）设上底长为a，则S=，∴a=﹣，∴l=﹣+（0＜α＜）；（2）l′=h，∴0＜α＜，l′＜0，＜α＜，l′＞0，∴时，l取得最小值m．18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=l （a＞b＞0）的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆的方程：（2）过点D（，﹣）作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意可知2c=2，c=1，离心率e=，求得a=2，则b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的方程：（2）则直线PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，分别求得直线AP，AQ的斜率，即可证明直线AP，AQ的率之和为定值．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆+=l （a＞b＞0），焦点在x轴上，2c=1，c=1，椭圆的离心率e==，则a=，b2=a2﹣c2=1，则椭圆的标准方程：；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），A（，0），由题意PQ的方程：y=k（x﹣）﹣，则，整理得：（2k2+1）x2﹣（4k2+4k）x+4k2+8k+2=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1x2=，则y1+y2=k（x1+x2）﹣2k﹣2=，则k AP+k AQ=+=，由y1x2+y2x1=[k（x1﹣）﹣]x2+[k（x2﹣）﹣]x1=2kx1x2﹣（k+）（x1+x2）=﹣，k AP+k AQ===1，∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．19．己知函数f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a （a为正实数，且为常数）（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）问题转化为（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）f（x）=（x+l）lnx﹣ax+a，f′（x）=lnx++1﹣a，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a≤lnx++1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx++1，（x＞0），g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故g（x）min=g（1）=2，故0＜a≤2；（2）若不等式（x﹣1）f（x）≥0恒成立，即（x﹣1）[（x+1）lnx﹣a]≥0恒成立，①x≥1时，只需a≤（x+1）lnx恒成立，令m（x）=（x+1）lnx，（x≥1），则m′（x）=lnx++1，由（1）得：m′（x）≥2，故m（x）在[1，+∞）递增，m（x）≥m（1）=0，故a≤0，而a为正实数，故a≤0不合题意；②0＜x＜1时，只需a≥（x+1）lnx，令n（x）=（x+1）lnx，（0＜x＜1），则n′（x）=lnx++1，由（1）n′（x）在（0，1）递减，故n′（x）＞n（1）=2，故n（x）在（0，1）递增，故n（x）＜n（1）=0，故a≥0，而a为正实数，故a＞0．2=0，设数列{b n} 20．己知n为正整数，数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+1满足b n=（1）求证：数列{}为等比数列；（2）若数列{b n}是等差数列，求实数t的值：（3）若数列{b n}是等差数列，前n项和为S n，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，求满足条件的所有整数a1的值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（1）数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，化为：=2×，即可证明．（2）由（1）可得：=，可得=n?4n﹣1．数列{b n}满足b n=，可得b1，b2，b3，利用数列{b n}是等差数列即可得出t．（3）根据（2）的结果分情况讨论t的值，化简8a12S n﹣a14n2=16b m，即可得出a1．【解答】（1）证明：数列{a n}满足a n＞0，4（n+1）a n2﹣na n+12=0，∴=a n，即=2，+1∴数列{}是以a1为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）可得：=，∴=n?4n﹣1．∵b n=，∴b1=，b2=，b3=，∵数列{b n}是等差数列，∴2×=+，∴=+，化为：16t=t2+48，解得t=12或4．（3）解：数列{b n}是等差数列，由（2）可得：t=12或4．①t=12时，b n==，S n=，∵对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴=，n=1时，化为：﹣=＞0，无解，舍去．②t=4时，b n==，S n=，对任意的n∈N*，均存在m∈N*，使得8a12S n﹣a14n2=16b m成立，∴×﹣a14n2=16×，∴n=4m，∴a1=．∵a1为正整数，∴=k，k∈N*．∴满足条件的所有整数a1的值为{a1|a1=2，n∈N*，m∈N*，且=k，k∈N*}．四.选做题本题包括A，B，C，D四个小题，请选做其中两题，若多做，则按作答的前两题评分．A.[选修4一1：几何证明选讲]21．如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A 作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．【考点】弦切角．【分析】连接OC，先证得三角形OBC是等边三角形，从而得到∠DCA=60°，再在直角三角形ACD中得到∠DAC的大小；考虑到直角三角形ABE中，利用角的关系即可求得边AE的长．【解答】解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；又因为∠ACB=90°，得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，从而∠ABE=30°，于是．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量=[]，并且矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）变换成（﹣2，4）．（1）求矩阵M；（2）求矩阵M的另一个特征值．【考点】特征值与特征向量的计算；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）先设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，由二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量e1及矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．得到关于a，b，c，d的方程组，即可求得矩阵M；（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，从而求得另一个特征值为2．【解答】解：（1）设矩阵A=，这里a，b，c，d∈R，则=8=，故，由于矩阵M对应的变换将点（﹣1，2）换成（﹣2，4）．则=，故联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=．（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣6）（λ﹣4）﹣8=λ2﹣10λ+16，故矩阵M的另一个特征值为2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2，．（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过两圆交点的直线的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；相交弦所在直线的方程．【分析】（1）先利用三角函数的差角公式展开圆O2的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆O2的直角坐标方程及圆O1直角坐标方程．（2）先在直角坐标系中算出经过两圆交点的直线方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标方程即可．【解答】解：（1）ρ=2?ρ2=4，所以x2+y2=4；因为，所以，所以x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0．（2）将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x+y=1．化为极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1，即．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a，b，c为正数，且a+b+c=3，求++的最大值．【考点】二维形式的柯西不等式．【分析】利用柯西不等式，结合a+b+c=3，即可求得++的最大值．【解答】解：由柯西不等式可得（++）2≤[12+12+12][（）2+（）2+（）2]=3×12∴++≤3，当且仅当==时取等号．∴++的最大值是6，故最大值为6．四.必做题：每小题0分，共计20分25．如图，已知正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=2，点M，N分别在PA，BD上，且==．（1）求异面直线MN与PC所成角的大小；（2）求二面角N﹣PC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出异面直线MN与PC所成角．（2）求出平面PBC的法向量和平面PNC的法向量，利用向量法能求出二面角N ﹣PC﹣B的余弦值．【解答】解：（1）设AC与BD的交点为O，AB=PA=2．以点O为坐标原点，，，方向分别是x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则A（1，﹣1，0），B（1，1，0），C（﹣1，1，0），D（﹣1，﹣1，0），…设P（0，0，p），则=（﹣1，1，p），又AP=2，∴1+1+p2=4，∴p=，∵===（），=（），∴=（﹣1，1，﹣），=（0，，﹣），设异面直线MN与PC所成角为θ，则cosθ===．θ=30°，∴异面直线MN与PC所成角为30°．（2）=（﹣1，1，﹣），=（1，1，﹣），=（，﹣），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（0，，1），设平面PNC的法向量=（a，b，c），则，取c=1，得=（，2，1），设二面角N﹣PC﹣B的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角N﹣PC﹣B的余弦值为．26．设|θ|＜，n为正整数，数列{a n}的通项公式a n=sin tan nθ，其前n项和为S n（1）求证：当n为偶函数时，a n=0；当n为奇函数时，a n=（﹣1）tan nθ；（2）求证：对任何正整数n，S2n=sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．【考点】数列的求和．【分析】（1）利用sin=，即可得出．+a2k=（﹣1）tan nθ．利用等比数列的求和公式即可得出．（2）a2k﹣1【解答】证明：（1）a n=sin tan nθ，当n=2k（k∈N*）为偶数时，a n=sinkπ?tan nθ=0；当n=2k﹣1为奇函数时，a n=?tan nθ=（﹣1）k﹣1tan nθ=（﹣1）tan nθ．+a2k=（﹣1）tan nθ．∴奇数项成等比数列，首项为tanθ，公比为（2）a2k﹣1﹣tan2θ．∴S2n==sin2θ?[1+（﹣1）n+1tan2nθ]．2017年4月18日。