高等数学第三章知识要点
高等数学 第三章
例 4 求函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间[3 ，4] 上的最大值和最小值． 解 因为函数 f (x) 2x3 3x2 12x 在区间 [3，4] 上连续，所以在该区间上一定存在最大值和 最小 值． 该函数的导数为 f (x) 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1) ，令 f (x) 0 ，得驻点 x1 2 ， x2 1 ． 因为 f (2) 20， f (1) 7 ， f (3) 9， f (4) 128 ，
arcsin x arccos x π ． 2
（二）柯西中值定理
定理1（拉格朗日中值定理） 如果函数 f(x)和F(x)满足条件：
（1）在闭区间[a,b]上连续；
（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一x属于(a,b)，F,(x)≠0
那么，在开区间（a,b）内至少存在一点ξ，使得
f (b) f (a) f (ξ ) F (b) F (a) F (ξ )
第四节
曲率
一、曲率的概念与曲率的计算公式
（一）曲率的概念
如图 3-11 所示设 A ，B 是光滑曲线 L 上的两点，弧段 AB 的长度为 | s | ，曲线 L 在 A 点处的 切线倾斜角为 .
记 K ，称 K 为弧段 AB 的平均曲率． s
记 K lim ，称 K 为曲线 L 在点 A 处的曲率． s0 s
定理1 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和 二阶导数，那么
（1）若在(a,b)内f,,(x)＞0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的； （2）若在(a,b)内f,,(x)＜0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的．
例 5 判定曲线 y ln x 的凹凸性． 解 函数 y ln x 的定义域为 (0 ， ) ，其导数为
高考数学第三章知识点总结
高考数学第三章知识点总结第一节直线和方程1. 直线的方程直线的方程有两种常见的表示方法：一般式和斜截式。
一般式是Ax+By+C=0，斜截式是y=kx＋b。
2. 直线的性质直线有斜率和倾斜角的概念，斜率是直线的倾斜程度，倾斜角是与x轴的夹角。
3. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点是y=0处的x坐标，与y轴的交点是x=0处的y坐标。
第二节函数及其性质1. 函数的概念函数是自变量和因变量之间的对应关系，表示为y=f(x)。
2. 函数的性质函数有定义域、值域、单调性、奇偶性等性质。
3. 基本初等函数的性质基本初等函数包括常函数、一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等。
4. 函数的图像和性质函数的图像可以通过函数的定义域、值域、单调性、极值、奇偶性等来描述。
第三节数列和级数1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的数字序列，可以是等差数列、等比数列、斐波那契数列等。
2. 数列的通项公式数列的通项公式可以用来表示数列的任意一项的通用表达式。
3. 级数的概念级数是数列的和的概念，可以是等差级数、等比级数等。
4. 级数的性质级数有收敛和发散的性质，可以通过极限的概念来分析级数的和是否存在。
第四节不等式与不等式组1. 不等式的性质不等式有加法、减法、乘法、除法以及取对数、指数等运算的性质。
2. 一元一次不等式一元一次不等式可以用图像法或者代数法来解决。
3. 一元二次不等式一元二次不等式可以通过解二次方程的方法来求解。
4. 不等式组不等式组是由多个不等式组成的方程组，可以用图像法、代数法来解决。
结尾总结高考数学第三章主要涉及直线和方程、函数及其性质、数列和级数、不等式与不等式组等知识点。
这些知识点在解决各种数学问题时起着至关重要的作用，掌握这些知识对于高考数学的学习至关重要。
希望同学们能够通过系统的学习和练习，掌握这些知识，为高考取得优异成绩打下坚实的基础。
数三知识点及解题思路总结
数三知识点及解题思路总结一、函数、极限、连续（3题）1. 求极限：lim_x to 0(sin x - x)/(x^3)知识点：等价无穷小替换、洛必达法则。
解题思路：- 当x to 0时，sin x与x是等价无穷小，但是直接替换后分子为0，不能得到结果。
- 所以，我们使用洛必达法则。
对分子分母分别求导，分子求导为cos x - 1，分母求导为3x^2，此时得到lim_x to 0(cos x - 1)/(3x^2)。
- 又因为当x to 0时，cos x - 1sim-(1)/(2)x^2，将其替换可得：lim_x to 0(-frac{1)/(2)x^2}{3x^2}=-(1)/(6)。
2. 设函数f(x)=<=ft{begin{array}{ll} (sin ax)/(x), x ≠ 0 1, x = 0end{array}right.在x = 0处连续，求a的值。
知识点：函数连续的定义。
解题思路：- 根据函数在某点连续的定义，lim_x to 0f(x)=f(0)。
- 计算lim_x to 0f(x)=lim_x to 0(sin ax)/(x)，当x to 0时，令t = ax，则x=(t)/(a)，当x to 0时，t to 0。
- 所以lim_x to 0(sin ax)/(x)=lim_t to 0(sin t)/(frac{t){a}} = alim_t to 0(sin t)/(t)=a。
- 因为f(0) = 1，由函数连续可知a = 1。
3. 求函数y=frac{x^2-1}{x^2-3x + 2}的间断点并判断类型。
知识点：间断点的定义与类型判断。
解题思路：- 函数的分母不能为0，令x^2-3x + 2=0，即(x - 1)(x - 2)=0，解得x = 1或x = 2，所以函数的间断点为x = 1和x = 2。
- 对于x = 1，lim_x to 1frac{x^2-1}{x^2-3x + 2}=lim_x to 1((x + 1)(x - 1))/((x - 1)(x - 2))=lim_x to 1(x + 1)/(x - 2)=-2，极限存在，所以x = 1是可去间断点。
高等数学第三章
10 ( x 1 ) 3x
1 3
.
令
y 0 ，得 x 1 .
当 x 0 时， y 不存在 .
0
( 0 , 1)
x y
y
( , 0)
1
0
(1 , )
↗
↘
↗
( , 0 ] 、 [1 , ) [ 0 , 1]
是函数的单调增加区间； 是函数的单调减少区间 .
f ( 2 ) f ( 1 ) f ( ) [ 2 ( 1 ) ]
2 3 ( 1 )3 3 2 3 , 2 1
1 ( 1 , 2),
1（舍去）
练习：
下列函数中在给定区间上满足拉格朗日定理条件的是（ C ） A . f ( x)
所以
y x3 x 1
在其定义域上单调增加.
y
注 有些可导函数虽在 其定义区间上可导，但却不 是单调的，而在其各个部分 区间上就具有单调性 .
y x2
. o
x
增减区间 的可能分 界点
函数 f (x) 单调增加与单调减少区间的分界点 具有什么性质？
y
f ( x 0 ) 0
y
f ( x ) 0
0
y
↘
↘；
↗
↗
↗.
↗
( , 1]
[ 1 , 0), ( 0 , )
例5：求 y ( 2 x 5 ) x 的单调区间 . 解：定义域 ( , ) .
3 2
例5
y
5 ( 2 x3
2 5 x3
高数三的知识点总结
高数三的知识点总结1. 多元函数的导数与偏导数多元函数的导数是指一个多元函数在某一点处对某个自变量的变化率。
对于一个n元函数，其导数是一个n维的行矢量。
偏导数是指多元函数在某一点处对某个自变量的变化率，但是其他自变量保持不变。
偏导数的计算方法和一元函数的导数一样。
2. 多元函数的微分多元函数的微分是用矩阵表示的，多元函数的微分与导数的关系是微分是导数在自变量的增量上的线性逼近。
微分是对于函数的局部线性化近似。
3. 隐函数与参数方程隐函数是指多元函数中存在的关系式，一般是用两个变量表示的函数。
参数方程是指用参数表示的函数关系，参数方程可以将曲线或曲面参数化。
4. 向量的导数与微分向量的导数是指向量值函数的导数，微分是对于向量值函数的局部线性化近似。
5. 多元函数的极值多元函数的极值是指在某一点附近的一阶、二阶导数条件下函数取得的最值点。
求多元函数的极值需要利用偏导数与二阶导数的判定方法。
6. 凹凸性与拐点凹凸性是函数在某一点附近二阶导数的正负决定的，凹凸性是判断函数的局部极值的一个重要条件。
拐点是函数在某一点处凹凸性的改变点，是函数的凹凸性改变的标志。
7. Lagrange 乘子法Lagrange 乘子法是求多元函数在给定条件下的极值的方法，通过引入拉格朗日乘子，将带条件的极值问题转换为不带条件的极值问题。
8. 重积分及其应用重积分是对多元函数在给定区域上的积分，重积分在物理、工程、经济等领域有着广泛的应用。
9. 曲线积分与曲面积分曲线积分是对向量场沿曲线的积分，曲面积分是对向量场或标量场在曲面上的积分。
曲线积分与曲面积分是研究力场、电场、磁场等科学问题中的重要工具。
以上是高等数学三的知识点总结，希望对您有所帮助。
高等数学基础第三章
返回
3.1函数的概念—可导与连续的关系
返回
3.2函数的求导法则— 函数和、差、积、商的求导法则
返回
3.2函数的求导法则—复合函数的求导法则
返回
3.2函数的求导法则—反函数的求导法则
返回
3.2函数的求导法则—初等函数的求导公式
返回
3.2函数的求导法则—初等函数的求导公式
返回
3.3隐函数及参数方程所确定的函数求导法的函数求导法— 取对数求导法
返回
3.3隐函数及参数方程所确定的函数求导法— 由参数方程所确定的函数求导法
返回
3.4 高阶导数
返回
3.5 函数的微分--微分的概念
返回
3.5 函数的微分--微分的概念
返回
3.5 函数的微分--微分的运算法则
返回
3.5 函数的微分--微分的运算法则
返回
3.5 函数的微分--微分在近似计算中的应用
返回
本章结束
请选择: 重学一遍 退出
第三章
主讲:
导数与微分
导数与微分
导数的概念
函数的求导法则
隐函数及参数方程所确定的函数求
导法 高阶导数 函数的微分
退出
3.1函数的概念
返回
3.1函数的概念
返回
3.1函数的概念
返回
3.1函数的概念
返回
3.1函数的概念--求导举例
返回
3.1函数的概念—导数的几何意义
返回
3.1函数的概念—可导与连续的关系
高等数学第三章知识要点
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
2) 求驻点
令 f ( x) 0 , 得驻点 x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别
因 f (0) 6 0 , 故
为极小值 ;
又 f (1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
y
1 O 1 x
四、函数的最大、最小值
1、最值的求法
若函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，则 f ( x) 在 [a, b]上的
定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
但在(, 0)内, y 0, 曲线在(, 0]上是凹的;
在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是凸的.
点(0, 0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
三. 函数的极值及其求法
最大值与最小值存在 .
如果函数除个别点外处处可导,并且至多有有限个
高一数学第3章知识点总结
高一数学第3章知识点总结第3章：二次函数与一元二次方程一、二次函数的基本概念二次函数是指形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
其中，a为二次项的系数，b为一次项的系数，c为常数项。
二、二次函数的图像特征1. 抛物线方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴方程：二次函数的对称轴方程为x = -b/2a。
3. 零点：二次函数的零点即为方程f(x) = 0的解，即求解ax² + bx + c = 0的根。
4. 最值点：当a>0时，二次函数的最小值点为顶点；当a<0时，二次函数的最大值点为顶点。
5. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
三、二次函数的图像探究1. 整体平移：将f(x) = ax² + bx + c的图像平移h个单位水平方向和k个单位垂直方向，得到新函数g(x) = a(x-h)² + k。
2. 纵向压缩和纵向拉伸：将f(x) = ax² + bx + c的图像在x轴方向压缩或拉伸，得到新函数g(x) = a(x-h)² + k。
3. 翻折变换：将f(x) = ax² + bx + c的图像关于x轴翻折，得到新函数g(x) = -ax² + bx + c；关于y轴翻折，得到新函数g(x) = ax²- bx + c。
四、一元二次方程一元二次方程是指形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 为已知实数，且a≠0。
1. 二次方程的求解方法（1）因式分解法：当二次方程可以因式分解为(x - p)(x - q) = 0时，方程的解为x = p或x = q。
（2）配方法：对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，可以通过配方法将其化简为(a1x + b1)² + d1 = 0的形式，然后求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
在_(____,_1_]_,[_1_,___)_上单调减少.
2 2x2 2(1 x2 )
y'
(1 x2 )2 (1 x2 )2
例 当x 0时, 试证x ln(1 x)成立. 分析:设 f ( x) x ln(1 x), 则只须证f ( x) 0( x 0).
通过观察发现, f (0) 0. 即证f ( x) f (0)( x 0). 故只须证明f ( x)在[0, )上单调增. 证 设 f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
求极值的步骤:
(1) 求导数 f ( x); (2) 求驻点，即方程 f ( x) 0 的根; 以及不可导点； (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号或 f ( x) 在 该点的符号, 判断极值点; (4) 求极值.
例 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
注意单调区间的表示方法!
课堂练习:
1. 函数 y 2x 3 6x 2 18x 7 单调区间为________ y' 6x2 12x 18 6( x 1)( x 3) (,1],[3,) 单调增加,
[1,3]
单调减少；
2.
函数
y
2x 1 x2
在区间[-1,1]上单调__增__加____，
曲线的拐点及其求法
1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 2、拐点的求法 (1). 求f ''( x); (2). 解出f ''( x)=0在区间内的所有实根;
(3). 对于(2)中解出的每一个实根,判断其左,右两 侧f ''( x)的符号. 当f ''( x)在根的两侧符号相反时, 此点是拐点; 当f ''( x)在根的两侧符号相同时, 此点不是拐点;
但在(, 0)内, y 0, 曲线在(, 0]上是凹的;
在(0, )内, y 0, 曲线在[0, )上是凸的.
点(0, 0)是曲线 y 3 x的拐点.
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x) 的拐点.
三. 函数的极值及其求法
第三章知识要点
2013-06-20
一. 函数单调性的判定法
定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内 可导. 10如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调增加； 20 如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数y f ( x)在 [a, b]上单调减少.
y
B
凸
A
o
a
bx
f ( x) 递减 y 0
推论 如果 f ( x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有
一阶和二阶导数,若在 (a,b)内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a,b] 上的图形是凸的.
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0
f ( x) 凹的 拐点 凸的 拐点 凹的
( 1 3 ,102 81)
( 2 3 ,129 81)
凹凸区间为 (, 1 3], [ 1 3 , 2 3], [2 3 , ).
例 求曲线 y 3 x 的拐点.
解
y
1
2
x 3,
y
2
x
5 3
,
3
9
x 0是不可导点, y, y均不存在.
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b :极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值.
定理(必要条件) 设 f ( x)在点 x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0.
例 求曲线 y 3x4 6x3 4x2 1的拐点及
凹、凸的区间.
解 D : (, ) y 12x3 18x2 8x,
y 36x2 36x 8 4(9x2 9x 2) 4(3x 1)(3x 2)
令y 0,
得
x1
1 3
,
x2
2 3
.
x
(, 13)
1 3
(
1 3
,
2
3)
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在 x0处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)符
号相同,则 f ( x)在 x0处无极值.
定理(第二充分条件) 设 f ( x)在 x0处具有二阶导数, 且 f '( x0 ) 0, f ''( x0 ) 0, 那末 (1)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极大值; (2)当 f ''( x0 ) 0时, 函数 f ( x)在 x0处取得极小值.
1 x f ( x)在[0, )上连续, 且(0, )可导，f ( x) 0,
在[0, )上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
二. 曲线的凹凸与拐点
y
y f (x) B
凹
A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
y f (x)