《高等数学》 各章知识点总结——第6章
数学高一第六章知识点总结
数学高一第六章知识点总结
高一数学的第六章是关于函数的学习，主要包括函数的基本概念、函数的图像与性质、简单的初等函数以及函数的应用等内容。
下面将对这些知识点进行总结。
1. 函数的基本概念
函数是一种特殊的关系，在数学中用来描述变量之间的依赖关系。
一个函数通常由定义域、值域和对应关系三部分组成。
在表
示函数时，可以使用函数的解析式、图像、数据表等形式。
2. 函数的图像与性质
函数的图像是函数在坐标系中的表示，能够反映函数的性质。
通过观察图像，可以了解函数的单调性、奇偶性、周期性等特点。
值得注意的是，函数的图像是指所有符合函数定义的点的集合。
3. 简单的初等函数
常见的初等函数包括线性函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
这些函数在实际问题中具有广泛的应用，学习它们
的性质和图像特点对理解高中数学以及日常生活中的问题都有帮助。
4. 函数的应用
函数的应用非常广泛，无论在自然科学、社会科学以及工程技
术中，都离不开函数的模型和应用。
在物理学中，函数可以用来
描述物体的运动规律；在经济学中，函数可以用来分析供需关系、经济增长等问题。
总结起来，第六章的学习内容主要包括函数的基本概念、函数
的图像与性质、简单的初等函数以及函数的应用等方面。
通过学
习这些知识点，不仅能够提升数学分析问题的能力，还有助于培
养逻辑思维和数学建模的能力。
因此，对于高一的学生来说，掌
握这些数学知识是非常重要的。
高等数学 第6章 第五节 功 水压力和引力
m•
O
x
x+dx
x
取小区间[x，x+dx],相应于这段杆长为dx,
质 量 为M dx, 且看作集中在 x 点处。由万有引力公式：
l
M
Gm
小段细杆对质点的引力元素是：dF
l dx
(x a)2
11
所以，细杆对质点的引力为：
F
l
0
G
mM l
(x a)2
dx
GmM l
l1
0 ( x a)2 dx
GmM l
即功元素为:
dW F( x)dx
于是所求的功为:
b
W a F( x)dx
1
例1
把一个带 +q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点 O 处，
有一个单位正电荷放在距离原点 O 为r 的地方，当这个单位正
电荷从 r =a 沿 r 轴移动到 r =b 时，求电场力对它所作的功。
解： 任一点r处单位点电荷受到的电场力为：
l 趋于无穷，此时引力大小
F 2Gm
a
方向与细棒垂直，且由
M 指向细棒。
14
O
Y
x
x+dx
R
X
dP gx 2 R2 x2dx （gx为水深x处的压强）
9
于是所求水的压力为：
P
R
2gx
R2 x 2 dx
0
1
g R (R2 x 2 ) 2 d(R2 x 2 ) 0
g
2 3
(
R
2
3 R x2)2
0
2 gR3
3
水的密度 103kg/m3
在统一量纲计算时， 值为1.
高三数学第六章知识点总结
高三数学第六章知识点总结数学是一门科学，也是一门艺术，它的发展和应用范围广泛，是我们生活中必不可少的一部分。
在高三阶段，学生面临着重要的高考考试，数学作为其中重要的一科，对于大部分学生来说，都是一个挑战。
而第六章是高三数学中的重要一章，包含了一些关键的概念和方法。
本文将对高三数学第六章的知识点进行总结和归纳。
一、函数的概念和性质函数是数学中的基本概念之一，是描述两个量之间关系的一种工具。
在高三数学中，我们需要了解函数的概念、性质和基本运算。
函数的概念是指对于每一个自变量，都有唯一的对应的因变量。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性等，这些性质有助于我们对函数进行分析和研究。
二、指数函数和对数函数指数函数和对数函数是高三数学中的重要函数类型。
指数函数是以底数大于0且不等于1的常数为底的幂的函数，对数函数则是指数函数的反函数。
对于指数函数，我们需要掌握指数函数的图像、性质和运算法则；对于对数函数，我们需要了解对数函数的图像、性质和运算法则。
熟练掌握指数函数和对数函数的特点和运算方法，对于后续的高阶数学学习非常重要。
三、幂函数和反比例函数幂函数和反比例函数也是高三数学中的重要函数类型。
幂函数是指以自变量为底数，对一个常数指数的函数，反比例函数则是指一个常数除以自变量的函数。
我们需要了解幂函数和反比例函数的图像、性质和运算法则。
特别是反比例函数，在实际问题中有着重要的应用，例如时间与速度、人口与资源等方面。
四、三角函数和三角方程三角函数是高中数学中的重要内容，也是高三数学第六章的核心内容。
在这一章节，我们需要掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的图像、性质和运算法则，以及它们在解决实际问题中的应用。
另外，还需要学习三角方程的方法和技巧，能够熟练解决各种类型的三角方程。
五、数列和数列极限数列是由一系列有序的数所组成的数集，数列极限则是数列中的数随着项数的增加而趋近于某个数的值。
在高三数学的第六章中，我们需要了解数列的概念、性质和常见的数列类型。
高数第六章总结
第六章定积分的的应用总结
创新生技102班张梦菲 2010015066
第一节定积分的元素法
理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法
一、再论曲边梯形面积计算
对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼，给出用定积分计算某个量的条件与步骤。
二、元素法
1．能用定积分计算的量U，应满足的三个条件
2．计算U的定积分表达式的步骤
归纳小结：元素法的提出、思想、步骤
第二节定积分在几何学上的应用
学会用元素法计算平面图形的面积，掌握用定积分的元素法计算体积，掌握用定积分元素法计算平面曲线的弧长。
重点：直角坐标系下平面图形的面积计算同，体积的计算，平面曲线弧长的计算。
难点：面积元素的选取，体积元素的选取，弧长元素的选取。
一、平面图形的面积
（一）直角坐标的情形
（二）极坐标情形
二、体积
（一）旋转体的体积
（二）平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )
三、平面曲线的弧长
（一）直角坐标情形
（二）参数方程的情形
（三）极坐标情形
归纳小结：1、求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积.
2、旋转体体积与平行截面已知的立体的体积
3、平面曲线弧长的概念、弧微分的概念、求弧长的公式（直角坐标系下、
参数方程、极坐标系下）
第三节定积分在物理学上的应用
理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题功，水压力和引力。
一、变力沿直线所作的功
举例说明“微元法”思想的运用
二、水压力
举例说明“微元法”思想的运用
三、引力
举例说明“微元法”思想的运用
归纳小结：利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题。
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
高等数学 第6章
即
x2 y2 2C
将 y 0 代入通解中，得 x 1 C1 2
于是所求曲线方程为
x2 y2 1
在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一 端，就不能直接用两边积分的方法求解，如果能将两个变 量分离，使方程的一端只含变量y及dy，另一端只含x及dx， 那么就可以用两边同时积分的方法求出通解。这种求解方 法称为分离变量法。变量能分离的微分方程称为可分离变 量的微分方程。它的一般形式可表示为
所以从1999年起第t年我国的GDP为 P(t) 80 423e0.08t
将 t 2012 1999 13代入上式中，得2012年我国的GDP预 测值是
P(13) 80 423e0.0813 227 534.120 亿元
例5 【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量 会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素 在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50 克的某放射性材料，2小时后减少10%． （1）试确定该材料的衰变规律； （2）预测经过多少年质量变成一半？
1
y2 1
d(y 2
1)
1 x2 1
d(x2
1)
即
ln( y2 1) ln(x2 1) ln C 化简，得通解
(x2 1)( y2 1) C
例4 【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP） 为80 423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012 年我国的GDP是多少？
初始条件 m(0) 50, m(2) 50 (110%) 45
分离变量，得
dm kdt m
两边积分，得 ln m kt ln C
化简，得通解
m Cekt
例5 【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量 会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素 在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50 克的某放射性材料，2小时后减少10%． （1）试确定该材料的衰变规律； （2）预测经过多少年质量变成一半？
高等数学第6章
• 另外，如果这个极限存在，也称广义积分 • 收敛，否则称广义积分
发散。
• 同样可定义广义积分 及其收敛
• 和发散。对广义积分 •
，
存在的充分必要条件是对任意 实数a,两个广义积分 和
都收敛。
• 6.5.2 无界函数的定积分
• 定义6.5.2 设函数 f (x)在[a,b)有定义，且当 x→b-时，f (x)→∞，设δ＞0，积分
• 如果极限
• 存在，这个极限就称为无界函数 f (x)在[a,b] 上的广义积分，记为
• 也称广义积分
极限 •
收敛。否则，如果
不存在，就称广义积分
是发散的。
• 类似地，如果当x→a+时，f(x)→∞，可以类
似地定义广义积分 为：
• 而对当a＜c＜b,当x→c时，f(x)→∞，规定广
义积分 • 和 存在当且仅当广义积分 都存在，且
• 6.3 微积分学基本定理 • 6.3.1 变限定积分 • 定理6.3.1 如果函数f (x)是区间[a,b]上的一个
连续函数，那么当a≤x≤b时，变上限积分
• 是一个可导函数，且
• 定理6.3.2 在区间[a,b]上连续的函数 f (x)的
• 原函数一定存在，且变上限积分
• 就是它的一个原函数。 • 例6.3.4 设 f (x)，g(x)和h(x)都是连续函数，
• 令各小区间的最大长度
，
• 如果不论小区间怎样划分，也不论在小区
间[xk-1,xk]上如何取ξk，当λ→0时，极限
•
• 为
总是存在，则这一极限就称
为函数 f (x)在区间[a,b]上的定积分。记 ，即：
• 关于定积分的定义，我们做如下说明：
《高等数学》各章知识点总结——第6章
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
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第6章 微分方程总结
1.可分离变量微分方程
一阶微分方程y '=ϕ(x , y ) 或M(x)N(y )dx +P(x)Q(y )dy =0能写成 g (y )dy =f (x )dx 两边积分可得通解。
2.齐次微分方程
dy
y
()dx x =φ，令x y
u =, 即y =ux , 有)(u dx du
x u ϕ=+, 得⎰⎰=-x dx
u u du
)(ϕ。
3.一阶线性微分方程
（1）齐次线性 0)(=+y x P dx dy 用分离变量法可求得通解P(x)dx
y Ce -⎰=。
（2）非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy
=+ 由齐次方程常数变易法可得通解
])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰⎰=⎰-。
4.伯努利方程
n y x Q y x P dx dy
)()(=+ (n ≠0, 1)，以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy
y n n =+--
令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz
-=-+.
5.可降阶的高阶微分方程
（1）y (n )=f (x ) ：积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=⎰-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=⎰⎰-，⋅ ⋅ ⋅.
（2）y ''= f (x , y ')：设y '=p(x) , 则方程化为 p '=f (x , p )。
（3）y ''=f (y , y ')：设y '=p(y), dy dp
p dx dy
dy dp
dx dp
y =⋅==''，原方程化为 ),(p y f dy dp
p =
6.二阶常系数线性微分方程
（1）二阶常系数齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =0
（2）二阶常系数非齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =f (x )
先求对应齐次方程y''+py'+qy=0的通解，再加上非齐次方程的一个特解；
（a）f(x)=P m(x)eλx型,特解：y*=x k Q m(x)eλx,其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式,而k按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2。
(b) f(x)=eλx[P l(x)cosωx+P n(x)sinωx]型，特解：y*=x k eλx[R(1)m(x)cosωx+R(2)m(x)sinωx],其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式,m=max{l,n},而k按λ+iω (或λ-iω)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1。