附加δ势垒对一维半无限深势阱影响的研究
16-3 一维势阱和势垒问题
]
ψ1 = A1 e + B1 e
ik1x
−ik1x
− ik 2 x
1
( x < 0)
( x > a)
U
通解: 通解
ψ 2 = A2 e
ik 2 x
1
+ B2 e
(0 ≤ x ≤ a )
U0
ψ 3 = A3 eik x + B3 e − ik x
处无反射波： 由 x > a 处无反射波： B 3 = 0 令 A1 = 1（以入射波强度为标准） 以入射波强度为标准） 由波函数的 标准条件得 O 可解得
§16-3 一维势阱和势垒问题
一、一维无限深方势阱 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中， 模型的建立：微观粒子被局限于某区域中，并在该 区域内可以自由运动的问题 →简化模型。 →简化模型 简化模型。 例如： 例如： 金属中自由电子 受规则排列的晶格点阵作用 简化：交换动量) 简 相互碰撞 (简化：交换动量) 化 只考虑边界上突然升高的势 能墙的阻碍 —— 势阱 认为金属中自由电子不能逸出表面 ——无限深势阱 无限深势阱
2 2πx p = ∫ |ψ | d x = ∫ sin dx a a 0 0
4 4 2 a a
2a πx 2 πx = ∫ sin d( ) aπ a a 0
4
a
1 πx 1 2 2 2π x = ( − sin ) π a 4 a
a
4
= 9.08 × 10 −2
0
练习： 练习
已知： 已知：
ψ = cx ( L − x )
A A2 ∞ 2 dx = ∫ dx = A arctg x − ∞ = A2π = 1 ∫∞ 1 + ix 1 + x2 − −∞
163一维势阱和势垒问题
0,
mn mn
克罗内克符号
二、势垒穿透和隧道效应
有限高的方形势垒
数学形式：
U
(
x)
0,
U 0 ,
图形形式：
x 0(P区),x a(S区) 0 x a(Q区)
U
考虑粒子的动能 E小于势垒高
U0
度 U0的情况。（ E < U0 ）
E
PQ S
o ax
U (x) 0, x 0和x a
1
(0 x a)
(x 0及x a)
2
势阱内 0 < x < a
d 2 1
dx2
2E
2
1
0
势阱外 x ≤ 0 ;x ≥a
2 0
理由:因为势壁无限高,所以粒子不能穿透势壁,故势 阱外的 波函数为零
定态薛定谔方程为
d 2
d x2
2E
2
0
E是粒子的总能量，E > 0，令 k
定态薛定谔方程变为
d 2
一维无限深方势阱的图形表达形式 ：
∞∞
U(x)
粒子只能在宽为 a 的两个无限 高势壁间运动，这种势称为一 维无限深方势阱。
0
ax
因为系统的势能与时间无关，因此这是一个定 态问题，可以用定态薛定谔方程进行求解。
2
2
2
U
(r)
(r )
E
(r )
————定态薛定谔方程
①列出各区域的定态薛定谔方程
若在样品与针尖之间
加一微小电压Ub电子 就会穿过电极间的势
垒形成隧道电流。
隧道电流对针尖与样品间的距离十分敏感。 若控制隧道电流不变，则探针在垂直于样品 方向上的高度变化就能反映样品表面的起伏。
16-3一维势阱和势垒问题解读
x a
a x
第k激发态(n=k+1)有k个节点。
（2）一维无限深势阱 的粒子位置概率密度 分布
1
2
n 1
0 2 2 n 2 a
2
x
0 无数峰：量子 经典均匀分布 0
a a n 1，x 处，几率最大 0 3 2 b n ，峰数 ，当n 时，
4
U0
II
III
o
a
x
而在微观粒子的情形，却会发生反射。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）E<U0 从解薛定谔方程的结果来看，在 势垒内部存在波函数2。即在势垒内 部找出粒子的概率不为零，同时，在 x>a区域也存在波函数，所以粒子还 I 可能穿过势垒进入x>a区域。
V
V0
II
III
o
a
x
粒子在总能量E小于势垒高度时仍能贯穿势垒的 现象称为隧道效应。
式中 A和α是待定常数，由边界条件和归一化条 件确定。
( x) A sin( kx )
从物理上考虑，粒子不可能透过阱壁，因而按照波 函数的统计诠释，要求在阱壁上和阱外波函数为0。 考虑波函数在阱壁上等于零的情况，即
(0) 0, (a) 0
————边界条件
(0) 0
这说明：并非任何 E值所对应的波函数都能满足一维 无限深方势阱所要求的边界条件，只有当能量取上式 给出的那些分立的值 En（体系的能量本征值）时， 相应的波函数才是物理上有意义的，即本问题中体系 的能量是量子化的，亦即体系的能谱是分立的。
2
2
2 2 2
( x) A sin kx
nx n ( x) A sin( ) a
《势垒对GaAs-AlxGa1-xAs量子阱中杂质态结合能的作用及磁场影响》范文
《势垒对GaAs-AlxGa1-xAs量子阱中杂质态结合能的作用及磁场影响》篇一势垒对GaAs-AlxGa1-xAs量子阱中杂质态结合能的作用及磁场影响一、引言随着现代微电子技术的发展，GaAs/AlxGa1-xAs量子阱结构因其独特的电子性质和光学性质，在半导体器件和光电器件中得到了广泛应用。
杂质态结合能作为量子阱中电子和空穴的重要性质，对于理解其电学和光学行为具有至关重要的作用。
同时，磁场对量子阱中杂质态的结合能也具有显著影响。
本文将重点探讨势垒对GaAs/AlxGa1-xAs量子阱中杂质态结合能的作用以及磁场对这种作用的影响。
二、GaAs/AlxGa1-xAs量子阱结构及杂质态GaAs/AlxGa1-xAs量子阱是一种由两种不同组分的化合物半导体材料构成的异质结构。
其中，势垒层和势阱层的组成元素比例不同，导致其能带结构和电子性质存在差异。
在量子阱中，电子和空穴被限制在势阱层内，形成杂质态。
这些杂质态的能量状态和波函数对电子的输运、光学跃迁等物理过程具有重要影响。
三、势垒对杂质态结合能的作用势垒是决定量子阱中电子和空穴运动的关键因素。
势垒的高度和宽度将直接影响杂质态的结合能。
当势垒较高时，电子和空穴被限制在势阱层内，形成较强的库仑相互作用，导致杂质态结合能增大。
反之，当势垒降低时，电子和空穴的波动函数重叠程度减小，库仑相互作用减弱，杂质态结合能降低。
此外，势垒的宽度也会影响电子和空穴的波函数分布，从而影响杂质态的结合能。
四、磁场对杂质态结合能的影响磁场对量子阱中杂质态的结合能具有显著影响。
在磁场作用下，电子和空穴的波函数发生塞曼分裂，导致能级分裂和能级移动。
这种能级移动将直接影响杂质态的结合能。
此外，磁场还会改变电子和空穴的轨道运动状态，进一步影响其库仑相互作用和结合能。
五、势垒与磁场的综合影响势垒和磁场的综合作用将进一步影响GaAs/AlxGa1-xAs量子阱中杂质态的结合能。
在强磁场作用下，势垒对电子和空穴的限制作用将发生变化，从而改变杂质态的结合能。
一维无限深势阱
n*dx
=
a −a
A sin ⎢⎣⎡
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤dx
= aA2 = 1
A= 1 a
ψn =
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
ψ
n
( x, t )
=
ψ
− i Et
ne h
=
1 a
sin
⎡ ⎢⎣
nπ 2a
(x
+
a)⎥⎦⎤
⋅
−i
eh
Et
En
=
n2π 2h 2 8μA2
ΔEn
=
En +1
§2.6 一维无限深势阱 （1） 序
一维运动 相互作用用势函数 U 表示
势场
⎧散射场 ⎩⎨束缚态
势垒
方形势阱
⎧方形势阱 ⎪⎪谐振子势阱 ⎪⎨δ 阱 ⎪⎩周期阱
一维无限深势阱，图 2.1 所示
Fig 2.1 一维无限深势阱
（2） 一维无限深势阱 在一维空间中运动的粒子，粒子在一定区域内（x=-a 到 x=a）为零，而在此区域外，势能为无
a −a
⎢⎣⎡cos
n
+ n′ 2a
(
x
+
a)
−
cos
n
− n′ 2a
(
x
+
a)⎥⎦⎤
dx
=0
——此即为波函数的正交条件。
8．波函数可视为两波波函数的迭加
ψ = c e + c e i h
(
nπh 2a
−
Ent
)
−
52_6半无限深势阱_一维势垒
ϕ1 ( x) = Ae + r e
ikx
1
−ikx
,
x≥a
x≤0
0≤ x≤a
ϕ2 ( x) = Cek x + De−k x ,
1
ϕ 1 (0) = ϕ 2 (0)
ϕ3 ( x) = te ,
ikx
ϕ 2 (a ) = ϕ 3 (a )
dϕ 1 ( x ) dϕ 2 ( x ) |x=0 = |x=0 dx dx
例如，电子可逸出金属表面， 例如，电子可逸出金属表面， 在金属表面形成一层电子气。 在金属表面形成一层电子气。 7
怎样理解粒子通过势垒区? 怎样理解粒子通过势垒区 经典物理：粒子不能进入E 的区域(动能 经典物理：粒子不能进入 < U的区域 动能< 0)。 的区域 动能< 。 量子物理：粒子有波动性，遵从不确定关系， 量子物理：粒子有波动性，遵从不确定关系， 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。 粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。 只要势垒区宽度∆ 不是无限大， 只要势垒区宽度∆ x = a 不是无限大， 粒子能量就有不确定量∆ 粒子能量就有不确定量∆E
U ( x)
U0
方程的解必处处为零,根据 方程的解必处处为零 根据 波函数的标准化条件， 波函数的标准化条件，在边界上
ϕ ( x) = 0
x≤0
E2 E1
o
a
x
2、在0<x<a 区域粒子势能为零，定态薛定谔方程 、 区域粒子势能为零，
− ℏ 2 d 2ϕ ( x ) = Eϕ ( x ) 2 2m dx 0< x<a
ℏ 2 d 2ϕ 3 ( x ) − = E ϕ 3 ( x ), 2 2 m dx
52_6半无限深势阱_一维势垒解读
2m 2 (U 0 E )
2
cos(ka) k sin(ka)
cos2 ( ka) 2 U 0 2 1 2 sin ( ka) k E
空气隙
样品
STM工作示意图
16
d变~ 10nm
i 变几十倍，非常灵敏。
竖直分辨本领可达约百分之几 nm； 横向分辨本领与探针、样品材料及绝缘物有关， 在真空中可达0.2nm 技术关键： 1. 消震：多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。 2. 探针尖加工：电化学腐蚀，强电场去污， 针尖只有1~2个原子！ 3. 驱动和到位：利用压电效应的逆效应 —— 电致伸缩，一步一步扫描。 扫描一步0.04nm， 扫描12 ，用0.7s
2 d 2 3 ( x ) E 3 ( x ), 2 2m dx
xa
9
2mE 令： k 2
2
2m(U 0 E ) k 2
2 1
三个区间的薛定谔方程化为
U
d 1 ( x) 2 k 1 ( x ) 0, 2 dx
2
x0
U0
d 2 3 ( x ) 2 k 3 ( x ) 0, 2 dx
2
2mE k 2
2
sin ( ka ) 1或
2
ka
h2 E U0 2 2 8ma 32ma
2 2
( x) Be
x
,
xa
结果说明粒子会出现在x＝a的表层附近
6
§6 一维方势垒 势垒贯穿（隧道效应） U
U ( x ) 0, x 0, x a
含有势垒的一维无限深方势阱的矩阵解法
含有势垒的一维无限深方势阱的矩阵解法朱昌勇【摘要】无限深方势阱是量子力学中一个非常重要的模型,采用矩阵力学的方法解出了含有势垒的一维无限深方势阱的归一化波函数和能级,并且讨论了势垒趋于δ势垒时能级的情况.【期刊名称】《韶关学院学报》【年(卷),期】2016(037)002【总页数】6页(P1-6)【关键词】无限深势阱;波函数;势垒【作者】朱昌勇【作者单位】韶关学院物理与机电工程学院,广东韶关512005【正文语种】中文【中图分类】O413.1一维对称无限深方势阱是量子力学中最基本的问题之一，大部分的量子力学都有讲述，而且可以通过奇偶性求得其解析解［1-3］.但是对于含有方势垒的一维无限深方势阱的讨论就比较少，本文通过矩阵力学的方法求得其归一化波函数和能级，并且对一种极限情况：即方势垒趋于势垒时粒子的能级进行了讨论.设质量为m的粒子在一个含有方势垒的一维无限深势阱中运动，设势能为：其中，L为势阱半宽度，为势垒半宽度，为势垒高度，如图1所示.粒子满足的定态薛定谔方程为：其中，E为粒子的能量.利用该方程可以求出粒子的能级和波函数.下面就两种情况（）进行求解.1.1的情况令：，则粒子在势阱内满足的定态薛定谔方程可简写为：在势阱外，由于，所以波函数应该恒为零.即：所以，满足边界条件（2）的势阱波函数的通解可分别写为：根据连续性边界条件：在处，有：即：在处，有：即：将式（4a）、（4b）、（5a）、（5b）表示为矩阵方程的形式：方程有非零解的条件是式（6）系数矩阵的行列式等于零，进而可以得到：其解为：此外注意到，与粒子的总能量E无关.为了求得粒子的能量本征值，可以引入两个新的参量和，令，则结合（8a）和（8b）可以得到：由此可以求出粒子的能级.将代入式（6），可以得到其基础解系为：所以粒子满足的波函数为：由归一化条件，可知：将式（9a）～（9c）代入式（10）可得：将代入式（6），可以得到其基础解系为：则粒子满足的波函数为：将式（12a）～（12c）代入式（10），可得：1.2的情况令，则粒子在势阱内满足的定态薛定谔方程可简写为：满足边界条件（2）的势阱波函数的通解可分别写为：根据连续性边界条件，在处，可以得到：将式（16a）、（16b）、（16c）、（16d）表示为矩阵方程的形式：方程有非零解的条件是式（17）系数矩阵的行列式等于零，进而可以得到：其解为：此外有，与粒子的总能量E无关.为了求得粒子的能量本征值，引入两个新的参量和，令，则结合（19a）和（19b）可以得到：由此可以求出粒子的能级.将代入式（17），从而可以得到其基础解系为：所以粒子满足的波函数为：将式（20a）～（20c）代入式（10）可得：将代入式（17），可以得到其基础解系为：则粒子波函数为：将式（22a）～（22c）代入式（10）可得：现讨论，但为有限值时粒子能级的情况，此种极限情况相当于无限深势阱内在处存在一个势垒.此时，对于式（8a），其右边：所以式（8a）可变为：对于式（8b），其右边：所以，即：.从而可以有其解为.利用，可以得到其能级为此种情况与无势垒的一维无限深方势阱的能级相同，即相当于此时势垒不起作用. 本文采用矩阵方程表述的方法求解了含有势垒的一维无限深方势阱中粒子运动的波函数和能级，并且讨论了当，但为有限值（即相当于存在一个势垒）的情况，通过对式（8b）的处理发现此时势垒对运动粒子的能级不起作用.【相关文献】［1］周世勋. 量子力学教程［M］.2版.北京：高等教育出版社，2009：26-29. ［2］苏汝铿. 量子力学［M］. 上海：复旦大学出版社，1997：37-40.［3］曾谨言. 量子力学：卷Ⅰ［M］. 3版.北京：科学出版社，2001：88-92.。
一维无限深势阱例题
一维无限深势阱例题
研究的物理系统描述为一维无限深势阱，大小无限，空间上对称，势能为$V(x)$，其中$V(x)$为正定函数且在$|x| \rightarrow \infty$时取绝对值最小。
能级结构由这样一个无限深势阱构成，从最低能级开始，能量按照等级序列递增，每级由一相等的双重谱线组成，谱线之间隔离，能量水平保持不变，同时也满足$E_n=\hbar^2k_n^2/2m$，其中$n=0,1,2...$。
由于这个物理系统的势能$V(x)$有很多可能的形式，因此我们需要研究各种形式的势能下物理系统的能级结构。
例如，当势能$V(x)$为调和势，$V(x)=V_0 \frac {1}{2} m \omega ^2x^2$时，可以知道，物理系统的能级结构为，$E_n=\hbar \omega (n+\frac{1}{2})$, $n=0,1,2,3,\cdots$。
;。
量子力学 一维无限深势阱
５５§2.6一维无限深势阱（Potential Well ）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。
一、写出本征问题 势场为：⎩⎨⎧≥∞<=a x ,a x ,0)x (U 区域I（阱内，a x <）方程为： )x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h (1) 区域II、III（阱外，a x ≥）方程为： )x (E )x ()U dxd 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h (2) 其中∞=0U 。
波函数的边界条件是：)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ (3)二、求解本征方程 我们令2E 2h μ=α， 20)E U (2'h−μ=α (4) 则：)x (E )x (dx d 2I I 222ψ=ψμ−h 的解为: x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ a x <(5)５６ )x (E )x ()U dx d 2()III (II )III (II 0222ψ=ψ+μ−h 的解为:x 'x'II e 'B e 'A )x (αα−+=ψ a x ≥ (6)x 'x 'III e ''B e ''A )x (αα−+=ψ a x −≤ (7) 由(6)-(7)式和波函数的有限性知: 0'B ,0''A ==，即：x 'II e 'A )x (α−=ψ a x ≥x 'III e ''B )x (α=ψ a x −≤又由于∞=0U ，则：∞=−μ=α20)E U (2'h于是：0)x ()x (III II =ψ=ψ (8) 而)a ()a (II I ψ=ψ，)a ()a (III I −ψ=−ψ；x i xi I Be Ae )x (αα−+=ψ则：⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i ai a i (9)于是A、B 不能全为零的充分必要条件为： 0e e e e a i a i ai ai =α−ααα−， 即：0)a 2sin(=α 解之得：a 2n π=α，,....2,1,0n ±±= (10)将其代入到⎩⎨⎧=+=+α−ααα−0Be Ae 0Be Ae a i a i a i ai ，得：0Be Ae 2/in 2/in =+ππ−即:B )1(A 1n +−=代入x i x i I Be Ae )x (αα−+=ψ中，得：５７ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=π=π=ψ,..5,3,1n ,x a 2n cos D ,...6,4,2n ,x a 2n sin C )x (I a x < (11)其中0n =，()0x =Ψ为平凡解，无意义；,...2,1n −−=不给出新的解。
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附加δ势垒对一维半无限深势阱影响的研究唐义甲，韩修林【摘要】摘要：通过对添加δ势垒的一维半无限深势阱的薛定谔方程进行求解，得到了粒子运动的波函数和能级的相关公式，分析发现，δ势垒的添加以及它的强度与位置的变化对能级都有影响。
对比不含δ势垒的一维半无限深势阱的能级，探究δ势垒的添加对原能级产生的影响，并利用Mathematica作图来直观显示这一影响。
【期刊名称】安庆师范学院学报（自然科学版）【年(卷),期】2015(000)003【总页数】4【关键词】δ势垒；一维无限深势阱；能级薛定谔方程大致可以分为两类：定态薛定谔方程和含时薛定谔方程。
定态薛定谔方程的研究主要利用椭圆偏微方程理论和变分法理论，这方面的结果非常丰富[1-2]。
含时薛定谔方程在上世纪70年代以后，随着调和分析手段的引入而发展迅速，尤以著名数学家J. Bourgain，T. T ao，C. Kenig和F. Merle等人的工作备受瞩目[3-4]。
由于δ函数的特殊性，δ(x)势在原子、分子、固体及多体等问题中均有广泛应用[5-6]，而在量子力学定态薛定谔问题中引入δ(x)势却鲜有报道[7-8]。
本文在已有严格解的一维半无限深方势阱内引入δ(x)势，采用理论分析、数值计算与作图显示相结合的方法，对δ势引起的能级及波函数进行修正。
1 附加δ势的半无限深方势阱设质量为m的粒子，作一维运动，在半无限深方势阱中附加δ势后，如图1所示，势能为(1)其中，μ是描述势阱位置的无量纲参数，取值区间为(0，1)。
粒子的波函数与能量满足定态薛定谔方程：(2)由于势能不连续，定态薛定谔求解可分为四个区域：(3)由于束缚态粒子的能量有限性，在区域Ⅰ内波函数应为零，即波函数ψ0(x)=0。
在区域Ⅱ，Ⅲ内，定态薛定谔方程为(4)上式可以简化为(5)其中，(6)在区域Ⅳ内，定态薛定谔方程为(7)由束缚态条件知E<V1，可将(7)式简化为ψ″-β2ψ=0(8)其中(9)由波函数的连续性，得到在边界x=0处ψ1(0)=ψ0(0)=0(10)x=μa是方程(5)的奇点，ψ′(μα)不连续，利用波函数连续条件并对(5)式积分，得ψ2(μa+0)+ψ1(μa-0)= ψ(μa)(11)在x=a处，由波函数一阶导数连续，可得到(12)2 半无限深方势阱中附加δ势的粒子的波函数与能级2.1 定态波函数方程(5)的通解为ψ1(x)=Asin(kx)+A′cos(kx)(14)考虑到边界条件(10)，可得当A′=0，所以区域II内ψ1(x)=Asin(kx)(15)由方程(8)，得到区域Ⅳ内的波函数为ψ3(x)=Ce-βx+Deβx(16)当x→∞时，波函数应有限，所以D=0(13)ψ3(x)=Ce-βx(17)方程(5)在区域Ⅲ内的通解为ψ2(x)=Bsin(kx+φ)(18)结合衔接条件(12)得kcot(kx+φ)=-β(19)为简单起见，假定λ=0，则衔接条件(11)变为ψ′(μα+0)=ψ′(μα-0)(20)势阱过渡为半无限深方势阱，如果存在波函数在μα处为零，则(20)同样适用于λ≠0，因此假定先波函数在μα处为零，采用迭代法求解，易解得(21)A，C可由波函数连续性条件和归一化条件确定，参数k,β与能量有关，其他参数可由(19)和(20)式确定。
2.2 定态能量将(21)式代入条件(11)，得到(22)在+nπ，(n=1,2,3,L)处对应λ=0，相应的能量处用牛顿迭代法解超越方程(22)，只取一级近似，可解得(23)λV1，由可求出相应的能量。
将(21)式代入(19)式，取平方整理得(24)进一步化简得(25)或|sin2k(α-2μα)|(26)令k(α-2μα)=ω，则k=ω/(α-2μα)，(26)式可化为|sinω|，(27)解超越方程(27)可求出各能量，结果表明,若势阱内有束缚态能量是量子化的，势阱内至少有一个束缚态的基态能的条件是或作出函数y=|sinω|和函数y=Pω的图像，其交点即为超越方程(27)的解3 运用mathematica作图显示δ势垒的影响添加δ势垒后，能级的相关公式为(29)令n=log2H，取K1= 10不变，运用mathematica求解。
3.1 势垒位置的影响当n为0，1，2，3，……，10，μ分别取0.1到0.9之间的数值时，计算K的数值解(只取基态值)，结果如图3所示。
由图3可以看出：当n=0时H=1，即(势垒很低时，μ值的变化对基态能级的影响并不大，随着n的增大，μ值的影响也越明显，当μ处于0.55左右时对基态能级的影响最大，两侧逐渐减小。
3.2 势垒强度的影响当μ分别取0.1 ，0.2，……，0.9之间的数值，n为0，1，2，3，……，10时，计算K的数值解(只取基态值)如图4所示。
由图4知,在一定范围内K值随着n值的增大而增大，而当n增大到某个值或减小到某个值时K值达到稳定不再变化。
K的最小值与μ无关约为2.85，而K 的最大值随着μ的不同而有所不同。
4 特殊情形4.1 情形一当n→-∞时H→0，此时模型变为一维半无限深势阱。
由上文讨论的不含势垒的一维半无限深势阱的情况可知,与能级有关的表达式为(36)同样，取K1= 10，求得基态时K≈2.852 3，这与图4中n→-∞时所得结果一致。
4.2 情形二当n→∞时H→∞，模型被分裂成一维无限深势阱和一维半无限深势阱两部分，其中无限深势阱的宽度为μa，半无限深势阱的宽度为(1-μ)a。
由一维无限深势阱的能级公式得，即无量纲化后为；基态时，即n=1时，μ取不同的值时对应的K值如表1所示。
又由一维半无限深势阱能级的相关公式得kcot[k(1-μ)a]=-κ，即无量纲化后为同样，取K1= 10，运用mathematica求得μ取不同的值时对应的基态K值如表2所示。
综上所述，当μ取不同的值时，整个一维半无限深势阱中当n→∞时对应的基态K值如表3所示。
这与图4中n→∞时所得结果一致。
当μ=1/2，V1=∞，即K1=∞时，我们的模型成为中央有δ势垒的无限深势阱，将条件代入(29)式得到(33)而，因此(34)(35)这个结果与文献[7]所得结果完全一致。
5 结束语通过理论推导与数值分析，研究了在添加δ势垒的一维半无限深势阱中运动的粒子的能级的影响因素，得到了该势能下的波函数和能级的相关公式。
对于给定势垒高度K1的一维半无限深势阱，δ势垒的添加会使束缚态能级的量值增加，能级个数减少；势垒的强度与位置对能级都会产生影响，当势垒处于势阱中心偏右位置时能级最大，在K1=10的情况下，μ≈0.55，δ势垒的强度H越大，位置的影响越明显；当δ势垒的位置一定时，δ势垒的强度H越大，能级越大。
当H→∞时势阱分裂为一维无限深势阱和一维半无限深势阱两部分，并且由这两部分求的基态能级与本文公式(29)中当H→∞时求得的结果一致；适当选取参数发现文献[5-7]中的结果都是本文结果的特例，这表明了本文结论的普遍性和正确性。
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