微观粒子在一维势箱中出现的几率例题

微观粒子在一维势箱中出现的几率例题我们来考虑在一维势箱中的微观粒子。

我们定义这个箱子为：1.在x=0处与在x=L处，有两堵墙。

在左墙左边以及右墙右边，势能都是无穷大。

2.在0<x<L之间，也就是在箱子内部，势能为0。

我们知道，一个粒子不能存在于势能为无穷大的空间内。

所以，这两堵势墙把这个微观粒子围在了盒子内部，不得出去。

我们列出粒子在盒子内部的一维定态薛定谔方程：因为我们定义箱内势能为0，那么我们可以删除势能项，只剩下动能项：如果我们设波函数的表达式为：（其中C与D为参数）代入方程，再重排得到动能的表达式：现在，我们得到了动能的表达式，我们转过头来看看这个一维势箱中粒子的波函数有什么限制。

可以看出，在x=0与x=L这两个点的位置，势能就已经取了无穷大值。

说明波函数在这两点处必定为0。

代表着，粒子出现在这两个绝对的位置的概率为0。

用数学语言表达，便是下式：因为这一条件限制的是波函数在盒子边界处的行为（behaviour），所以这一条件也属于边界条件（Boundary Condition）。

波函数满足边缘条件的必要性说明只有特定的波函数是可接受的，所以这把可观测量的值限制到了离散的值。

因为波函数在盒子的边缘处值必须为0，而我们如果用一个正弦函数来描述波函数，这个问题就变得很简单了。

这意味着，正弦函数的频率只能是一些特定的值，而只有这些值能使正弦函数在盒子的边缘通过0点。

量化这个结论，就是：盒子的长度，L，必须是一个正整数，n，乘以波函数的半波长：而对于一个正弦函数sin(kx)来说，（在本系列文章第二篇中也提到过），其波长等于两倍圆周率除以正弦函数内，x前面的系数，也就是k。

所以我们有：（如果我们忽略Dcos（kx））于是，对于不同的n值，波函数的波长会越来越短，但是如果n还是满足正整数条件，那么这个正弦函数一定会满足边界条件，且总是会在盒子的两个边缘值为0，就像如下：到了这一步，既然C是任意常数，我们就令其等于归一化常数吧。

我们写出归一化条件，然后得出C的表达式：所以，归一化的波函数为：波函数的表达式都有了，我们就顺手求一下能量用n的表达式吧。

我们整理出波长用盒子长度与n表示的式子：然后利用德布罗意关系式得出动量p用n的表达式：动量都有了，我们就能得出能量的表达式了：因为n决定了系统的态与能量，它被称为是一个量子数（Quantum Number）。

但是，就像我们在叠加态那一期推送中说过的一样，一个纯正弦/余弦函数并不是线性动量算符的本征函数。

它是两个特征函数的叠加态：对于这两个特征函数，它们的线性动量分别是正和负。

也就是说，就算叠加态波函数本身的动量不确定，其各有百分之五十的几率测出正或负的值。

还有一点值得提及的是零点能量（Zero-Point Energy）。

因为有归一化条件，n不能为0。

不然整个波函数就全部都是0了，积分就积不出1了。

所以，当n=1时系统的能量便是这个系统能有的最低的能量：这是一个反直觉的结论，因为怎么想也觉得不太可能：一个体系怎么不可能有着值为0的能量？然而，我们可以这样解释。

根据波函数的标准条件与我们定义的一维势箱的边界条件：1.波函数在墙处为02.波函数必须是连续的，光滑的，单值的，且归一的（不能到处都是0，不然没意义）既然有两个定点是0，而两个定点中间波函数也不能完全为0（整个波函数图像是平的），那么说明波函数必须是弯曲的一条曲线。

而正是这个弯曲度，使得波函数对坐标的二阶微分不为0，相应的，动能也不为0。

根据我们得出的能量的表达式：我们将不同的n量子数对应的能级，以纵轴为能量轴画出，则是下面的这样一个分布：无限往上延伸。

而能级之间的能量差随着n的增加而增加。

而通过非常非常简单的代数关系，我们就可以得出两个能级之间的能量差：可以看出，当盒子的大小L增加的时候，能级差会以平方倍的速率减小。

而在宏观尺度，这个L的值对于量子系统来说是非常非常大的。

这也就说明，能级与能级之间的差别会越来越小，最后趋近于零，也就越来越趋近于经典力学的结果——能级是连续的。

事实上，所有的量子力学法则在宏观这么大的尺度下，都会接近于其对应的经典力学的法则。

这一原则被称为对应原理（Correspondence Principle）。

一直到现在，我们都在讨论一维箱子中的粒子的平移运动。

那么我们来看看，在二维箱子，甚至在三维箱子中，粒子的平移运动是如何被描述的。

对于二维箱子，我们定义其长与宽为L1和L2，而其定态薛定谔方程则为：通过一些数学手段，包括分离变量法，因为x与y不互相依赖，我们可以把波函数中关于x的函数和关于y的函数分离出来：然后我们则可以分别求出两个坐标轴方向上的线性动能。

总动能则为两个线性动能相加：所以：当我们把两个波函数与能量合并时，我们便得到了最终的表达式：对于这个二维箱子中的粒子的波函数，如果L1是等于L2的，也就是这个箱子是方形的时候，波函数（n1=1，n2=2）和（n1=2，n2=1）的能量是相同的，意味着他们是简并的，而简并度为2。

对于三维势箱，我们的处理也是相似的：一维势箱的例子其实有点极端而不切实际。

如果我们要研究波函数在一堵势能为有限大的墙时的行为，我们则需要用以下的方法来展开讨论。

首先，考虑最简单的从坐标值为a到b的方形势垒（一个势能的小山坡，意味着在这一块区域内势能比旁边的要高）。

它是这样定义的：它看起来是这样的：（势垒左侧坐标为a，右侧为b）我们在一维势箱的例子中见过，当势墙高度为无限大时，波函数在进入墙的一瞬间就会衰减到0。

但是，对于有限高的势垒，如果势能还是大于粒子动能，那么粒子的波函数随着在势垒中走得越远还是会逐渐衰减，但并不是迅速衰减。

我们将在接下来的推导中看到为什么。

而当势垒宽度有限时，波函数在离开势垒时还没有完全衰减为0。

那么在势垒右边，波函数将会按照衰减后的振幅继续震荡。

这也意味着，这个粒子有一定几率出现在势垒的另一边，尽管经典力学不允许这一结论。

首先，我们还是写出一维定态薛定谔方程：当V大于E时，V-E是大于0的。

所以当我们重新排列方程时：根据平方根运算的性质，当V-E小于0时，也就是E大于V时，k为虚数。

而相应的，因为k在波函数的e为底的指数项内，k为虚数时，指数项就可以写成正弦与余弦函数。

也就是说，E大于V时，波函数呈现的是一个波的图像。

而当V-E大于0时，也就是E小于V时，k为实数。

而对应的，波函数就只是一个纯粹的指数函数，而不能被展开成正弦/余弦函数，则波函数不是“波”，不会进行震荡。

这是一个很重要的结论，它可以帮助我们对于后面内容的理解。

这完整的波函数有四个部分：1.入射波（向右）2.反射波（向左）3.势垒内部，非震荡但是以指数函数衰减的波函数部分4.透射波（势垒右侧）（向右）如果我们画出波函数，它大概看起来是这样子的：我们可以列出势垒左侧的波函数。

因为入射波向右，我们用exp（+ikx）表示，而反射波向左，我们用exp（-ikx）表示：(由于势能为0，我们可以把V拿掉，然后把平方根内负号变成虚数单位拉到平方根外，放到指数上去)而我们列出势垒内部的“波”函数：而就在我们有点无从下手的时候，我们想到了波函数的标准条件。

首先，根据波函数的连续性与单值性，我们知道在势垒的左侧，也就是在x=a的位置，波函数必须是相等的。

也就是，在这一点，势垒左侧的波函数与势垒内部的波函数必须相等。

所以我们代入a，得出我们的第一条方程：以及，由于波函数的平滑性，左侧波函数的一阶微分值必须与势垒内波函数的一阶微分值相等：同样，我们对于在势垒右侧的波函数进行同样的处理。

我们设已经穿透过势垒，且坐标在x>b的波函数为：(k表达式相同)那么，我们对于x=b处进行同样的分析，可以得到：因为在已经透射过势垒的波函数中，粒子只能向右运动，而不能向左运动。

所以我们可以把F系数设为0，这样未知项就更少了：我们定义散射系数（Transmission probability），T，为粒子在势垒左侧并向右运动的概率，与粒子在势垒右侧并向右运动的概率的比。

利用概率密度的概念，我们可以写出：当我们设定势垒左侧位置为x=0，即a=0，通过一系列复杂的代数推导，我们最终可以得出：这，便是量子隧穿（Quantum Tunneling）。

这代表了，在量子力学中，就算一个粒子所带的动能小于一个势垒的势能，它还是有一定几率翻越势垒到达另一边。

然而，在经典力学中，这是不可能的——你见过一个球从你家地板上掉到下一层人家里去吗？虽然量子隧穿效应看起来很微不足道，但实际上它的效果是在宏观尺度上都能感知到的。

如果没有量子隧穿效应，太阳的核聚变根本不会是它现在的强度，而地球肯定就会冻成冰球了，因为太阳不能发出足够的光来加热地球。

这是因为，通过计算，太阳核心的温度约为一千五百万开尔文。

而氢原子核聚变所需的温度是远远高于这个温度的。

而为什么太阳还能进行核聚变呢？这里有两个需要考虑的因素：第一，太阳核心由于引力而造成的强烈的压强使得核子被更紧密地挤压在一起，从而提升核聚变的可能性。

另一个因素就是，量子隧穿效应使得核子有几率克服核子间的斥力势垒，从而接近另一个核子，而发生核聚变。

除此之外，分子生物学家们也在基因突变等问题上提出过量子隧穿效应的效果。

在核苷酸碱基配对的过程中，有一定几率因为量子隧穿效应导致配对出错，从而导致一系列的问题。

这是一个完全随机的过程，是不可避免的。

以及，还有科学家发现，果蝇可以分辨出结构完全相同，只是有着不同同位素的两个分子。

这一现象，如果不用量子隧穿的概念，是很难解释清楚的。