高等数学各章知识结构
高等数学各章总结
第一章 函数一、知识结构：二、例题：判断题1. 设arcsin y u =,u 可以复合成一个函数2arcsin 2+=x y ；2. 函数1lg lg y x =的定义域是1x >且10x ≠；3. 函数2x y e -=在(0,)+∞内无界；4. 函数211y x =+在(0,)+∞内无界；5. 21()cos x f x x-=是奇函数；6. ()f x x =与2()g x =是相同函数 ；7. 函数x y e =是奇函数；8. y x =与y =是同一函数； 9. 函数31y x x =++是奇函数；10. 函数1arcsin 2x y -=的定义域是(1,3)- ；11. y x =与 2x y x=不是同一个函数；函数集合函数关系实数集（区间） 集合的运算 （交、并、补）实数集（区间）函数的表示基本初等函数，初等函数复合函数 分段函数 反函数 函数的性质单调性奇偶性周期性有界性经济学常用函数建立函数关系（应用问题）12. 函数cos y x x =是偶函数 .填空题1. 设23,,tan ,u y u v v x ===则复合函数为()y f x == _________；2. 设xx f 1)(=,x x g -=1)(,则)]([x g f = _______ ；3. 复合函数2(sin )x y e =是由 ________, ________, _______函数复合而成的；4. 已知11()1f x x =-,则 (2)f = __________ ；5.y =+其定义域为 __________ ；6. 设函数2()1x f x x -=-,则(1)f -= __________；7. 考虑奇偶性,函数ln(y x =为 ___________ 函数 ；8. 函数2x y e =的反函数是 ,它的图象与2x y e =的图象关于________ 对称 .选择题1. 函数32--=x x y 的定义域是 ( ) (A) (2,)+∞ (B)[2,]+∞ (C)(,3)(3,)-∞+∞ (D)[2,3)(3,)+∞2. 函数 22)1(-=x x y 在区间 (0,1) 内 ( )(A) 单调增加 (B) 单调减少 (C) 不增不减 (D)有增有减 3. 下列函数中，是奇函数的是 ( )(A)42y x x =- (B) 2y x x =- (C)22x x y -=- (D)22x x y -=+4. 已知函数 20()10ax bx f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，则(0)f 的值为 ( )(A) a b + (B) b a - (C) 1 (D) 2第二章 极限与连续一、知识结构：二、例题：判断题1. 函数在点0x 处有极限，则函数在0x 点极必连续；2. 0x →时,x 与sin x 是等价无穷小量；3. 若00(0)(0)f x f x -=+，则)(x f 必在0x 点连续；4. 当0x →时，2sin x x +与x 相比是高阶无穷小；5. 函数221y x =+在(,)-∞+∞内是单调的函数；6. 设)(x f 在点0x 处连续，则00(0)(0)f x f x -=+ ；7. 函数 21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 在0x =点连续； 8. 1=x 是函数122--=x x y 的间断点；9. ()sin f x x =是一个无穷小量；10. 当0→x 时，x 与)1ln(2x +是等价的无穷小量； 11. 若 )(lim 0x f x x → 存在，则)(x f 在0x 处有定义；极限连续极限 连续极限的定极限的性数列极限 连续的定一点处的连续 开区间上连续 闭区间上连续闭区间连续函数的性质有界性最值性介值性零点定理极限的计函数极限 唯一性 有界性 保号性四则运算夹逼准则 无穷小性质及等价无穷小代换两个重要极限连续函数的计算 连续函数的四则运算 连续函数的复合无穷小与无穷大及关系由连续性求极限初等函数的连续性间断点及类型12. 若x 与y 是同一过程下两个无穷大量，则x y -在该过程下是无穷小量； 13. 22--=x y 是一个复合函数；14. 21sin lim0=+→x x x x ； 15. 11,0,,0,,0,481数列收敛2；16. 函数 1sin y x x= 在 0x = 点连续；17. 0x =是函数ln(2)x y x-=的间断点；18. 以零为极限的变量是无穷小量；填空题1. sin limx xx→∞= _______ ；2. xx xx sin lim +∞→ = _______ ； 3. 函数 922-+=x x y 在 _______ 处间断；4. 1253lim 22-+∞→n n n n = _______； 5. 当 0x → 时，1cos x - 是比 x ______ 阶的无穷小量；6. 当 0x → 时， 若 sin 2x 与 ax 是等价无穷小量，则 a = ______；7.0)lim sin x x x+→= __________ ； 8. 设 sin 2,0(),0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 连续，则 a = _________ ；9.0h →=___________ ；10. 2lim(1)x x x→∞-=________；11. 0ln(13)limsin 3x x x →+=_________ ； 12. 设 21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩ 在 0x = 处________（是、否）连续；13. 当0x →时,23是______（同阶、等价）无穷小量.选择题1. 当0x →时，xy 1sin= 为 ( ) (A) 无穷小量 (B) 无穷大量 (C)有界变量但不是无穷小量 (D)无界变量 2. 1x +→时，下列变量中为无穷大量的是 ( )(A) 113-x (B) 112--x x (C) x 1 (D) 112--x x3.已知函数2,()1,f x x ⎧-⎪=-⎨11001x x x ≤--<<≤<，则1lim ()x f x →- 和 0lim ()x f x →( )(A) 都存在 (B) 都不存在(C) 第一个存在,第二个不存在 (D) 第一个不存在，第二个存在4. 函数 ()12xf x ⎧⎪=⎨⎪⎩ 11x x ≠= 的连续区间是 ( ) (A)(,1)-∞ (B)(1,)+∞ (C)(,1)(1,)-∞+∞ (D) (,)-∞+∞5. 设 232,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，则 0lim ()x f x +→= ( ) (A) 2 (B) 0 (C) 1- (D) 2-7. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ ，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续8. 02lim5arcsin x xx→= ( ) (A) 0 (B) 不存在 (C) 25(D) 19. ()f x 在点 0x x = 处有定义，是 ()f x 在 0x x =处连续的 ( )(A) 必要条件 (B) 充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 10. 下列极限存在的有 ( )(A)2(1)lim x x x x →∞+ (B) 01lim 21x x →- (C) 10lim xx e →(D) x 计算与应用题1. 设)(x f 在点2x =处连续，且232,2,()2,2x x x f x x a x ⎧-+≠⎪=-⎨⎪=⎩，求 a .2. 求极限:(1)20cos 1lim 2x x x →- ; (2)121lim()21x x x x +→∞+-; (3)3721lim 5x x x x →∞-+-; (4)xx x 10)41(lim -→ ;(5)30(1cos )tan lim x x x x →-; (6)2111lim()222n n →∞+++ ; (7)22lim(1)nn n→∞-; (8)lim()1x x x x →∞+;(9)lim x →- (10)3131lim()11x x x →---. 3. 求极限:(1)32202lim x x x x →- ; (2) 2202lim x x x x →-; (3)34205lim x x x x x→-+; (4) 3352011lim 20125x x x x →∞-+-; (5) 35112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (6) 53112113114lim 2012115x x x x →∞-+-; (7)01lim sin x x x →; (8) 1lim sin x x x →∞; (9) 01lim sin x x x →; (10) 11lim sin x x x →∞.第三章 导数与微分一、知识结构：二、例题：判断题1. 若函数)(x f 在0x 点可导，则00()[()]f x f x ''=；2. 若)(x f 在0x 处可导，则 )(lim 0x f x x → 一定存在；3. 函数 x x f =)( 在其定义域内可导；4. 若 )(x f 在 [,]a b 上连续，则 )(x f 在 (,)a b 内一定可导；5. ()(),()f x f x y e y e f x ''''==已知则；6. 函数 22,1()ln ,014x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<<⎪⎩ 在 1x = 点可导；7. 若 (),n f x x = 则 ()(0)!n f n = ；8. 2d()2ax b ax += ；9. 若 ()f x 在 0x 点不可导，则 ()f x 在 0x 不连续； 10. 函数 ()f x x x = 在点 0x = 处不可导 .填空题1. ()f x =则(0)f '= _________ ；导数微分导数微分导数的定义左导数 微分的计算基本微分公式微分形式不变性 微分在近似计算中的应用导数的计算极限的计算右导数基本公式导数四则运算 隐函数导数（对数求导，参数方程求导）反函数求导 可微的定义可微、可导及连续的关系 可微的几何意义复合函数求导导数的几何意义，切线方程 高阶导数可导与连续的关系2. 曲线3y x =在点(1,1)处的切线方程是 ________ ；3. 设ln e x e y x e x e =+++，则y '= ______ ；4. sin(1)x y e =+ ,dy =_______ ；5. 设222e x y x +=，则y ' = ________ ；6. 设e x y n +=，则()n y = ________ ；7. 曲线x e x y +=在点 (0,1) 的处的切线方程是_______；8. 若)(x u 与)(x v 在x 处可导,则])()(['x v x u = _________ ；9. sin ()x x '= _______；10. 设)(x f 在0x 处可导,且A x f =')(0,则000(2)(3)limh f x h f x h h→+--= _______ ； 11. 导数的几何意义为 ________________________ ；12.曲线y =在(1,1)处的切线方程是 ___________ ；13. 曲线31y x =+在(1,0)-处的切线方程是 ___________ ； 14. 函数32sin(1)y x x =+的微分dy =__________ ； 15. 曲线2y x =在点(0,0)处切线方程是_________ ； 16. sin y x =的n (n 是正整数)阶导数是 ________ .选择题1. 设)(x f 在点0x 处可导，则下列命题中正确的是 ( )(A) 000()()lim x x f x f x x x →-- 存在 (B) 000()()lim x x f x f x x x →--不存在(C) 00()()lim x x f x f x x →+-存在 (D) 00()()lim x f x f x x∆→-∆不存在2. 设)(x f 在点0x 处可导且0001lim (2)()4x x f x x f x →=--，则0()f x '等于 ( )(A) 4 (B) –4 (C) 2 (D) –23. 设21,10()1,02x x f x x ⎧+-<≤=⎨<≤⎩ ，则)(x f 在点x = 0处 ( )(A) 可导 (B) 连续但不可导 (C) 不连续 (D) 无定义 4. 设()y f x =可导，则(2)()f x h f x --= ( )(A)()()f x h o h '+ (B)2()()f x h o h '-+ (C)()()f x h o h '-+ (D)2()()f x h o h '+5. 设(0)0f =,且0()lim x f x x →存在，则0()limx f x x→＝( ) (A) ()f x ' (B) (0)f ' (C) (0)f (D) 1(0)2f '6. 函数)(x f e y =,则="y ( )(A) )(x f e (B) )(")(x f e x f (C) 2)()]('[x f e x f (D) )}(")]('{[2)(x f x f e x f + 7. 函数 x x x f )1()(-=的导数为 ( )(A)x x x )1(- (B)1)1(--x x (C)x x x ln (D))]1ln(1[)1(-+--x x xx x8. 函数)(x f 在0x x =处连续，是)(x f 在0x 处可导的 ( )(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件 9. 已知ln y x x =，则(10)y =( )(A) 91x - (B) 91x (C) 98!x (D) 98!x-10. 函数xxx f =)(在0=x 处 ( )(A) 连续但不可导 (B) 连续且可导 (C)极限存在但不连续 (D)不连续也不可导11. 函数 1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，在 0x = 处 ( )(A) 左连续 (B) 右连续 (C) 连续 (D) 左、右皆不连续 12. 设x x y e e -=+,则y ''=( )(A) x x e e -+ (B) x x e e -- (C) x x e e --- (D) x x e e --+13. 函数0,0()1,0x f x x x≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ,在点0x =不连续是因为 ( ) (A)(00)(0)f f +≠ (B)(00)(0)f f -≠ (C)(00)f +不存在 (D)(00)f -不存在14. 设1(2)1f x x +=+ ，则()f x '=( )(A) 21(1)x -- (B) 21(1)x -+ (C) 11x + (D) 11x -- 15. 已知函数2ln y x =,则dy =（ ）(A) 2dx x (B) 2x (C) 21x (D) 21dx x16. 设21cos ,0()0,01tan ,0x x x f x x x x x⎧<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩ ，则()f x 在0x =处（ ） (A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续 (C)连续但不可导 (D)可导 17. 已知sin y x =，则(10)y = ( )(A) sin x (B) cos x (C) sin x - (D) cos x - 计算与应用题1. 设 f (x ) =xaa a x arccos 22-- (0a >), 求(2)f a '-. 2. 设ln()y xy =确定y 是x 的函数，求dxdy.3. 设xx y 1cos 1ln +=，求dy .4. 设21(1)arctan cos 2y x x x =++，求y '.5.设x y e y ln =确定y 是x 的函数，求dxdy.6. 设)ln(ln x y =，求dy7. 221arcsin x y e x x=+-y , 求y '及dy .8. ln tan ln sin 2xy =+，求y '及dy .9. sin()y x y =+，求y ',dy 并求其在点(,0)π处的切线与法线方程.10. 221cos 5ln xx y -+=,求 y '及dy .11. y e =y '及dy .12. xy e y x -=，求y ',dy 并求其在点(0,1)处的切线与法线方程. 13. 已知2cos 3y x =，求y '. 14. 设22sin 0y x y --=， 求y '. 15. 求13cos x y e x -= 的微分.16. 设ln(y x x =+，求y '. 17. 设cos2x y e = ，求dy .18. 方程0y x e e xy -+=确定y 是x 的函数，求y '.19. 设22arctan()1xy x=- ，求y '. 20. 方程2cos 0y y x e +=确定y 是x 的函数，求y '. 21. 3cos cos x y x x e =+，求dy . 22. ln y x x =，求y ''.23. 已知 ln(y x =+，求y '.24. 设 2011201220112011x x y x x =+++，求y '.25. 已知()sin3f x x =，求()2f π''.26. 求2xe y x=的微分.27. 求由参数方程cos sin x a t y b t=⎧⎨=⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .28. 求由参数方程3cos sin x t t t y t t ⎧=+⎨=-⎩(a ,b 均为正实数)所确定函数的导数dydx .。
大学高等数学知识点框架
大学高等数学知识点框架在大学学习高等数学是一项重要的任务。
它是数学学科中的一个重要分支，为我们提供了许多解决实际问题的方法和工具。
在这篇文章中，我们将按照步骤的思维方式，介绍大学高等数学的知识点框架。
1.极限与连续–极限的概念与性质：介绍极限的定义、极限的性质和极限的运算法则。
–极限存在准则：介绍极限存在的几个充分条件，如夹逼定理、单调有界准则等。
–连续函数：介绍连续函数的定义和性质，以及连续函数的运算法则。
2.导数与微分–导数的概念与性质：介绍导数的定义、导数的性质和导数的运算法则。
–函数的微分：介绍函数的微分定义和微分的运算法则。
–高阶导数与高阶微分：介绍高阶导数和高阶微分的定义和性质。
3.积分与不定积分–不定积分的概念与性质：介绍不定积分的定义、不定积分的性质和不定积分的运算法则。
–定积分的概念与性质：介绍定积分的定义、定积分的性质和定积分的运算法则。
–牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的概念和应用。
4.微分方程–微分方程的概念与分类：介绍微分方程的定义、微分方程的分类和微分方程的一阶与高阶形式。
–常微分方程的解法：介绍常微分方程的解法，如可分离变量法、一阶线性微分方程的解法等。
–微分方程的应用：介绍微分方程在物理、生物等领域中的应用。
5.级数–数列与级数：介绍数列与级数的概念和性质，以及级数的收敛与发散。
–常见级数：介绍常见级数，如等比级数、调和级数等。
–级数的审敛法：介绍级数的审敛法，如比值判别法、根值判别法等。
6.二重积分与三重积分–二重积分的概念与性质：介绍二重积分的定义、二重积分的性质和二重积分的计算方法。
–三重积分的概念与性质：介绍三重积分的定义、三重积分的性质和三重积分的计算方法。
–应用举例：介绍二重积分和三重积分在几何、物理等领域中的应用。
7.偏导数与多元函数–偏导数的概念与性质：介绍偏导数的定义、偏导数的性质和偏导数的计算方法。
–多元函数的极值与条件极值：介绍多元函数的极值和条件极值的定义和求解方法。
高等数学各章知识结构
高等数学各章知识结构一．总结构数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.微积分中重要的思想和方法：1．“极限”方法，它是贯穿整个《微积分》始终。
导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。
所以，极限理论是整个《微积分》的基础。
尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。
2．“逼近”思想，它在《微积分》处处体现。
在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。
这种逼近思想在理论和实际中大量运用。
3．“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。
高数大一下知识点框架总结
高数大一下知识点框架总结一、导数与微分1. 导数的定义及计算方法2. 函数的微分与微分形式3. 高阶导数及求导法则4. 隐函数微分与相关问题二、不定积分与定积分1. 不定积分的定义及基本积分表2. 定积分的定义及几何意义3. 牛顿-莱布尼茨公式与基本性质4. 微元法与变量代换法三、微分方程1. 一阶微分方程的基本概念与解法2. 高阶常系数线性微分方程及其解法3. 变系数线性微分方程的特解与齐次解4. 常见的常微分方程应用问题四、多元函数与偏导数1. 多元函数的定义及性质2. 偏导数的计算与几何意义3. 链式法则与不完全微分4. 梯度、方向导数与极值判定五、重积分与曲线曲面积分1. 二重积分的计算方法与性质2. 三重积分的计算方法与性质3. 曲线积分的计算与应用问题4. 曲面积分的计算与应用问题六、无穷级数1. 数项级数与常数项级数的收敛性2. 收敛级数的性质与判别法3. 幂级数的收敛域与展开式4. 泰勒级数与常见函数的级数展开七、常微分方程的应用1. 随机增长与衰减问题2. 物理问题中的常微分方程建模3. 经济学问题中的常微分方程建模4. 生物学问题中的常微分方程建模八、向量代数与空间解析几何1. 向量的基本概念与运算法则2. 空间直线和平面方程的求解3. 空间曲线的参数方程与弧长4. 球面与圆柱面的参数方程与切线以上是高数大一下知识点的框架总结，涵盖了导数与微分、不定积分与定积分、微分方程、多元函数与偏导数、重积分与曲线曲面积分、无穷级数、常微分方程的应用、向量代数与空间解析几何等内容。
希望对你的学习有所帮助！。
高等数学知识结构框架
高等数学知识结构框架
高等数学是学习数学中的重要分支，它包含了广义的范围和深刻
的理论体系。
高等数学的主要知识结构包括以下五个方面：
一、数理逻辑和集合论
数理逻辑和集合论是高等数学的基础，规范了数学的语言和表述
方式，以建立一套严密的证明方法。
数理逻辑包括符号逻辑和谓词逻辑，而集合论则是研究集合的定义、运算和性质。
二、微积分
微积分是高等数学的一个重要分支，它包括微分和积分两个方面。
微分主要研究函数的导数和微商，积分则是找出函数的原函数。
微积
分被广泛应用于自然科学、工程和经济学等领域。
三、线性代数
线性代数是处理向量和矩阵等数学对象的一门学科，它主要研究
线性方程组、矩阵的运算和特征值、特征向量等基本概念。
线性代数
在数学领域和工程应用中广泛应用。
四、常微分方程
常微分方程是研究形如f(x,y,y’,y’’,…y(n))=0的方程解法
的一门学科。
它是微积分的深入发展，适用于自然科学和工程等领域
的研究。
五、多元统计学
多元统计学是应用数学的一部分，该领域研究了随机事件的概率
论和随机过程的统计学。
在数据分析等领域中，多元统计学是一种重
要的分析工具。
高等数学知识结构丰富多彩，此处只介绍了五大方面的内容，学
习者可以通过掌握这些知识为出色的数学研究和应用打下坚实的基础。
大学高数知识框架归纳总结
大学高数知识框架归纳总结在大学学习中，高等数学无疑是一门重要的基础课程。
高等数学的内容非常广泛，包括了微积分、数学分析、概率论和线性代数等多个方面。
为了帮助同学们更好地理解和掌握高等数学的知识，下面将对其知识框架进行归纳总结。
一、微积分部分微积分是高等数学的核心部分，主要包括了极限、导数和积分。
在微积分的学习中，我们需要掌握以下几个重要概念和定理：1. 极限极限是微积分的基础。
在学习极限时，需要了解函数趋近于无穷时的行为，同时要熟悉常用的极限计算方法，如利用夹逼定理、洛必达法则等。
2. 导数导数是函数变化率的度量，也是微积分的重要内容之一。
在导数的学习中，我们需要熟悉导数的定义、性质和常见的导数计算法则，如常数因子法、求和法等。
3. 积分积分是对函数的反向运算，也是微积分不可或缺的一部分。
在积分的学习中，我们需要了解定积分和不定积分的概念、性质及其计算方法，如换元积分法、分部积分法等。
二、数学分析部分数学分析是对数学概念和计算方法的深入研究，主要包括了数列、级数和函数。
1. 数列数列是由一系列数字按照一定规律排列而成的。
在数列的学习中，我们需要了解数列的定义、性质以及数列的极限，同时要掌握数列的收敛性和发散性判断方法，如比较判别法、比值判别法等。
2. 级数级数是数列的和，也是数学分析中的重要内容。
在级数的学习中，我们需要熟悉级数的定义、性质以及级数的敛散性判断方法，如比较判别法、积分判别法等。
3. 函数函数是数学中常见的概念，也是数学分析的核心内容之一。
在函数的学习中，我们要了解函数的定义、性质以及函数的极限、连续性和可导性。
三、概率论部分概率论是研究随机现象的数学分支，主要包括了概率、随机变量和概率分布等内容。
1. 概率概率是指事件发生的可能性大小。
在概率的学习中，我们需要掌握概率的定义、性质以及概率计算的方法，如加法法则、乘法法则等。
2. 随机变量随机变量是随机现象的数学描述，是概率论的核心概念之一。
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）
《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）第一篇：《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当x>M>0）有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,（或当x>X时）恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).（或limf(x)=A）x→∞类似的有：如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0（x0<x<x0-δ）时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→x0时的左极限（或右极限）记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→-∞（或当x→+∞）时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质（1）唯一性若limxn=a，limxn=b，则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B，则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)（2）有界性（i）若limxn=a，则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，则∃M>0当x:0<x-x0<δ时，有f(x)≤Mx→x0（iii）若limf(x)=A，则∃M>0,X>0当x>X时，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保号性（i）若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+，当n>N时，恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A，且A>0(或A<0)，则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时，有（ii）若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a，n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x)， 若①当x∈U(x0,r)（或x>X）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A，x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)（ii）单调有界准则给定数列{xn}，若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则lim-f(x)（或lim+f(x)）x→x0x→x0存在4、极限的运算法则（1）若limf(x)=A，limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅（B≠0）g(x)B0（2）设（i）u=g(x)且limg(x)=u0（ii）当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0（iii）limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限（1）limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0，limxsin=1，limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+（2）lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若limα(x)=0，即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ（或x→∞(x→x0)x>X）时有α(x)<ε，则称当x→x0(或x→∞)，α(x)无穷小量（2）或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)（或x>X）时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞)，f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0（f(x)≠0）⇒lim（2）limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)（3）limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))（4）limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)（5）limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn（6）limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0，8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若（1）lim小。
高等数学各章知识结构
高等数学各章知识构造一．总构造可积性函数（高等数学研究的主要对象）连续性可微性一元函数一元微积分导数微分不定定积积分分空多元函数多元微积分偏导数全微分重间积解分析，几曲何线数列无量级数积分方程常微分方程数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的构成部分，是现代数学很多分支的基础，是人类认识客观世界、探究宇宙神秘以致人类自己的典型数学模型之一.恩格斯（ 1820-1895 ）曾指出：“在全部理论成就中，未必再有什么像17 世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高成功了”.微积分的发展历史波折跌荡，撼人心灵，是培育人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘） .微积分是近代数学中最伟大的成就 ,对它的重要性不论做如何的预计都不会过分 .冯.诺伊曼注：冯 .诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最优秀的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等很多分支，从会合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献 .他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》确立了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.微积分中重要的思想和方法：1．“极限”方法，它是贯串整个《微积分》一直。
导数是一种特别的函数极限；定积分是一种特别和式的极限；级数归纳为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各样重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。
所以，极限理论是整个《微积分》的基础。
只管上述各样观点都是某种形式的极限，可是它们都有各自独到和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。
2．“迫近”思想，它在《微积分》到处表现。
在近似计算中，用简单求的割线取代切线，用若干个小矩形面积之和取代所求曲边梯形面积；用折线段的长取代所求曲线的长；用多项式取代连续函数等。
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高等数学各章知识结构一．总结构
的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.
微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.
恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.
微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.
冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合着的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.
微积分中重要的思想和方法：
1．“极限”方法，它是贯穿整个《微积分》始终。
导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。
所以，极限理论是整个《微积分》的基础。
尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。
2．“逼近”思想，它在《微积分》处处体现。
在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。
这种逼近思想在理论和实际中大量运用。
3．“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。
熟练掌握求极限、求导数和求积分的方法，学习《微积分》就不会遇到太多困难，甚至能做到得心应手。
4．“特色定理”是《微积分》的支柱。
夹逼定理、中值定理、微积分基本定理等是《微积分》中最深刻、最基本、最能体现《微积分》特色的定理，支撑起《微积分》的大厦。
5．“综合运用能力”是《微积分》学习的出发点和归宿。
充分注重综合运用极限概念与方法的能力、综合运用导数与积分相结合的各种方法的能力、综合运用定积分思想方法解决问题的能力、综合运用一元和多元相结合方法的能力、综合运用各种方法解决实际问题的能力。
二．函数、极限与连续
函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态.
3
, 就是极限思想在
几何学上的应用. .天下篇》一书中对
, 万世不竭”，其中也隐含
了深刻的极限思想 例如连续、导数、定积分、无穷级数等都是建立在极限的基础上. 极限方法又是研究函数的一种最基本的方法.
客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，比如日月行空、岁月流逝、植物生长、物种变化等，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是函数的连续性. 连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型.
16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接肇始于对物体的连续运动的研究. 例如伽利略所研究的自由落体运动等都是连续变化的量. 但直到19世纪以前，数学家们对连续变量的研究仍停留在几何直观的层面上，即把能一笔画成的曲线所对应的函数称为连续函数. 19世纪中叶，在柯西等数学家建立起严格的极限理论之后，才对连续函数作出了严格的数学表述.
连续函数不仅是微积分的研究对象，而且微积分中的主要概念、定理、公式法则等，往往都要求函数具有连续性.
我们将以极限为基础，介绍连续函数的概念、连续函数的运算及连续函数的一些性质. 三．微分学
而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展。
在各类学科对数学提出的种种要求下，下列三类问题导致了微分学的产生：
（1）求变速运动的*时速度；
（2）求曲线上一点处的切线；
（3）求最大值和最小值。
这三类实际问题的现实原型在数学上都可归纳为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题。
牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。
在理论研究和实际应用中，常常又会遇到这样的问题：当自变量x 有微小变化时，求函数)(x f y =的微小改变量
)()(x f x x f y -∆+=∆.
这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数)(x f ，差值
)()(x f x x f -∆+却是一个更复杂的表达式，不易求出其值。
一个想法是：我们设法将y ∆表示成
x ∆的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题。
微分就是实现这种线性化的一种数
学模型。
五．微分方程
六．向量代数与空间解析几何。