2017南通市第一初级中学一模数学试卷
江苏省南通市第一初级中学2017-2018学年八年级下学期期末考试数学试卷【Word版含答案】
南通市第一初级中学 2017- 2018 学年度第二学期期末考试八年级数学一、选择题1. 一元二次方程5x 2- 4x -1 = 0中，二次项系数与一次项系数的和为（）A. 9B. -1C.1D. - 92. 一元二次方程 x2- 8x -1 = 0配方后可变形为（）A. (x + 4)2 = 17B.(x + 4)2 = 15 C.(x - 4)2 = 17 D.(x - 4)2 = 153. 一组数据：1、 2 、 2 、3 ，若添加一个数据 2 ，则发生变化的统计量是（ ）A.平均数B.中位数C.众数D.方差4. 若关于 x 的一元二次方程 mx2- 2x -1 = 0无实数根，则一次函数 y = (m +1)x - m 的图形不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5. 一元二次方程(x +1)(x + 2)=10根的情况是（）A.无实数根B.有两个正根C.有两个根，且都大于-1D.有两个根，其中一根大于 26. 一件原件100 元的商品，经过两次加价后售价121元，设平均每次加价的百分数为 x ，则可列出正确的方程是（ ）A.100(1+ 2x )=121 B.100(1+ x )2 = 121 C.100(1+ 2x )2 = 121 D.100[1+ x + (1+ x )2 ]= 1217. 若点 M (- 2，y )， N (-1，y )， P (8, y )在抛物线 y = - 1 x 2+ 2x 上，则 y ， y ， y 由小到大的顺序123为（ ）21 2 3A. y 1＜y 2＜y 3B. y 2＜y 3＜y 1C. y 3＜y 1＜y 2D. y 3＜y 2＜y 18. α ， β 为方程2x 2- 5x -1 = 0 的两个实数根，则 2α 2 + 3αβ + 5β 的值为（）A. -13B.12C.14D.159. 在平面直角坐标系中，点 A (4,-2)， B (0,2)， C (a ,-a )， a 为实数，当⊗ABC 的周长最小时， a 的值是（ ） A. -1B. 0C.1D10. 已知关于 x 的二次函数 y = x 2- 2x - 2 ，当a ≤ x ≤ a + 2 时，函数有最大值1，则 a 的值为（ ）A. -1或1B.1或- 3C. -1或3D. 3 或- 321 二、填空题：（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）在每小题中，请将答案直接填在答题卡中对应的横线上11. 解一元二次方程 x2- 3x + c = 0 时，正确解得一根为 x =2 ，则另一根的值为12. 将抛物线 y = x 2的图象向下平移 1 个单位，则平移后的抛物线的解析式为13. 二次函数图象关于 y 轴对称，最小值为-1，且经过(1,1) ，则该函数解析式为14. 方程2x2+ 3x -1 = 0 的两个根为 x , x， 则 1 + 1的值等于 x 1x 215. 一组数据：1, 2, x , 2, 3 的平均数是 2 ，则这组数据的众数是16. 如果数据 x 1, x 2,..., x n 的方差是 3，则另一组数据 2x 1, 2x 2,..., 2x n 的方差是17. 如图，某大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为 y = ax2+ b x ，小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的水平桥面OC ，当小强骑自行车行驶10 秒时和26 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需秒18. 无论 x 为何值，关于 x 的代数式 x2+ 2ax - 3b 的值都是非负数，则 a + b 的最大值为三、解答题：（本大题共 10 个小题，共 96 分）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理19.（本题 10 分）解下列方程：（1） x2- 4 = 3x （2） (2x + 3)2= (x -1)220.(本题 8 分)已知一次函数 y = kx + b 的图象经过点(-1, -5) ，且与正比例函数 y =1x 的图象相交于点2(2, m ) .求（1） m 的值；（2） 一次函数 y = kx + b 的解析式（3） 这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形面积1 221.（本题14 分）甲、乙两名学生进行射击练习，两人在相同条件下各射击10 次，其结果统计如下：命中环数5678910甲命中环数的次数142111乙命中环数的次数124210（1）根据表中的相关数据，计算甲乙两人命中环数的平均数、众数、方差，并填入下表：平均数众数方差甲乙（2）根据所学的统计知识，利用上述数据评价甲乙两人的射击水平。
2017年江苏省南通市中考数学试卷含答案
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27.(本小题满分 13 分)
我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点.过三角形内心的一条直线与两边相
交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形,若有一个图形与原三角形相似,
则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”.
(1)等边三角形“內似线”的条数为
；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)如图, △ABC 中, AB AC ,点 D 在 AC 上,且 BD BC AD .求证： BD 是
课外阅读时间 t 频数 百分比
10≤t ＜30
4
8%
30≤t ＜50
8
16%
50≤t ＜70
a
40%
70 ≤t ＜90
16
b
90 ≤t ＜110
2
4%
合计
50
100%
请根据图表中提供的信息回答下列问题：
(1) a
,b
；
(2)将频数分布直方图补充完整；
(3)若全校有 900 名学生,估计该校有多少学生平均每天的课外阅读时间不少于
无
26.(本小题满分 10 分) 效
南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案)
2021年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，那么A∪B=．复数z=〔1+2i〕2，其中i为虚数单位，那么z的实部为．34．口袋中有假设干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，那么摸出蓝球的概率为．5．如图是一个算法的流程图，那么输出的n的值为．6．假设实数x，y满足那么z=3x2y的最大值为．+7．抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩〔单位：分〕，结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲658070857 5乙807075807 0那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位学生成绩的方差为．8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，那么三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，那么该双曲线的离心率为．10．?九章算术?中的“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么该竹子最上面一节的容积为升．11．在△ABC中，假设?+2?=?，那么的值为．12．两曲线f〔x〕=2sinx，g〔x〕=acosx，相交于点P．假设两曲线在点P处的切线互相垂直，那么实数a的值为．1 3．函数2+2〕＞f〔x〕的解集用区间表示为．f〔x〕=|x|+|x﹣4|，那么不等式f〔x1 4．在平面直角坐标系xOy 中，B，C为圆x2+y2=4上两点，点〔，〕，且⊥，那么线段A11ABACBC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB= ．1〕求cosβ的值；2〕假设点A的横坐标为，求点B的坐标．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：1〕直线PA∥平面BDE；2〕平面BDE⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆〔a＞b＞0〕的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到N处，FN交边BC于点P〕，再沿直线PE裁剪．ABCD进行裁剪．点F为AD的中点，点EMNFE 处〔点C，D分别落在直线BC下方点M，1〕当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；2〕假设使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．函数f〔x〕=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．1〕当时，求函数f〔x〕的最小值；2〕假设﹣1≤a≤0，证明：函数f〔x〕有且只有一个零点；3〕假设函数f〔x〕有两个零点，求实数a的取值范围．20．等差数列{an}的公差d不0，且，，⋯，，⋯〔k1＜k2＜⋯＜kn＜⋯〕成等比数列，公比q．1〕假设k1=1，k2=3，k3=8，求的；〔2〕当何，数列{kn}等比数列；〔3〕假设数列{k}等比数列，且于任意n∈N*，不等式恒成立，求a的取范．1南通市2021届高三第一次研数学Ⅱ〔附加〕[做本包括四小，多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[修明]2作答．假设4-1：几何21．O的直径AB=4，C AO的中点，弦DE点C且足CE=2CD，求△OCE的面．[修4-2：矩与]22．向量是矩A的属于特征1的一个特征向量．在平面直角坐系xOy中，点P〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，求矩A．[修4-4：坐系与参数方程]23．在极坐系中，求直被曲ρ=4sin所θ截得的弦．[修4-5：不等式]24．求函数的最大．[必做]共2小，分20分〕25．如，在棱2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P棱C1D1的中点，Q棱BB1上的点，且BQ=λBB1〔λ≠0〕．〔1〕假设，求AP与AQ所成角的余弦值；〔2〕假设直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x2=2py〔p＞0〕上的点M〔m，1〕到焦点F的距离为2，1〕求抛物线的方程；2〕如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2021年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．设集合A=1，3，B=a2，5，A∩B=3，那么A∪B=，3，5}{}{+}{【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，那么A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．复数z=〔12i2，其中i为虚数单位，那么z的实部为﹣3〕+【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=〔1+2i〕2=1+4i+〔2i〕2=﹣3+4i，z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．口袋中有假设干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，那么摸出蓝球的概率为．【考点】概率的根本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，∴摸出蓝球的概率为1﹣﹣．故答案为．5．如图是一个算法的流程图，那么输出的n的值为5 ．【考点】程序框图．【分析】由的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．假设实数x，y满足那么z=3x+2y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+ z，由图象可知当直线y=﹣x+ z经过点A时，直线y=﹣x+ z的截距最大，此时z最大．由，解得A〔1，2〕，代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．抽样统计甲、乙两名学生的 5次训练成绩〔单位：分〕，结果如下：学生第1次第2次第3次第4次第5次甲658070857 5乙807075807 0那么成绩较为稳定〔方差较小〕的那位学生成绩的方差为20 ．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比拟可得S甲2＞S乙2，那么乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数=，其方差2[〔65﹣75〕2+=75=80﹣75〕2+〔70﹣75〕2+〔85﹣75〕2+〔75﹣75〕2]=50；对于乙，其平==75，其方=2+70﹣75〕2〔75﹣均数差S〔75〕[〔80﹣75〕+ 2+〔80﹣75〕2+〔70﹣75〕2]=20；比拟可得：S甲2＞S乙2，那么乙的成绩较为稳定；故答案为：20．8．如图，在正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，那么三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D1﹣A1BD的体积= = ，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1﹣A1BD的体积：= === = 〔cm3〕．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，那么该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x+y=0为双曲线 =1〔a＞0，b＞0〕的一条渐近线，可得b=2a，即c2﹣a2=4a2，可得= ．故答案为：．10．?九章算术?中的“竹九节〞问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共3升，下面3节的容积共4升，那么该竹子最上面一节的容积为升．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．在△ABC中，假设?2?=?，那么的值为+【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由?+2?=?，得ac?cosB+2bc?cosA=ba?cosC，由余弦定理得：a2+c2﹣b2〕+〔b2+c2﹣a2〕=〔b2+a2﹣c2〕，化简得=2，=，由正弦定理得= = ．故答案为：．12．两曲线f〔x〕=2sinx，g〔x〕=acosx，相交于点P．假设两曲线在点P处的切线互相垂直，那么实数a的值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx= = ，a＞0，设交点P〔m，n〕，分别求出f〔x〕，g 〔x〕的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角根本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f〔x〕=g〔x〕，即2sinx=acosx，即有tanx= = ，a＞0，设交点P〔m，n〕，f〔x〕=2sinx的导数为f′〔x〕=2cosx，g〔x〕=acosx的导数为g′〔x〕=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm?〔﹣asinm〕=﹣1，且tanm=，那么=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+ ，解得a= ．故答案为：．13．函数f〔x〕=|x|+|x﹣4|，那么不等式f〔x2+2〕＞f〔x〕的解集用区间表示为．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g〔x〕=f〔x2+2〕﹣f〔x〕=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g〔x〕=f〔x2+2〕﹣f〔x〕=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g〔x〕=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g〔x〕=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g〔x〕=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g〔x〕=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g〔x〕=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．在平面直角坐标系2y2=4上两点，点A〔1，1〕，且AB⊥AC，那么线段xOy中，B，C为圆x+BC的长的取值范围为[，]．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，B，C为圆x2+y2=4上两点，点〔，〕，且⊥，11ABAC如下图当BC⊥OA时，BC取得最小值或最大值．由，可得B〔，1〕或〔，1〕，||由，可得C〔1，〕或〔1，﹣〕解得BCmin= = ，BCmax= = ．故答案为：[ ，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点 A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB= ．1〕求cosβ的值；2〕假设点A的横坐标为，求点B的坐标．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】〔1〕由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．2〕利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的根本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．【解答】解：〔1〕在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA?OBcos∠AOB，所以，= ，即．〔2〕因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：1〕直PA∥平面BDE；2〕平面BDE⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直与平面平行的判定．【分析】〔1〕OE，明OE∥PA．然后明PA∥平面BDE．2〕明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后明平面BDE⊥平面PCD．【解答】明：〔1〕OE，因O平行四形ABCD角的交点，所以OAC中点．又因EPC的中点，所以OE∥PA．⋯4分又因OE?平面BDE，PA?平面BDE，所以直PA∥平面BDE．⋯6分2〕因OE∥PA，PA⊥PD，所以O E⊥PD．⋯8分因OP=OC，EPC的中点，所以OE⊥PC．⋯10分又因PD?平面PCD，PC?平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．⋯12分又因OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．⋯14分．17．如，在平面直角坐系xOy中，〔a＞b＞0〕的离心率，焦点到相准的距离1．〔1〕求的准方程；〔2〕假设P上的一点，点O作OP的垂交直于点Q，求的．【考点】直与的位置关系；的准方程．【分析】〔1〕由条件可得，，然后求解的方程．〔2〕由意知OP的斜率存在．当OP的斜率0，求解果；当OP的斜率不0，直OP方程y=kx．立方程，推出．OQ222．然后求解即可．=2k+【解答】解：〔1〕由意得，，，⋯2分解得，c=1，b=1．所以的方程．⋯4分〔2〕由意知OP的斜率存在．当OP的斜率0，，，所以．⋯6分当OP的斜率不0，直OP方程y=kx．由得〔2k2+1〕x2，解得，所以，=2所以．⋯9分因OP⊥OQ，所以直OQ的方程．由得，所以OQ2=2k2+2．⋯12分所以．上，可知．⋯14分．18．如，某机械厂要将6m，2m的方形皮ABCD行裁剪．点 F AD的中点，点E在BC上，裁剪先将四形CDFE沿直EF翻折到MNFE〔点C，D分落在直BC下方点M，N，FN交BC于点P〕，再沿直PE裁剪．1〕当∠EFP=，判断四形MNPE的形状，并求其面；2〕假设使裁剪得到的四形MNPE面最大，出裁剪方案，并明理由．【考点】函数模型的与用．【分析】〔1〕当∠EFP=，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四形MNPE矩形．即可得出．〔2〕解法一：，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四形MNPE 面= = ，化利用根本不等式的性即可得出．解法二：BE=tm，3＜t＜6，ME=6 t．可得PE=PF，即．，NP=3T+ ，四形MNPE面= = ，利用根本不等式的性即可得出．【解答】解：〔1〕当∠EFP=，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四形MNPE矩形．⋯3分所以四形MNPE的面S=PN?MN=2m．⋯5分〔2〕解法一：，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．⋯8分由得所以四形MNPE面====⋯12分．当且当，即取“=．〞⋯14分此，〔*〕成立．答：当，沿直PE裁剪，四形MNPE面最大，最大m2．⋯16分解法二：BE=tm，3＜t＜6，ME=6t．因∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，⋯8．分由得所以四形MNPE面==⋯1 2分=．当且当，即取“=．〞⋯14分此，〔*〕成立．答：当点E距B点m，沿直PE裁剪，四形MNPE面最大，最大m2．⋯16分．19．函数f〔x〕=ax2x lnx，a∈R．1〕当，求函数f〔x〕的最小；2〕假设1≤a≤0，明：函数f〔x〕有且只有一个零点；3〕假设函数f〔x〕有两个零点，求数a的取范．【考点】数在最大、最小中的用；根的存在性及根的个数判断；利用数研究函数的极．【分析】〔1〕当，．求出函数的数，得到极点，然后判断性求解函数的最．〔2〕由f〔x〕=ax2 x lnx，得．当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点，当1≤a≤0，f〔1〕=a1＜0，，推出果．〔3〕由〔2〕知，当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．明a＞0，由f〔x〕=ax2xlnx，得，明函数f〔x〕在〔0，x0〕上减；在〔0，∞〕+上增．要使得函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有两个零点，只需要．通函数h〔x〕=2lnx+x1在〔0，+∞〕上是增函数，推出0＜a＜1．当0＜a＜1，函数f〔x〕有两个零点．明：lnx≤x1．t〔x〕=x 1 lnx，利用数求解函数的最即可．【解答】解：〔1〕当，．所以，〔x＞0〕．⋯2分令f'〔x〕=0，得x=2，当x∈〔0，2〕，f'〔x〕＜0；当x∈〔2，+∞〕，f'〔x〕＞0，所以函数f〔x〕在〔0，2〕上减，在〔2，+∞〕上增．所以当x=2，f〔x〕有最小．⋯4分〔2〕由f〔x〕=ax2 x lnx，得所以当a≤0，，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上减，所以当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．⋯6分因当1≤a≤0，f〔1〕=a 1＜0，，所以当1≤a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有零点．1a0，函数〕有且只有一个零点．⋯8上，当≤≤〔分3〕由〔2〕知，当a≤0，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上最多有一个零点．因函数f〔x〕有两个零点，所以a＞0．⋯9分由f〔x〕=ax2x lnx，得，令g〔x〕=2ax2 x 1．因g〔0〕= 1＜0，2a＞0，所以函数g〔x〕在〔0，+∞〕上只有一个零点，x0．当x∈〔0，x0〕，g〔x〕＜0，f'〔x〕＜0；当x∈〔x0，+∞〕，g〔x〕＞0，f'〔x〕＞0．所以函数f 〔x〕在〔0，x0〕上减；在〔x0，+∞〕上增．要使得函数f〔x〕在〔0，+∞〕上有两个零点，只需要函数f〔x〕的极小f〔x0〕＜，即．又因，所以2lnx0x01＞0，+又因函数h〔x〕=2lnxx1在〔0，∞〕上是增函数，且h〔1〕=0，++所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．⋯13分以下当0＜a＜1，函数f〔x〕有两个零点．当0＜a＜1，，所以．因，且f〔x0〕＜0．所以函数f〔x〕在上有一个零点．又因〔因lnx≤x1〕，且f〔x0〕＜0．所以函数f〔x〕在上有一个零点．所以当0＜a＜1，函数f〔x〕在内有两个零点．上，数a的取范〔0，1〕．⋯16分下面明：lnx≤x1．t〔x〕=x 1 lnx，所以，〔x＞0〕．令t'〔x〕=0，得x=1．当x∈〔0，1〕，t'〔x〕＜0；当x∈〔1，+∞〕，t'〔x〕＞0．所以函数t〔x〕在〔0，1〕上减，在〔1，+∞〕上增．所以当x=1，t〔x〕有最小t〔1〕=0．所以t〔x〕=x1lnx≥0，得lnx≤x1成立．20．等差数列{an}的公差d不0，且，，⋯，，⋯〔k1＜k2＜⋯＜kn＜⋯〕成等比数列，公比q．〔1〕假设k1，2，3，求的；=1k=3k=8〔2〕当何，数列{kn}等比数列；〔3〕假设数列{kn}等比数列，且于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取范．【考点】数列与不等式的合；等比数列的性．【分析】〔1〕由得：a13821的．，a，a成等比数列，从而4d=3ad，由此能求出〔2〕数列{kn}等比数列，，推出，从而，而．由此得到当，数列{kn}等比数列．〔3〕由数列{kn等比数列，1，．得到，a=d恒成立，再明于任意的正数ε〔0＜ε＜1〕，存在正整数n1，使得．要，即lnn11ε1的取范．＜+【解答】解：〔1〕由可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，⋯2分整理可得：4d2=3a1d．因d≠0，所以．⋯4分〔2〕数列{kn等比数列，．}又因，，成等比数列，所以．整理，得．因，所以1〔2kk〕=d〔2k kk〕．23213因2kk1k3，所以a1=d，即．⋯6≠+当，an=a1+〔n1〕d=nd，所以．又因，所以．所以，数列{kn等比数列．}上，当，数列{kn}等比数列．⋯8分〔3〕因数列{kn等比数列，由〔〕知1，．2a =d，an1〔〕1．= a+n1d=na因于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．⋯10分下面明：于任意的正数ε〔0＜ε＜1〕，存在正整数n1，使得．要，即lnn1＜1ε．nlnq+ln因，，解不等式，即，可得，所以．不妨取，当n1＞n0，原式得．所以，所以a1≥2，即得a1的取范是[2，+∞〕．⋯16分南通市2021届高三第一次研数学Ⅱ〔附加〕[做本包括四小，2作答．假设多做，按作答的前两分．解答写出文字明、明程或演算步．[修4-1：几何明]21的直径AB=4AO的中点，弦DE点且足CE=2CDOCE．，，求△的面．【考点】与有关的比例段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面．【解答】解：CD=x，CE=2x．因CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA?CB=CD?CE，所以1×3=x?2x=2x2，所以．⋯2分取DE中点H，OH⊥DE．因，所以⋯6．分又因，所以△OCE的面．⋯10分．[修4-2：矩与]22．向量是矩A的属于特征1的一个特征向量．在平面直角坐系xOy中，点P 〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，求矩A．【考点】特征与特征向量的算．【分析】，根据矩，列方程，即可求得a、b、c和d的，求得A．【解答】解：，因向量是矩A的属于特征1的一个特征向量，所以．所以⋯4分因点P〔1，1〕在矩A的作用下P'〔3，3〕，所以．所以⋯8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．⋯10分．[修4-4：坐系与参数方程]23．在极坐系中，求直被曲ρ=4sin所θ截得的弦．【考点】曲的极坐方程．【分析】极坐方程化直角坐方程，立，求出A，B的坐，即可求直ρ=4sinθ截得的弦．所【解答】解：以极点O坐原点，极x的正半建立平面直角坐系．直的直角坐方程y=x①，⋯3分被曲曲ρ=4sinθ直角坐方程的x2+y2 4y=0②．⋯6分由①②得或⋯8分所以A〔0，0〕，B〔2，2〕，所以直被曲ρ=4sinθ截得的弦所AB=．⋯10分．[修4-5：不等式]24．求函数的最大．【考点】柯西不等式在函数极中的用；三角函数的最．【分析】利用二倍角公式化函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最即可．【解答】解：⋯2分由柯西不等式得，⋯8分所以ymax=5，此．所以函数的最大5．⋯10分．[必做]共2小，分20分〕25．如，在棱2的正方体ABCDA1B1C1D1中，P棱C1D1的中点，Q棱BB1上的点，且BQ=λBB1 〔λ≠0〕．〔1〕假设，求AP与AQ所成角的余弦；〔2〕假设直AA1与平面APQ所成的角45°，求数λ的．【考点】直与平面所成的角．【分析】〔1〕以正交基底，建立如所示空直角坐系 A xyz．求出，，利用数量求解AP与AQ所成角的余弦．〔2〕，．求出平面APQ的法向量，利用空向量的数量求解即可．【解答】解：以正交基底，建立如所示空直角坐系A xyz．〔1〕因，，所以= ．所以AP与AQ所成角的余弦．⋯4分〔2〕由意可知，，．平面APQ的法向量=〔x，y，z〕，即令z=2，x=2λ，y=2λ．所以=〔2λ，2λ，2〕．⋯6分又因直AA1与平面APQ所成角45°，所以|cos＜，＞|= = ，2．⋯10可得5λ4λ=0，又因λ≠0，所以分．26．在平面直角坐系xOy中，抛物x2=2py〔p＞0〕上的点M〔m，1〕到焦点F的距离2，1〕求抛物的方程；2〕如，点E是抛物上异于原点的点，抛物在点E的切与x相交于点P，直PF与抛物相交于A，B两点，求△EAB面的最小．【考点】数在最大、最小中的用；抛物的准方程；直与抛物的位置关系．【分析】〔1〕求出抛物x2〔＞〕的准方程，由抛物定，得到，即可求解=2pyp0p=2抛物的方程．〔2〕求出函数的．点，得到抛物在点E的切方程．求出．推出直PF的方程，点到直PF的距离，立求出AB，表示出△EAB的面，构造函数，通函数的数利用性求解最即可．【解答】解：〔1〕抛物x2〔＞〕的准方程，=2pyp0因M〔m，1〕，由抛物定，知，所以，即p=2，所以抛物的方程x2=4y．⋯3分〔2〕因，所以．点，抛物在点E的切方程．令y=0，，即点．因，F〔0，1〕，所以直PF的方程，即2x+ty t=0．点到直PF的距离．⋯5分立方程消元，得22〔2t216〕yt2=0．++因△=〔2t2+16〕24t4=64〔t2+4〕＞0，所以，，所以．⋯7分所以△EAB的面．不妨〔x＞0〕，．因＞0，所以，g'〔x〕＜0，所以g〔x〕在g〔x〕在上增．上减；上，g'〔x〕所以当，．所以△EAB的面的最小．⋯10分．南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案) 2021年3月4日41 / 4141。
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷
2017年江苏省南通市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.函数的最小正周期为______ ．【答案】【解析】解：函数的最小正周期为，故答案为：．根据函数y=A sin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=A sin（ωx+φ）的周期等于，属于基础题．2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B= ______ ．【答案】{1，3，5}【解析】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．本题考查集合的交集、并集运算，注意运用定义法，以及集合中元素的互异性，属于基础题．3.复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为______ ．【答案】-3【解析】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=-3+4i，∴z的实部为-3．故答案为：-3．直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为______ ．【答案】0.17【解析】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17．故答案为0.17．利用对立事件的概率公式，可得结论．本题考查对立事件的概率公式，熟练掌握概率的基本性质是求解本题的关键．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为______ ．【答案】5【解析】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n值，模拟程序的运行过程可得答案．本题考查的知识点是程序框图，由于循环的次数不多，故可采用模拟程序运行的方法进行．6.若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为______ ．【答案】7【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=-x+z平移直线y=-x+z，由图象可知当直线y=-x+z经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．【答案】20【解析】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2=[（65-75）2+（80-75）2+（70-75）2+（85-75）2+（75-75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2=[（80-75）2+（70-75）2+（75-75）2+（80-75）2+（70-75）2]=20；比较可得：S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；故答案为：20．根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．本题考查方差的计算，注意掌握方差的计算公式．8.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1-A1BD的体积为______ cm3．【答案】【解析】解：∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，∴三棱锥D1-A1BD的体积：=====（cm3）．故答案为：．三棱锥D1-A1BD的体积==，由此能求出结果．本题考查三棱锥的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．9.在平面直角坐标系x O y中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，可得b=2a，即c2-a2=4a2，可得=．故答案为：．利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为______ 升．【答案】【解析】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．本题考查等差数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．11.在△ABC中，若•+2•=•，则的值为______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cos B+2bc•cos A=ba•cos C，由余弦定理得：（a2+c2-b2）+（b2+c2-a2）=（b2+a2-c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．本题考查了平面向量的数量积以及余弦定理和正弦定理的应用问题，是综合性题目．12.已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为______ ．【答案】【解析】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=-asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（-asinm）=-1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率，两直线垂直的条件：斜率之积为-1，同时考查同角三角函数的基本关系式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．13.已知函数f（x）=|x|+|x-4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为______ ．【答案】，，【解析】解：令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，x≥4时，g（x）=2x2-2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2-4＞0，解得：x＞或x＜-，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；-≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜-时，g（x）=2x2+2x-4＞0，解得：x＞1或x＜-2，故x＜-2，故答案为： ，，．令g（x）=f（x2+2）-f（x）=x2+2+|x2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．14.在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为______ ．【答案】[，]【解析】解：在平面直角坐标系x O y中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，-）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．本题考查直线与圆的方程的综合应用、考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力，属于难题．二、解答题(本大题共12小题，共154.0分)15.如图，在平面直角坐标系x O y中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【答案】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA•OB cos∠AOB，所以，∠=，即．（2）因为，，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点，．【解析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．本题主要考查余弦定理，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式的应用，属于基础题．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【答案】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．…4分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD． (8)分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC． (10)分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．【解析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．17.如图，在平面直角坐标系x O y中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【答案】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．【解析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．18.如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【答案】解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S=PN•MN=2m2．…5分（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，．…8分由＞＞＜＜得＞＞，＜＜所以四边形MNPE面积为== ==…12分．当且仅当，即，时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当∠时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP，所以PE=PF，即．所以，．…8分由＜＜＞＞得＜＜＞，＜所以四边形MNPE面积为==…12分=．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．【解析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE 为矩形．即可得出．（2）解法一：设∠＜＜，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm，3＜t＜6，则ME=6-t．可得PE=PF，即．，NP=3-T+，四边形MNPE面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质、三角函数的单调性应与求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.已知函数f（x）=ax2-x-lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当时，．所以′，（x＞0）．…2分令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+ ）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+ ）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．所以当a≤0时，′＜，函数f（x）在（0，+ ）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．…6分因为当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，所以当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上有零点．综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，令g（x）=2ax2-x-1．因为g（0）=-1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+ ）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+ ）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即＜．又因为，所以2lnx0+x0-1＞0，又因为函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得＜＜．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，＞，所以＜＜．因为＞，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．又因为＞（因为lnx≤x-1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在，上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在，内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，所以′，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+ ）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+ ）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x-1-lnx≥0，得lnx≤x-1成立．【解析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞．当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点，当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，＞，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+ ）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2-x-lnx，得′，＞，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+ ）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+ ）上有两个零点，只需要＜．通过函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+ ）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x-1．设t（x）=x-1-lnx，利用导数求解函数的最值即可．本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20.已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式＞恒成立，求a1的取值范围．【答案】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2-k1-k3）=d（2k2-k1-k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分当时，a n=a1+（n-1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．…8分（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1=d，＞．，a n=a1+（n-1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式＞恒成立．所以不等式＞，即＞，＜＜恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为＜，则＜，解不等式＜，即＞，可得＞，所以＞．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以＜，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+ ）．…16分【解析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，＞．得到＞，＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得＜．要证＜，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．本题考查等差数列的首项与公差的比值的求法，考查满足等比数列的等差数列的首项与公差的比值的确定，考查数列的首项的取值范围的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求较高．21.已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【答案】解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．【解析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE 的面积．本题考查的是相交弦定理，垂径定理与勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量．在平面直角坐标系x O y中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【答案】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．…10分．【解析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．本题考查矩阵的变换，考查方程思想，体现转化思想，属于中档题．23.在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【答案】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，…3分曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．…10分．【解析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．本题考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查方程思想，比较基础．24.求函数的最大值．【答案】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y max=5，此时．所以函数的最大值为5．…10分．【解析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．本题考查是的最值，柯西不等式在最值中的应用，考查转化思想以及计算能力．25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【答案】解：以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．（1）因为，，，，，，所以＜，＞=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，，，，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=-2，则x=2λ，y=2-λ．所以=（2λ，2-λ，-2）．…6分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|==，可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以．…10分．【解析】（1）以，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz．求出，，，，，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），，，，，．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．本题考查空间向量数量积的应用，直线与平面所成角的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．26.在平面直角坐标系x O y中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【答案】解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．…3分（2）因为，所以′．设点，，，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点，．因为，，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty-t=0．则点，到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2-（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2-4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则′．因为，时，g'（x）＜0，所以g（x）在，上单调递减；，上，g'（x）＞0，所以g（x）在，上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．【解析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的′．设点，，，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出，．推出直线PF的方程，点，到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，函数的导数与函数的最值的求法，考查转化思想以及构造法的应用，难度比较大．。
2017年南通市通州区中考数学一模试卷含答案解析
2017年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷一、选择题（每题3分，共24分）1．二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）2．当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．93．二次函数y=x2+2x+2与坐标轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（）A．600 m2B．625 m2C．650 m2D．675 m25．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y26．如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（）A．（0，5）B．（0，5）C．（0，）D．（0，）7．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm8．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为（）A．2cm B．cm C．D．二、填空题（每题4分，共32分）9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是．10．抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0），则当x=m+n 时，y的值为．11．将二次函数y=x2﹣2x+m的图象向下平移1个单位后，它的顶点恰好落在x 轴上，则m=．12．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是．13．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD=6，BE=1，则⊙O的直径为．14．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN 上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是．15．如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于．16．在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为．三、解答题17．计算：．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．19．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．20．如图，∠C=90°，以AC为半径的圆C与AB相交于点D．若AC=3，CB=4，求BD长．21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．22．已知二次函数y=﹣2x2+4x+6．（1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标．（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？（3）当x在什么范围内时，y≤6？23．如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tan∠ABO=，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；（3）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN的长度l有最大值？最大值是多少？24．某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．2017年江苏省南通市通州区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分，共24分）1．二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选A．2．当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．9【考点】二次函数的最值．【分析】把二次函数整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：∵y=x2+4x+9=（x+2）2+5，∴当x=﹣2时，二次函数有最小值．故选A．3．二次函数y=x2+2x+2与坐标轴的交点个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先计算根的判别式的值，然后根据b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数进行判断．【解答】解：∵△=22﹣4×1×2=﹣4＜0，∴二次函数y=x2+2x+2与x轴没有交点，与y轴有一个交点．∴二次函数y=x2+2x+2与坐标轴的交点个数是1个，故选B．4．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100m，则池底的最大面积是（）A．600 m2B．625 m2C．650 m2D．675 m2【考点】二次函数的应用．【分析】先求出最大面积的表达式，再运用性质求解．【解答】解：设矩形的一边长为xm，则其邻边为（50﹣x）m，若面积为S，则S=x（50﹣x）=﹣x2+50x=﹣（x﹣25）2+625．∵﹣1＜0，∴S有最大值．当x=25时，最大值为625，故选：B．5．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选A．6．如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（）A．（0，5）B．（0，5）C．（0，）D．（0，）【考点】圆周角定理；坐标与图形性质；含30度角的直角三角形．【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由∠COD=90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ODC的度数，继而求得点C的坐标．【解答】解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是⊙A的直径，即CD=10，∵∠OBC=30°，∴∠ODC=30°，∴OC=CD=5，∴点C的坐标为：（0，5）．故选A．7．一个点到圆的最小距离为6cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．1.5cm B．7.5cm C．1.5cm或7.5cm D．3cm或15cm【考点】点与圆的位置关系．【分析】点P应分为位于圆的内部于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，直径=最小距离+最大距离；当点P在圆外时，直径=最大距离﹣最小距离．【解答】解：分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是15cm，因而半径是7.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为6cm，最远点的距离为9cm，则直径是3cm，因而半径是1.5cm．故选C．8．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB 的长为（）A．2cm B．cm C．D．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】在图中构建直角三角形，先根据勾股定理得AD的长，再根据垂径定理得AB的长．【解答】解：作OD⊥AB于D，连接OA．根据题意得：OD=OA=1cm，再根据勾股定理得：AD=cm，根据垂径定理得：AB=2cm．故选：C．二、填空题（每题4分，共32分）9．如果抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，那么m的取值范围是m＞1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m﹣1＞0．【解答】解：因为抛物线y=（m﹣1）x2的开口向上，所以m﹣1＞0，即m＞1，故m的取值范围是m＞1．10．抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0），则当x=m+n 时，y的值为3．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据二次函数对称轴方程x=﹣可以求得m+n，即x的值．然后将x 的值代入抛物线方程求得y的值．【解答】解：∵抛物线y=ax2+3与x轴的两个交点分别为（m，0）和（n，0），∴该抛物线的对称轴方程为﹣=，即m+n=0，∴x=m+n=0，∴y=0+3=3，即y=3．故答案是：3．11．将二次函数y=x2﹣2x+m的图象向下平移1个单位后，它的顶点恰好落在x 轴上，则m=2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，再根据向下平移横坐标不变，纵坐标减写出平移后的解析式，然后根据顶点在x轴上，纵坐标为0列式计算即可得解．【解答】解：y=x2﹣2x+m=（x﹣1）2+m﹣1，∵图象向下平移1个单位，∴平移后的二次函数解析式为y=（x﹣1）2+m﹣2，∵顶点恰好落在x轴上，∴m﹣2=0，解得m=2．故答案为：2．12．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是﹣3＜x＜1．【考点】二次函数的图象．【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．【解答】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．13．如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD=6，BE=1，则⊙O的直径为10．【考点】垂径定理．【分析】首先连接OD，并设OD=x，然后在△ODE中，由勾股定理，求出OD 的长，即可求出⊙O的直径为多少．【解答】解：如图，连接OD，设OD=x，，∵AB是⊙O的直径，而且CD⊥AB于E，∴DE=CE=6÷2=3，在Rt△ODE中，x2=（x﹣1）2+32，解得x=5，∵5×2=10，∴⊙O的直径为10．故答案为：10．14．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN 上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是．【考点】圆心角、弧、弦的关系；轴对称﹣最短路线问题．【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接A B′交MN于点P，连接BP，由三角形两边之和大于第三边即可得出此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，根据点A 是半圆上一个三等分点、点B是的中点，即可得出∠AOB′=90°，再利用勾股定理即可求出AB′的值，此题得解．【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP=AB′最小，连接OB′，如图所示．∵点B和点B′关于MN对称，∴PB=PB′．∵点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，∴∠AON=180°÷3=60°，∠B′ON=∠AON÷2=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°．∵OA=OB′=1，∴AB′=．故答案为：．15．如图，AB是⊙O的直径，∠C=30°，则∠ABD等于60°．【考点】圆周角定理．【分析】首先连接AD，由直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ADB=90°，又由圆周角定理，求得∠A的度数，继而求得答案．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠A=∠C=30°，∴∠ABD=90°﹣∠A=60°．故答案为：60°．16．在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为1cm或7cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】两条平行的弦可能在圆心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论．【解答】解：圆心到两条弦的距离分别为d1==4cm，d2==3cm．故两条弦之间的距离d=d1﹣d2=1cm或d=d1+d2=7cm三、解答题17．计算：．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用立方根定义计算，第三项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣2+1﹣3=﹣4．18．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点，求这个二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由于已知了抛物线与x的两交点坐标，则可设交点式y=a（x+1）（x﹣3），然后把C点坐标代入计算出a即可．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），把C（0，﹣3）代入得a×1×（﹣3）=﹣3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3．19．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．【考点】垂径定理．【分析】如图，过点O作OM⊥AB于点M．根据垂径定理得到AM=BM．然后利用等腰三角形“三线合一”的性质推知EM=FM，故AE=BE．【解答】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．又∵OE=OF∴EM=FM，∴AE=BF．20．如图，∠C=90°，以AC为半径的圆C与AB相交于点D．若AC=3，CB=4，求BD长．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】根据勾股定理求得AB的长，再点C作CE⊥AB于点E，由垂径定理得出AE，即可得出BD的长．【解答】解：（1）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，点C作CE⊥AB于点E，则AD=2AE，AC2=AE•AB，即32=AE×5∴AE=1.8，∴AD=2AE=2×1.8=3.6∴BD=AB﹣AD=5﹣3.6=1.4．21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，且CD=24，点M在⊙O上，MD经过圆心O，联结MB．（1）若BE=8，求⊙O的半径；（2）若∠DMB=∠D，求线段OE的长．【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理．【分析】（1）根据垂径定理求出DE的长，设出半径，根据勾股定理，列出方程求出半径；（2）根据OM=OB，证出∠M=∠B，根据∠M=∠D，求出∠D的度数，根据锐角三角函数求出OE的长．【解答】解：（1）设⊙O的半径为x，则OE=x﹣8，∵CD=24，由垂径定理得，DE=12，在Rt△ODE中，OD2=DE2+OE2，x2=（x﹣8）2+122，解得：x=13．（2）∵OM=OB，∴∠M=∠B，∴∠DOE=2∠M，又∠M=∠D，∴∠D=30°，在Rt△OED中，∵DE=12，∠D=30°，∴OE=4．22．已知二次函数y=﹣2x2+4x+6．（1）求出该函数图象的顶点坐标，图象与x轴的交点坐标．（2）当x在什么范围内时，y随x的增大而增大？（3）当x在什么范围内时，y≤6？【考点】二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用配方法把二次函数y=x2﹣2x﹣3化为顶点式，即可得出其对称轴方程及顶点坐标；根据x、y轴上点的坐标特点分别另y=0求出x的值，令x=0求出y的值即可．（2）根据开口方向和对称轴即可确定其增减性；（3）令y=0求得x的值并结合开口方向确定答案即可．【解答】解：（1）∵y=﹣2x2+4x+6=﹣2（x﹣1）2+8，∴对称轴是x=1，顶点坐标是（1，8）；令y=0，则﹣2x2+4x+6=0，解得x1=﹣1，x2=3；∴图象与x轴交点坐标是（﹣1，0）、（3，0）．（2）∵对称轴为：x=1，开口向下，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；（3）令y=﹣2x2+4x+6=6解得：x=0或x=2∵开口向下∴当x≤0或x≥2时y≤6．23．如图，直线AB分别交y轴、x轴于A、B两点，OA=2，tan∠ABO=，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求直线AB和这个抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，求△ABD的面积；（3）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN的长度l有最大值？最大值是多少？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）求出OB，把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c和y=kx+e求出即可；（2）求出D的坐标，再根据面积公式求出即可；（3）求出M、N的坐标，求出MN的值，再化成顶点式，即可求出答案．【解答】解：（1）∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=，OA=2，即=，∴0B=4，∴A（0，2），B（4，0），把A、B的坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2，设直线AB的解析式为y=kx+e，把A、B的坐标代入得：，解得：k=﹣，e=2，所以直线AB的解析式是y=﹣x+2；（2）过点D作DE⊥y轴于点E，由（1）抛物线解析式为y=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，即D的坐标为（，），则ED=，EO=，AE=EO﹣OA=，S△ABD=S梯形DEOB﹣S△DEA﹣S△AOB=×（+4）×﹣×﹣4×2=；（3）由题可知，M、N横坐标均为t．∵M在直线AB：y=﹣x+2上∴M（t，﹣t+2）∵N在抛物线y=﹣x2+x+2上∴M（t，﹣t2+t+2），∵作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N，∴MN=﹣t2+t+2﹣（﹣+2）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，其中0＜t＜4，，∴当t=2时，MN最大=4所以当t=2时，MN的长度l有最大值，最大值是4．24．某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．（1）写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式．（2）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润．（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；（2）将x=45代入求出即可；（3）当y=10000时，代入求出即可；（4）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案．【解答】解：（1）由题意可得：y=（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）当x=45时，600﹣10（x﹣40）=550（件），y=﹣10×452+1300×45﹣30000=8250（元）；（3）当y=10000时，10000=﹣10x2+1300x﹣30000解得：x1=50，x2=80，当x=80时，600﹣10（80﹣40）=200＜300（不合题意舍去）故销售价应定为：50元；（4）y=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250，故当x=65（元），最大利润为12250元．2017年4月18日。
江苏省南通市第一初级中学17—18学年七年级上学期期末考试数学试题$832465
南通市第一初级中学 2017-2018 学年度第一学期期末考试初一数学（试卷满分：150 分 考试时间：120 分钟）一、选择题（30 分）1. 如果 a=b ，则下列式子不一定成立的是（ ） A.a+c=b+c B.ac=bc C.22b a = D.cb c a=2. 已知下列方程：①x 22-x =；② 0.5x=1；③ 1-x 83x=；④8x 4-x 2=；⑤x=0；⑥0y 2x =+.属于一元一次方程的有（ ）A.5个B.4个C.3个D.2个 3.解方程163-x 2-21x =+，去分母正确的是（ ）A. 63-x 2-)1x (3=+B. 13-x 2-)1x (3=+C.12)3-x 2(-)1x (3=+ D.6)3-x 2()1x (3=-+4.在实数1010010001.0,27228-433π，，，，中无理数有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个5. 如图，一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建”字所在面相对的面的字是（ ）A.教B.育C.创D.市6. 下列说法正确的个数是（）①射线AB 与射线BA 是同一条射线；②两点确定一条直线；③两条射线组成的图形叫做角；④两点之间直线最短；⑤若AB=BC，则点B 是AC 的中点.A.1 个B. 2 个C.3 个D. 4 个7.如图，小强从A 处出发沿北偏东70°方向行走，走至B 处，又沿着北偏西30°方向行走至C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（）A.左转80°B. 右转80°C.右转100°D.左转100°8. 如图，AB∥CD，∠P=40°，∠D=100°，则∠ABP 的度数是（）A. 110°B. 120°C. 130°D. 140°A. 5 个B. 4 个C. 3 个D. 2 个第7题第8题第15题9. 点P 为直线l外一点，点A、B、C 为直线上三点，PA=6cm，PB=8cm，PC=4cm，则点P到直线l的距离为（）A. 4cmB. 6cmC. 小于4cmD. 不大于4cm10. 小林沿着笔直的公路靠右匀速行走，发现每隔5 分钟从背后驶过一辆101 路公交车，每隔3 分钟从迎面驶来一辆101 路公交车.假设每个每辆101 路公交车行驶速度相同，而且101路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是（）A. 3 分钟B. 3.75 分钟C. 4 分钟D. 5 分钟二、填空题（24 分）11. 命题“同位角相等，两直线平行.”的题设是_________.12. 已知关于x的方程3x-2a=7 的解是2，则a的值为_________ .13. 若∠α=38°46′，则∠α的余角为_______.14. 若一个正数的两个平方根分别是2a-1 和-a+5，这个正数是________.15. 如图，将△ABE 向右平移3cm 得到△DCF，如果△ABE 的周长是12cm，那么四边形ABFD 的周长是___________cm.16. 已知a，b 为实数，且02015=.+，求_______a2016b-12=+-1(b)a17. 如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α比∠β的三倍少24°，则∠α的度数是_________度.18. 定义一种对正整数n 的“F”运算：①当n 为奇数时，结果为3n+5；②当n 为偶数时，结果为n（其k2中k 是使n为奇数的正整数），并且重复运算，如取n=26，则k2则当n=898 时，第2018 次“F”运算的结果是_________ .三、解答题（96 分）19. （10 分） （1）计算：227--|2-2|)5-(32++（2）解方程:131-x 61x 5=++20.（8 分）如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中（1）把△ABC 进行平移，得到△A ′B ′C ′，使点 A 与A ′ 对应，请在网格中画出△A ′B ′C ′； （2）线段AA ′与线段CC ′的位置关系是：_____（填“平行”或“相交”）； （3）求出△ABC 的面积.21.（7 分）如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠BAC= 65°. 将求∠AGD 的过程填写完整。
2017年中考数学模拟试卷 (含答案解析) (2)
2017年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）4的倒数是（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣2．（3分）下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8 C．=±3 D．=﹣23．（3分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x＞0 D．x＞14．（3分）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．（3分）如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是（）A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm6．（3分）下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线相等C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等D．平行四边形是轴对称图形7．（3分）下列说法中，你认为正确的是（）A．四边形具有稳定性B．等边三角形是中心对称图形C．等腰梯形的对角线一定互相垂直D．任意多边形的外角和是360°8．（3分）有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（）A．众数B．中位数C．平均数D．极差9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB 于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．10．（3分）如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程．）11．（2分）方程=1的根是x=．12．（2分）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是．13．（2分）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为．14．（2分）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是．15．（2分）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC 的度数是度．16．（2分）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为m（结果保留根号）．17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于．18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E 为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．三、解答题：（本大题共8小题，共84分．）19．计算：（1）|﹣2|﹣（1+）0+；（2）（a﹣）÷．20．（1）解方程：+=4．（2）解不等式组：．21．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．22．某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次测试共调查了多少名学生？（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？23．小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．24．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？25．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．26．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．2017年江苏省南通市启东市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2017•启东市一模）4的倒数是（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣【分析】乘积是1的两数互为倒数，据此进行计算即可．【解答】解：由题可得，4的倒数是．故选：C．2．（3分）（2016•昆明）下列运算正确的是（）A．（a﹣3）2=a2﹣9 B．a2•a4=a8 C．=±3 D．=﹣2【分析】利用同底数幂的乘法、算术平方根的求法、立方根的求法及完全平方公式分别计算后即可确定正确的选项．【解答】解：A、（a﹣3）2=a2﹣6a+9，故错误；B、a2•a4=a6，故错误；C、=3，故错误；D、=﹣2，故正确，故选D．3．（3分）（2013•武汉）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x＞0 D．x＞1【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，解不等式即可．【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，即x≥1时，二次根式有意义．故选：A．4．（3分）（2016•河南）如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．【解答】解：∵=＞=，∴从甲和丙中选择一人参加比赛，∵=＜＜，∴选择甲参赛，故选：A．5．（3分）（2010•昆明）如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2，扇形的弧长为10πcm，则圆锥母线长是（）A．5cm B．10cm C．12cm D．13cm【分析】圆锥的侧面积=，把相应数值代入即可求解．【解答】解：设母线长为R，由题意得：65π=，解得R=13cm．故选D．6．（3分）（2017•启东市一模）下列语句正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线相等C．有两边及一角对应相等的两个三角形全等D．平行四边形是轴对称图形【分析】由菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定、平行四边形的性质分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是菱形，不正确；B、矩形的对角线相等，正确；C、有两边及一角对应相等的两个三角形全等，不正确；D、平行四边形是轴对称图形，不正确；故选：B．7．（3分）（2017•启东市一模）下列说法中，你认为正确的是（）A．四边形具有稳定性B．等边三角形是中心对称图形C．等腰梯形的对角线一定互相垂直D．任意多边形的外角和是360°【分析】根据四边形、等边三角形，等腰梯形的性质，结合各选项进行判断即可．【解答】解：A、四边形不具有稳定性，原说法错误，故本选项错误；B、等边三角形不是中心对称图形，说法错误，故本选项错误；C、等腰梯形的对角线不一定互相垂直，说法错误，故本选项错误；D、任意多边形的外角和是360°，说法正确，故本选项正确；故选D．8．（3分）（2010•宿迁）有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的（）A．众数B．中位数C．平均数D．极差【分析】9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前4名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有9个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．故选B．9．（3分）（2016•绍兴）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A、D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是（）A．B．C．D．【分析】设BC=x，由含30°角的直角三角形的性质得出AC=2BC=2x，求出AB=BC=x，根据题意得出AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，由等腰三角形的性质得出AM=AD=x，在Rt△AEM中，由三角函数的定义即可得出结果．【解答】解：如图所示：设BC=x，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，∴AC=2BC=2x，AB=BC=x，根据题意得：AD=BC=x，AE=DE=AB=x，作EM⊥AD于M，则AM=AD=x，在Rt△AEM中，cos∠EAD===；故选：B．10．（3分）（2017•启东市一模）如图，A、B、C是反比例函数y=（x＜0）图象上三点，作直线l，使A、B、C到直线l的距离之比为3：1：1，则满足条件的直线l共有（）A．4条 B．3条 C．2条 D．1条【分析】如解答图所示，满足条件的直线有两种可能：一种是与直线BC平行，符合条件的有两条，如图中的直线a、b；还有一种是过线段BC的中点，符合条件的有两条，如图中的直线c、d．【解答】解：如解答图所示，满足条件的直线有4条，故选A．二、填空题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程．）11．（2分）（2016•湖州）方程=1的根是x=﹣2．【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可．【解答】解：两边都乘以x﹣3，得：2x﹣1=x﹣3，解得：x=﹣2，检验：当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0，故方程的解为x=﹣2，故答案为：﹣2．12．（2分）（2016•盐城）已知圆锥的底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面积是8π．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是2，则底面周长=4π，圆锥的侧面积=×4π×4=8π．13．（2分）（2016•泰州）如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD：AB=1：3，则△ADE与△ABC的面积之比为1：9．【分析】由DE与BC平行，得到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ADE 与三角形ABC相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=（AD：AB）2=1：9，故答案为：1：9．14．（2分）（2017•启东市一模）一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．【分析】根据根与系数的关系，即可求得答案．【解答】解：设一元二次方程x2+x﹣2=0的两根分别为α，β，∴αβ=﹣2．∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．故答案为：﹣2．15．（2分）（2009•崇左）如图，点O是⊙O的圆心，点A、B、C在⊙O上，AO∥BC，∠AOB=38°，则∠OAC的度数是19度．【分析】先根据圆周角定理，求出∠C的度数，再根据两条直线平行，内错角相等，得∠OAC=∠C．【解答】解：∵∠AOB=38°∴∠C=38°÷2=19°∵AO∥BC∴∠OAC=∠C=19°．16．（2分）（2016•宁波）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为10+1m（结果保留根号）．【分析】首先过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，然后在Rt△BAE 中，∠BAE=60°，然后由三角形函数的知识求得BE的长，继而求得答案．【解答】解：如图，过点A作AE∥DC，交BC于点E，则AE=CD=10m，CE=AD=1m，∵在Rt△BAE中，∠BAE=60°，∴BE=AE•tan60°=10（m），∴BC=CE+BE=10+1（m）．∴旗杆高BC为10+1m．故答案为：10+1．17．（2分）（2017•启东市一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且a＜b．连结OA，并以点A为旋转中心把OA逆时针转90°后得线段BA．若点A、B恰好都在同一反比例函数的图象上，则的值等于．【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO=AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD=AE=b，AD=OE=a，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，∵∠OAB=90°，∴∠OAE+∠BAD=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BAD=∠AOE，在△AOE和△BAD中，，∴△AOE≌△BAD（AAS），∴AE=BD=b，OE=AD=a，∴DE=AE﹣AD=b﹣a，OE+BD=a+b，则B（a+b，b﹣a）；∵A与B都在反比例图象上，得到ab=（a+b）（b﹣a），整理得：b2﹣a2=ab，即（）2﹣﹣1=0，∵△=1+4=5，∴=，∵点A（a，b）为第一象限内一点，∴a＞0，b＞0，则=．故答案为．18．（2分）（2016•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 1.2．【分析】如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，利用△AFM∽△ABC，得到=求出FM即可解决问题．【解答】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．（点P在以F 为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小）∵∠A=∠A，∠AMF=∠C=90°，∴△AFM∽△ABC，∴=，∵CF=2，AC=6，BC=8，∴AF=4，AB==10，∴=，∴FM=3.2，∵PF=CF=2，∴PM=1.2∴点P到边AB距离的最小值是1.2．故答案为1.2．三、解答题：（本大题共8小题，共84分．）19．（2009•江苏）计算：（1）|﹣2|﹣（1+）0+；（2）（a﹣）÷．【分析】按照实数的运算法则依次计算，注意负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．【解答】解：（1）原式=2﹣1+2=3．（2）原式=．20．（2017•启东市一模）（1）解方程：+=4．（2）解不等式组：．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）首先解每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：（1）去分母得：x﹣5x=4（2x﹣3），解得：x=1，经检验x=1是分式方程无解；（2），∵由①得，x＜2，由②得，x≥﹣1，∴不等式组的解集是：﹣1≤x＜2．21．（2017•启东市一模）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD，相交于点O，EF过点O且与AB、CD分别相交于点E、F，求证：AE=CF．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，OA=OC，继而证得△AOE≌△COF，则可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA=OC，∴∠OAE=∠OCF，在△OAE和△OCF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF．22．（2016•龙东地区）某学校为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行八百米跑体能测试，测试结果分为A、B、C、D四个等级，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：（1）求本次测试共调查了多少名学生？（2）求本次测试结果为B等级的学生数，并补全条形统计图；（3）若该中学八年级共有900名学生，请你估计八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少人？【分析】（1）设本次测试共调查了x名学生，根据总体、个体、百分比之间的关系列出方程即可解决．（2）用总数减去A、C、D中的人数，即可解决，画出条形图即可．（3）用样本估计总体的思想解决问题．【解答】解：（1）设本次测试共调查了x名学生．由题意x•20%=10，x=50．∴本次测试共调查了50名学生．（2）测试结果为B等级的学生数=50﹣10﹣16﹣6=18人．条形统计图如图所示，（3）∵本次测试等级为D所占的百分比为=12%，∴该中学八年级共有900名学生中测试结果为D等级的学生有900×12%=108人．23．（2016•淮安）小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．【分析】根据题意作出合适的辅助线，画出相应的图形，可以分别求得CM、DN的长，由于AB=CN ﹣CM，从而可以求得AB的长．【解答】解：作AM⊥EF于点M，作BN⊥EF于点N，如右图所示，由题意可得，AM=BN=60米，CD=100米，∠ACF=45°，∠BDF=60°，∴CM=米，DN=米，∴AB=CD+DN﹣CM=100+20﹣60=（40+20）米，即A、B两点的距离是（40+20）米．24．（2017•启东市一模）随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【分析】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B 种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【解答】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．25．（2014•烟台）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由；（3）延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理由．【分析】方法一：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式即可求得．（2）通过△AOC∽△CFB求得OC的值，通过△OCD≌△FCB得出DC=CB，∠OCD=∠FCB，然后得出结论．（3）设直线AB的表达式为y=kx+b，求得与抛物线的交点E的坐标，然后通过解三角函数求得结果．方法二：（1）略．（2）利用垂直公式及中点公式求出点B关于直线AC的对称点B’坐标，并得出B’与点D重合．（3）分别求出点A，C，E，D坐标，并证明直线ED与AC斜率相等．【解答】方法一：解：（1）把点B的坐标代入抛物线的表达式，得=a×22﹣2a﹣a，解得a=，∴抛物线的表达式为y=x2﹣x﹣．（2）连接CD，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠BCF+∠CBF=90°∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCF=90°，∴∠ACO=∠CBF，∵∠AOC=∠CFB=90°，∴=，设OC=m，则CF=2﹣m，则有=，解得m1=m2=1，∴OC=CF=1，当x=0时，y=﹣，∴OD=，∴BF=OD，∵∠DOC=∠BFC=90°，∴△OCD≌△FCB，∴DC=CB，∠OCD=∠FCB，∴点B、C、D在同一直线上，∴点B与点D关于直线AC对称，∴点B关于直线AC的对称点在抛物线上．（3）过点E作EG⊥y轴于点G，设直线AB的表达式为y=kx+b，则，解得k=﹣，∴y=﹣x+，代入抛物线的表达式﹣x+=x2﹣x﹣．解得x=2或x=﹣2，当x=﹣2时y=﹣x+=﹣×（﹣2）+=，∴点E的坐标为（﹣2，），∵tan∠EDG===，∴∠EDG=30°∵tan∠OAC===，∴∠OAC=30°，∴ED∥AC．方法二：（1）略．（2）设C点坐标为（t，0），B点关于直线AC的对称点为B′，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴K AC×K BC=﹣1，∵OA=，∴A（0，），B（2，），C（t，0），∴=﹣1，∴t（t﹣2）=﹣1，∴t=1，C（1，0），∴，，∴B′x=0，B′Y=﹣，∴B关于直线AC的对称点即为点D．（3）∵A（0，），B（2，），∴，解得：x1=2（舍），x2=﹣2，∴E（﹣2，），D（0，﹣），A（0，），C（1，0），∴K ED=，K AC=，∴K ED=K AC，∴ED∥AC．26．（2016•北京）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图．（1）已知点A的坐标为（1，0），①若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；②点C在直线x=3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3），若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45，设直线AC的解析式为；y=kx+b，由此可知k=±1，再（1，0）代入y=kx+b，即可求出b的值；（2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m 的范围．【解答】解：（1）①∵A（1，0），B（3，1）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1=2；②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y=x+m或y=﹣x+n把（1，0）分别y=x+m，∴m=﹣1，∴直线AC的解析为：y=x﹣1，把（1，0）代入y=﹣x+n，∴n=1，∴y=﹣x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=x﹣1或y=﹣x+1；（2）设直线MN的解析式为y=kx+b，∵点M，N的“相关矩形”为正方形，∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°，∴k=±1，∵点N在⊙O上，∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“相关矩形”为正方形，当k=1时，作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行，其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B，连接OA，OC，把M（m，3）代入y=x+b，∴b=3﹣m，∴直线MN的解析式为：y=x+3﹣m∵∠ADO=45°，∠OAD=90°，∴OD=OA=2，∴D（0，2）同理可得：B（0，﹣2），∴令x=0代入y=x+3﹣m，∴y=3﹣m，∴﹣2≤3﹣m≤2，∴1≤m≤5，当k=﹣1时，把M（m，3）代入y=﹣x+b，∴b=3+m，∴直线MN的解析式为：y=﹣x+3+m，同理可得：﹣2≤3+m≤2，∴﹣5≤m≤﹣1；综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1参与本试卷答题和审题的老师有：szl；sjzx；zhjh；wdxwzk；sd2011；lanchong；家有儿女；caicl；bjy；三界无我；郝老师；sks；zcx；星期八；心若在；守拙；弯弯的小河；xiu；自由人；王学峰；zgm666（排名不分先后）菁优网2017年4月11日。
南通一模数学试题及答案
南通一模数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
每小题只有一个选项是正确的。
）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(2)的值。
A. -1B. 3C. 5D. 72. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，判断三角形ABC的形状。
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定3. 计算下列极限：lim(x→0) (sin(x)/x)。
A. 0B. 1C. π/2D. 24. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，求A∩B。
A. {1, 2}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 4}5. 若方程2x - 3y = 6的解为(x, y)，求y/x的值。
A. -2/3B. 2/3C. 3/2D. -3/26. 计算下列定积分：∫(0 to 1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 17. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (1, 2)，求向量a·b。
A. -1B. 1C. 5D. -58. 计算下列二项式展开式中x^2的系数：(x + 2)^3。
A. 4B. 6C. 8D. 129. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f'(x)。
A. 3x^2 - 12x + 11B. 3x^2 - 12x + 6C. 3x^2 - 6x + 11D. 3x^2 - 6x + 610. 计算下列复数的模：z = 3 + 4i。
A. 5B. √(3^2 + 4^2)C. √(9 + 16)D. 7二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x) = 2x + 3，求f(-1)的值。
12. 计算下列三角函数值：sin(π/6)。
13. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，求第5项a5。