2.一阶导数 1
第二节二元函数的一阶、二阶偏导数
第二节二元函数的一阶、二阶偏导数一、二元函数的一阶偏导数1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数z f(x ，y) 在点(x ，y 0)处及其附近有定义，若一元函数zf(x ，y 0)在点x 0处对x 可导，则称此导数值为二元函数z f(x ，y)在点(x 0，y 0)处对x 的一阶偏导数，记作f x (x 0，y 0) ，或z x |xx 0，或y y 0 f(x 0，y 0)z；，或 |x x xx yy若一元函数zf(x ，y 0 )在点y 0处对y 可导，则称此导数值为二元函数z f (x ，y)在点(x 0，y 0)处对y 的一阶偏导数，记作 f y (x 0，y 0)，或z y |xx 0，或f(x 0，y 0)，或 y y y 0z x 0。
|x yy y 0 2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。
3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数zf(x ，y)在区域E 上每一点(x ，y)处都有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域 E 上每一点(x ，y)都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对 y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为z f (x ，y)对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作 f x (x ，y)，或z x ，或 f(x ，y) z，或 和f y (x ，y)，或z y ，或f(x ，y)，或z。
x x yy 二、二阶偏导数1、定义——二元函数 zf(x ，y)一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数z f (x ，y)的二阶偏导数，共有四个，分别记作f xx (x ，y) (f x (x ，y))x ，或z xx ，或 f 2(x ，y)2zx 2 ，或x 22，2f xy (x ，y) (f x (x ，y))y ，或z xy ，或f(x y)，或 z y x x y2 ，2f yx(x，y) (f y(x，y))x，或z yx，或f(x y)，或zy xx yf yy(x，y) (f y(x，y))y，或z yy，或f2(x，y)，或2z。
一阶到变二阶导原理
一阶到变二阶导原理一阶导数到二阶导数是微积分中的重要概念。
一阶导数描述的是函数在某一点上的变化率，而二阶导数描述的是函数在某一点上的变化率的变化率。
在本文中，我们将详细介绍一阶导数和二阶导数的定义、性质和应用。
一、一阶导数1.定义：函数f(x)在点x处的一阶导数定义为函数f(x)在点x处的切线的斜率。
一阶导数通常用符号f'(x)或dy/dx表示。
2.函数的一阶导数性质：-如果函数在某一点x处可导，那么函数在该点的一阶导数存在。
-函数在某一点x处的一阶导数等于函数在该点的切线的斜率。
-函数在某一点x处的一阶导数表示了函数在该点附近的变化率。
3.一阶导数的计算方法：-基本公式：根据函数的定义和求导法则，可以得到一些基本函数的导数公式。
例如，对于常数函数f(x) = C，它的一阶导数f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，它的一阶导数f'(x) = nx^(n-1)。
-链式法则：如果函数g(x)和f(x)都可导，那么复合函数h(x) = g(f(x))也可导，且其一阶导数为h'(x) = g'(f(x)) * f'(x)。
4.应用：-切线和曲线的几何关系：一阶导数表示了函数曲线在某一点的切线的斜率。
通过计算函数在不同点处的一阶导数，我们可以获得曲线在整个定义域上的切线斜率变化情况，从而描绘出函数的整体变化趋势。
-极值和拐点：函数在极值点和拐点处的一阶导数为零。
因此，通过计算函数的一阶导数，并找到一阶导数为零的点，我们可以确定函数的极值点和拐点。
二、二阶导数1.定义：函数f(x)的二阶导数定义为函数f'(x)的一阶导数，记作f''(x)或d^2y/dx^2。
2.函数的二阶导数性质：-如果函数在某一点x处可导，则其一阶导数在该点也可导。
这意味着函数的二阶导数的存在只是对一阶导数的可导性的进一步要求。
-二阶导数描述的是函数的一阶导数的变化率。
一阶导数 Word 文档
一阶导数导数 derivative 由速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。
又称变化率。
如一辆汽车在10小时内走了 600千米，它的平均速度是60千米／小时，但在实际行驶过程中，是有快慢变化的，不都是60千米／小时。
为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况，可以缩短时间间隔，设汽车所在位置x与时间t的关系为x＝f（t），那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)/t1-t0]，当 t1与t0很接近时，汽车行驶的快慢变化就不会很大，平均速度就能较好地反映汽车在t0 到 t1这段时间内的运动变化情况，自然就把极限[f(t1)-f(t0)/t1-t0] 作为汽车在时刻t0的瞬时速度，这就是通常所说的速度。
一般地，假设一元函数 y＝f(x )在 x0点的附近(x0－a ，x0 ＋a)内有定义，当自变量的增量Δx＝ x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－ f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f 在x0点的导数（或变化率)，记作f′（x0），即f′（x0）=Δy/Δx (Δx→0)若极限为无穷大，称之为无穷大导数若函数f在区间I 的每一点都可导，便得到一个以I为定义域的新函数，记作f′，称之为f的导函数，简称为导数。
函数y＝f（x）在x0点的导数f′（x0）的几何意义：表示曲线l 在P0〔x0，f（x0）〕点的切线斜率。
导数是微积分中的重要概念。
导数定义为，当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。
可导的函数一定连续。
不连续的函数一定不可导。
物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。
如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。
y＝f(x )的导数f′就是f的一阶导数：二阶导数所谓二阶导数，即原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。
高数一曲线的拐点的求法
高数一曲线的拐点的求法高等数学中，曲线的拐点是指曲线上出现急剧转折的点，即曲线方向的变化突然变大或变小。
求解曲线的拐点可以采用一阶导数和二阶导数的方法来进行。
一、一阶导数法求曲线拐点1.定义：曲线上任意一点(x, y)，其一阶导数表示为dy/dx=f'(x)，其中f'(x)表示函数f(x)的导数。
2.求法：对曲线的函数f(x)进行求导，得到一阶导数f'(x)。
然后求解一阶导数方程f'(x)=0的解，得到曲线上的拐点x1。
3.判断：在拐点x1处，判断一阶导数的符号变化。
如果从正变负或从负变正，说明函数在该点处存在拐点。
4.总结：使用一阶导数法可以找到曲线上的拐点，但只能找到存在的拐点，并不能找到曲线的所有拐点。
二、二阶导数法求曲线拐点1.定义：曲线上任意一点(x, y)，其二阶导数表示为d²y/dx²=f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。
2.求法：对曲线的函数f(x)进行两次求导，得到二阶导数f''(x)。
然后求解二阶导数方程f''(x)=0的解，得到曲线上的拐点x2。
3.判断：在拐点x2处，判断二阶导数的符号。
如果二阶导数大于0，则是凸性，曲线向上凸；如果二阶导数小于0，则是凹性，曲线向下凹。
4.总结：使用二阶导数法可以找到曲线上的拐点，并判断曲线在拐点处的凸凹性质。
三、一阶导数与二阶导数综合法求曲线拐点上述方法只能找到曲线上的部分拐点，如果需要找到曲线的所有拐点，可以使用一阶导数与二阶导数的综合方法。
1.求一阶导数：对曲线的函数f(x)进行求导，得到一阶导数f'(x)。
2.判断一阶导数：从起点开始逐一求解f'(x)=0的解，得到一阶导数方程的解集。
在解集中找到一个解x3，然后对x3附近的函数进行二阶导数运算。
3.求二阶导数：对x3附近的函数进行二阶导数运算，得到二阶导数f''(x)。
3.一阶导数 1
n ( x −1) n →∞
可导,试求常数 可导 试求常数 a,b 并满足
例 设方程
xy 2 + e y = cos( x + y 2 )确定 y = y(x )
y ( 0) = 0
求
y ′′(0)
例 若
f ′(cos x + 2) = tan 2 x + 3 sin 2 x
的某邻域内具有一阶连续导数， 例 设f(x)在 x = 0的某邻域内具有一阶连续导数，且 在 的某邻域内具有一阶连续导数 f (0) ≠ 0, f ′(0) ≠ 0 若 af ( h) + bf ( 2n ) − f (0) 在 h → 0 是比h高阶的无穷小， 是比 高阶的无穷小，求a,b的值 高阶的无穷小 的值 例 设
则 f (x)在x = 0 处 在 （A）极限不存在 ）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 ）极限存在， （C）连续，但不可导 ）连续， （D）可导. ）可导
【
】
内可导， 例 已知函数 f (x) 在(0,+∞)内可导，f (x)>0， 内可导 > ，
1 f ( x + hx) = ex lim f ( x) = 1 ，且满足 lim h →0+ x →+∞ f ( x) 求 f (x). 1 h
（2） 证明 ϕ ′(x ) 处处连续 ）
1
（1） 求 ϕ ′(x ) ）
ϕ 连续， 例 设f ( x) 连续， ( x) = ∫0
为常数）， （ A 为常数），
f ( x) =A f ( xt ) dt , 且 lim x →0 x
一阶导数拉氏变换
一阶导数拉氏变换在数学中，拉氏变换是一种重要的变换方法，可以将一个函数在时域中的表达转换为频域中的表达。
而一阶导数拉氏变换则是在拉氏变换的基础上，对函数的一阶导数进行变换。
一阶导数拉氏变换的定义如下：设函数f(t)在时域中可导，其一阶导数为f'(t)，则其拉氏变换的一阶导数表示为：F'(s) = sF(s) - f(0)其中，F(s)表示函数f(t)的拉氏变换。
一阶导数拉氏变换在信号处理和控制理论中具有广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 系统传递函数的求解在控制系统中，系统的传递函数描述了输入信号与输出信号之间的关系。
而一阶导数拉氏变换可以用于求解系统的传递函数。
通过对系统的输入信号和输出信号进行一阶导数拉氏变换，可以得到系统的传递函数，并进一步分析系统的性能和稳定性。
2. 信号的滤波处理滤波是信号处理中常用的技术，用于去除信号中的噪声或者改变信号的频率特性。
一阶导数拉氏变换可以应用于滤波器的设计和分析。
通过对输入信号进行一阶导数拉氏变换，可以得到滤波器的频率响应，从而确定滤波器的性能和参数设置。
3. 信号的特征提取在信号处理中，常常需要提取信号的某些特征，如频率、幅值等。
一阶导数拉氏变换可以用于信号的特征提取。
通过对信号进行一阶导数拉氏变换，可以提取信号的频率特性，从而进行信号的分类、识别等应用。
4. 系统的稳定性分析在控制系统中，稳定性是一个重要的性能指标。
一阶导数拉氏变换可以应用于系统的稳定性分析。
通过对系统的传递函数进行一阶导数拉氏变换，可以得到系统的极点分布，从而判断系统的稳定性。
一阶导数拉氏变换在信号处理和控制理论中具有重要的应用。
通过对函数的一阶导数进行变换，可以得到函数在频域中的表达，进而分析和处理信号。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的变换方法，从而实现对信号的分析和处理。
第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数
第二节 二元函数的一阶、二阶偏导数一、二元函数的一阶偏导数1、 在某点处的一阶偏导数——已知二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处及其附近有定义，若一元函数)(0y x f z ，=在点0x 处对x 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对x 的一阶偏导数，记作)(00y x f x ，'，或00|y y x x x z =='，或xy x f ∂∂)(00，，或00|y y x x x z ==∂∂； 若一元函数)(0y x f z ，=在点0y 处对y 可导，则称此导数值为二元函数)(y x f z ，=在点)(00y x ，处对y 的一阶偏导数，记作)(00y x f y ，'，或00|y y x x y z =='，或yy x f ∂∂)(00，，或0|y y x x y z ==∂∂。
2、 可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。
3、 在某区域上的一阶偏导数——若二元函数)(y x f z ，=在区域E 上每一点)(y x ，处都有对x ，对y 的一阶偏导数，则对于区域E 上每一点)(y x ，都有一个对x 的一阶偏导数值和一个对y 的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为)(y x f z ，=对x ，对y 的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作)(y x f x ，'，或x z '，或x y x f ∂∂)(，，或xz ∂∂和)(y x f y ，'，或y z '，或y y x f ∂∂)(，，或y z ∂∂。
二、二阶偏导数 1、 定义——二元函数)(y x f z ，=一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数)(y x f z ，=的二阶偏导数，共有四个，分别记作x x xx y x f y x f ))(()(''=''，，，或xx z ''，或22)(x y x f ∂∂，，或22xz ∂∂ y x xy y x f y x f ))(()(''=''，，，或xy z ''，或y x y x f ∂∂∂)(2，，或yx z ∂∂∂2 x y yx y x f y x f ))(()(''=''，，，或yx z ''，或x y y x f ∂∂∂)(2，，或xy z ∂∂∂2y y yy y x f y x f ))(()(''=''，，，或yy z ''，或22)(y y x f ∂∂，，或22yz ∂∂。
第二节二元函数的一阶、二阶偏导数
第二节二元函数的一阶、二阶偏导数
一、二元函数的一阶偏导数
1、在某点处的一阶偏导数——已知二元函数
在点
处及其附近有定义，若一元函数
在点
处对
可导，则称此导数值为二元函数
在点
处对
的一阶偏导数，记作
，或
，或
，或
；
若一元函数
在点
处对
可导，则称此导数值为二元函数
在点
处对
的一阶偏导数，记作
，或
，或
，或。
2、可导与连续关系：尽管在某点处两个一阶偏导数都存在，却不能保证在该点处连续。
3、在某区域上的一阶偏导数——若二元函数
在区域E上每一点
处都有对
，对
的一阶偏导数，则对于区域E上每一点
都有一个对
的一阶偏导数值和一个对
的一阶偏导数值与之对应，于是得到两个新的二元函数，这两个新的二元函数分别称为
对
，对
的一阶偏导函数，简称一阶偏导数，分别记作
，或
，或
，或
和
，或
，或
，或。
二、二阶偏导数
1、定义——二元函数
一阶偏导数的一阶偏导数称为二元函数
的二阶偏导数，共有四个，分别记作
，或
，或
，或
，或
，或
，或
，或
，或
，或
，或
，或
，或。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dy ( y 2 et )(1 t 2 ) ( y 2 et )sec 2 x dx 2 2ty 2 2ty
例 求曲线y = lnx上与直线 x y 1垂直的切线方程 y x 1
cos( xy ) e 1 所确定，求曲 例 设f(x) 由方程 e 线f(x)在点（0，1）处的法线方程。 x 2 y 2 0
④ (coskx)( n )
2 n k cos(kx n ) 2
)
⑤ [( x 1) ]( n) ( 1)( n 1)( x 1) n
1 x )]( n ) ( 1)n1 ⑥ [ln( ( n 1)! (1 x )n
1 ( n) n! n ⑦ ( ) ( 1) xa ( x a ) n1
y
即
x x0
dy 或 f ( x0 ) 或 dx
df ( x ) x x0 或 dx
x x0
,
y f ( x0 x ) f ( x0 ) y x x0 lim lim x 0 x x 0 x
单侧导数
1.左导数:
f ( x0 )
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) lim ; lim x 0 x x0 0 x x x0
5.初等函数在定义区间内可导, 导数仍为初等函数
f ( x) (e 1)(e 2)
x 2x
(e n), 则f (0) ___
nx '
(12年数一第2题）
记注：y 是 x 的函数
6. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
7. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 8. 参数方程求导法
1 x2 1
y a 2 x 2
1 x x2 1
a 1 xa
ye
sin x 2
arctan x 1
2
2 2
xa aa
y (2 x cos x arctan x 1
y a a x
ax
)e
sin x 2
y (ln a) a a a ln a x
n n 1
n(n 1) (n k 1) n k k a b k!
bn
称为牛顿二项式展开式
例
求
2x 2 u e , v x ,则 解:设 u ( k ) 2 k e 2 x ( k 1 , 2 ,, 20 ) v 2 x , v 2 ,
2
1 1 F ( x) f ( ( x))(3x cos x sin ) x x
2 2 f [( x 2 x 1 )] arctan 例 设 , 求 f ( 2) x 25
3
例
设y x(sin x )
cos x
, 求 y .
2 dy 1 cos x cos x x(sin x) ( sin x ln sin x ) dx x sin x
例 设方程
xy 2 e y cos(x y 2 )确定 y y( x )
并满足
y ( 0) 0
求
y(0)
1
y 2 y y ( x ) e 6 xy x 1 0 确定， 例 已知函数 由方程
求：y'' (0)
2
x f (t ) 例 设 y tf (t ) f (t )
2 x y
2 x y e cos( xy ) e 1 所确定，求曲 例 设f(x) 由方程 线f(x)在点（0，1）处的法线方程。 x 2 y 2 0
dy 设y y ( x)是由x y 1 e 所确定的隐函数，则 __ dx （ 12年数2第9题，分） 4
即
d y A x
定理 : 函数
在点 x0 可微的充要条件是
在点
处可导, 且
即
d y f ( x0 )x
例
求下列函数的导数
2 10
y ( x 1)
y 20 x( x2 1)9 .
2 2x
y tan( 3x a )
2x 2 2 2x y (6x 2a ln a) sec (3x a )
例 设y 4 x 1 , 求 y ( n ) . 2 x 1
2
解 y
4x 1 4x 4 3 3 1 1 4 ( ) 2 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1
2 2
1 (n) ( 1) n n! 1 (n) ( 1) n n! ( ) , ( ) , n 1 n 1 x 1 ( x 1) x 1 ( x 1)
2 x
ax
a a x
a a a 1
yx x
x
xx
y x (ln x 1) x ( x x (ln x 1)ln x x x1 )
x xx
2 2 f [( x 2 x 1 )] arctan 例 设 , 求 f ( 2) x 25
3
例
设y x(sin x )cos x , 求 y.
d2y 1 f (t ) 不为0，求 2 dx f (t )
x 2t t 2 例 设函数 y f ( x) 由参数方程 y (t ) ,(t 1)
2 d y 所确定，其中 有二阶导数，求 dx2 d 2 y (t 1) (t ) (t ) 2 dx 4(t 1)3
导数的几何意义
1 cos x , x0 其中g(x) 是有界函数， x 例 设 f ( x) x 2 g ( x) x 0
则 f (x)在 x = 0 处 （A）极限不存在. （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导.
【 D 】
例 已知函数 f (x) 在(0,+∞)内可导，f (x)0，
v ( k ) 0 (k 3 ,, 20)
代入莱布尼兹公式 ,得
y
( 20)
20 19 18 2 x 2 e x 20 2 e 2 x 2 e 2 2!
20 2 x 2 19 2 x
n(n 1) 2! n(n 1) (n k 1) k!
一元函数的导数及其应用
1、导数的定义 2、导数与连续的关系 3、导数的几何意义 4、基本函数的导数公式 5、求导方法 6、微分定义 、公式及其微分的应用 7、中值定理、洛必达法则、泰勒公式 8、函数的单调性与极值、曲线的凹向与拐点 9、最大值与最小值 10、曲率 11、证明题
导数的定义
, 当自 定义 设函数 y f ( x )在点 x0的某个邻域内有定义 变量 x在 x0处取得增量x ( 点x0 x 仍在该邻域内 ) 时, 相 应地函数 y取得增量y f ( x0 x ) f ( x0 ); 如果y与x 之比当x 0时的极限存在 , 则称函数y f ( x )在点 x0处 可导, 并称这个极限为函数y f ( x )在点 x0处的导数, 记 为
例设
1 x 3 cos , x 0 ( x) x x0 0,
且f(x) 可导，令
F ( x) f [ ( x)]
，求 F ( x)
1 1 F ( x) f ( ( x))(3x cos x sin ) x x
2
dy x arctan t 例 设 y y ( x) 由 2 y ty2 et 5 所确定，求 dx
1 (ln x) x
2
1 x 1 (arctan x) 1 x2
(arcsin x)
1 x2 1 (arc cot x) 1 x2
(arccos x)
1
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (u v) uv u v
转化
极坐标方程求导
参数方程求高阶导数时,从低到高每次都要用参数方程求导 公式
9. 高阶导数 10. 乘积的高阶导数（莱布尼兹公式）
定义：若函数
在点 x0 的增量可表示为
A x o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f ( x) 在点 可微, 而 A x 称为
的微分, 记作
dy cos x cos x 1 x(sin x) ( sin x ln sin x ) dx x sin x
2
例设
1 x 3 cos , x 0 ( x) x x0 0,
且f(x) 可导，令
F ( x) f [ ( x)]
，求 F ( x)
2.右导数:
f ( x0 ) lim
x x0 0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 x ) f ( x0 ) lim ; x 0 x x0 x
函数 f ( x )在点 x 0 处可导 左导数 f ( x 0 ) 和 右导数 f ( x 0 )都存在且相等.
x x y e tan(e )
y x[cos(ln x) sin(ln x)]
y 2 cos(ln x)
y sin (2 sin 2 x )
2 2 2
2 2 2 y 8 x sin( 4 sin 2 x ) sin( 4 x )
y
2 x 2 a x 2 y a x arcsin 2 2 a
3. 反函数的求导法则
(C u ) C u (C为常数 ) u u v u v (v 0) 2 v v
4. 复合函数求导法则