11,12导数运算法则

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经济数学知识点总结

经济数学知识点总结一、函数与极限1、函数11 函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个数x∈D，按照一定的法则f，变量y 总有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。

111 函数的定义域：使函数有意义的自变量取值的集合。

112 函数的值域：函数值的集合。

113 函数的性质：有单调性、奇偶性、周期性、有界性等。

114 基本初等函数：包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

115 复合函数：设 y ＝ f(u)，u ＝φ(x)，则称 y ＝fφ(x)为复合函数。

116 反函数：设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。

对于y∈R，在 D 中存在唯一确定的 x 与之对应，这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f^（－1)（y)。

2、极限21 数列的极限：对于数列{xn}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜xn A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列{xn}的极限，记作lim(n→∞） xn ＝ A。

211 函数的极限：当自变量 x 趋于某个值 x0 （或趋于无穷大）时，函数 f(x) 无限接近于某个确定的常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当 x 趋于x0 （或趋于无穷大）时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A 或lim(x→∞）f(x) ＝ A 。

212 极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性。

213 极限的运算法则：包括四则运算、复合函数的极限法则。

二、导数与微分1、导数11 导数的定义：设函数 y ＝ f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量Δx （点 x0 ＋Δx 仍在该邻域内）时，相应地函数取得增量Δy ＝ f(x0 ＋Δx) f(x0) ；如果Δy 与Δx 之比当Δx→0时的极限存在，则称函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y ＝ f(x) 在点 x0 处的导数，记作 f'（x0) 。

导数的四则运算法则课件

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第三章变化率与导数
4．求下列函数的导数． (1)y＝x4－x3－x＋3；(2)y＝x22＋x33； (3)y＝x·ax(a>0)；(4)lnxx(x>0)．解析： (1)y′＝(x4－x3－x＋3)′ ＝(x4)′－(x3)′－(x)′＋3′ ＝4x3－3x2－1.
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第三章变化率与导数
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第三章变化率与导数
4．两函数商的求导法则的特例 gfxx′＝f′xgxg－2xfxg′x(g(x)≠0)，当 f(x)＝1 时，g1x′＝1′·gxg－2x1·g′x＝－gg′2xx (g(x)≠0)．这是一个函数倒数的求导法则．
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第三章变化率与导数
2．函数四则运算的求导法则 (1)和(或差)的导数：(u±v)′＝u′±v′，推广：(u1±u2±…±un)′＝u′1±u′2±…±u′n. (2)积的导数：(u·v)′＝u′v＋uv′，特别地：(cu)′＝cu′. (3)商的导数：uv′＝u′v－v2 uv′(v≠0)
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第三章变化率与导数
(3)y′＝(x)′·ax＋x·(ax)′＝ax＋x·axlna ＝ax(1＋xlna)． (4)y′＝lnxx′＝lnx′·x－x2 lnx·x′＝1x·x－x2 lnx ＝1－x2lnx.
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第三章变化率与导数
求下列函数的导数 (1)y＝x5－3x3－5x2＋6；(2)y＝x22＋x33； (3)f(x)＝1＋sinsixnx；(4)f(x)＝xlg x.
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第三章变化率与导数
5．两函数积与商求导公式的说明
(1)
类
比
：
(uv)′
＝
u′v
＋
uv′

导数的计算

第二讲导数的计算教学目的：熟练掌握初等函数导数的计算方法重点：导数的计算公式和运算法则难点：复合函数和隐函数的导数在一般情况下，直接利用定义求导数是极为复杂的．为能方便地求得一般函数的导数，需要建立求导的基本法则和公式，借助它们能较容易地解决初等函数的导数计算问题．1．导数的四则运算定理1 若函数，都在点处可导，则有(ⅰ)；(ⅱ)；(ⅲ)，．特别，当(为常数)时，有(ⅳ)；(ⅴ)．证明 (ⅰ)设，则由导数定义可得．即．同理可推得．也就是说，两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)． (ⅱ)设，因为存在，从而在点处连续，有．则由导数定义可得)(x u u =)(x v v =x )()())()((x v x u x v x u '±'='±)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'=')()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0)(≠x v ()u x c =c [()]()cv x cv x ''=)()()(2x v x v c x v c '-='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()()(x v x u x f +=x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0x x v x u x x v x x u x ∆--∆++∆+=→∆)()()()(lim 0))()()()((lim 0xx v x x v x x u x x u x ∆-∆++∆-∆+=→∆x x v x x v x x u x x u x x ∆-∆++∆-∆+=→∆→∆)()(lim )()(lim 00)()(x v x u '+'=)()())()((x v x u x v x u '+'='+)()())()((x v x u x v x u '-'='-)()()(x v x u x f =)(x v ')(x v x )()(lim 0x v x x v x =∆+→∆0()()()lim x f x x f x f x x ∆→+∆-'=∆x x v x u x x v x x u x ∆-∆+∆+=→∆)()()()(lim 0．也就是说，两个可导函数乘积的导数等于一个因子的导数乘以另一个因子，再加上这个因子乘以另一个因子的导数．注意两个可导函数乘积的导数不等于这两个函数导数的乘积，即．(ⅲ)设，与(ⅱ)类似利用的连续性，由导数定义得．也就是说，两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方．推论利用数学归纳法可将以上法则推广到有限个可导函数的和(差、积)的情形：(ⅵ)．(ⅶ)．例1 设解例2 求函数的导数．解．x x v x u x x v x u x x v x u x x v x x u x ∆-∆++∆+-∆+∆+=→∆)()()()()()()()(lim 0])()()([lim )]()()([lim 00x x v x x v x u x x v x x u x x u x x ∆-∆++∆+∆-∆+=→∆→∆x v x u x x v x u x x x ∆∆+∆+⋅∆∆=→∆→∆→∆000lim )()(lim lim )()()()(x v x u x v x u '+'=v u uv ''≠')(=)(x f )()(x v x u )(x v x x v x u x x v x x u x f x ∆-∆+∆+='→∆)()()()(lim )(0x x v x x v x x v x u x v x x u x ∆∆+∆+-∆+=→∆)()()()()()(lim 0)()()()()()()()()()(lim 0x v x x v x x v x u x x v x u x x v x u x v x x u x ∆+∆-∆+-∆-∆+=→∆)(lim )()()(lim )()()(lim )(000x x v x v x x v x x v x u x x u x x u x v x x x ∆+∆-∆+-∆-∆+=→∆→∆→∆)()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=n n u u u u u u '±±'±'='±±± 2121)(n n n n u u u u u u u u u u u u '++'+'=' 21212121)(42234sin 2,.x x x y y x -+'=求2234sin 2.y x x x -=-+223()4(sin )2()y x x x -''''=-+364cos 4.x x x -=--)23)(21(23x x x y -+=)23)(21()23()21(2323'-++-'+='x x x x x x y ])2()3)[(21()23]()2()1[(2323'-'++-'+'=x x x x x x )2233)(21()23(2223x x x x x ⋅-⋅++-=x x x 432423--=例3 求函数的导数．解．例4 求函数的导数．解．同理可得．例5 求函数的导数．解．同理可得．例6 求函数的导数．解．2．复合函数的导数现在我们来讨论复合函数的求导问题．定理 2 设函数及可以复合成函数，若在点可导，且在相应的点可导，则复合函数在点处可导，且， (1)x x x y ln sin =)ln sin ('='x x x y )(ln sin ln )(sin ln sin '+'+'=x x x x x x x x x x x x x x x x x 1sin ln cos ln sin ⋅++=x x x x x sin ln )cos (sin ++=x y tan =2)(cos )(cos sin cos )(sin cos sin )(tan x x x x x x x x y '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛='='x x x x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=x x 2csc )(cot -='x y sec ='⎪⎭⎫ ⎝⎛='='x x y cos 1)(sec x x x x x x tan sec cos sin cos )(cos 22=='-=x x x cot csc )(csc -='x x x xx x y sin cos cos sin +-='⎪⎭⎫ ⎝⎛+-='x x x x x x y sin cos cos sin 2)sin (cos )sin )(cos cos (sin )sin (cos )cos (sin x x x x x x x x x x x x x x x +'+--+'-=2)sin (cos cos )cos (sin )sin (cos sin x x x x x x x x x x x x x +--+=22)sin (cos x x x x +=)(u f y =)(x u ϕ=))((x f y ϕ=)(x u ϕ=x )(u f y =)(x u ϕ=))((x f y ϕ=x )()(x u f dx dy ϕ''=或，(2)或． (3)证设自变量有改变量时，取得改变量，进而取得相应的改变量．由于在点处可导，则，根据极限与无穷小的关系，有，其中为无穷小(当时)．又在点处可导，从而在点处必连续，所以当时，故．从而，于是，则．也就是说，复合函数的求导法则为：两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．此法则可推广到有限次复合的情形．例如，若有可导函数,，则复合函数对的导数是． (4)公式(2)、(4)称为复合函数求导的链式法则．在利用复合函数的求导法则解决求导问题时，应该注意以下几点：(1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数；(2)复合函数求导后，必须把引进的中间变量换成原来的自变量．利用复合函数的求导法则求导的步骤如下：(1)从外到里分层次，即把复合函数分成几个简单的函数；(2)从左到右求导数，即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来；(3)利用链式求导法则，从左到右作连乘．dx du du dy dx dy ⋅=x u x u y y '⋅'='x x ∆u u ∆y y ∆)(u f y =u u y du dy u ∆∆=→∆0lim α+=∆∆du dy u y α0→∆u )(x u ϕ=x )(x u ϕ=x 0→∆x 0→∆u 00lim lim 0x u αα∆→∆→==u u du dy y ∆⋅+∆⋅=∆αx u x u du dy x y ∆∆⋅+∆∆⋅=∆∆α⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆⋅+∆∆⋅=∆∆=→∆→∆x u x u du dy x y dx dy x x α00lim lim α0lim →∆⋅+⋅=u dx du dx du du dy )()(x u f dx du du dy ϕ'⋅'=⋅=)(),(v u u f y ϕ==)(x v ψ=()[]{}x f y ψϕ=x dx dv dv du du dy dx dy ⋅⋅=例7解函数可分解为则由复合函数求导法则有以上求解过程可以简记为：例8 求函数的导数．解将函数分解为则由复合函数求导法则有以上求解过程可以简记为：例9 求函数的导数．解这是一个复合函数，若直接用公式(2)或(4)求导，运算较繁琐．将函数变形为则由复合函数求导法则有=对复合函数的求导法则，运用熟练以后，计算时就不必将中间变量写出来．例10 已知，求．解 ()tan 12,.y x y '=-求()tan 12y x =-tan ,12.y u u x ==-()'2'tan sec ,(12) 2.x u dy du u u x du dx ===-=-22sec (2)2sec (12).dy dy du u x dx du dx =⋅=⋅-=--).21(sec 2)21()21(sec 22x x x y --='-⋅-='100032y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭10003,2.y u u x x ==-999231000,2.dy du u du dx x ==+999999223331000(2)1000(2)(2).dy dy du u x dx du dx x x x =⋅=⋅+=+-999999233331000(2)(2)1000(2)(2).y x x x x x x x ''=-⋅-=-+y =21[ln(21)ln(1),2y x x =--+211[ln(21)][ln(1)]22y x x '''=--+)1(1121)12(1212122'+⋅+⋅-'-⋅-⋅x x x x 21.211x x x =--+2tan ln x y =dx dy '⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 2tan 12tan ln x x x dx dy．有时往往需要同时运用函数的和差积商的求导法则以及复合函数的求导法则．例11 求函数的导数．解．例12 求函数的导数．解．例13 证明：(为任意常数)．证由对数性质有，故．3．隐函数和反函数求导函数的表示方式有多种，其中主要是用解析式子来表示，但也有一些函数无法用以上形式表示，例如：；等，这样的函数称为隐函数，相应地称为显函数．一般地，如果在方程中，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那末就说方程在该区间内确定了一个隐函数． 212sec 2cot 22sec 2cot 22⋅⋅='⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=x x x x x x x csc sin 1==x x y 3sin 12+=()()'++'+='x x x x y 3sin 13sin 122()()()'⋅++⋅'+⋅+=-x x x x x x 33cos 13sin 112122221=()33cos 13sin 21212221⋅++⋅⋅+-x x x x x x x x x x 3cos 1313sin 22+++=()21ln x x y ++=()[]()'++++='++='2221111ln x x x x x x y ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++++=221111x x x ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+++++=-222112111121x x x x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=-x x x x 21211112122⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=221111x x x x 211x +=1)(-='μμμx x μxe x ln =)ln ()(])[()(ln ln ln '='='='x e e e x x x x μμμμμ11-=⋅⋅=μμμμx x x )(x f y =0ln arctan 22=+-y x x y y x y sin 21+=)(x f y =0),(=y x F x y 0),(=y x F有的隐函数能较容易地化成显函数，而有的隐函数化成显函数时比较困难，甚至是不可能的．但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来．下面通过具体例子来说明这种方法．例14 求由方程所确定的隐函数的导数．解设此方程确定的函数为，即．两端对x 求导，由于函数恒相等，则导数也相等，故有所以即为书写方便，上述求导过程只要记住y 为的函数，直接求导，而不需反复代换．例15 设，求．解显然是的函数，则为的复合函数．方程两端同时对求导，得，故可见隐函数的求导法则如下：(1)等式(或方程)两端同时对求导数，遇到函数的时候，把它看作的函数，遇到的函数时，把它看作的复合函数，其中为中间变量．(2)所得关于的方程中，解出，即为所求．例16 求椭圆在点处的切线方程．解由导数的几何意义知，所求切线的斜率为：．下面求．在椭圆方程的两边分别对求导，有，解之得 y e xy =y dx dy()y f x =)()(x xf e x f =).()()()(x f x x f x f e x f '+='()()().f x f x f x e x '=-.y y y e x '=-x ln 1x ye y +=dx dyy x ln y x x ,0)(ln )('=+'+'x x x y e y e y 10x x y e ye y y ''++=2.1xx y e y ye '=-+x y x y x y dx dy dx dy191622=+y x )323,2(2='=x y k y 'x 0928='⋅⋅+y y x．当时，代入上式得：．于是所求的切线方程为，即．例17 设解两边对求导，得故由例17的结果显然有(5) 类似可得：. (6)(7) (8) 例18 设是直接函数，是它的反函数，如果存在且不等于零，证明: 反函数可导，且有(9) 公式(9)称为反函数求导公式．证在方程两边对求导，得由于, 故公式(9)成立．习惯上将(9)式记为：4．对数求导法对某些函数，利用先取对数再求导数的方法(称为对数求导法)求导比较简单．例19 求函数的导数． y x y 169-='323,2==y x 432-='=x y )2(43323--=-x y 03843=-+y x tan ,.x y y '=求x .sec 12y y '⋅=2211.sec 1y y x '==+21(arctan ).1x x '=+211)(arccot x x +-='(arcsin )x '=(arccos )x '=()x y ϕ=()y f x =()y ϕ'()y f x =1.()y y ϕ'='()x y ϕ=x .)(1y y '⋅'=ϕ0)(≠'y ϕ1.dy dx dxdy =)9('x x y =解这函数既不是幂函数也不是指数函数，称为幂指函数．不能直接利用幂函数或指数函数的求导公式．为求其导数，需先改变函数的结构．将两边取自然对数，得，两边对求导，得，于是有．例20 求函数的导数．解直接利用复合函数求导法则求这个函数的导数很麻烦，我们用对数求导法来求．等式两端同时取自然对数，得，上式两边对求导得：，于是．注幂指函数和经过多次乘(除)的函数，一般用对数求导法比较简便．5．由参数方程所确定的函数的求导一般地，若参数方程(为参数)， (10)确定与间的函数关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程所确定的函数．在实际问题中，需要计算由参数方程(10)所确定的函数的导数，但从(10)中消去有时会有困难．因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数．下面就来讨论由参数方程(10)所确定的函数的求导方法．若都可导，且，具有单调连续的反函数，则由参数方程所确定的函数可看作是由函数与复合而成的函数，根据复合函数及反函数的求导法则，得x x y =x x x y x ln ln ln ==x 1ln 1ln 1+=⋅+='⋅x x x x y y x )1(ln )1(ln +=+='x x x y y x x )4()4)(3()2)(1(>----=x x x x x y )]4ln()3ln()2ln()1[ln(21ln -----+-=x x x x y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-='⋅41312111211x x x x y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-='413121112x x x x y y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+-----=41312111)4)(3()2)(1(21x x x x x x x x )()(x v x u y =⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕt y x t )(),(t y t x ψϕ==0)(≠'t ϕ)(t x ϕ=)(1x t -=ϕ)(t y ψ=)(1x t -=ϕ，即， (11)这就是由参数方程(10)所确定的函数的求导公式．例21 求由参数方程所确定的函数的导数．解例22 求曲线在处的切线方程和法线方程．解因为，而由已知可知，则．所以．再由导数的几何意义得，．又因为当时，；所以在处的切线方程为即；在处的法线方程为即． ()()()()t t t t dt dx dt dy dx dt dt dy dx dy ϕψϕψ''='⋅'=⋅=⋅=11()()t t dx dy ϕψ''=(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩dx dy ()()1cos sin cot .1cos 2sin t t a t y dy t t dx x t a t t '-'====''--22213,13t at y t at x +=+=2=t ()()22222222)1()1(3161313t t a t at t a t at x t +-=+-+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='t x t t at y ⋅=⋅+=213222222)1(613)1()1(3)(t at t at t t t a x t x t x y t t t +=++⋅+-=+⋅'='⋅='2212)1(36t t t a at x y dx dy t t -=-=''=3412222-=-====t t t t dx dy k 切134k k =-=法切2=t a y a x 512,56==2=t )56(34512a x a y --=-01234=-+a y x 2=t )56(43512a x a y -=-0643=+-a y x6．基本公式为了便于记忆和使用，我们将基本求导公式列于下面．1、 (为常数)．2、 (为任意实数)．3、．4、．5、．6、．7、． 8、．9、． 10、． 11、．12、．13、．14、．15、． 16、．为了使读者进一步掌握本节内容，下面再举两个例子．例23 求函数的导数．解将原函数写成以下形式：，此等式两端取自然对数，得，上式两端同时对求导得，解之得．例24 求函数的导数．解等式两端取自然对数得，上式两端同时对取导得，解之得0='c c 1)(-='αααx x αa a a x x ln )(='x x e e =')(a x e x x a a ln 1log 1)(log =='x x 1)(ln ='x x cos )(sin ='x x sin )(cos -='x x x 22cos 1sec )(tan =='x x x 22sin 1csc )(cot -=-='(arcsin )11)x x '=-<<(arccos )11)x x '=-<<21(arctan )()1x x x '=-∞<<+∞+21(cot )()1arc x x x '=--∞<<+∞+x x x tan sec )(sec ='x x x cot csc )(csc -='x x y x sin )1(++=x x x y )1(sin +=-)1ln()1ln()sin ln(x x x x y x +=+=-x x x x x y x y x +++=-'⋅-1)1ln()cos (sin 1]1)1[ln()1(cos x x x x x y x x +++++='xe x y )(ln =)ln(ln ln x e y x =x x x e x e y y x x x 1ln 1)ln(ln 1⋅⋅+='⋅．小结：本节主要介绍初等函数的求导方法，读者主要要掌握导数计算公式和运算法则，其次注意：①一般在求导运算开始前应检查是否可以先化简或变形，许多函数在变形后容易求导；②幂指函数要用对数求导法求导．前往本节习题 )ln 1ln (ln )(ln x x x x e y x e x x +='。

课件11：1.2.3 导数的四则运算法则

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1.2.3 导数的四则运算法则
学习目标 (1)能利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式求简单函数的导数； (2)理解并掌握复合函数的求导法则．
知识导学一、导数的四则运算法则 1．函数和(或差)的求导法则若f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，(f(x) －g(x))′＝f′(x)－g′(x)．注意：(1)设f(x)，g(x)是可导的，则(f(x)±g(x))′＝ f′(x)±g′(x)，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)．
解：(1)y′＝4x3－9x2＋4x－4. (2)y′＝x′cosx＋x(cosx)′＝cosx－xsinx. (3)y′＝(sin2x)′＝(2sinxcosx)′＝(2sinx)′cosx＋2sinx(cosx)′ ＝2cos2x－2sin2x＝2cos2x. (4)y′＝(tanx＋cotx)′＝csoinsxx′＋csoinsxx′ ＝cos2cxo＋s2sxin2x＋－sins2ixn－2xcos2x＝co1s2x－sin12x
归纳总结 (1)熟练掌握和运用函数的和、差、积、商的导数公式，并进行简单、合理的运算，注意运算中公式运用的准确性． (2)灵活运用公式，化繁为简，如小题(2)这种类型，展开化为和、差的导数比用积的导数简单容易．
练一练 1.求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x3＋2x2－4x－1； (2)y＝xcosx； (3)y＝sin2x； (4)y＝tanx＋cotx； (5)y＝x2lnx＋lo1gax(a>0 且 a≠1，x>0)．
(2)对任意有限个可导函数，有(f1(x)±f2(x)±…±fn(x))′ ＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

公式3.若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
公式4.若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
公式5.若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
公式6.若f (x) ex ,则f '(x) ex;
公式7.若f
(2)求 y＝1x＋x22＋x33的导数．
[解析] (1)①y′＝(x2sinx)′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′ ＝2xsinx＋x2cosx. ②y′＝[x2(x2－1)]′＝(x2)′(x2－1)＋x2(x2－1)′ ＝2x(x2－1)＋x2·2x＝4x3－2x. (2)y′＝1x＋x22＋x33′＝1x＋2x－2＋3x－3′ ＝－x12－4x－3－9x－4＝－x12－x43－x94.
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两
个函数的导数的和(差),即:
[f(x) ±g(x)] ′= f'(x) ± g'(x);
应用1: 求下列函数的导数
(1)y=yx'3+s3inxx2 cos x
(2)y=x3-2x+3.
y ' 3x2 2
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函
练一练：
（1）下列各式正确的是（ C ）
A.(sin )' cos(为常数）
B（. cos x)' sin x C.(sin x)' cos x D.( x5 )' 1 x6
5
（2）下列各式正确的是（ D ）
A.(log
x a
)'

1 x
B.(log

16个基本导数公式详解

16个基本导数公式详解在微积分中，导数是一个基本的概念。

它描述了函数在给定点的变化率。

了解导数的基本公式对于求解微积分问题是至关重要的。

在本文中，我们将详细讨论16个基本导数公式，每个公式都将包含定义、求导法则和常见的具体例子。

1.常数函数的导数：定义：如果函数$f(x)$是一个常数，则$f'(x)=0$。

求导法则：常数的导数是0。

例如：对于函数$f(x)=5$，它的导数$f'(x)=0$。

2.幂函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=x^n$，其中 $n$ 是一个正整数，则$f'(x)=nx^{n-1}$。

求导法则：对于幂函数，使用幂函数的指数作为系数，然后将指数减1例如：对于函数$f(x)=x^2$，它的导数$f'(x)=2x$。

3.指数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=a^x$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a \neq 1$，则 $f'(x)=a^x \ln(a)$。

求导法则：对于指数函数，使用指数和常数的乘积，并且乘以自然对数的底数。

例如：对于函数 $f(x)=2^x$，它的导数 $f'(x)=2^x \ln(2)$。

4.对数函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\log_a(x)$，其中 $a$ 是一个正常数且 $a\neq 1$，则 $f'(x)=\frac{1}{x \ln(a)}$。

求导法则：对于对数函数，使用1除以输入的自变量乘以自然对数的底数。

例如：对于函数 $f(x)=\log_2(x)$，它的导数 $f'(x)=\frac{1}{x\ln(2)}$。

5.正弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\sin(x)$，则 $f'(x)=\cos(x)$。

求导法则：正弦函数的导数是余弦函数。

例如：对于函数 $f(x)=\sin(2x)$，它的导数 $f'(x)=2\cos(2x)$。

6.余弦函数的导数：定义：对于函数 $f(x)=\cos(x)$，则 $f'(x)=-\sin(x)$。

专题11 导数的运算与导数的几何意义--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】导数的几何意义为高考命题热点内容，考查题型有客观题，有时也出现在解答题中，难度中等或更小．导数的运算基本不单独命题，主要是在导数的几何意义及导数的应用中加以考查.导数的几何意义问题归纳起来常见的命题探究角度有：(1)求切线方程问题．(2)确定切点坐标问题．(3)已知切线问题求参数．(4)导数几何意义的综合应用．【重点知识回眸】（一）导数的几何意义1.函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x－x0)．2.提醒：(1)瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数．(2)曲线y＝f (x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为f ′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(3)曲线y＝f (x)过点P(x0，y0)的切线，点P不一定是切点，切线可能有多条．（二）基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)＝c(c为常数)f ′(x)＝0f (x)＝x n(n∈Q*)f ′(x)＝nx n－1f (x)＝sin x f ′(x)＝cos xf (x)＝cos x f ′(x)＝－sin xf (x)＝a x f ′(x)＝a x ln a(a＞0)f (x)＝e x f ′(x)＝e xf (x)＝log a x(a＞0，且a≠1)f ′(x)＝1x ln a(a＞0，且a≠1)f (x)＝ln x f ′(x)＝1 x(1)[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)；(2)[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；（3）(g (x )≠0)．（四）复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．（五）常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．熟记以下结论： (1)⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2； (2) 21'()[]'()[()]f x f x f x =- (f (x )≠0)； (3)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．（六）方法与技巧：1、求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线，在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与切点，在利用点斜式写出直线方程.2、若函数的导函数可求，则求切线方程的核心要素为切点A 的横坐标0x ，因为0x 可“一点两代”，代入到原函数，即可得到切点的纵坐标()0f x ，代入到导函数中可得到切线的斜率()'0fx k =,从而一点一斜率，切线即可求所以在解切线问题时一定要盯住切点横坐标，千方百计的把它求解出来.3、求切线的问题主要分为两大类，一类是切点已知，那么只需将切点横坐标代入到原函数与导函数中求出切点与斜率即可，另一类是切点未知，那么先要设出切点坐标()00,x y ,再考虑利用条件解出核心要素0x ，进而转化成第一类问题.4、在解析几何中也学习了求切线的方法，即先设出切线方程，再与二次方程联立利用0∆=求出参数值进而解出切线方程.解析几何中的曲线与函数同在坐标系下，所以两个方法可以互通.若某函数的图像为圆锥曲线，二次曲线的一部分，则在求切线时可用解析的方法求解，例如：21y x =-13,22⎛⎝⎭处的切线方程，则可考虑利用圆的切线的求法进行解决.若圆锥曲线可用函数解析式表示，像焦点在y 轴的抛物线，可看作y 关于x 的函数，则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中处理焦点在y 轴的抛物线切线问题的重要方法）.5、在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点.“在某点处的切线”意味着该点即2()'()()'()()'()()f x f x g x g x f x g x g x ⎡⎤⋅-⋅=⎢⎥⎣⎦为切点，而“过某点的切线”则意味着该点有可能是切点，有可能不是切点.如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类讨论了.【典型考题解析】热点一求曲线的切线方程【典例1】（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+【典例2】（2019·全国高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（）A ．B ．C ．D ．【典例4】（2022·全国·高考真题）曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．【规律方法】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．曲线切线方程的求法：(1)以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．(2)如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．热点二求切点坐标【典例5】（2021·河北唐山市·唐山一中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，F 是抛物线2:2C x y =的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过M ，F ，O 三点的圆的圆心为Q ，若直线MQ 与抛物线C 相切于点M ，则点M 的坐标是___________. 【典例6】（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，点A 在曲线y =ln x 上，且该10x y --π-=2210x y --π-=2210x y +-π+=10x y +-π+=0010010()'()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨=⎪-⎩xOy曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是____. 【方法总结】1.已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．2.已知斜率求切点：已知斜率k ，求切点(x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k . 热点三求参数的值(范围)【典例7】（2019·全国·高考真题（理））已知曲线e ln x y a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（） A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【典例8】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()e ,x f x a b a b =+∈R 在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =+，则2a b +=（） A ．1B ．2C ．4D ．5【典例9】（2022·全国·高考真题）若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【规律方法】1.利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2.根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P (x 0，y 0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3.求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上．热点四切线的斜率与倾斜角【典例10】（2023·全国·高三专题练习）设函数321()(1)sin 3f x x a x a x =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线斜率为（） A ．3B ．2C ．1D ．12【典例11】（2022·江西·丰城九中高三开学考试（理））函数()2ln 1sin y x x =++的图象在0x =处的切线对应的倾斜角为α，则sin2α=（） A ．310B ．±310 C ．35D ．±35【典例12】（2018·全国·高考真题（理））曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则=a ________．热点五：两曲线的公切线问题【典例13】（2020·全国·高考真题（理））若直线l 与曲线y x x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（） A ．y =2x +1B ．y =2x +12C ．y =12x +1D ．y =12x +12【典例14】（2023·全国·高三专题练习）已知函数22f xx ，()3ln g x x ax =-，若曲线()y f x =与曲线()y g x =在公共点处的切线相同，则实数=a ________．【典例15】（2016·全国·高考真题（理））若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =_______．【总结提升】解决此类问题通常有两种方法一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝1212()()f xg x x x --.热点六：导数几何意义的综合应用【典例16】（2021·全国·高考真题）若过点(),a b 可以作曲线e x y =的两条切线，则（） A ．e b a < B ．e a b < C ．0e b a <<D ．0e a b <<【典例17】（全国·高考真题（文））已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（） A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-【典例18】（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．【精选精练】一、单选题1．（2022·湖北武汉·高三开学考试）若函数()ln bf x a x x=-在点（1，f （1））处的切线的斜率为1，则22a b +的最小值为（）A ．12B 2C 3D ．342．（2023·全国·高三专题练习）函数()ln f x x ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2]-∞ B ．11,22,2e e ∞⎛⎫⎛⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2,+∞D ．()0,∞+3．（2022·江西·高三阶段练习（文））我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图像的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．利用此方法计算sin 0.01︒的近似值为（） A ．0.01B ．180πC ．1800πD ．18000π4．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（文））若函数1()33(0)f x x x x=+->的图象与函数()e x g x tx =的图象有公切线l ，且直线l 与直线122y x =-+互相垂直，则实数t =（）A ．1eB ．2eC ．1e或2e D ．1e或4e 5．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线e e y x =-相切的是（） A ．221x y +=B ．e x y =C ．e ln x y x =D ．21e 2y x =6．（2022·广东·高三阶段练习）已知函数2()ln f x a x bx =-的图象在1x =处与直线12y =-相切，则函数()f x 在[]1,e 上的最大值为（） A ．1-B ．0C ．12-D ．17．（2023·全国·高三专题练习）曲线e 22x y x x =+-在0x =处的切线方程是（） A ．320x y ++= B ．220x y ++= C ．220x y --=D ．320x y --=8．（2023·河北·高三阶段练习）若过点(,)m n 可以作曲线2log y x =的两条切线，则（） A ．2log m n >B ．2log n m >C ．2log m n <D ．2log n m <9．（2022·全国·高三专题练习）曲线ln y x =上的点到直线2y x =+的最短距离是（） A ．22B 32C 2D 210．（2022·河南·高三阶段练习（理））曲线ln 3y x x x =+-在1x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（） A ．1B ．2C ．4D ．811．（2023·全国·高三专题练习）过点()0,P b 作曲线e x y x =的切线，当240e b -<<时，切线的条数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3二、填空题12．（2021·全国·高考真题（理））曲线212x y x -=+在点()1,3--处的切线方程为__________． 13．（2023·山西大同·高三阶段练习）已知2e ()e x xaf x +=满足()()0f x f x ，且()f x 在(,())b f b 处的切线方程为2y x =，则a b +=___________.14．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则21a b+的最小值为___________.15．（2019·江苏·高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.16．（2021·全国·高考真题）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______．三、解答题17．（2023·全国·高三专题练习）设函数()12ln f x p x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2e g x x =若直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切，且与函数()f x 的图象相切于点()1,0，求p 的值；18．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数()ln f x x x ax b =++在e x =时取得极小值1e -，其中e 2.718=是自然对数的底数.(1)求实数a 、b 的值； (2)若曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线过原点()0,0，求实数t 的值.。

高等数学导数的四则运算法则

f (x0 ) x0
lim
x 0
f (x0
x) x
f (x0 );
如果 f ( x)在开区间a, b内可导，且 f(a) 及
f(b)都存在，就说 f ( x)在闭区间a, b上可导.
5) 函数 f ( x)在点x0 处可导左导数 f( x0 )和右导数 f( x0 )都存在且相等.
例: 设函数
x2,
x
1 ,
为了使函数f
(
x)
ax b, x 1
在x 1处连续且可导，a, b应取什么值 ?
解 f (1) 1 f (1 0) lim x2 1 x 1 f (1 0) lim (ax b) a b x 1 若f ( x)在x 1连续,则a b 1
f (1)
lim
f
(
x) x
f( x0
x0
)
不存在，则称
f
(
x
)在x0的导数不存在。
关于导数的说明
1) 函数f ( x)在点x0的导数f ( x0 )是因变量在点 x0处的变化率 , 它反映了因变量随自变量变化的快慢程度 .
2) 如果函数 y f ( x)在开区间 I内的每点处都可导, 就称函数 f ( x)在开区间 I内可导.
dy
dx
或
x x0
df ( x) dx
, x x0
f x0
即
y
x x0
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
其它形式
f
(
x0
)
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .

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u0
即 y f (u0)u u (u 0) ① 其中 lim 0
u0
当 x 0时，u有可能为零若 u 0, 则
y f [ ( x0 x)] f [ ( x0 )]
f (u0 u) f (u0)
f (u0) f (u0) 0
f (u0 ) 0 0 f (u0 ) u α u ②
例1 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
y
在
I
y
(
2
,
2
)内单调增、可导,
且 (sin y) cos y 0,
在 I x (1,1)内有
(arcsin
x)
1 (sin y)
1 cos
y
1
1 sin 2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) – 1 .
1 x2
(arctan
h0
h
lim u( x h) u( x)
h0
h
lim v( x h) v( x)
h0
h
u( x) v( x) 故结论成立.
此法则可推广到任意有限项的情形. 例如， (u v w) u v w
(2) (uv) uv uv
设 f ( x) u( x)v( x) , 则有
v( x h)
v( x)
h0
h
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0 h v( x h)v( x)
lim u( x h)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x h) u( x)v( x)
h0
hv( x h)v( x)
lim
h0
u(
x
1 2
1 x2
1
2x
1 3
(x
1
2)
x x2
1
1 3( x
. 2)
例8 设 y f (3x 2), f ( x) arctan x2, 3x 2
解令 u 3x 2 1 4 ，则 3x 2 3x 2
求dy . d x x0
d y f (u) d u
dx
dx
f
(u)
(3
12 x
2)2
又当 x 0 时，u 1.
dy d x x0
f (1) 3 arctan(1)2 3
3
4
.
第二章
第十二讲导数的运算法则（2）
一、反函数的求导法则
二、导数基本公式、初等函数的导数
一、反函数的求导法则
定理若函数 x = (y)在某区间 Iy 内单调、可导且 (y) 0，则其反函数 y = f (x) 在对应区间 Ix
lim 3 x sin x 0 lim 3 x sin x
x0
x
x0
x
01 0
∴
f
( x)
1 3
2
x3
sin
x
3
x cos
x,
x0.
0,
x0
注下列推导不正确：
1
f (0) f ( x) x0× [( x 3 )sin x 3 x (sin x)] x0
错误原因： 3 x 在 x = 0 处不可导，故不能用乘积
( 不一致 )
dsin﹏u d u ( 一致 ) d﹏u d x
cos u 2 (u 2x)
2cos 2x
例5 求函数 y lnsin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
d y d y d u 1 cos x cos x cot x
dx du dx u
从另一个角度看，
y
sin
2
x
y u
sin 2x
u
(sin x) dsin x cos x dx
d y dsin u d u cos u 2 dx du dx
2cos 2x
这是巧合吗？不是.
(u 2x)
一般地，有
定理 u ( x)在点 x 0 处可导, y f (u)在对应
x)
1
1 x
2
，
(arc
cot
x
)
–
1
1 x
2
.
例2 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
例3-1 设 f ( x) ( x a)( x), 其中( x) 在 x a
无论u 0还是u 0，均有
y f (u0 )u α u u ( x)在x x0处可导，故连续
当x 0时， u 0
lim α lim α 0
x0 u0
又由u φ( x)在x x0处可导，有
lim
x0
u x
φ(
x0
)
lim y x0 x
lim [
x0
f
(u0
)
u x
α
u] x
f
(u0
)
lim
x0
u x
lim
x0
α
lim
x0
u x
f (u0)( x0) 0 ( x0)
f (u0 )( x0 ).
即
d d
y x
f
x x0
(u0
) '(
x0
).
注 1°若 x0 (a,b), 有
d d
y x
f
x x0
(u0 )'(
x0 )
dy du
u u0
du dx
x
x0
则可将 x0 换成 x :
一、四则运算求导法则
定理函数u u( x)及v v( x)都在点x处可导， u( x)及v( x) 的和、差、积、商 (除分母
为 0的点外) 也都在点 x 可导, 且 (1) [u( x) v( x)] u( x) v( x)
(2) [u( x)v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim u( x h)v( x h) u( x)v( x)
h0
h
hlim0u( x
h)
u( x)
h
v( x
h)
u( x)
v( x
h) h
v(x)
u( x)v( x) u( x)v( x) 故结论成立.
推广: 1) (C u) C u ( C为常数 )
例2 求证
证
(tan
x )
( sin cos
x ) x
(sin
x)cos x sin cos2 x
x
(cos
x)
cos2 x sin2 x cos2 x
sec2 x
(csc x)
( 1 ) sin x
(sin x) sin2 x
cos x sin2 x
csc xcot x
(tan x) sec2 x， (csc x) csc xcot x 类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
x
复合函数求导法则称为链式求导法则.
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
4°对于复合函数，不能直接用基本初等函数求导公式.
如： (sin x) cos x 即 dsin﹏x cos x ( 一致 ) d ﹏x
但 (sin2x) cos 2x, 事实上
(sin2x) dsin 2﹏x d﹏x
注意此记号的
含义
{ f [( x)]} (sin2x) 2cos 2x
f [ ( x)] f (u) u2 x cos u u2x cos 2x
3° 推广：复合函数求导法则可推广到多个中间变量
的情形.
例如,
y
dy dy d u dv
u
dx d u dv dx
v
f (u) (v) ( x)
第二章
第十一讲导数的运算法则（1）
一、四则运算求导法则
二、复合函数求导法则
基本思路:
(C ) 0
(sin x ) cos x
( x ) x1
(a x ) a x ln a.
( loga x )
1 x ln a
( 构造性定义 ) 本节内容
求导法则
其它基本初等函数求导公式
初等函数求导问题
y x
1 x
y
又由反函数的连续性，知
y
f
(
x)在I
内连续
x
故当x 0时，y 0
又因( x)在y y0处可导且( y0 ) 0
f
(
x0)
lim
x0
y x
lim
y0
1 x
y
lim
y0
(
y0
1 y)
(
y0 )
1
( y0 )
y
由x0的任意性，知
f ( x)
1
,
( y) y f ( x)
x Ix
(3)
[
u( x) v( x)
]
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0)
下面分别加以证明, 并同时给出相应的推论
证 (1) (u v) u v
设 f ( x) u( x) v( x), 则
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim [u( x h) v( x h)] [u( x) v( x)]