第5-6章：如何建立数学模型及实例
数学模型的构建方法与使用技巧
数学模型的构建方法与使用技巧数学模型是一种用数学语言来描述现实世界中某个问题或系统行为的工具。
它通过建立数学方程或关系，抽象出问题的本质，从而帮助我们理解和解决实际问题。
在各个领域，数学模型都发挥着重要的作用，如物理学、经济学、生物学等。
本文将介绍数学模型的构建方法和使用技巧。
一、数学模型的构建方法1. 确定问题的目标和约束条件：在构建数学模型之前，我们需要明确问题的目标和约束条件。
目标是我们希望通过数学模型解决的问题，约束条件是问题的限制条件，如资源限制、时间限制等。
2. 选择合适的数学工具：根据问题的性质和要求，选择适合的数学工具来构建数学模型。
常用的数学工具包括微积分、线性代数、概率论等。
不同的问题可能需要不同的数学工具，我们需要根据实际情况进行选择。
3. 建立数学方程或关系：根据问题的特点，建立数学方程或关系来描述问题的本质。
这些方程或关系可以是线性的，也可以是非线性的。
在建立数学方程时，需要考虑问题的实际情况，尽量简化方程，使其具有可解性。
4. 验证和调整模型：建立数学模型后，我们需要对模型进行验证和调整。
验证模型的准确性是非常重要的，可以通过实际数据进行验证。
如果模型与实际数据不符，我们需要对模型进行调整，使其更加贴近实际情况。
二、数学模型的使用技巧1. 理解问题的本质：在使用数学模型解决问题时，我们需要深入理解问题的本质。
只有理解问题的本质，才能选择合适的数学工具和建立准确的数学模型。
2. 灵活运用数学工具：数学工具是解决问题的手段，我们需要灵活运用这些工具。
有时候，一个问题可能可以用多种数学工具来解决，我们需要根据实际情况选择最合适的工具。
3. 注意模型的假设和局限性：在使用数学模型时，我们需要注意模型的假设和局限性。
模型建立时往往会有一些假设，这些假设可能会对模型的准确性产生影响。
我们需要清楚模型的假设，并在使用模型时考虑其局限性。
4. 不断优化模型：数学模型是一个不断优化的过程。
数学模型的建立方法
数学模型的建立方法模型的建立与求解通过对问题的分析和模型假设后建立数学模型(模型运用数学符号和数学语言来描述)，并过〔制定〕算法、运用计算机实现等途径(依据模型的特征和要求确定)求解模型!此过程是整：个数模过程的最重要部分，必须慎重对待!型的检验：即通过问题所提供的数据或相关于实际生活中的状况对模型的合理性、准确性等进行判别模型的优劣!可通过计算机模拟等手段来完成!2数学模型方法一数学模型的定义：现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义："数学模型是关于部分现实世界和为一种特别目的而作的一个抽象的、简化的结构。
'具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来说明：数学是在实际应用的必须求中产生的，要解决实际问题就必必须建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，必须建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
3数学模型方法二数学软件介绍： Matcom：Matcom是MathTools开发的一个m文件解释器(马上Matlab中的〔编程〕语言解释为C语言)，不仅可以把m文件编译为可以独立执行的exe或dll文件，而且可以自动产生C源代码，供其他高级语言编译器使用。
Matcom所实现的在C语言中直接书写类似于matlab语句的功能，带来了以下几个显然的优点：一，是利用Matcom编制的程序可以在任何不安装Matlab系统的计算机上运行; 二是运行速度比m文件快了数倍;三是实现了Matlab强大的计算功能与各种C编译器界面制定的完美组合。
数学建模的基本方法与实例
数学建模的基本方法与实例数学建模是一种通过数学模型来解决实际问题的方法。
它在现代科学研究和工程实践中扮演着重要的角色。
本文将介绍数学建模的基本方法，并通过实例来详细说明。
一、问题分析在进行数学建模之前，首先需要对问题进行分析和理解。
这包括明确问题的背景、确定问题的目标以及收集问题所需数据等。
通过充分了解问题，我们可以更加准确地进行建模和求解。
二、建立模型在问题分析的基础上，我们需要建立适当的数学模型来描述和解决问题。
数学模型是对实际问题的抽象和简化，它包括变量、参数、约束条件和目标函数等要素。
常见的数学模型包括线性规划模型、非线性规划模型、动态规划模型等。
以线性规划模型为例，其数学形式为：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙSubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙ其中，c₁、c₂、...、cₙ分别为模型的目标函数系数，x₁、x₂、...、xₙ为决策变量，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为约束条件的系数，b₁、b₂、...、bₙ为约束条件的右侧常数。
三、求解模型建立完数学模型后，下一步是求解模型以得到问题的最优解。
对于不同类型的模型，可以使用不同的数学方法和工具来求解。
常见的方法包括线性规划的单纯形法、非线性规划的梯度法、动态规划的最优控制理论等。
四、模型验证与分析求解完模型后，需要对结果进行验证和分析。
这包括检验模型的可行性、灵敏度分析以及结果的解释和实际应用等。
通过对模型结果的分析，可以判断模型的有效性和可靠性。
接下来，让我们通过一个实例来具体说明数学建模的过程。
实例：某物流公司的货物配送问题某物流公司需要合理安排货物的配送路线，以最小化配送时间并满足客户的需求。
假设有n个客户需要送货，每个客户的货物量不同，同时每个客户的配送时间窗口也不同。
数学模型的建立方法
数学模型的建立方法数学模型是将现实问题抽象化、定量化和数学化的过程，它可以帮助我们理解问题的本质、预测未知情况、优化决策等。
下面是一个数学模型的建立方法的详细介绍：1.明确问题：首先需要明确问题的背景、目标和约束条件。
例如，我们可能需要建立一个模型来优化供应链管理问题，那么我们需要明确我们的目标是什么，有哪些约束条件。
2.收集数据：为了建立数学模型，我们需要收集相关的数据。
这包括实地调研、文献研究、统计数据等。
数据的质量和数量对模型的建立和准确性非常重要。
3.建立假设：建立数学模型需要做出适当的假设，以简化问题的复杂性。
假设应该基于对问题的理解和实际情况。
例如，在优化调度模型中，常见的假设包括可行解、稳定环境、线性关系等。
4.确定变量和关系：接下来，我们需要确定模型中的变量和它们之间的关系。
变量是描述问题状态和属性的因素。
关系是变量之间的数学表达式或约束条件。
我们可以使用数学公式、方程、不等式等来描述变量和关系。
5.建立数学模型：根据前面的步骤，我们可以构建数学模型。
数学模型可以分为多种类型，包括代数模型、几何模型、概率模型等。
根据问题的性质和需求选择合适的数学模型。
6.求解和优化：建立数学模型后，我们需要求解模型以获得有关问题的信息。
这可以通过数学分析、符号计算和算法求解等方法来实现。
通过求解模型，我们可以获得问题的最优解、稳定解、灵敏度分析等。
7.模型验证和修正：验证模型的准确性和适用性非常重要。
我们可以使用现有的数据进行模拟和实验，将模型的结果与实际情况进行对比和验证。
如果模型结果不符合预期，我们需要对模型进行修正和改进。
8.模型应用：最后，根据模型的结果，我们可以进行相应的决策和行动。
数学模型提供了对问题的深入理解和预测能力，可以指导实际环境中的决策和行动，从而达到优化和改善问题的目的。
总结起来，数学模型的建立需要明确问题、收集数据、做出假设、确定变量和关系、建立模型、求解和优化、模型验证和修正以及模型应用。
数学模型建立步骤详解与实例分析
数学模型建立步骤详解与实例分析引言：数学模型是现代科学研究中不可或缺的一部分，它能够帮助我们理解和解决各种实际问题。
本文将详细介绍数学模型的建立步骤，并通过一个实例分析来展示其应用价值。
第一部分：问题的定义和分析在建立数学模型之前，我们首先需要明确问题的定义和分析。
例如，假设我们面临一个交通拥堵问题，我们需要考虑的因素可能包括道路的拥挤程度、车辆的流量、交通信号灯的配时等。
通过对问题的定义和分析，我们可以确定需要考虑的变量和参数。
第二部分：建立数学模型的基本原理建立数学模型的基本原理是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法进行求解。
在实际建模过程中，我们可以使用不同的数学方法，如微积分、线性代数、概率论等。
关键是选择适当的数学方法来描述问题，并将其转化为数学方程或不等式。
第三部分：确定变量和参数在建立数学模型时，我们需要确定变量和参数。
变量是模型中的未知数，而参数是模型中的已知数。
变量和参数的选择对于模型的准确性和可靠性至关重要。
在确定变量和参数时，我们需要考虑其物理意义和实际约束条件。
第四部分：建立数学方程或不等式在确定变量和参数后，我们可以开始建立数学方程或不等式。
数学方程是描述变量之间关系的等式，而不等式则是描述变量之间关系的不等式。
通过建立数学方程或不等式，我们可以将问题转化为数学问题，并通过数学方法进行求解。
第五部分：求解数学方程或不等式在建立数学方程或不等式后，我们需要求解这些方程或不等式。
求解数学方程或不等式的方法有很多，如代数方法、几何方法、数值方法等。
选择适当的求解方法取决于具体的问题和模型。
第六部分：模型的验证和优化在求解数学方程或不等式后，我们需要对模型进行验证和优化。
验证模型的准确性可以通过与实际数据进行比较来实现。
如果模型与实际数据吻合较好，则说明模型是可靠的。
如果模型与实际数据不吻合，则需要对模型进行优化，例如调整参数或改变模型结构。
实例分析：为了更好地理解数学模型的建立步骤，我们以一个经典的例子来进行分析。
如何建立数学模型
如何建立数学模型建立数学模型是指将实际问题抽象化，通过数学语言和符号来描述和解决问题的过程。
数学模型的建立可以帮助我们更好地理解问题的本质，分析问题的规律，预测问题的结果，以及优化问题的解决方案。
以下是建立数学模型的一般步骤和方法。
一、明确问题：首先，需要明确所要解决的问题以及问题所涉及的背景和条件。
确保对问题的理解准确明确，同时将问题与数学建模相结合。
二、问题建模：1.确定变量：将问题中涉及的各种因素抽象为数学模型中的变量。
变量可以是数值、时间、物理量等，具体根据问题的特点进行确定。
2.建立关系：确定各个变量之间的关系，包括线性关系、非线性关系、概率关系等。
可以通过实际观测数据、统计分析等方法来确定变量之间的关系。
3.建立约束条件：确定对变量的约束条件，包括等式约束、不等式约束等。
这些约束条件可以是问题中固有的限制，也可以是为了使得模型更加逼真和实际而添加的额外限制条件。
三、数学描述：1.建立数学方程：将问题中的各个变量之间的关系用数学方程来表示。
可以根据问题的特点选择合适的数学公式和方程，如线性方程组、非线性方程、微分方程等。
2.建立目标函数：如果问题是优化问题，需要建立一个目标函数，该函数描述了所要优化的目标以及变量之间的关系。
目标函数可以是最大化、最小化或者使得一些条件满足的函数。
四、求解模型：建立完数学模型后，可以通过数学方法来求解模型。
具体的求解方法根据模型的特点和问题的要求而定，例如数值计算、迭代方法、优化算法等。
求解模型的目的是得到模型的解或近似解，以用于问题的研究和应用。
五、模型验证：对建立的数学模型进行验证是非常重要的。
通过将模型的解与实际数据进行比较，或者进行模拟实验来验证模型的有效性和准确性。
如果模型的结果与实际情况相符合或者较为接近，那么该模型可以被认为是有效的。
六、模型分析和应用：对于建立的数学模型，可以进行进一步的分析和应用。
例如，可以通过灵敏度分析，研究模型对于初始条件和参数变化的敏感度；通过稳定性分析，研究模型在不同情况下的行为；通过模型的推广和延伸，应用于解决其他类似问题等。
如何建立一个数学模型
如何建立一个数学模型建立一个数学模型是为了描述和解释现实问题而进行的一种抽象和形式化表示。
数学模型可以帮助我们理解现象背后的原理、预测和控制系统行为，以及进行决策和优化。
下面是一个关于如何建立一个数学模型的详细步骤。
1.确定问题：明确你要建立数学模型解决的问题。
这可能是一个实际问题，比如交通拥堵、疾病传播等，也可以是一个理论问题，比如优化问题、随机过程等。
2.收集数据：收集与问题相关的数据，并对数据进行整理和清洗。
数据可以来自实验、观测、调查等，尽量确保数据的准确性和可靠性。
3.定义假设：根据你对问题的理解和直觉，提出一些假设。
假设是对问题的简化和抽象，可以帮助我们建立数学模型。
假设可以是关于系统结构、参数、限制条件等方面的。
4.建立数学模型：选择适当的数学工具和方法来建立数学模型。
常用的数学工具包括微积分、线性代数、概率论、统计学等。
数学模型可以是方程、方程组、函数、图表等形式。
5.模型分析：分析数学模型的特性和行为。
这包括解析求解、数值求解、稳定性分析、敏感性分析等。
模型分析可以帮助我们理解和解释模型，以及对模型进行验证和调整。
6.模型验证：使用实际数据和观测结果来验证数学模型的准确性和适用性。
如果模型与实际情况相符，则可以进一步用于预测和决策。
7.模型优化：优化数学模型，使其更符合实际需求和目标。
优化可以包括调整模型参数、修正模型假设、改进模型算法等。
8.模型应用：将数学模型应用于实际问题，并进行预测、控制和优化。
根据模型的结果，制定合理的决策和行动方案。
9.模型评估：评估数学模型的效果和影响。
这包括模型的准确性、稳定性、可行性、可解释性等方面。
模型评估可以帮助我们改进和完善模型，以及对模型进行比较和选择。
总而言之，建立一个数学模型是一个复杂和系统的过程，需要深入理解问题、严谨的数据分析和数学推理能力。
一个好的数学模型可以帮助我们更好地理解和解决现实问题，促进科学研究和社会发展。
数学中的模型建立与求解
数学中的模型建立与求解数学作为一门学科，在科学研究和实际应用中起着举足轻重的作用。
模型的建立和求解是数学中的重要内容，它们帮助我们解决现实问题，提供了理论依据和实践指导。
本文将探讨数学中的模型建立与求解过程，并介绍几个实际应用案例。
一、模型建立模型是对真实问题的抽象和简化，通过数学语言和符号进行描述和表示。
模型建立的关键是要明确问题的目标、条件和限制，并选择适当的数学方法和理论来构建模型。
下面以几个实例来说明模型建立的过程。
1. 人口增长模型假设一个岛国的人口增长率与该国的出生率、死亡率和迁徙率有关。
我们可以通过建立人口增长方程来描述这一模型。
假设每年出生率为b，死亡率为d，迁徙率为m，设该国的初始人口为P0，年份为t，则人口增长方程可以表示为：P(t) = P0 + (b - d - m)P0 * t。
通过调整参数值和初始条件，我们可以研究不同情况下的人口增长趋势，为国家的人口规划和政策制定提供参考。
2. 天体运动模型太阳系中的行星运动可以通过开普勒定律来描述。
以地球绕太阳的运动为例，假设太阳为一个质点，地球为一个质点，它们之间的引力与它们的质量和距离有关。
可以利用万有引力定律建立行星运动的数学模型，并通过求解微分方程来得到行星轨道的解析解或数值解。
这样的模型不仅可以用来研究行星的轨道特征，还可以预测行星的位置和运动趋势。
二、模型求解模型求解是利用数学工具和技术来求取模型的解析解或数值解。
根据问题的特点和求解的要求，选择适当的求解方法和算法很重要。
下面介绍几种常见的模型求解方法。
1. 解析解求解对于简单的模型，可以通过解析方法求得精确的解。
例如，首先可以将模型转化为一般形式的代数方程或微分方程，然后通过数学运算和方法来求解。
这种方法具有精确度高、解的形式明确等优点，但对于复杂的模型来说，求解过程可能较为繁琐甚至无法得到解析解。
2. 数值解求解数值方法是一种常用的求解模型的方式。
它利用计算机进行近似计算，通过将模型离散化，将连续问题转化为离散问题，并采用数值逼近和迭代方法来获得近似解。
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如何建立数学模型及实例数学建模培训科研处数学建模小组第五章：如何建立数学模型怎样撰写数学建模的论文？1．什么是数学模型？数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。
简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。
2．什么是数学建模?数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。
即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。
观点：“所谓高科技就是一种数学技术”注数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。
数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。
注数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。
3．数学建模的一般方法和步骤建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法：◆机理分析◆测试分析方法机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。
测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。
测试分析方法也叫做系统辩识。
将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。
在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。
机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。
4、数学模型及其分类模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧抽象模型具体模型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧数学模型符号模型思维模型物理模型直观模型⎩⎨⎧图形模型数式模型数学模型的分类：◆ 按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩散模型等。
◆按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。
5．怎样撰写数学建模的论文？1、摘要: 摘要是论文内容不加注释和评论的简短陈述，其作用是使读者不阅读论文全文即能获得必要的信息。
在数学建模论文中，摘要是非常重要的一部分。
数学建模论文的摘要应包含以下内容：所研究的实际问题、建立的模型、求解模型的方法、获得基本结果以及对模型的检验或推广。
论文摘要需要用概括、简练的语言反映这些内容，尤其要突出论文的优点，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推广等。
一般科技论文的摘要要求不列举例证，不出现图、表和数学公式，不自我评价，且字数应在200以内。
前几年，全国大学生数学建模竞赛要求摘要字数应在300字以内。
但从2001年开始，为了提高论文评选效率，要求将论文第一页全用作摘要，对字数已无明确限制。
故在摘要中也可适当出现反映结果的图、表和数学公式。
2、问题重述：数学建模比赛要求解决给定的问题，所以论文中应叙述给定问题。
撰写这部分内容时，不要照抄原题，应把握住问题的实质，再用较精练的语言叙述问题。
3、模型假设：建模时，要根据问题的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，对问题进行必要的简化，做出一些合理的假设。
模型假设部分要求用精练、准确的语言列出问题中所给出的假设，以及为了解决问题所做的必要、合理的假设。
假设作得不合理或太简单，会导致错误的或无用的模型；假设作得过分详尽，试图把复杂的众多因素都考虑进去，会使工作很难或无法继续下去，因此常常需要在合理与简化之间作出恰当的折中。
4、分析与建立模型：根据假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，得到一个数学结构。
建模时就尽量采用简单的数学工具，使建立的模型易于被人理解。
在撰写这一部分时，对所用的变量、符号、计量单位应作解释，特定的变量和参数应在整篇文章保持一致。
为使模型易懂，可借助于适当图形、表格来描述问题或数据。
5、模型求解：使用各种数学方法或软件包求解数学模型。
此部分应包括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。
为求解而编写的计算机程序应放在附录部分。
有时需要对结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数据的稳定性或灵敏度分析等。
6、模型检验：指导求解和分析结果翻译回到实际问题，与实际的现象、数据比较，检验模型的合理性和适用性。
如果结果与实际不符，问题常出现在模型假设上，应该修改、补充假设，重新建模。
这一步对于模型是否真的有用十分关健。
7、模型推广：将该问题的模型推广到解决更多的类似问题，或讨论给出该模型的更一般情况下的解法，或指出可能的深化、推广及进一步研究的建议。
8、参考文献：在正文中提及或直接引用的材料或原始数据，应注明出处，并将相应的出版物列举在参考文献中。
需标明出版物名称、页码、著者姓名、出版日期、出版单位等、9、附录：附录是正文的补充，与正文有关而又不方便于编入正文的内容都收集在这里。
包括：计算机程序、比较重要但数据量较大的中间结果等。
为便于阅读，应在源程序中加入足够多的注释和说明语句。
附：2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文格式规范●甲组参赛队从A、B题中任选一题，乙组参赛队从C、D题中任选一题。
●论文（答卷）用白色A4纸，上下左右各留出2.5厘米的页边距。
●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。
●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体内容和格式见本规范第三页。
●论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。
●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。
●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。
●论文题目用3号黑体字、一级标题用4号黑体字，并居中。
论文中其他汉字一律采用小4号黑色宋体字，行距用单倍行距。
●提请大家注意：摘要在整篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写摘要（注意篇幅不能超过一页）。
全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。
●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。
正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。
参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。
参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。
参考文献中网上资源的表述方式为：[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。
●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。
●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。
[注]赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。
评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。
论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。
全国大学生数学建模竞赛组委会2006年5月修订承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：第六章．几个例子（一）数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1 美国人口统计数据2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出.[1] 假设：人口增长率r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）. [2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x 0, 时刻t 的人口为()t x ，由于量大，()t x 可视为连续、可微函数.t 到t t ∆+时间内人口的增量为：()()()t rx tt x t t x =∆-∆+ 于是()t x 满足微分方程：()⎪⎩⎪⎨⎧==00x x rx dt dx（1）[3] 模型求解： 解微分方程（1）得()rt e x t x 0= （2）表明：∞→t时，()∞→t x （r>0）.[4] 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验：将x 0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3. 阻滞增长模型（Logistic 模型） [1]假设：（a ）人口增长率r 为人口()t x 的函数()x r （减函数），最简单假定()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率.（b ）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量m x .[2]建立模型：当mx x =时，增长率应为0，即()m x r =0，于是mx rs =，代入()sx r x r-=得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m x x r x r 1 （3）将（3）式代入（1）得：模型为： ()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=001xx x x x r dtdx m （4） [3] 模型的求解： 解方程组（4）得()rtm me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110 （5）根据方程（4）作出x dtdx~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律. 图1-2 x~t 曲线[4] 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r 和x m 拟合得：r=0.2072, x m =464. [5] 模型检验：将r=0.2072, x m =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得)())(1()()()1(t x x t x r t x x t x t x m-+=∆+=+ t=0,1,2,… (6) 用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083, x m=457.6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.（二）椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。