差分约束
浅谈差分约束系统
例题1. 例题1.
FJ 有 N 头奶牛，它们排成一行，连续编号为 1..N。每个牛有一个正整数身 1..N。每个牛有一个正整数身 高 Hi 。你现在知道最高的牛是第 K 头牛的身高 是 H。FJ 还给你 R 个信息， 比如：“ 比如：“17 号牛可看见 34 号牛”。这表示 17 号牛” 号与 34 号之间的牛的身高一定小 于第 17 号牛，并且 34 号牛一定不比 17 号牛矮。 现在要你猜一下，其它每 头牛的最大可能高度。
qsort(1,tot); j:=1; for i:=1 to n do begin num[i]:=j; while (a[j]=i) do inc(j); end; num[n+1]:=tot+1; for i:=1 to n do if indu[i]=0 then begin f[i]:=hh;inc(h);dui[h]:=i;end; f[k]:=hh; t:=h;h:=1; repeat for i:=num[dui[h]] to num[dui[h]+1]-1 do num[dui[h]+1]begin dec(indu[b[i]]); if indu[b[i]]=0 then begin indu[b[i]]:=indu[b[i]]:=-1; f[b[i]]:=f[dui[h]]f[b[i]]:=f[dui[h]]-1; inc(t); dui[t]:=b[i]; end; end; inc(h); until t=n; for i:=1 to n do writeln(f[i]); close(input); close(output); end.
例题2 例题2
一、整数区间 【问题描述：】 问题描述：】 给你n个边界是整数的闭区间[ai，bi]，每个区间表示的范围是ai到bi范围内的连续的整数。 给你n个边界是整数的闭区间[ai，bi]，每个区间表示的范围是ai到bi范围内的连续的整数。 请你找到一个整数集合Z 请你找到一个整数集合Z，使得： 1、|Z|最小。即集合z内的整数个数最小。 |Z|最小。即集合z 2、z∩[ai，bi]>=2。 即z和每个集合至少有两个相交的不同整数。 [ai，bi]>=2。 【输入：】 输入：】 第一行：n 1<=n<=10000），表示整数区间的个数。 第一行：n（1<=n<=10000），表示整数区间的个数。 以下n行，每行两个数a 以下n行，每行两个数a和b，中间一个空格隔开，表示一个区间，0 <= a < b <= 10000。 ，中间一个空格隔开，表示一个区间，0 10000。 【输出：】 输出：】 一个正整数，z 一个正整数，z的个数。 【样例输入：】 样例输入：】 4 3 6 2 4 0 2 4 7 【样例输出：】 样例输出：】 4 说明：z={1 说明：z={1 ,2 ,4 ,5}或{1，2，4，6} ,5}或{1，
综合 差分时钟 约束
综合是指在集成电路设计中，将高级描述语言（如Verilog或VHDL）的代码转化为逻辑门级电路网络的过程。
在综合过程中，设计会受到多种约束的限制，其中包括时钟约束和差分时钟约束。
时钟约束：时钟约束是指在综合过程中，对时钟信号的频率、时序和相位等方面进行限制。
时钟约束的目的是确保设计在工作时能够满足时序要求，防止时序故障的发生。
时钟约束包括时钟频率、时钟上升和下降时间、时钟延迟等方面的限制。
差分时钟约束：差分时钟约束是一种特殊的时钟约束，用于差分信号（例如差分信号对、差分时钟对等）。
差分信号是由两个相位相反的信号组成的，它们在高速电路中常用于减小干扰和提高抗噪性能。
差分时钟约束需要确保差分信号在不同部分的电路中保持同步，并且满足规定的时序要求。
综合工具在进行综合时，会根据设计描述和约束生成电路的逻辑门级表示，并进行优化以满足时序要求。
如果设计中包含时钟约束和差分时钟约束，综合工具会考虑这些约束，以确保生成的电路能够在工作时满足时序和时钟同步的要求。
综合过程中的约束，尤其是时钟约束和差分时钟约束，对于确保设计的正确性、稳定性和性能都具有重要作用，能够在集成电路设计中发挥关键的作用。
差分约束
（本文假设读者已经有以下知识：最短路径的基本性质、Bellman-Ford算法。
）比如有这样一组不等式：X1 - X2 <= 0X1 - X5 <= -1X2 - X5 <= 1X3 - X1 <= 5X4 - X1 <= 4X4 - X3 <= -1X5 - X3 <= -3X5 - X4 <= -3不等式组(1)全都是两个未知数的差小于等于某个常数（大于等于也可以，因为左右乘以-1就可以化成小于等于）。
这样的不等式组就称作差分约束系统。
这个不等式组要么无解，要么就有无数组解。
因为如果有一组解{X1, X2, ..., Xn}的话，那么对于任何一个常数k，{X1 + k, X2 + k, ..., Xn + k}肯定也是一组解，因为任何两个数同时加一个数之后，它们的差是不变的，那么这个差分约束系统中的所有不等式都不会被破坏。
差分约束系统的解法利用到了单源最短路径问题中的三角形不等式。
即对于任何一条边u -> v，都有：d(v) <= d(u) + w(u, v)其中d(u)和d(v)是从源点分别到点u和点v的最短路径的权值，w(u, v)是边u -> v的权值。
显然以上不等式就是d(v) - d(u) <= w(u, v)。
这个形式正好和差分约束系统中的不等式形式相同。
于是我们就可以把一个差分约束系统转化成一张图，每个未知数Xi对应图中的一个顶点Vi，把所有不等式都化成图中的一条边。
对于不等式Xi - Xj <= c，把它化成三角形不等式：Xi <= Xj + c，就可以化成边Vj -> Vi，权值为c。
最后，我们在这张图上求一次单源最短路径，这些三角形不等式就会全部都满足了，因为它是最短路径问题的基本性质嘛。
话说回来，所谓单源最短路径，当然要有一个源点，然后再求这个源点到其他所有点的最短路径。
那么源点在哪呢？我们不妨自已造一个。
vivado差分时钟管脚约束
vivado差分时钟管脚约束【原创版】目录1.差分时钟管脚约束的概念2.差分时钟管脚约束的作用3.差分时钟管脚约束的实现方法4.差分时钟管脚约束的注意事项正文差分时钟管脚约束是指在 FPGA 设计中，对于差分对（differential pair）中的两个管脚，进行特定的连接和约束，以保证差分信号的正确传输和处理。
差分对是高速信号传输中常用的方式，其特点是抗干扰能力强，传输速度快。
差分时钟管脚约束的作用主要体现在以下几点：1.保证差分信号的完整性：通过管脚约束，可以确保差分对中的两个信号在传输过程中保持同步，避免因信号传输误差导致的数据丢失或错误。
2.减少电磁干扰：合理的管脚约束能够降低差分信号对外部的电磁干扰，提高系统的稳定性和可靠性。
3.提高传输速率：通过差分时钟管脚约束，可以实现高速信号的快速传输，满足高速数据通信的需求。
实现差分时钟管脚约束的方法主要有以下几种：1.物理连接：通过物理层上的连接，将差分对中的两个管脚直接连接在一起，实现信号的同步传输。
2.电路设计：通过差分放大器、电阻、电容等元器件的设计，实现差分信号的放大、滤波等功能，从而保证信号的同步传输。
3.软件控制：通过编写程序，控制 FPGA 内部的逻辑电路，实现差分信号的同步传输。
在实施差分时钟管脚约束时，需要注意以下几点：1.合理选择管脚：应选择相邻且布局合理的管脚作为差分对，以减小信号传输的延迟和电磁干扰。
2.避免跨区域连接：差分对中的两个管脚应尽量避免跨区域连接，以减小信号传输的延迟和损耗。
3.考虑电源完整性：在设计差分时钟管脚约束时，需要充分考虑电源完整性，保证电源电压的稳定和噪声抑制。
总之，差分时钟管脚约束在 FPGA 设计中起着关键作用，能够有效保证差分信号的正确传输和处理，提高系统的稳定性和可靠性。
差分约束——精选推荐
while(hh != tt) {
int u = q[hh ++]; if(hh == N) hh = 0;
st[u] = false;
for(int i = h[u]; ~i; i = ne[i]) {
int v = e[i]; if(dist[v] < dist[u] + w[i]) {
dist[v] = dist[u] + w[i]; if(!st[v]) {
Sb >= Sa-1 + c Si >= Si-1 + 0 Si-1 >= Si - 1 因为使用前缀和，所以需要将区间下标映射到[1 , 50001],将0空出来；同时由Si >= Si-1 + 0知，0可以作为源点，使得可以遍历所有的边 代码
#include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int N = 50010 , M = N * 3; int e[M] , ne[M] , w[M] , h[N] , idx; int dist[N] , q[N]; bool st[N]; int n;
因此，可以将求不等式组的可行解转换成在对应图中求单源最短路
Part1.求不等式组的可行解
源点需要满足的条件：从源点出发，一定可以走到所有的边（否则所求结果并未满足全部的约束条件）
步骤
先将每一个不等式xi ≤ xj + ck，转化成一条从xj走到xi,长度为ck的一条边
找一个超级源点，使得该源点一定可以遍历所有边
x = 5 B >= A
以及隐含条件“每个小朋友都能够分到糖果”:
差分约束 方案数
差分约束方案数以差分约束方案数为标题，我们来探讨一下差分约束问题及其解决方案。
差分约束问题（Difference Constraints Problem）是一种常见的数学问题，通常用于描述一系列变量之间的关系。
在实际应用中，差分约束问题广泛应用于路由优化、资源分配、时间调度等领域。
差分约束问题的基本形式是：给定一组变量x1, x2, …, xn，以及一组约束条件，其中每个约束条件都是形如xi - xj ≤ c的不等式，其中xi和xj是变量，c是常数。
问题的目标是求解满足所有约束条件的变量取值。
为了更好地理解差分约束问题，我们来看一个简单的例子：假设有三个变量x1, x2, x3，其中x1和x2的差值小于等于2，x2和x3的差值小于等于3，x1和x3的差值小于等于5。
换句话说，我们可以得出以下三个不等式：x1 - x2 ≤ 2，x2 - x3 ≤ 3，x1 - x3 ≤ 5。
为了求解这个问题，我们可以使用差分约束的图模型来表示。
首先，我们将每个变量看作图中的一个节点，然后根据约束条件，我们在图中添加相应的边。
在上述例子中，我们可以得到如下的图模型：x1 --(2)-- x2 --(3)-- x3在这个图中，每个节点表示一个变量，边上的数字表示约束条件中的常数。
接下来，我们可以使用拓扑排序的算法来解决差分约束问题。
拓扑排序算法的基本思想是通过计算每个节点的入度，然后按照入度的顺序依次将节点加入拓扑序列中。
在差分约束问题中，我们可以使用拓扑排序来确定变量的取值范围。
具体来说，首先我们将所有节点的入度初始化为0，并将所有节点加入一个队列中。
然后，从队列中依次取出节点，更新其相邻节点的入度，并将入度为0的节点加入队列中。
当队列为空时，算法结束。
在这个过程中，我们可以根据拓扑排序的顺序确定变量的取值范围。
回到我们的例子中，我们可以按照以下步骤来求解差分约束问题：1. 初始化变量x1, x2, x3的取值范围为[-∞, +∞]；2. 将x1的入度设为0，并将其加入队列中；3. 从队列中取出x1，更新x2的取值范围为[-∞, +2]，并将x2加入队列中；4. 从队列中取出x2，更新x3的取值范围为[-∞, +5]，并将x3加入队列中；5. 队列为空，算法结束。
cadence6.6差分约束规则
差分对的约束设置第一步，差分对的设置差分对的设置有很多方法，下面介绍两种最常用的方法。
1．点击菜单Logic→Assign Differential Pair... 弹出以下对话框。
点击你想要创建差分对的Net1和Net2,填入差分的名字，点击Add后就成功创建了差分对。
点击Auto Generate按钮后，弹出以下对话框：在第一个输入框填入Net的主要名字后，在下面的框中填入差分线的标志如N，P。
点击Generate即可自动产生差分对。
2.在约束管理器中设置差分对。
在DSN上点击右键，在菜单中选择Create→Differential Pair。
即可弹出下面的对话框。
和上一种方法的设置差不多，这里就不再叙述了。
第二步差分对约束规则的设置差分对各项约束可以在约束管理器中的Electric→Net→routing→Differential Pair中直接在各差分对上填入各项约束数值就可生效，但更好的方法是创建约束规则后赋给各个差分对。
在DSN上点击右键，在菜单中选择Create→Electrical CSet后，弹出下面的对话框;输入规则名后点Ok，在Electric→constraimt set→outing→Differential Pair中可以看到新规则。
在表格中输入各项数值即可完成新规则的设置。
如图所示差分对约束参数主要有以下几个：1coupling paramaters 主要包括了Primary Gap 差分对最优先线间距（边到边间距）。
Primary Width 差分对最优先线宽。
Neck Gap 差分对Neck模式下的线间距（边到边间距），用于差分对走线在布线密集区域时切换到Neck值。
Neck Width差分对Neck模式下的线宽，用于差分对走线在布线密集区域时切换到Neck值。
如图所示设置数值时在表格中右键菜单中选择change，会出现以下各层数值表格，可以在每一层上设置不同的数值。
算法总结---差分约束系统
Contents一、定义二、详解三、例题一、定义（百度百科）：如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，其中每个约束条件形如xj-xi<=bk(i,j∈[1,n],k∈[1,m]),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。
亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。
求解差分约束系统，可以转化成图论的单源最短路径（或最长路径）问题。
观察xj-xi<=bk，会发现它类似最短路中的三角不等式d[v]<=d[u]+w[u,v]，即d[v]-d[u]<=w[u,v]。
因此，以每个变量xi为结点，对于约束条件xj-xi<=bk，连接一条边(i,j)，边权为bk。
我们再增加一个源点s,s与所有定点相连，边权均为0。
对这个图，以s为源点运行Bellman-ford算法（或SPFA算法），最终{d[ i]}即为一组可行解。
例如，考虑这样一个问题，寻找一个5维向量x=(xi)以满足：这一问题等价于找出未知量xi，i=1,2,…,5，满足下列8个差分约束条件：x1-x2≤0x1-x5≤-1x2-x5≤1x3-x1≤5x4-x1≤4x4-x3≤-1x5-x3≤-3x5-x4≤-3该问题的一个解为x=(-5,-3,0,-1,-4)，另一个解y=(0,2,5,4,1)，这2个解是有联系的：y中的每个元素比x 中相应的元素大5。
引理：设x=(x1,x2,…,xn)是差分约束系统Ax≤b的一个解，d为任意常数。
则x+d=(x1+d,x2+d,…,xn+d)也是该系统Ax≤b的一个解。
bellman-ford算法伪代码：for each v V do d[v] <-- 无限大; d[s] <-- 0Relaxationfor i =1,...,|V|-1 dofor each edge (u,v) 属于E dod[v] <-- min{d[v], d[u]+w(u,v)}Negative cycle checkingfor each v 属于V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution在实际的应用中，一般使用SPFA(Shortest Path Fast Algorithm)算法来实现。
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则
引例 国王
原问题转化为一个关于 的不等式组有没 有整数解的问题
如何求解呢？
差分约束系统
差分约束系统
• 差分约束系统：
若一个系统由n个变量和m个约束条件组成， 且每个约束条件有如下形式，则称为一个有n 个变量和m个约束条件的差分约束系统。
差分约束系统
矩阵形式
约束图
约束图
约束图
若存在约束条件 则从 向 引一条边
• 例如，N=6,A0=1,B0=2,L0=3,A1=1,B1=1,L1=2， 则存在一个满足上述所有条件的01串S=010101。
总结
1。寻找部分和
2。构造约束图
总结
3。利用Bellman-Ford求解，若有解则
若将 换为 ，则利用Bellman-Ford求最长路 即可
参考资料
• • • • 算法导论（第二版） NOI1999 SWERC2002 Central Europe 1997
Bellman-Ford
– 如果没有从s可以到达的负权回路，那么 在 |V|-1迭代后对于所有的d[v]有: d[v]=(s,v)
• s v[1] v[2] ... v • 第i次迭代后d[v[i]]= (s,v[i])且不变（引理）
– 如果存在从s可达的负权回路，则一定会 有某个(u,v), d[v]>d[u]+ω(u,v)
• 2。存在负权回路，不妨设为c
差分约束系统
• 如何求最短路呢？
– Dijkstra Bellman-Ford …
Bellman-Ford
for each v V do d[v] ; d[s] 0
Relaxation for i =1,...,|V|-1 do for each edge (u,v) E do d[v] min{d[v], d[u]+w(u,v)} Negative cycle checking for each v V do if d[v]> d[u] + w(u,v) then no solution
国王
稍微修改一下 的定义：
对映，并添加点源自国王• 构约束图，利用Bellman-Ford求解 • 若存在可行解，则数列元素由下式给出：
i=1,2,…,n
区间（SWERC2002）
• 给你n个边界是整数的闭区间 和n个整数 • 所有数在[1,m]内 • 请你找到一个整数集合Z，使得
– 1。|Z|最小 – 2。
差分约束系统
F0403026 李博
引例 国王
• • • • • • 很久以前，在某个国家，王子出生了 但是，王子有一点弱智…… 老国王去世后，王子登基了 但是，大臣们不买王子的账，要弹劾他…… 皇后向ACM班的你求助——只有你才能救他！ 救救孩子啊~~~
引例 国王
引例 国王
我们令
，i=1,2,…,n
区间（SWERC2002）
• 定义:
区间（SWERC2002）
差分约束系统在实际中的应用
x1
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
练习（NOI99 01串）
• 给定7个整数N,A0,B0,L0,A1,B1,L1，要求设计一 个01串S=s1s2…si…sN，满足：
– si=0或si=1，1<=i<=N； – 对于S的任何连续的长度为L0的子串sjsj+1…sj+L01(1<=j<=N-L0+1)，0的个数大于等于A0且小于等于 B0; – 对于S的任何连续的长度为L1的子串sjsj+1…sj+L11(1<=j<=N-L1+1)，1的个数大于等于A1且小于等于 B1;
向每个点引一条边
约束图
结论
• 若图中有负权回路，即 则系统无可行解
• 否则，有可行解，解为
，
引理 三角形不等式
• G = (V, E)是加权有向图,任取一点s，则对 于所有(u,v)∈E,有如下不等式成立：
• 证明：反证法
对结论的证明（1）
1。不存在负权回路 考虑约束条件
有
对结论的证明（2）
Bellman-Ford
• 时间复杂度： O(VE) • 正确性证明：
–引理： d[v] (s,v)
• 数学归纳法 • 迭代前显然正确 • 若迭代时有 d[v] = d[u] +w(u,v)成立，则称 一次成功松弛，按照成功松弛的次数进行 归纳 • (s,v) (s,u)+w(u,v) d[u]+w(u,v) =d[v]