第一章 常用逻辑用语(学生)

【选修1-1】第1课 1.1命题及其关系

一、学习要求

1．了解命题的定义，能判定一个句子是不是命题，并能判断其真假；

2．了解命题的逆命题、否命题、逆否命题，能写出原命题的其他三种命题；

3．能利用四种命题间的相互关系判断命题的真假。

二、先学后讲

1．命题的定义：一般地，把用语言、符号或式子表达的，可判断真假的陈述句叫做命题。2．数学中的命题的常见形式：“若，则”（其中“”是条件，“”是结论）。

3.四种命题及其相互关系

逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题；其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题。

表示形式：若原命题为“若，则”，则逆命题为“若，则”。

例如：若原命题是：“同位角相等，两直线平行”，

则逆命题为：“两直线平行，同位角相等”。

否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫做互否命题；其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题。

表示形式：若原命题为“若，则”，则否命题为“若，则”。

例如：若原命题是：“同位角相等，两直线平行”，

则否命题为：“同位角不相等，两直线不平行”。

逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫做互为逆否命题；若其中一个命题叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆否命题。

表示形式：若原命题为“若，则”，则逆命题为“若，则”。

例如：若原命题是：“同位角相等，两直线平行”，

则逆否命题为：“两直线不平行，同位角不相等”。

4.四种命题间的相互关系

原命题与逆否命题等价（即原命题与逆否命题同真同假）；

逆命题与否命题等价（即逆命题与否命题同真同假）。

【要点说明】

（1）写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题时，关键是分清原命题的条件与结论，然后按定义来写；

（2）判断命题的真假时，要充分发挥原命题与逆否命题、逆命题与否命题的等价性（同真假），可大大简化判断过程。

（3）在对命题的条件和结论进行否定进，不能一概在关键词的前面加“不”，应结合命题研究的对象进行分析。常见词语与它的否定词对照：

三、问题探究

■合作探究

【课本（选修1-1）第页8“习题1.1组”第3题】把下列命题改写成“若，则”的形式，例1．

并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题，然后判断它们的真假：

（1）线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

（2）矩形的对角线相等。

解：（1）命题改写成：

。

逆命题：

否命题：

。

逆否命题：

。

■自主探究

1．命题“若，则”的逆否命题是：。

2.“中，若，则，都是锐角”的否命题是：

。

3.命题“正数的平方等于0”的否命题是：。

四、总结提升

本节课你主要学习了。

五、问题过关

1.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假：

（1）若，都是偶数，则是偶数；

逆命题：。

否命题：。

逆否命题：。

（2）若，则方程有实数根；

逆命题：。

否命题：。

逆否命题：。

（3）弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧；

逆命题：

。

否命题：

。

逆否命题：

。

（4）若或，则；

逆命题：。

否命题：。

逆否命题：。

（5）若，则，全为零。

逆命题：。

否命题：。

逆否命题：。

【选修1-1】第2课 1.2充分条件与必要条件

一、学习要求

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；

2．会判断所给条件是否是充分条件、必要条件、充要条件。

二、先学后讲

1．充分条件、必要条件、充要条件

（1）若，但，则是的充分不必要条件；

（2）若，但，则是的必要不充分条件；

（3）若，且，则是的充分必要条件（即充要条件）；

（4）若，且，则是的既不充分也不必要条件。

三、问题探究

■合作探究

例1．【课本（选修1-1）第12页“习题1.2 组”第3题】下列各题中，是的什么条件：

（1）：，：；（2）：，：；

（3）：，：；

（4）：三角形是等边三角形，：三角形是等腰三角形；

解：（1）∵，即；但或，即，∴是的充分不必要条件。

（2）∵，且，

∴是的充要条件。

（3）∵，且，

∴是的既不充分也不必要条件。

（4）∵三角形是等边三角形三角形是等腰三角形，但三角形是等腰三角形三角形是等边三角形，∴是的充分不必要条件。

■自主探究

1．【课本（选修1-1）第页12“练习”第2题】下列各题中，是的什么条件：（1）：，：；

（2）：，：；

（3）：，：有实根；

（4）：＝是方程的一个根，：。

四、总结提升

本节课你主要学习了。

五、问题过关

1.【课本（选修1-1）第页28“复习参考题组”第3题】已知，，是实数，判断

下列命题的真假：

（1）“”是的充分条件；（2）“”是的必要条件；

（3）“”是的充分条件；（4）“”是的充要条件。

2.下列各题中，是的什么条件：

（1）：，：；

（2）：，：；

（3）：，不全为，：；

（4）：数能被6整除，：数能被6整除。

【选修1-1】第3课 1.3简单的逻辑联结词

一、学习要求

1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义，能判断命题“且”“或”“非”的真假；

2．通过实例体会逻辑联结词“且”“或”“非”在数学中的意义。

二、先学后讲

1．用逻辑联结词“且”“或”“非”构成新命题

（1）“且”：用逻辑联结词“且”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，

记作：，读作：且。

例如：用联结词“且”把两个简单命题：“平行四边形的对角线互相平分”和“平行四边形的对角线相等”联结起来，就构成了一个新命题（复合命题）：“平行四边形的对角线互相平分且相等”。

【要点说明】逻辑联结词“且”与集合的交集中的“且”的含义是一致的，都是“同时（共同）含有”的意思。

（2）“或”：用逻辑联结词“或”把命题和命题联结起来，得到一个新命题，

记作：，读作：或。

例如：用联结词“或”把两个简单命题：“等腰梯形的对角线互相平分”和“等腰梯形的对角线互相垂直”联结起来，就构成了一个新命题（复合命题）：“等腰梯形的对角线互相平分或互相垂直”。

【要点说明】逻辑联结词“或”与集合的并集中的“或”的含义相同，它表示“兼有”，但不必须“兼有”。但它不同于生活中所说的“或”，生活中所说的“或”表示“不兼有”的。

（3）“非”：对一个命题全盘否定，得到一个新命题，

记作：，读作：“非”或“的否定”。

例如：对命题：“空集是集合的子集”全盘否定，得到的新命题是：“空集不是集合的子集”，也就是说“空集不是集合的子集”是命题“空集是集合的子集”的否定形式。

【要点说明】

（1）对一个命题的否定，可联想集合中的“补集”；

（2）要注意“命题的否定”与前面四种命题中的“否命题”的区别：

“命题的否定”只是否定结论，即命题“若，则”的否定是“若，则”；

“否命题”既否定条件又否定结论，即命题“若，则”的否命题是“若，则”。

2.含有逻辑联结词“且”“或”“非”的复合命题的真假的判断：

（1）含联结词“且”（命题）：“同真才真，一假必假”；

（2）含联结词“或”（命题）：“一真必真，两假才假”；

（3）含联结词“非”（命题）：“真假相反”。

三、问题探究

■合作探究

例1．已知命题：若，则；命题：若，则.

写出命题①；②；③；④，并判断其真假。

【分析】。命题是真命题，命题是假命题。

解：命题是真命题，命题是假命题。

①：若，则且。是假命题。

②：若，则或。是真命题。

③∵：若，则不一定大于。是真命题。

∴：若，则且不一定大于。是真命题。

④∵：若，则。是假命题。

∴：若，则或。是假命题。

【点评】在对命题结论进行否定时，不能一概在表示判断的词语前面加上“不”，应结合命题的特点，观察是否存在省略或隐含的关键词，若存在，将命题改写成容易判断的形式，再对命题进行否定。

例如：上述问题中，若把“”写成：“：若，则”，这是错的。因为对于命题来说，当，则不一定正确，它是一个假命题，从而它的否定“”应是真命题；但“若，则”也不一定成立，也是假命题，所以把“”写成：“：若，则”是错的。命题实质是“若，则不一定大于”。

■自主探究

1．已知命题：若实数，满足，则，全为0；命题：若，则.

写出命题①；②；③；④，并判断其真假。

四、总结提升

本节课你主要学习了。

五、问题过关

1.已知命题：函数的图象与轴没有公共点；命题：不等式

无实数解。

写出命题①；②；③；④，并判断其真假。

2.已知命题：，；命题：.写出命题①；②；

③；④，并判断其真假。

3.若命题：0是偶数；命题：2是3的约数.则列命题为真的是（）。

：：：：

4.若命题“”的否定是真命题，则必有（）

：真且真：假且假：真且假：假且真

【选修1-1】第4课 1.4 全称量词与存在量词

一、学习要求

1．理解全称量词、存在量词，会用符号语言表示全称命题、特称命题；

2．能判断全称命题、特称命题的真假，掌握两类命题的判断方法；

3.能对含有一个量词的命题进行正确的否定。

二、先学后讲

1．全称量词与全称命题

短语“任给”“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“”表示。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。

全称命题“对中任意一个，有成立”

读作：“对任意属于，有成立”。

例如：命题“对任意的，是奇数”是一个全称命题，可用符号记为：“，是奇数”。

2.存在量词与特称命题

短语“存在一个”“至少一个”“有一个”“对某个”在逻辑中通常叫做存在量词。用符号“”表示。

含有全称量词的命题，叫做特称命题。

特称命题“存在中的一个，使成立”

读作：“存在一个属于，使成立”。

例如：命题“有一个实数，使”是一个特称命题，可用符号记为：“，”。

3.全称命题与特称命题的常见表述方法：

4.含有一个量词的命题的否定

（1）全称命题：，的否定是：：，。全称命题的否定是特称命题。

例如：全称命题“：对任意，的个位数字不等于3”。

它的否定是：“：，的个位数字是3”。

（2）特称命题：，的否定是：：，。特称命题的否定是全称命题。

例如：全称命题“：有一个素数含有三个正因数”。

它的否定是：“：每一个素数都不含三个正因数”。

【要点说明】

全称命题与特称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，相应的存在量词变为全称量词；具有性质变为具有性质。因此，写命题的否定时：

①要注意确定量词的应用；

②要明确量词的否定形式；

③写出否定形式后要注意判别原命题与命题的否定是否真假相反。

三、问题探究

■合作探究

例1．【课本（选修1-1）第页26“习题1.4 组”第3题】写出下列命题的否定：（1），；（2）所有可以被5整除的数，末位数字都是0；

（3），；（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直。

解：（1）命题的否定：；

（2）命题的否定：；

（3）命题的否定：；

（4）命题的否定：。

例2.【课本（选修1-1）第页26“习题1.4 组”】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：

（1）每条直线在轴上都有截距；（2）每一个二次函数的图象都与轴相交；

（3）存在一个三角形，它的内角和小于；（4）存在一个四边形没有外接圆。

解：（1）命题。命题的否定是：。

（2）命题。命题的否定是：。

（3）命题。命题的否定是：。

（4）命题。命题的否定是：。

■自主探究

1．【课本（选修1-1）第页28“复习参考题组”第6题】写出下列命题的否定：（1）＝；（2）；（3）对任意实数，；

（4）每个正方形都是平行四边形。

四、总结提升

本节课你主要学习了。

五、问题过关

1. 写出下列命题的否定，并判断真假：

（1）自然数的平方大于0；（2），；

（3）所有的正方形都是矩形；（4），；

（5）至少有一个实数，使＝；（6）某些梯形的对角线互相平分。