无失真传输

sgn(t )
1...t 0 1....t 0
he (t ) ho (t ) sgn(t ) ho (t ) he (t ) sgn(t )
sgn(t ) 2 / j , H ( j ) R( j ) jI ( j )
又 h(t ) H ( j ), he (t ) R( j ), ho (t ) jI ( j )
a.e(t ) 2 sin 6t sin 8t b.e(t ) 3 sin 8t 2 sin 14t c.e(t ) 4 sin 14t 3 sin 18 t
( jf )
H ( jf )
2
2
8
fHz
5
10
fHz
a.e(t ) 2 sin 2f1t sin 2f 2 t 2 sin 2 3t sin 2 4t
上面的处理提出几个问题？
• • • • 如何保证信号经过系统不会失真？ 如何根据要求设计系统函数？ 什么系统函数是理想函数？ 如何将设计的理想的系统函数变为物理 可实现的？ • 信号在经过系统前后能量有何变化？ 关键是有什么样的系统频率特性
H ( j) H ( j) e
j ( j )
a. H ( j ) k b. ( j ) t0 n

因果系统的实部被已知的虚部唯一地确定
因果系统的频谱模和相角的关系
H ( j ) H ( j ) e
j ( j )
ln H ( j ) ln H ( j j ( j )
( ) ln H ( j ) d 1 ln H ( j ) ( j ) d
信号与系统的匹配
*信号的占有频带与系统的通频带(频域）
*信号的分解程度与系统的分辨能力(时域)
*信号的信息含量与系统的信息通量(信息)
*信号的能量与负载能量（能量）
等四个 方面的 匹配
音宽与频带
频带宽度
一.无失真传输的条件
e(t )
r (t )
system
时域：r (t ) ke(t t 0 ) 频域：令e(t ) E ( j ), E ( j ) e(t )e
^ ^
H ( j )
1
( j )


1

2
解 : 设H ( j ) e
j ( j )
1
1 1.h(t ) F [ H ( j )] F [ j sgn ] t ^ 1 1 e( ) 2.r (t ) e(t ) * d e(t ) t t
dx
R ( j ) H ( j ) E ( j )
j t 0
t 0
H ( j ) ke
从系统函数的意义上讲：输出仅是输 入的线性放大和延时，则系统不使输 出波形失真
(t )
h(t )
r (t ) K (t t0 )
常用冲激信号作为测试 系统保真度的信号
设因果系统: H ( j ) h(t )
h(t ) he (t ) h0 (t ), h(t ) he (t ) h0 (t )
h(t ) h(t ) h(t ) h(t ) he (t ) , h0 (t ) 2 2
若系统是因果的,则
t 0, h (t ) h(t ) e 2 h (t ) h0 (t ) 2
因果系统的频谱实部和虚部关系 h(t )t 0 h(t ) * u(t ) H ( j ) R( j ) jX ( j )
1 FT[h(t )] FT[h(t )]* FT[u (t )] 2 1 1 H ( j ) * ( ( ) ) 2 j 1 1 [ R( j ) jX ( j )]* ( ( ) ) 2 j R ( j ) 1 2 2 X ( ) X ( 1 d j 2 2
0 0
d 1 /2 t0 0.0312s d 2 8
b. f1 4 Hz, f 2 7 Hz 信号产生了幅度失真。 c. f1 7 Hz, f 2 9 Hz 信号产生了相位失真。 * .群延时和相位延时
它 是 系 统 对 给 定 角 频 率 i的 简 谐 信 号 所产生的延时。
e(t ) E H ( j ) E ( j )[ j sgn ]
^
E ( j )
H ( j )
e e
j

2
j, 0 j, 0
j

2
EH ( j )
*Hilbert变换就是移相。 *Hilbert反变换
^ 1 e(t ) e(t ) , e(t ) E ( j ), e(t ) E H ( j ) t ^

t0
jt
dt
R( j )


ke(t t
0
)e
jt
dt
令x t t 0 R ( j ) ke
jt 0
ke ( x ) e
j ( x t 0 )
H ( j )
dx
( j )

e ( x ) e
jx

R ( ) d

R( j )
X ( j )
分别比较上式两边的部 实和虚部得 : 1 R ( ) X ( ) H . X ( )

X ( )
1

R ( ) H .R ( )
结 论 :任 何 物 理 可 实 现 系 统 是 都因 果 系 统 , 即 冲 激 响 应 都 是 因 果数 函,因 此 其 频 率 的 实 部 和 虚 部 都 存 在 希 尔特 伯变 换 关 系 。
及e
j ( 0 ) t
同时
作用于频响特性为H ( j ) e
j H ( )
的系统中
y(t ) e
j (0 )t j (0 )
e
e
j (0 ) j (0 )
e
e
j[(0 )t ( 0 )]
h(t ) 0...t 0
下式带入上式；
h( t ) 0..t 0
h ( t ) he (t ) 2 h(t ) 2h (t ) 2h (t ) h ( t ) h0 (t ) 2
e 0
t 0,
he (t )
ho (t )...... t0 ho (t )...t 0
f1 3Hz.E1m 2 0 , H 1 2
0
/ 2 3 0 H1 3 33.8 8 16 0 0 H 1 2 33.8 , R1m E1m H 1 4 33.8 f 2的响应算法同上。 r (t ) 4 sin(6t 33.8 ) 2 sin(8t 45 )
0
方 向 移 动 。 这 就 很 自地 然回 到 了 原 信 号 的 相 位 关 系 ， 从 而 得 到 了信 原号 。 (为 一 可 逆 系 统 )
*.Hilbert变换的计算
1.求f (t ) cos 0 t的Hilbert变换。 1 1 1 f (t ) f (t ) cos 0 (t ) d sin 0 t t 2.求f (t ) (t )的Hilbert 变换。 ^ 1 1 (t ) (t ) * t t
j ( 0t 0 )
e
j[(0 ) (0 )]
j ( t )
e [e e 1 j ( 0 0 ) cos(t )e 2
j ( t )
]
1 cos(t )e 2
0 j 0 ( t ) 0
*.即时系统,匹配的高频传输线。
U Ee
.
.
L
e
jL
H ( j ) e e
al jl
L ( ) L t0 VP L t0 Vp
二.振幅失真和相位失真
由H（j) k不能满足而产生的失真 . 1.振幅： 2.相位由 : （j ) t0不能满足而引起的失真 *.系统的幅频特性和相频特性如图所示,当激 励为如下三种信号时,求各自的响应;讨论失真 情况.
( ) 相位延时 :tp
d ( ) 群 延 时: t g d ( p 290.倒 数 第 二 个 自 然 段 ） 表示一个载波信号的络 包的 延 时(一 定 带 宽 一 组 频 率 成 份的延时）。
.设有两个复数信号e ,求其响应y (t ) ?
j ( 0 ) t
R( y ) 1 I ( j ) dy ; R ( j ) y 2.结论:
1

I ( y) dy y

a.若H(jw)的实部和虚部满足Hilbert变换
则系统是因果的。反之亦然。
若 H ( j ) H ( j ) e b. 波特关系式
j ( j )
1 例: h(t ) e u (t ) H ( ) j
t
1 R( ) jX ( ) 2 j 2 2 2 j
1 可以证明: X ( ) R( ) t
Hilbert Transform
X ( ) R ( j ) d 1 R ( ) X ( j ) d 1
^
3.求 f (t ) cos 0 tHilbert的反变换。 1 1 1 f (t ) cos 0 t cos 0 (t ) d sin 0 t t
^
（Hilbert）