《二次根式》专题.doc
二次根式专题训练。(完整版)
二次根式专题训练。
(完整版)二次根式专题训练一、最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
例1：下列根式中最简二次根式的个数有（）3xy^2.y^2ab。
22/33.5(a-b)。
75xy。
x+y。
2x。
5c^2/2A。
2个 B。
3个 C。
4个 D。
5个二、同类二次根式：含有相同最简二次根式的一类二次根式。
例2：下列根式中，与3是同类二次根式的是（）A。
24 B。
12 C。
3 D。
18例3：如果最简二次根式3a-8与17-2a是同类二次根式，则a=_____三、二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即a≥0②二次根式a是非负数，即a≥0例4.要使(3-x+1)/(2x-1)有意义，则x应满足（）．A。
≤x≤3 B。
x≤3且x≠ C。
＜x＜3 D。
＜x≤3例5.（1）化简x-1+1-x=_______．2)若x-1-1-x=(x+y)^2，则x－y的值为()A。
-1 B。
1 C。
2 D。
3例6.(1)若a、b为实数，且满足|a-2|-b^2=0，则b-a的值为( )A。
2 B。
-2 C。
0 D。
以上都不是2)已知x,y是实数，且(x+y-1)与2x-y+4互为相反数，求实数y的负倒数。
四、二次根式的运算常考公式：⑴a×b=a×b(a,b≥0)⑵a/b=a/(a≥0,b>0)⑶a^2=a=a(-a)⑷(a)^2=a(a≥0)例7.(1)下列运算正确的是（）．A。
6/a^2=3a^2 B。
-2√3=(-2)^2×3C。
a^1/a=a D。
18-8=22)下列各式计算正确的是（）．A。
m^2×m^3=m^6 B。
16^(1/4)=16×(1/3) C。
32+3√3=2+3 D。
(a-1)/(a+1)=(a-1)/(a+1) 3)下列等式成立的是（）1/(1-a)=-1/(1-a)^2=-1-a/(1-a)A、a^2+b^2=a+bB、a-b=-ab/aC、a/a=1D、-a^2b^2=-ab/b^2例8．（1）若a<0，化简a-3-a^2=______.2）若整数m满足条件(m+1)^2=m+1且m<25，则m的值是．。
(完整版)《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析
《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简=．14．计算的结果是．15．计算： +=．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为；点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的范围，再估算的范围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，，解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选：D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0），∴（﹣a）2+b（﹣a）+a=0，又∵a≠0，∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义，分析问题的方向比较明确，就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系，得到关于a，b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c）2﹣4（a+b）2=4[c2﹣（a+b）2]=4（a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）A．12%+7%=x% B．（1+12%）（1+7%）=2（1+x%）C．12%+7%=2•x%D．（1+12%）（1+7%）=（1+x%）2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解：若设2015年的国内生产总值为y，则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y（1+x%）或y（1+12%），所以1+x%=1+12%，今年的国内生产总值：y（1+x%）2或y（1+12%）（1+7%），所以（1+x%）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是（）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以；B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了；C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了；D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误；B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（）A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：（1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时，方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根；②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5）≥0，∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得：a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴（x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1）=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单，选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4），根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12，由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=|k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．二、填空题13．化简=0．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0，x﹣1≥0，∴x﹣1=0，∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是4．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解：==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： +=3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解：原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为1．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解：∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=（m+n）2=（﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可．【解答】解：根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如（y﹣1）（y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是13．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m（需注意m的值应符合此方程的根的判别式）；然后再代值求解．【解答】解：由题意，得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2，即m2=7+2（2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4（2m﹣1）=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3；∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后，一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意，以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k=﹣3．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0，∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式；=|a|；=•（a≥0，b≥0）等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC的面积为1，则k的值为1；点E的坐标为（+，﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】（1）根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1，得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式；（2）由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解：∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC的边长为1．∴B点坐标为：（1，1），设反比例函数的解析式为y=；∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a），代入反比例函数y=（x＞0）得：1=（1+a）a，又a＞0，解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想，利用xy=k得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半，则方程的左边就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方，，由此可得，∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式；勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞，∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明（1），再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3，求m的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】压轴题．【分析】（1）一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，△≥0，把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3，先求x1、x2，再求m．【解答】解：（1）∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根，∴△=（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m，解方程组，解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式；一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m 的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1）x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）]2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；（2）∵x1，x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2（m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答（2）题的关键．。
二次根式基础专题
二次根式二次根式的性质1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数．2、()()a a a 20=≥．3. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a a a 20=≥的区别与联系（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 最简二次根式：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式． 同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。
分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：① a =b a -与b a -等分别互为有理化因式。
② ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a +a例．写出一个无理数，使它与32的积为有理数_____________； 分母有理化的方法与步骤： 先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
二次根式的乘除1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
二次根式的加减需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
专题06 二次根式篇(解析版)
专题06 二次根式考点一：二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义：形如()0≥aa的式子叫做二次根式。
2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。
即a中，0≥a。
1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•广州）代数式11+x有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．3．（2022•贵阳）代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ．5．（2022•雅安）使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4-x x 有意义，则x 的取值范围为 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义，∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．考点二：二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质：①二次根式的双重非负性：二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。
专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类(解析版)
专题02 《二次根式》计算、解答题重点题型分类专题简介：本份资料专攻《二次根式》中“二次根式的性质与化简”、“二次根式的乘除法”、“二次根式的加减法”、“二次根式的混合运算”、“二次根式的化简求值”计算、解答题重点题型；适用于老师给学生作复习培训时使用或者考前刷题时使用。
考点1：二次根式的性质与化简方法点拨：（1）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．（2）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．1．化简：（1（2（3（4（50,0)>>a b【答案】（1）（2）（3）（4）13；（5）2【分析】先将被开方数进行因数分解或因式分解，再应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来即可．【详解】解：（1===（2===；（3===；（413===；（52=【点睛】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关求解方法．2．已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：【答案】0【分析】由三个数在数轴上的位置即可确定它们的符号及大小关系，从而可确定a －b 及c －a 的符号，最后可化简绝对值与二次根式，从而可求得结果．【详解】由数轴知：0c b a<<<∴0a b ->，0c a -<＝－b －（a －b ）－（c －a ）－（－c ）＝－b －a ＋b ＋a －c ＋c＝0【点睛】本题考查了算术平方根的性质、绝对值的化简、数轴上数的大小关系等知识，注意：当a 为负数a ．3．已知实数a ，b【答案】1a b +-【分析】根据题意得：2,b 2a >-< ，可得20,30a b +>-< ，然后根据二次根式的性质化简原式，即可求解．【详解】解：根据题意得： 2,b 2a >-< ，∴20,30a b +>-< ，23a b =+--()23a b =++-1a b =+- ．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，有理数的大小比较，根据题意得到2,b 2a >-< 是解题的关键．4．已知130a -£-£+．【答案】5【分析】先解不等式组可得23,a ££则有10,40,a a +>-<再化简二次根式即可得到答案.【详解】解：130a -£-£Q ，23,a \££10,40,a a \+>-<4-14 5.a a =++-=【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，二次根式的化简，解本题的关键是得到“10,40a a +>-< ”.5．阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一====1===以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1 （2【答案】（2【分析】（1（2）根据分母有理化的步骤进行化简，即可求解．（2【点睛】本题主要考查了分母有理化，明确题意，理解分母有理化的步骤是解题的关键．6a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==0)a b ==>>.，这里7m =，12n =，由于437+=，4312´=，所以22+==，2===（1（2（3【答案】（11+；（2（3【详解】解：（1）∴4m =，3n =，∵314+=，313´=，∴224+==，1===；（2），∴13m =，42n =，∵7613+=，7642´=，∴2213+===∴8m =，15n =，∵358+=，3515´=，∴228+=====【点睛】本题考查了二次根式的化简，根据题中的范例把根号内的式子整理成完全平方的形式是解答此题的关键．7这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平1====；再如：==请用上述方法探索并解决下列问题：（1=，=；（2）若2()a m+=+，且a，m，n为正整数，求a的值．【答案】（13；（2）a的值为46或14【分析】（1）根据题意利用完全平方公式和二次根式的性质进行求解即可；（2）由222()5a m m n+==++，可得225a m n=+，62mn=，则3mn=，再根据a，m，n为正整数，可得1m=，3n=或3m=，1n=，由此求解即可．【详解】解：（1===3===-．3-；（2）∵222()5a m m n+==++，225a m n\=+，62mn=，∴3mn=又∵a，m，n为正整数，1m\=，3n=或3m=，1n=，∴当1m=，3n=时，2215346a=+´=；当3m=，1n=时，2235114a=+´=．综上所述，a的值为46或14．【点睛】本题主要考查了完全平方公式和二次根式的性质化简，解题的关键在于能熟练掌握完全平方公式．8．（阅读材料）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（12．善于思考的小明进行了以下探索：若设a +=（m +）2＝m 2+2n 2+2a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把类似a +法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（问题解决）（1）若a +=（m +2，当a 、b 、m 、n 均为整数时，则a ＝ ，b ＝ ．（均用含m 、n 的式子表示）（2）若x =（m +2，且x 、m 、n 均为正整数，分别求出x 、m 、n 的值．（拓展延伸）（3= ．【答案】（1）m 2+5n 2，2mn ；（2）当m =1，n =2时，x=13；当m =2，n =1时，x =7；（3．【分析】（1）利用完全平方公式展开可得到用m 、n 表示出a 、b ；（2）利用（1）中结论得到4＝2mn ，利用x 、m 、n 均为正整数得到12m n =ìí=î或21m n =ìí=î，然后利用x ＝m 2+3n 2计算对应x 的值；（3）=m +，两边平方(25m +=+，可得22651m n mn ì+=í=î消去n 得42560m m -+=，可求m【详解】解：（1）设a +m +2＝m 2+5n 2+2a 、b 、m 、n 均为整数），则有a ＝m 2+5n 2，b ＝2mn ；故答案为m 2+5n 2，2mn ；（2）∵(22232x m m n +=+=++∴4＝2mn ，∴mn ＝2，∵x 、m 、n 均为正整数，∴12m n =ìí=î或21m n =ìí=î，当m ＝1，n ＝2时，x ＝m 2+3n 2＝1+3×4＝13；当m ＝2，n ＝1时，x ＝m 2+3n 2＝4+3×1＝7；即x 的值为为13或7；（3=m +，∴(25m +=+，∴226522m n mn ì+=í=î，∴1n m=，22165m m æö+=ç÷èø，∴42560m m -+=，∴（m 2-2）（m 2-3）=0，∴m,m∴n =n =．∴m n ìïíïîm nìïí=ïî====．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．一元高次方程，二元方程组，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．1．计算（1）（2；（3；（4【答案】（1）12；（2（3）34；（4）【分析】（1）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（2）根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（3）先化简二次根式，根据二次根式乘除运算法则从左到右顺序计算即可；（4）根据二次根式除运算法则转化为乘法计算，再化简即可．【详解】解：（1）原式==12；（2）原式=64（3）原式=´´=34；（4）原式=【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2．若y =+【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得不等式组，根据解不等式组，可得x ，根据x 的值可得y的值，再根据二次根式的除法，可得答案．2x -3≥0,3-2x ≥0，即x =32，y=【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的被开方数是非负数得出不等式组是解题关键．3==的值．【答案】4【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；2=+2==原式===+224==；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．4．若99a和b ，求4312ab a b ---的值【答案】37-【分析】先求出99a ，b 的值，再代入求值即可．【详解】∵34∴12，95，∴99，995=4，∴a =3，b=4∴原式=3）（443）-3（4-12-13﹣12-=37-．【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数都可以写成整数部分+小数部分的形式，从而得到小数部分＝这个无理数﹣整数部分，这是解题的关键．5．（13=，求a的值；（2能够合并，求a的值，并求出这两个二次根式的积．【答案】（1）a=7；（2）a=8，两个二次根式的积为5．【分析】（1）两边同时平方得关于a的方程，求解即可；（2）根据同类二次根式的意义可求出a的值，从而确定二次根式，进一步得出答案．【详解】解：（1）3=∴a+2=32解得a=7（2=能够合并=解得a=8∴5=.【点睛】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．6．如图，从一个大正方形中裁去面积为215cm和224cm的两个小正方形，求留下部分的面积．【答案】2【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，进而可得大正方形的边长，再利用大正方形的面积减去两个小正方形的面积列式计算即可求得答案．【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为215cm和224cm，∴=，∴∴留下部分（即阴影部分）的面积是21524--152241524=++--=2)cm =，答：留下部分的面积为2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．7．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和线段ST ，我们定义点P 关于线段ST 线段比()()PS PS PT ST k PTPS PT ST ì<ïï=íïïî…．已知点(0,1)A ，(1,0)B ．（1）点(2,0)Q 关于线段AB 的线段比k = ；（2）点(0,)C c 关于线段AB的线段比k =c 的值．【答案】（1（2）3c =或c =．【分析】（1）求出QA 、QB 、AB ，根据线段比定义即可得到答案；（2）方法同（1），分0c >和0c …讨论．【详解】解：（1）∵(0,1)A ，(1,0)B ，(2,0)Q ，∴AB =QA ，1QB =，根据线段比定义点(2,0)Q 关于线段AB的线段比QB k AB ==；；（2）∵(0,1)A ，(1,0)B ，(0,)C c ，∴AB =|1|AC c =-，BC =2212AC c c =+-，221BC c =+，当0c >时，22AC BC <，即AC BC <，由(0,)C c 关于线段AB的线段比k =，解得3c =或1c =-（舍去），∴3c =，当0c …时，22AC BC …，即AC BC …，由(0,)C c 关于线段AB 的线段比k ==，解得c =c =，∴c =综上所述，点(0,)C c 关于线段AB 的线段比k 3c =或c =【点睛】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是读懂线段比的定义，找出“临界点”列不等式．8．先阅读下面的解题过程，然后再解答：a ，b ，使a b m +=，ab n =，即22m +=，=)a b ==>7m =，12n =因为437+=，4312´=即227+=所以2===根据上述方法化简：（1（2【答案】（1（2【分析】根据a b m +=，ab n =，即22m +==代入计算即可；【详解】（1）根据题意，可知13m =，42n =，因为6713+=，6742´=，即2213+=====（2）根据题意，可知8m =，15n =，因为538+=，5315´=即228+===【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，准确计算是解题的关键．9．材料1：因为无理数是无限不循环小数，所以无理数的小数部分我们不可能全部写出来．比如：π等，而常用的“…”或者“≈”的表示方法都不够百分百准确．材料2：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以看成是2.5−2得来的．材料3：任何一个无理数，都夹在两个相邻的整数之间，如23<<<<．根据上述材料，回答下列问题：（1的整数部分是，小数部分是．+的值．（2）5+5<<，求a ba b（3）已知3x y=+，其中x是整数，且0＜y＜1，求x+4y的倒数．【答案】（1）44-；（2）13；（3【分析】（1的整数部分和小数部分；（2（3的整数部分，得到x的值，从而表示出y，求出x+4y的结果，再求x+4y的倒数即可．【详解】解：（1）<∴45<，的整数部分是4，故答案为：44；（2）<<，∴12<，∴67<<，∵5<<，a b∴a=6，b=7，∴a+b=13；（3）∵12，∴1+3＜2+3，∴4＜5，∴x=4，y1，x+4y）∴x+4ya≥0）的无理数的整数部分时，常用的方法是“夹逼法”，其依据是平方和开平方互为逆运算．在应用“夹逼法”估算无理数时，关键是找出位于无理数两边的平方数，则无理数的整数部分即为较小的平方数的算术平方根．1+（2）()14---．【答案】（1）；（2【分析】（1）先化简二次根式，然后再进行二次根式的加减运算；（2）根据绝对值、化简二次根式、立方根可直接进行求解．【详解】解：（1）原式=+（2）原式134+【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．2．计算或化简下列各题：（1）2021(1)(+--；（2）【答案】（1）1-；（2．【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则计算即可；（2）去掉绝对值符号，根据二次根式的加减运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝(1)-+＝1；（2）解：原式==【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．3．先化简再求值：当a =时，求a【答案】21,1a -【分析】本题应先根据二次根式的性质把原式进行化简，再将a 的值代入即可求解．【详解】解：当a a -1＞0，∴原式=a =a +(a -1)=2a ﹣1∴原式1．故答案为：2a ﹣1；1【点睛】本题考查了二次根式的性质化简求值，熟知二次根式的性质是解题的关键．4．已知【答案】2y-【分析】先根据已知条件判断出0y < ，30x -£ ，再根据0y < ，3x £ 化简即可．【详解】解：0=<Q ，0y \< ，30x -£ ，3x \£ ，=413x y x =-+---413x y x =-+--+2y =- ．5．嘉琪准备完成题目“计算：（）﹣”时，发现“■”处的数字印刷不清楚，（1）他把“■”处的数字猜成6，请你计算（）﹣（2）他妈妈说：“”通过计算说明原题中“■”是几？【答案】（1）0；（2）原题中“■”是152【分析】（1）先去括号，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；（2）将原式进行整理，设“■”为m【详解】解：（1）（﹣）﹣＝＝0；（2）设“■”为m ，-=，解得：152m =，∴原题中“■”是152．【点睛】本题考查了二次根式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．阅读下列内容：因为139<<，所以13<<11．试解决下列问题：（1的整数部分和小数部分；（2）若已知8+a ，8的整数部分是b ，求34ab a b -+的值．【答案】（1的整数部分是33-；（2）34ab a b -+13．【分析】（1的大小即可；（2，a 、b 的值，代入计算即可．【详解】解：（1）∴3＜4，的整数部分是3-3；（2）∵34，∴11＜12，∴a ，∵34，∴-4＜-3，∴4＜5，∴b =4，∴ab -3a +4b=）×4-3×）+4×4，答：ab -3a +4b ．【点睛】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是解决问题的前提，求出a 、b 的值是正确解答的关键．7111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+．（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想．（2）请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）．【答案】（1）111441+-+，1120，1119+2）11(1)n n ++【分析】（11120的结果为11380；（2）第n 1与1n(n 1)+的和．【详解】解：（11111144120=+-=+；1111119191380=+-=+；故答案是：111441+-+，1120，11119191+-+，11380；（2）通过观察等式右边为1与1n(n 1)+的和，故第n 11(1)n n =++．【点睛】本题考查了二次根式的加减法：解题的关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．8．观察下列一组等式，解答后面的问题：=﹣1，==应用计算：（1（2＝ ；（3+LL＝ ．【答案】（1（2（310【分析】（1），然后利用平方差公式计算；（2）利用题中的计算结果和（1）小题的计算结果找出规律求解；（3）先分母有理化，然后合并即可．【详解】解：（1=（2、（3...+10．10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法是解决问题的关键．考点4：二次根式的混合运算方法点拨：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的； (2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用； (3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.1．计算：（1）3）（−5）（2））（3）（）×（4）（）2018×（3）2018【答案】（1）2）2（3）-30（4）12．已知1x=+，求代数式229-+的值．x x【答案】11．【分析】先将代数式配方，然后再把1x =+代入要求的代数式中进行求解即可．【详解】解： ()222918x x x -+=-+当1x =时，原式)21183811=-+=+=．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式和二次根式的混合计算法则．3．如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，点A 所表示的数为，设点B 所表示的数为m ．（1）求m 的值；（2）求|m ﹣1|＋（2）（4﹣m ）的值．【答案】（1）2m =（21【分析】（1）根据一只蚂蚁从点A 沿数轴向右爬行2个单位长度到达点B ，可得2AB =，再由点A 表示的数为B 表示的数为m ，即可得到(2m -=，由此求解即可；（2）根据（1）求出的结果，代入m 的值，根据实数的混合计算法则求解即可．【详解】解：（1）由题意得：2AB =，∵点A 表示的数为，点B 表示的数为m ，∴(2m -=，∴2m =-；（2）∵2m =-∴(()124m m -+--(21242=--+-(122=-+-142=-+-1．【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的混合运算，平方差公式，解题的关键在于能够根据题意求出2m =4．某居民小区有块形状为长方形ABCD 的绿地，长方形绿地的长BC AB长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分）1）米．（1）长方形ABCD 的周长是 米；（2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m 2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果均化为最简二次根式）【答案】（1）（2）600元【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可；（2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案.（1）解：Q 长方形绿地的长BC AB\ 长方形ABCD 的周长为：(2=2答：长方形ABCD 的周长为：米.故答案为：（2)11-131=-+ =11212100,-=Q 通道要铺上造价为6元/m 2的地砖，则购买地砖需要花费：1006600´=，答：购买地砖需要花费600元.【点睛】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的的化简与运算是解本题的关键.5．阅读下列材料，然后回答问题这样的式子，我们可以将其分母有理化：1====；1====-．（1（2【答案】（12）1【分析】（1）法一：原式==（2）：原式=（1=；===；（2）解：原式=+=+=．1【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化，二次根式的加法运算，平方差公式等知识．解题的关键在于正确的将分式中的分母有理化．6．在初、高中阶段，要求二次根式化简的最终结果中分母不含有根号，也就是说当分母中有无理数时，要将其化为有理数，实现分母有理化．比如：（1==．（21试试看，将下列各式进行化简：（1（2（3【答案】（11；（3）2【分析】（1）根据第一个例子可以解答本题；（2）根据第二个例子和平方差公式可以解答本题；（3）根据第二个例子和平方差公式把原式化简，找出式子的规律得出结果即可．【详解】解：==；（211++¼+，1，＝3－1＝2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化和平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法．7．阅读下列材料，然后回答问题：在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下方法将其进一步1===，化简：（1）（2）【答案】（1（2【分析】（1）利用分母有理化的形式进行化简；（2，然后分母有理化，最后进行二次根式的乘法运算．【详解】解：（1===；L（2+=L2=L==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和平方差公式是解决问题的关键．81====．==2根据以上解法，试求：（1n为正整数）的值；（2×××【答案】（1（2）9【分析】（1）由题意根据材料所给出的解法进行分析计算求解即可；（2）根据题意直接依据材料所给出的解法得出规律进行计算即可.【详解】解：（1==；（2×××1=×××110=-+9=.【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键.考点5：二次根式的化简求值方法点拨：（1）数形结合法：用坐标轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标。
二次根式计算专题30题(教师版含答案解析)
试题解析：
0
+1123123313．
考点：二次根式的化简．
10．计算：
83
1
3
0.5
3
4
33
【答案】3
2
22
【解析】
．
试题分析：先化成最简二次根式,再进行运算．
试题解析：原式=
2333
223=23
2222
．
考点：二次根式的化简．
11．计算：
（1）
271245
1
3
（2）
0
2014
1182014223
3
28
3
323
14
3
．
考点：二次根式运算．
6
4．计算：3623
2
【答案】22.
【解析】
试题分析：先算乘除、去绝对值符号,再算加减.
试题解析：原式=32332
=22
考点：二次根式运算.
5．计算：2183(32)
【答案】33．
【解析】
试题分析：先将二次根式化成最简二次根式,再化简．
试题解析：2183(32)=23233633．
考点：二次根式化简.
2
14．计算(3248)12
3
【答案】
26
-+.
23
试卷第4页，总10页
完美WORD格式
【解析】
试题分析：先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.
试题解析：
2
(3-24 +8)?12(6-26+22) ?23(22-6) ?23
3
26
=-+
23
考点:二次根式的混合运算.
二次根式计算专题——30题(教师版含答案)
考点：1．实数的运算；2．二次根式的加减法． 22．计算与化简
（1）
27 3
0
3
3
（2） (3 5)2 (4 7)(4 7)
【答案】（1） 2 3 1 ；（2） 6 5 5 .
【解析】 试题分析：（1）将前两项化为最简二次根式，第三项根据 0 指数幂定义计算，再合并 同类二次根式即可；（2）应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类二次根式即 可.
3
6 2
3 2
【答案】0. 【解析】 试题分析： 根据二次根式运算法则计算即可.
试题解析： 12
2
36 2
3 2
2
63 2
61 2
6 0.
考点：二次根式计算.
9．计算： +10 12 3 .
【答案】1 3 ．
【解析】 试题分析：任何非零数的零次方都为 1，负数的绝对值等于它的相反数，再对二次根 式进行化简即可．
50 32
16．化简：（1）
8
（2） ( 6 2 15) 3 6 1 2
【答案】（1） 9 ；（2） 6 5 ． 2
【解析】 试题分析：（1）先去分母，再把各二次根式化为最简二次根式，进行计算； （2）直接利用分配律去括号，再根据二次根式乘法法则计算即可．
5
试题解析：（1）原式=
24
考点：1.根式运算 2.幂的运算
24．计算： 3 8 3 2 25 2
【答案】0 【解析】 试题分析：先根据立方根的性质、绝对值的规律、二次根式的性质化简，再合并同类 二次根式即可.
解：原式= 2 3 2 5 2 =0.
(完整版)《二次根式及一元二次方程》专题练习含解析
《二次根式及一元二次方程》一、选择题1．估算的值( ）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间2．要使+有意义，则x应满足（）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤33．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a(a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b4．已知a，b，c分别是三角形的三边，则方程（a+b）x2+2cx+(a+b)=0的根的情况是( ）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12％，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7％，若这两年GDP年平均增长率为x％，则x％满足的关系是( ）A．12％+7%=x% B．（1+12%）(1+7%）=2(1+x%）C．12%+7％=2•x％D．(1+12%)（1+7％）=（1+x%）26．下列各式计算正确的是（）A．B．(a＜1）C．D．7．关于x的方程(a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（)A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠58．设a,b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．20169．方程（x﹣3）（x+1)=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=010．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（)A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c12．如图，已知双曲线y=(k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4)，则△AOC的面积为( ）A．12 B．9 C．6 D．4二、填空题13．化简= ．14．计算的结果是．15．计算： += ．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，则m2+2mn+n2的值为．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：．（答案不唯一）20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则（x1﹣x2）2的值是．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m)2+k的形式,其中m,k为常数，则m+k= ．22．将根号外面的因式移进根号后等于．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC 的面积为1，则k的值为;点E的坐标为．三、解答题24．计算：．25．用配方法解方程:2x2+1=3x．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=,且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1）若方程有两个实数根,求m的范围；(2）若方程的两个实数根为x1，x2,且x1+3x2=3，求m的值．28．已知关于x的一元二次方程x2=2(1﹣m）x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．《二次根式及一元二次方程》参考答案与试题解析一、选择题1．估算的值（）A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间【考点】估算无理数的大小．【专题】应用题．【分析】首先利用平方根的定义估算31前后的两个完全平方数25和36，从而判断的范围，再估算的范围即可．【解答】解：∵5＜＜6∴3＜＜4故选C．【点评】此题主要考查了利用平方根的定义来估算无理数的大小，解题关键是估算的整数部分和小数部分．2．要使+有意义,则x应满足( ）A．≤x≤3 B．x≤3且x≠C．＜x＜3 D．＜x≤3【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得,,解不等式①得，x≤3，解不等式②的，x＞，所以，＜x≤3．故选:D．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．已知方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a(a≠0），则下列代数式的值恒为常数的是（）A．ab B．C．a+b D．a﹣b【考点】一元二次方程的解．【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x=﹣a代入方程，即可求解．【解答】解：∵方程x2+bx+a=0有一个根是﹣a（a≠0）,∴(﹣a)2+b（﹣a）+a=0,又∵a≠0,∴等式的两边同除以a，得a﹣b+1=0，故a﹣b=﹣1．故本题选D．【点评】本题考查的重点是方程根的定义,分析问题的方向比较明确,就是由已知入手推导、发现新的结论．4．已知a，b，c分别是三角形的三边,则方程（a+b)x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根【考点】根的判别式；三角形三边关系．【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．能够根据三角形的三边关系,得到关于a,b，c的式子的符号．【解答】解：∵△=（2c)2﹣4(a+b）2=4［c2﹣(a+b）2]=4(a+b+c）（c﹣a﹣b），根据三角形三边关系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴该方程没有实数根．故选A．【点评】本题是方程与几何的综合题．主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对(2c）2﹣4（a+b）（a+b）进行因式分解．5．武汉市2016年国内生产总值（GDP）比2015年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2016年增长7％，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x％满足的关系是（）A．12%+7%=x％B．（1+12％）（1+7％）=2（1+x％）C．12%+7%=2•x％D．(1+12%)（1+7％）=（1+x％)2【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率)，然后用平均增长率和实际增长率分别求出今年的国内生产总值，由此可得到一个方程，即x%满足的关系式．【解答】解:若设2015年的国内生产总值为y,则根据实际增长率和平均增长率分别得到2010年和今年的国内生产总值分别为：2016年国内生产总值：y(1+x％）或y（1+12％），所以1+x%=1+12％,今年的国内生产总值：y（1+x％)2或y（1+12％）（1+7%）,所以（1+x％）2=（1+12%）（1+7%）．故选D．【点评】本题主要考查增长率问题，然后根据增长率和已知条件抽象出一元二次方程．6．下列各式计算正确的是( ）A．B．（a＜1）C．D．【考点】二次根式的混合运算；立方根．【分析】A、根据二次根式的乘法运算法则的逆运算直接计算就可以;B、由条件可以判断出原式为负数再将根号外面的数移到根号里面化简求解就可以了;C、先将被开方数进行乘方运算再合并最后化简就可以了;D、先进行分母有理化，再进行合并同类二次根式就可以了．【解答】解：A、≠，本答案错误;B、（a＜1），本答案正确；C、，本答案错误；D、==4≠2，本答案错误．故选B．【点评】本题考查了二次根式的乘、除、加、减混合运算的运用及立方根的运用，在结算时注意运算的顺序和运算的符号是解答的关键．7．关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，则a满足（)A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5【考点】根的判别式．【专题】判别式法．【分析】由于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根，那么分两种情况：(1）当a﹣5=0时，方程一定有实数根；（2）当a﹣5≠0时，方程成为一元二次方程,利用判别式即可求出a的取值范围．【解答】解：分类讨论：①当a﹣5=0即a=5时,方程变为﹣4x﹣1=0，此时方程一定有实数根;②当a﹣5≠0即a≠5时，∵关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1=0有实数根∴16+4（a﹣5)≥0,∴a≥1．∴a的取值范围为a≥1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根;当△＜0，方程没有实数根；切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A．2014 B．2017 C．2015 D．2016【考点】根与系数的关系;一元二次方程的解．【专题】压轴题．【分析】由于a2+2a+b=（a2+a）+（a+b），故根据方程的解的意义，求得（a2+a）的值，由根与系数的关系得到（a+b）的值，即可求解．【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2016=0的根，∴a2+a=2016；由根与系数的关系得:a+b=﹣1，∴a2+2a+b=（a2+a)+（a+b）=2016﹣1=2015．故选：C．【点评】本题综合考查了一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，要正确解答本题还要能对代数式进行恒等变形．9．方程（x﹣3）（x+1）=x﹣3的解是（）A．x=0 B．x=3 C．x=3或x=﹣1 D．x=3或x=0【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】此题可以采用因式分解法，此题的公因式为（x﹣3），提公因式，降次即可求得．【解答】解：∵（x﹣3）（x+1）=x﹣3∴(x﹣3）（x+1）﹣（x﹣3）=0∴（x﹣3）（x+1﹣1)=0∴x1=0，x2=3．故选D．【点评】此题考查了学生的计算能力，注意把x﹣3当作一个整体，直接提公因式较简单,选择简单正确的解题方法可以达到事半功倍的效果．10．方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为（）A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定【考点】等腰三角形的性质;解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论,从而得到其周长．【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6,x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C．【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论．11．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰"方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）A．a=c B．a=b C．b=c D．a=b=c【考点】根的判别式．【专题】压轴题；新定义．【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式△=b2﹣4ac=0，又a+b+c=0，即b=﹣a ﹣c，代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，化简即可得到a与c的关系．【解答】解:∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=0,又a+b+c=0，即b=﹣a﹣c,代入b2﹣4ac=0得（﹣a﹣c）2﹣4ac=0，即（a+c）2﹣4ac=a2+2ac+c2﹣4ac=a2﹣2ac+c2=（a﹣c）2=0，∴a=c．故选A【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根;(2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3）△＜0⇔方程没有实数根．12．如图,已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4),则△AOC的面积为（）A．12 B．9 C．6 D．4【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】压轴题．【分析】△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积，由点A的坐标为（﹣6，4)，根据三角形的面积公式，可知△AOB的面积=12,由反比例函数的比例系数k的几何意义，可知△BOC的面积=｜k|．只需根据OA的中点D的坐标，求出k值即可．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4)，∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=｜k｜=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．【点评】本题考查了一条线段中点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=｜k｜．二、填空题13．化简= 0 ．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】由1﹣x≥0，x﹣1≥0，得出x﹣1=0，从而得出结果．【解答】解：∵1﹣x≥0,x﹣1≥0,∴x﹣1=0,∴=0．【点评】二次根式的意义和性质．概念:式子（a≥0)叫二次根式．性质:二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．计算的结果是 4 ．【考点】算术平方根．【专题】常规题型．【分析】根据算术平方根的定义解答即可．【解答】解： ==4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，本题易错点在于符号的处理．15．计算： += 3．【考点】二次根式的加减法．【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．【解答】解:原式=2+=3．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．16．如果方程ax2+2x+1=0有两个不等实根，则实数a的取值范围是a＜1且a≠0 ．【考点】根的判别式．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1)二次项系数不为零；(2）在有不相等的实数根下必须满足△=b2﹣4ac＞0．【解答】解：根据题意列出不等式组，解之得a＜1且a≠0．故答案为：a＜1且a≠0．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．17．设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为7 ．【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值,然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2)2+x1x2进一步代值求解．【解答】解:由题意,得：x1+x2=3，x1x2=﹣2；原式=（x1+x2）2+x1x2=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键．18．已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为 1 ．【考点】一元二次方程的解；完全平方公式．【分析】首先把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0中得到m+n+1=0，然后把m2+2mn+n2利用完全平方公式分解因式即可求出结果．【解答】解:∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根，∴m+n+1=0，∴m+n=﹣1，∴m2+2mn+n2=(m+n）2=(﹣1）2=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了方程的解的定义，利用方程的解和完全平方公式即可解决问题．19．请你写出一个有一根为1的一元二次方程：x2=1 ．（答案不唯一）【考点】一元二次方程的解．【专题】开放型．【分析】可以用因式分解法写出原始方程,然后化为一般形式即可．【解答】解:根据题意x=1得方程式x2=1．故本题答案不唯一，如x2=1等．【点评】本题属于开放性试题，主要考查一元二次方程的概念的理解与掌握．可以用因式分解法写出原始方程，然后化为一般形式即可，如(y﹣1）(y+2）=0，后化为一般形式为y2+y﹣2=0．20．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则(x1﹣x2)2的值是13 ．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】首先根据根与系数的关系，得出x1+x2和x1x2的值，然后根据x12+x22的值求出m(需注意m的值应符合此方程的根的判别式)；然后再代值求解．【解答】解：由题意,得：x1+x2=m，x1x2=2m﹣1；则：（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2,即m2=7+2(2m﹣1），解得m=﹣1，m=5；当m=5时，△=m2﹣4(2m﹣1)=25﹣4×9＜0，不合题意；故m=﹣1，x1+x2=﹣1，x1x2=﹣3;∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=1+12=13．【点评】此题用到的知识点有：根与系数的关系、根的判别式、完全平方公式等知识．本题需注意的是在求出m值后,一定要用根的判别式来判断所求的m是否符合题意,以免造成多解、错解．21．若把代数式x2﹣2x﹣3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m,k为常数，则m+k= ﹣3 ．【考点】完全平方公式．【专题】配方法．【分析】根据完全平方公式的结构，按照要求x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1）2﹣4，可知m=1．k=﹣4，则m+k=﹣3．【解答】解：∵x2﹣2x﹣3=x2﹣2x+1﹣4=（x﹣1)2﹣4，∴m=1，k=﹣4，∴m+k=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查完全平方公式的变形，熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：(a ±b）2=a2±2ab+b2．22．将根号外面的因式移进根号后等于．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】先根据二次根式定义得到a＜0，然后根据二次根式的性质把﹣a转化为，再利用乘法公式运算即可．【解答】解：∵﹣≥0,∴a＜0，∴原式=﹣（﹣a）•=﹣=﹣．故答案为﹣．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：（a≥0）为二次根式； =｜a|； =•(a ≥0，b≥0)等．23．若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数的图象上．若正方形OABC 的面积为1,则k的值为 1 ；点E的坐标为（+,﹣）．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】(1)根据正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上,且正方形OABC 的边长为1,得出B点坐标，即可得出反比例函数的解析式;（2)由于D点在反比例函数图象上，用a和正方形OABC的边长表示出来E点坐标，代入y=（x ＞0）求得a的值，即可得出D点坐标．【解答】解:∵正方形OABC和正方形AEDF各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形OABC 的边长为1．∴B点坐标为：(1，1），设反比例函数的解析式为y=;∴xy=k=1，设正方形ADEF的边长为a，则E（1+a，a）,代入反比例函数y=（x＞0）得：1=(1+a）a，又a＞0,解得：a=﹣．∴点E的坐标为：（ +，﹣）．【点评】本题考查了反比例函数与正方形性质结合的综合应用，考查了数形结合的思想,利用xy=k得出是解题关键．三、解答题24．计算：．【考点】二次根式的混合运算；负整数指数幂．【分析】本题涉及分数指数幂、负整数指数幂、乘方、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】原式=3+4﹣2﹣2+=5﹣2+2﹣2=3．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是理解分数指数幂的意义,熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．25．用配方法解方程：2x2+1=3x．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】首先把方程的二次项系数变成1，然后等式的两边同时加上一次项系数的一半,则方程的左边就是完全平方式,右边是常数的形式,再利用直接开平方的方法即可求解．【解答】解：移项，得2x2﹣3x=﹣1，二次项系数化为1，得，配方,，由此可得,∴x1=1，．【点评】配方法是一种重要的数学方法，是中考的一个重要考点，我们应该熟练掌握．本题考查用配方法解一元二次方程，应先移项,整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，然后再配方求解．26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=,且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时,求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系;根的判别式;勾股定理．【专题】计算题．【分析】（1）根据△＞0即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根; (2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b,c即可得出答案．【解答】解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1）x+4k﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值,该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根,则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31,整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2，∵b+c=2k+1＞0即k＞﹣．bc=4k﹣3＞0即k＞,∴k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，难度较大，关键是巧妙运用△＞0恒成立证明(1)，再根据勾股定理和根与系数的关系列出方程组进行解答．27．已知一元二次方程x2﹣2x+m=0．（1)若方程有两个实数根，求m的范围；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x1+3x2=3,求m的值．【考点】根与系数的关系;根的判别式．【专题】压轴题．【分析】(1)一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个实数根,△≥0,把系数代入可求m的范围；（2）利用两根关系，已知x1+x2=2结合x1+3x2=3,先求x1、x2，再求m．【解答】解：(1)∵方程x2﹣2x+m=0有两个实数根,∴△=（﹣2）2﹣4m≥0,解得m≤1；（2）由两根关系可知，x1+x2=2，x1•x2=m,解方程组,解得，∴m=x1•x2=．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，两根关系的运用，要求熟练掌握．28．已知关于x的一元二次方程x2=2（1﹣m)x﹣m2的两实数根为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2,当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．【考点】根与系数的关系；根的判别式;一次函数的性质．【专题】综合题．【分析】（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式,可求出m的取值范围；(2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式,进而可得出y、m的函数关系式,根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．【解答】解：（1）将原方程整理为x2+2（m﹣1)x+m2=0；∵原方程有两个实数根，∴△=[2（m﹣1）］2﹣4m2=﹣8m+4≥0，得m≤；(2）∵x1,x2为一元二次方程x2=2（1﹣m）x﹣m2，即x2+2(m﹣1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=﹣2m+2，且m≤；因而y随m的增大而减小,故当m=时，取得最小值1．【点评】此题是根的判别式、根与系数的关系与一次函数的结合题．牢记一次函数的性质是解答(2)题的关键．。
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《二次根式》专题
第三讲：二次根式的加减
北京四中 郭伦
一、复习:最简二次根式
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)被开方数的因数是___________，因式是___________；
(2)被开方数中不含能开得尽方的______________．
练习:下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A.9 B.a 3 C.23a D.
3a
注：上节中化简二次根式，就是要求化成最简二次根式．
二、二次根式的加减
1、同类二次根式的概念：
化成_____________后，如果________相同，这样的二次根式就叫做同类二 次根式。
例1．当a ＝________时，最简二次根式12-a 与73--a 是同类二次根 式．
2、二次根式加减法运算步骤：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式 例2：计算：
（1）4832315311
312--+
（2）
)5.0420010
1(08.027252+-+
（3）
a a a a a a a 1082363273223-+-
(4)
2++-+a
b b a b a a b
三、二次根式的混合运算：
注：1、在有理数范围内成立的运算律,在实数范围内仍成立；
2、在二次根式的运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用. 例3：计算：
（1）22)3223()3223(--+
（2）)753)(753(-++-
（301
(π)++-
（4） ⋅÷-4
8)832(3x x x x
（5）
101100103103）（）（-+．
四．有理化因式
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们 说这两个代数式互为有理化因式．如：a 与a ，3＋6与3－6互 为有理化因式．
例4：试写出下列各式的有理化因式(写出最简单的一个即可)： (1)25与________； (2)y x 2-与________； (3)mn 与________； (4)32+与________； (5)223+与________； (6)3223-与________． 例5、计算：).23(6-
÷
巩固练习:
1、下列各式中运算正确的是（ ） A.2510)5225(-=÷- B.529)52(2+=+ C.1)2131)(
23(=-- D.c
a b a c b a +=+÷)( 2、已知,525,25,52-=-=-=c b a 则a 、b 、c 的大小顺序是 （ ）
A.a<b<c
B.a<c<b
C.b<a<c
D.c<a<b
3、等腰三角形两边分别为32和25，那么这个三角形的周长是（ ） A.2534+ B.21032+ C.2534+或21032+ D.21034+
4、已知625,625-=+=b a ，则ab=_______,a+b=________.
5、已知：356,356-=+=y x ，求223y xy x +-的值.。