十字相乘法因式分解-教学设计
十字相乘法因式分解 初中八年级上册数学教案教学设计课后反思 人教版
(3) ax2+4ax+3a=a(x²+4x+3)
提问：请问x²+4x+3还能再分解吗？
设计意图
复习旧知， 引入新知
同 伴互 助 答疑解惑
设计意图
十字相乘法因式分解
十字相乘法 =(x+1)(x+
x2 + 4x + 3=(x+1)(x+3) 步骤： ①竖分常数项与二次项; ②交叉相乘，积相加; ③检验确定，横写因式
试一试：把下列各式因式分解。
(1) x2 8x 7
(2)x2 2x 15
x -7
x
5
x -1
x
-3
x 7x 8x
3x 5x 2x
解:原式=(x-7)(x-1)
解:原式=(x+5)(x-3)
①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，
因式的符号与一次项系数的符号相同.
②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，
初步探究，总 结方法
十字相乘法因式分解 1. 概念：
借用一个十字叉帮助我们把二次三项式分解因式，这种 方法叫做十字相乘法。 2. 式子表示为：
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
形成概念， 总结方法
3、步骤： （顺口溜）竖分常数交叉验，横写 因式不能乱。
１.因式分解与整式乘法的关系？
２.我们已经学习了哪些因式分解的方法？
x 1
x 6
小结：
1、十字相乘法因式分解概念： 2、因式分解的十字相乘法式子表示： x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 3、十字相乘法因式分解的步骤： 4、竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
人教初中数学八年级上册 14.3《因式分解》十字相乘法教案
因式分解十字相乘法◆教学目标◆◆知识与技能：理解十字相乘法的概念和意义；◆过程与方法：会用十字相乘法把形如x2＋px＋q的二次三项式分解因式；.◆情感态度：培养学生的观察、分析、抽象、概括的能力，训练学生思维的灵活性和层次性渗.◆教学重点与难点◆◆重点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆难点：能熟练用十字相乘法把形如x2＋p x＋q的二次三项式分解因式◆教学过程◆自主学习一. 创设情境1．口答计算结果：（1） (x＋2)(x＋1) （2） (x＋2)(x－1) （3）(x－2)(x＋1) （4） (x－2)(x－1)（5）(x＋2)(x＋3) （6） (x＋2)(x－3)（7） (x－2)(x＋3) （8） (x－2)(x－3)2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?归纳： .二．探索尝试根据上面的公式试将下列多项式写成两个一次因式相乘的形式：x2＋(2＋3)x＋2×3＝；x2＋(－1－2)x＋(－1)×(－2)＝；x2＋(－1＋2)x＋(－1)×2＝；x2＋(1－2)x＋1×(－2)＝ . 由上面的分析可知形如x2＋px＋q的二次三项式，如果常数项q能分解为两个因数a、b的积，并且a＋b恰好等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即x2＋px＋q＝x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)三．例题举例基础题（1）x2＋7x＋6 （2）x2－5x－6 （3）x2－5x＋6四.练习：（1）x2－7x＋6 （2）a2－4a－21（3）t2－2t－8 （4）m2＋4m－12拓展题（1）x2＋xy－12y2（2）x4＋5x2－6五.练习：（1）x2－13xy－36y2 （2）a2－ab－12b2（3）m4－6m2＋8 （4）x4＋10x2＋9六.课堂小结：对二次三项式x 2＋px ＋q 进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当q ＞0时，a 、b 同号，且a 、b 的符号与p 的符号相同； 当q ＜0时，a 、b 异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同.七.课外延伸：把下列多项式分解因式：（1） 342+-x x （2）1282+-x x （3）1582++x x （4）762-+x x（5）11102--a a （6）432-+m m （7）302-+x x （8）13122--x x（9）2282y xy x -+ （10）2234b ab a ++ （11）22208y xy x -- （12）2254n mn m --（13）434--x x （14）1522--x x （15）24102-+x x （16）24142+-x x 八.思考：1.请将下列多项式因式分解：①362132++x x ② 12724++x x ③()()242112222+---x x x x2. 先填空,再分解（尽可能多的）： x 2 ( )x + 60 = ；◆板书设计◆15.4.4 因式分解之十字相乘法二. 创设情境二．探索尝试三．例题举例课 堂 小 结课 外 延 伸◆课后思考◆。
十字相乘法分解因式教案
十字相乘法分解因式教案教案标题：十字相乘法分解因式教案一、教学目标：1. 理解十字相乘法的概念和原理。
2. 掌握利用十字相乘法分解因式的方法。
3. 能够独立运用十字相乘法分解因式解决问题。
二、教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板、彩色粉笔、练习题。
2. 学生准备：纸和笔。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）a. 引入十字相乘法的概念和意义，解释十字相乘法在因式分解中的作用。
b. 通过一个简单的例子，引导学生思考如何利用十字相乘法分解因式。
2. 知识讲解（15分钟）a. 介绍十字相乘法的步骤和原理。
b. 指导学生如何根据给定的多项式运用十字相乘法进行因式分解。
c. 解释如何利用十字相乘法找出多项式的因式。
3. 案例分析（15分钟）a. 给出一个具体的多项式，引导学生一起运用十字相乘法进行因式分解。
b. 通过几个不同难度的案例，让学生逐步掌握十字相乘法的运用技巧。
4. 练习与巩固（20分钟）a. 分发练习题，让学生独立完成。
b. 针对练习题进行讲解和答疑，确保学生掌握十字相乘法分解因式的方法。
5. 拓展与应用（10分钟）a. 提供一些拓展题目，让学生应用十字相乘法解决更复杂的问题。
b. 引导学生思考十字相乘法在实际生活中的应用。
6. 总结与反思（5分钟）a. 总结本节课学到的知识点和方法。
b. 鼓励学生提出问题和疑惑，及时解答。
四、教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现。
2. 批改学生完成的练习题，评价他们对十字相乘法分解因式的掌握程度。
五、教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习和巩固十字相乘法分解因式的方法。
2. 提供更多的练习题和挑战题，以提高学生的解题能力。
六、教学反思：本节课通过引入概念、讲解原理、案例分析和练习巩固等环节，有利于学生理解和掌握十字相乘法分解因式的方法。
然而，在教学过程中，可能会遇到学生对概念理解不清晰、运算错误等问题，需要教师及时解答和指导。
此外，为了增加学生的学习兴趣和参与度，可以设计一些趣味性的活动或游戏，使学生更主动地参与到教学中来。
第四章因式分解—十字相乘(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解十字相乘的基本概念。十字相乘是一种因式分解的方法，通过将多项式的项按照一定规则排列，找到两个数使得它们的乘积等于常数项，而它们的和等于一次项的系数。这种方法是解决二次多项式分解问题的关键。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例，如分解x^2 + 5x + 6。这个案例将展示十字相乘在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-难点突破方法：
-使用图表、动画或实物模型来形象化展示十字相乘的过程；
-通过多个例题，展示不同情况下十字相乘的应用，强调识别和选择合适数字的策略；
-分组讨论，让学生在小组内相互解释和交流，共同解决难点问题；
-设计具有挑战性的问题，鼓励学生独立思考和探索，如让学生尝试分解含有一个变量和常数的二次多项式；
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对十字相乘的概念接受度较高，但实际操作时仍有一些困难。在讲解理论部分时，我尽量用生动的语言和具体的例子来阐述，希望让学生能够更好地理解。从学生的反馈来看，这种方法是有效的。
然而，当我让学生们尝试自己分解一些多项式时，部分学生显得有些迷茫。他们对于如何选择合适的数进行十字相乘感到困惑。这时，我意识到需要在教学过程中加强对这一难点的讲解和练习。或许，我可以设计一些更具针对性的练习题，让学生们在课堂上即时巩固所学知识。
-理解并记忆十字相乘法的步骤，尤其是如何确定乘积和和；
-在应用十字相乘法时，如何灵活变通，处理各种不同类型的二次多项式；
-将实际问题转化为数学表达式，并运用十字相乘法进行因式分解。
举例：难点在于如何引导学生从简单的例子中总结出十字相乘的规律，如对于多项式x^2 + 5x + 6，学生需要找出两个数（2和3），使得它们的乘积等于6，和等于5。学生可能在这一过程中遇到困难，需要教师通过具体例子和图示来帮助学生理解。
因式分解法之十字相乘法教案
第7课时§2.4.1 因式分解法——十字相乘法教学目标1、 会对多项式运用十字相乘法进行分解因式；2、 能运用十字相乘法求解一元二次方程。
教学重点和难点重点：运用十字相乘法求解一元二次方程难点：对多项式运用十字相乘法进行分解因式教学过程设计一、从学生原有的认知结构提出问题这节课，我们学习一种比较简便的解一元二次方程的方法。
二、师生共同研究形成概念1、 复习分解因式分解因式：把一个多项式分解成几个整式的积的形式一）填空：1）)4)(3(++x x = ； 2）)5)(4(++x x = 。
3）)3)(1(++y y = ； 4）))((q x p x ++= 。
二）能否对1272++x x 、2092++x x 、342++y y 、pq x q p x +++)(2进行因式分解？它们有什么特点？特点：1）二次项系数是1；2）常数项是两个数之积；3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
2、 十字相乘法步骤：（1）列出常数项分解成两个因数的积的各种可能情况；（2）尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数；（3）将原多项式分解成))((q x p x ++的形式。
关键：乘积等于常数项的两个因数，它们的和是一次项系数二次项、常数项分解坚直写，符号决定常数式，交叉相乘验中项，横向写出两因式3、 讲解例题例1 分解因式：1）562++x x ； 2）862++y y ； 3）1682+-x x ； 4）21102+-a a ；5）1452-+x x ； 6）542-+t t ； 7）14132--x x ； 8）6322--x x 。
分析：关键之处在于把常数项分解成两数的积，再找它们的和等于一次项的系数的两个因数。
例2 分解因式：1）652++x x ； 2）652+-x x ； 3）652-+x x ； 4）652--x x 。
分析：此例题中各式都有很大的相同之处。
只有深刻理会十字相乘法，才可以正确地把四个多项式分解因式。
第13讲-因式分解之十字相乘法-教案
【答案】B
例8、把多项式 因式分解是 ，则m、n的值分别是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【试一试】整式 能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有（）
（A）4个.（B）5个.（C）6个.（D）8个.
【答案】C
课堂作业
1．若 能分解成两个一次因式的积，且m为整数，则m不可能是( )D
【分析】先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.
分解二次项系数(只取正因数)：1＝1×1；
分解常数项：6=1×6=6×1=(－1)×(－6)=(－6)×(－1) =2×3=3×2=(－2)×(－3)=(－3)×(－2).
【答案】（1）6x2－7x－5=(2x+1)(3x－5)；（2）5x2+6xy－8y2=(x+2y)(5x－4y)
（3）(x－y)(2x－2y－3)－2
=(x－y)[2(x－y)－3]－2
=2(x－y)2－3(x－y)－2
=[(x－y)－2][2(x－y)+1]
=(x－y－2)(2x－2y+1).
【说明】把(x－y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
用画十字交叉线方法表示下列四种情况：
1×3+2×1=5
1×1+2×3=7
1×(－3)+2×(－1)=－5
1×(－1)+2×(－3)=－7
经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.
【答案】2x2－7x+3=(x－3)(2x－1).
十字相乘法分解因式的教案
十字相乘法分解因式的教案教案标题：十字相乘法分解因式的教案教学目标：1. 理解十字相乘法在分解因式中的应用。
2. 掌握使用十字相乘法分解因式的步骤和方法。
3. 能够独立应用十字相乘法分解因式解决相关问题。
教学准备：1. 教学PPT或白板，以及相应的绘图工具。
2. 教学中使用的教材和习题。
3. 十字相乘法分解因式的示例题目和解答。
4. 讲解板书的工具，如白板笔或彩色粉笔。
教学步骤：引入活动：1. 引导学生回想并复习乘法分配律的概念和应用。
2. 提问学生：在学习因式分解中，如何应用乘法分配律？请举例说明。
讲解十字相乘法分解因式的概念和步骤：1. 在白板上绘制一个简单的多项式示例，并使用乘法分配律展示如何通过分解因式的方法化简多项式。
2. 讲解十字相乘法的概念：十字相乘法是一种用于分解因式的方法，通过将多项式的首项和尾项相乘，然后找到满足相乘结果的两个数，进而分解因式。
3. 讲解十字相乘法分解因式的步骤：a. 将多项式的首项和尾项相乘得到一个结果。
b. 找到两个数，使其乘积等于上一步得到的结果，同时使其和等于多项式中的线性项系数。
c. 将多项式重新写成两个括号内的乘积形式。
d. 化简和测试分解因式的正确与否。
示范和练习：1. 在白板上示范一个具体的例子，展示应用十字相乘法分解因式的步骤。
2. 指导学生根据示例进行练习，并及时给予反馈和指导。
巩固和扩展：1. 提供更多的练习题，让学生进一步巩固和加深对十字相乘法分解因式的理解和应用。
2. 提供一些挑战性的问题，扩展学生对于十字相乘法的运用。
总结：1. 总结十字相乘法分解因式的步骤和方法。
2. 强调理解和掌握十字相乘法分解因式对解决相关问题的重要性和实用性。
3. 鼓励学生在日常学习中主动应用并巩固所学的知识和技巧。
评估：1. 提供一组习题，让学生独立应用十字相乘法分解因式解答问题。
2. 评估学生对于十字相乘法的理解和运用能力。
备注：教案中的具体内容应根据教育阶段和学生实际情况进行相应调整和修改。
人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》教学设计
人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册22.2.3《用十字相乘法因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握用十字相乘法分解因式的方法。
教材通过实例引入，让学生理解并掌握十字相乘法的步骤和规律。
本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的练习来巩固。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式的乘法、因式分解的基本方法，但对于用十字相乘法因式分解可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，通过大量的练习让学生熟练运用。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法，能够独立完成简单的题目。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在解决数学问题的过程中，体验到数学的乐趣，增强对数学学习的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握用十字相乘法因式分解的方法。
2.教学难点：如何引导学生理解并掌握十字相乘法的原理，以及如何运用到实际问题中。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解，让学生理解十字相乘法的原理和方法。
2.案例分析法：教师通过分析具体案例，让学生掌握十字相乘法的运用。
3.小组合作法：学生通过小组合作、讨论，共同解决问题，培养合作意识。
4.练习法：学生通过大量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：教师准备相关的课件，帮助学生直观地理解十字相乘法。
2.练习题：教师准备适量的练习题，用于课堂练习和课后作业。
3.小组合作学习材料：教师准备小组合作学习所需的材料，促进学生互动交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个具体的例子，引导学生思考如何将一个多项式因式分解。
让学生尝试用已学的因式分解方法解决问题，从而引出本节课的内容。
2.呈现（10分钟）教师通过课件展示十字相乘法因式分解的步骤和规律，让学生初步了解并感知十字相乘法。
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教学设计方案
学校：闵行四中年级：七年级班级：六班
人
数：
30
日期：2015-11-26
学科：数学课题：十字相乘法因式分解课
时：
1
教师：萨如拉
教学目标确定的依据：
内容分析：因式分解在学生进一步学习一元二次方程、分式方程、无理方程中起着至关重要的作用，特别是在学生即将要进行的分式学习中更是举足轻重，如分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。
可以说学生掌握因式分解的程度直接影响着学生对代数的进一步学习。
因此前几节课中我们通过提取公式法、公式法分解因式的学习帮助学生了解了如何利用这些方法去将二次三项式降次并分解因式。
但主要涉及的二次三项式都有着可以直接提取公因式或可以利用乘法公式逆应用来完成因式分解的特殊的一面。
但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的
的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？对于学生来讲这将是一个难点。
为了帮助学生克服这个难点，我们将研究思路从利用特殊的一次二项式乘一次二项式的公式——平方差公式和完全平方公式，回归到整式乘法一般法则的逆向思维中。
为此我们将本节课的教学过程分为三个环节展开。
第一环节是“初步感知与规律探究”。
这一环节主要目的是帮助学生将研究思路从运用特殊的乘法公式转换到一般法则的理解和运用上，初步感知十字相乘法因式分解的意义。
第二环节是“形成十字相乘法的概念”。
这一环节的目的是帮助学生在“二拆一凑”中探究出十字相乘因式分解法。
第三环节是“巩固练习与拓展延伸”。
这一环节的目的是帮助学生通过相应的练习巩固理解十字相乘分解因式法，帮助学生梳理包括完全平方公式法在内的分解二次三项式
的基本路径，帮助学生形成解决
因式分解问题的基本思路。
学生分析：学生通过对因式分解概念的学习和提取公因式、公式法因式分解，已经
对因式分解有了较充分的认识。
但是前面所进行的因式分解都是围绕着可以直接提取公因式的二次三项式（或拓展到的一些高次多项式）或可以利用平方差公式和完全平方公式因式分解来展开的。
如果学生在此基础上直接去面对一个既无法提取公因式，又不能运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的二次三项式
，学生马上会觉得手足无措，更不用说寻找什么规律和法则了。
因此为了帮助学生顺理成章的，理解并能够主动去探究一般的
的因式分解规律，我们将从一次二项式乘一次二项式的特殊公式法转换到一般法则，给予学生一个一般的解决问题的思路。
希望这样的设计能够帮助学生更好的理解十字相乘法的出处，并能够灵活的判断和运用十字相乘法进行因式分解。
教学的具体目标：
1、经历探究十字相乘法因式分解的过程，理解十字相乘法的概念。
2、掌握用十字相乘法分解系数为1的二次三项式的方法。
3、在经历十字相乘法过程中感悟数学中的化归思想。
教学过程
环节教师活动
学生活
动
设计意图
常规
积
累：
问题：请同学们观察下列多项式，判断它们哪
些能用已学的方法进行因式分解？同桌合
作完交
流
帮助学生在判断中回
顾提取公因式法、平
方差公式法、完全平
方差公式法因式分
解，同时也为本节课
的教学做准备。
第一
环节
初步
感知
与
规律
导入：（1）同学通过判断，得到了（1）~
（4）都是可以进行因式分解的。
那么我想问
一问，对于（5）（6）你们怎么判断出目前我
们还无法对它进行因式分解的呢？
（2）不能用已学的因式分解法进行因式分
解，并不能代表它们无法进行因式分解。
这节
个别回
答
师生共
同归
纳。
同桌合
交代本节课的教学任
务。
帮助学生从特殊的乘
法公式的逆向思维转
换到更加具有一般性
的一次二项式乘一次
探究课我们就来研究一下这样一类的不是完全平方
式的二次三项式。
问题（一）：我们通过逆运用平方差公式和完
全平方公式，得到了公式法因式分解。
请同学
们想一想，
，
都是一次二项式乘一次二项式的特殊形式，那
么老师给你几个一般的整式乘法的式子，你能
得到的结果算式是什么样的吗？
（1）
（2）
提升到字母表示：
的逆运用就是
问题（一）：同学们以二次三项式
，为例，尝试因式分解。
预设资源：学生不难找到
4+1=5，4×1=4 所以
同理可得 6+（-1）=5，6×（-1）=-6
作交流
完成。
小组合
作完成
组员汇
报
小组合
作完
成。
组长汇
报
二项式一般法则的逆
运用上来。
在整理学生拆和凑的
过程中利用交叉线作
为辅助方法，为十字
相乘法的引入做好格
式上的认知准备
通过开放式的题目帮
助学生对十字相乘法
中的两拆一凑有一个
深刻的体会。
为后面
的总结归纳做准备。
=（x+6）（x-1）
板书（根据学生资源引导得出板书结构）
(1)
(2)
问题（二）：一个二次三项式
中b 为何值时可以利用以上的方法进行因式分解吗？看看谁找到的b值最多。
引导：
中思考哪两个整数的积为12，而这两个整数的和就是b的值。
还是从12开始。
预设可以得到的结论有：
，
，
，
，
第二
环节
形成
概念
问题（三）：一个二次三项式
要满足什么条件才能用以上的方法进行因式分
解呢？
引导：一般地，在
中如果b=m+n、C=mn，即
归纳概念：
一般地，
可以用十字交叉线来表示
（两拆一凑）
概念归纳：利用十字交叉线来分解系数，把二
次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
师生合
作完
成。
帮助学生结合开放式
探究，总结
应满足什么条件时可
以因式分解，得出因
式分解
的一般规律。
给出十字相乘法概
念，明确认识。
第三
环节
巩固
练习
与
拓展
例题：利用十字相乘法因式分解
（1）
（2）
（3）
（4）
独立完
成。
个别回
答。
通过例题，再次感知
十字相乘法及其怎样
进行“两拆一揍”.
为第二节课继续研究
a≠1且不是完全平方
式的二次三项式
延伸
拓展延伸：今天我们知道了什么是十字相乘法
因式分解，那今天我们研究的所有二次三项式
都有一个共同的特点，你能说一说是什么特点
吗？
引导得出他们的二次项系数都是1。
追问：那如果有一个二次项系数不为1的二次
三项式
（a≠1），且它不是完全平方式，那我们还可
以用十字相乘法进行法因式分解吗？
进行因式分解埋下伏
笔。