材料力学：第13章 压杆稳定
材料力学-压杆稳定
Pcr
2 EI
l2
此时若杆件横截面不同时 ，取 I I m in ，弯曲发生在抗弯 能力最弱的平面内。称最小刚度平面。 对于其他约束条件，常数 c1, c2 , k 由约束条件确定，经推导得： 两端铰支： 1 微弯曲线为正弦半波形状 2 EI 一端固定一端自由： 2 微弯曲线为半个正弦半波 pcr 2 ( l ) 两端固定： 0.5 一端固定一端铰支： 0.7
n0 p 0
不符合情况
n 1 pcr
2 EI
l2
这就是确定两端铰支压杆临界载荷的 欧拉公式，其临界力称欧拉临界力。它 与抗弯刚度EI成正比，与杆长L2成反比。 这公式只适用于弹性稳定问题
7
此时挠度
n y ( x) c1 sin k x c1 sin x l x y ( x) c1 sin (0 x l ) 正弦半波形 l
10
§13-5
临界应力与柔度、三类不同的压杆
杆件尺寸不同，其失稳的形式也不同。P335 对于“细长”杆：发生弹性失稳的可能性较大。 ---“弹性屈曲” 对于“粗短”杆：发生材料屈服的可能性较大。 ---“屈服” 对于“中长”杆：有可能发生失稳，但其临界应力已超过比例极 限， 局部区域已进入塑性。 ----“弹塑性屈曲” 怎样区分三类不同的压杆？即多长的杆会发生弹性屈曲、屈服 、弹—塑性屈服？下面引入“柔度”概念。 临界应力 cr ： Pcr cr
3
当纵向力P较小时，可看到扰动除去后，杆经若干次振动 而恢复原来的直线形式，即表明此时压杆直线形式的弹性平衡 是稳定的。 当总向力P较大时，可看到扰动除去后，杆不能恢复原来 的直线形式，而且继续弯曲，最后转入新的稳定平衡形式。即 曲线形式或由于弯曲太甚而杆被折断，此表明原来的弹性平衡 不稳定。 这说明：当压力大于一定数值时，压杆存在两种可能的平衡 形式。即直线和弯曲的平衡形式。但直线形式是不稳定的。而 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为“失稳”或“ 弯曲”。 那么当压力多大时，直线平衡形式不稳定（被破坏）？
材料力学答案- 压杆稳定
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。
材料力学第13超静定结构_OK
示，求圆环内弯矩M。
解封闭圆环为3次超静定。在A处截开，则有3个多余未知力，弯矩 X1，轴力
X2，剪力 X3（图13.18（b））。直径AB为一对称轴，对称截面A
26
的平衡可得 X2=P/2。故只有弯矩X1未知（见图13.18（c））。 选半圆环为静定基，作用于半圆环的力如图13.18(c)所示，则协调条件应是A 或B截面在 P及弯矩X1作用下转角 θ 应为零（由对称性可知），所以有 静定基上施加外力P（见图13.18(d)）及单位力偶（见图13.18（e）），用莫尔 法求δ11与Δ1P。 外力引起弯矩
（c）），而 是弯矩图面积ωn对ln左侧的静矩，如以an表示跨度ln内弯矩
图面积的形心到左端的距离，则 。同理bn+1表示外载荷单独作用下，跨
度ln+1内弯矩图面积ωn+1的形心到右端的距离，则
。于是有
31
（2）δn(n－1)，δnn，δn(n+1)的计算 当n支座铰链处作用有Mn=1时，其弯矩图如图 13.20（e）所示，用莫尔积分有
21
图13.13 对称结构的对称变形与反对称变形图13.14对称结构的对称变形现以如图13.14 （a）所示的对称变形为例证明载荷对称的性质。此结构为3次外力超静定结 构，切开结构对称截面，其上应有3个多余未知力，即轴力X1，弯矩X2与剪 力X3，如图13.14（b）所示。变形协调条件是，上述切开截面两侧水
3
图13.2
4
一次内力超静定结构。如图13.2（e）所示为静定刚架加EF杆后形成一封闭刚 架结构，这样就有6个内力（见图13.2（f）），其中有3个内力不能由静力学 平衡方程解出，因而为3次内力超静定结构。 对于内力超静定结构，超静定形式及超静定次数有以下常见形式：一个平面 封闭框架为3次内力超静定；平面桁架的内力超静定次数等于未知力的个数 减去两倍的节点数。例如，如图13.4中所示桁架结构为内力二次超静定。
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
材料力学压杆稳定
材料力学压杆稳定材料力学是研究物质内部力的作用和变形规律的一门学科。
在材料力学中，压杆稳定是一个重要的概念，它涉及到杆件在受压作用下的稳定性问题。
本文将围绕材料力学中的压杆稳定问题展开讨论，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
首先，我们需要了解什么是压杆稳定。
在材料力学中，压杆稳定是指杆件在受到压力作用时不会发生失稳现象，保持原有形状和结构的能力。
对于一个长细杆件来说，当受到外部压力作用时，如果其稳定性不足，就会出现侧向挠曲或屈曲等失稳现象，这将导致结构的破坏。
因此，压杆稳定是材料力学中一个至关重要的问题。
接下来，我们将从材料的选择、截面形状和支撑条件等方面来探讨如何提高压杆的稳定性。
首先，材料的选择对于压杆稳定至关重要。
一般来说，高强度、高刚度的材料更有利于提高压杆的稳定性。
此外，材料的表面质量和加工工艺也会对压杆的稳定性产生影响，因此在实际工程中需要对材料的选择和加工过程进行严格控制。
其次，截面形状也是影响压杆稳定性的重要因素。
通常情况下，圆形截面是最有利于抵抗压力的，因为圆形截面能够均匀分布受力，减小局部应力集中的可能性。
相比之下，矩形或其他非圆形截面的压杆在受到压力作用时往往稳定性较差，容易发生失稳现象。
最后，支撑条件也是影响压杆稳定性的关键因素之一。
压杆的支撑条件直接影响其在受力时的变形和稳定性。
合理的支撑设计能够有效地提高压杆的稳定性，减小失稳的可能性。
综上所述，材料力学中的压杆稳定是一个复杂而重要的问题，需要综合考虑材料的选择、截面形状和支撑条件等因素。
只有在这些方面都做到合理设计和严格控制，才能保证压杆在受力时不会发生失稳现象，从而确保结构的安全可靠。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握材料力学中压杆稳定的相关知识，为工程实践提供一定的参考价值。
同时，也希望读者能够在实际工程中注重压杆稳定性的设计和控制，确保结构的安全可靠。
材料力学 第十三章压杆稳定
（4）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相
同时，该杆的临界力应按两个方向的(I/ μl)min值计算。 y z x
轴销
（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯 曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的;实际压杆 的临界力均小于理论值。
9l 5l
2l
稳定性
丧失原有平衡形式的现象称为失稳 失稳也是一种失效形式 理想中心受压细长压杆的临界力
§13-2
一﹑Euler公式
细长压杆的临界力
x Fcr
1.两端铰支的临界压力
M（x）=Fcrw （a）
l
E I w″= -M（x）（b） 得 E I w″= - Fcrw
w
x O y
令 k2=Fcr / EI
M(x) Fcr=F
2 0.8 160 p 0.04 i 4
l
l
2 EI 2 210 109 0.044 / 64 Fcr 102kN 2 2 (2 0.8) l
Fcr F Fst 34kN nst
例4：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截
稳定的。
F ≥ Fcr
F ≥ Fcr
F≥Fcr
（2）当F≥Fcr时，
在干扰力除去后，杆
干扰力
件不能恢复到原直线 位置，在曲线状态下 保持平衡。 原有的直线平衡状态是
(a)
(b)
(c)
不稳定的。
这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳.
Fcr——压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力， 即临界压力（临界荷载）。 压杆在外力作用下保持原有平衡形式的能力
材料力学-压杆稳定
1．直线型经验公式
对于柔度(λs≤λ<λp)的中柔 度杆（中长压杆），临界应力 与λ的关系采用直线公式：
cr a b 13 8
式(13-8)中的系数a,b可查书中表 13-1。 λ的最低界限：
s
a
s
b
(塑性材料)
b
a
b
b
(脆性材料)
---------(13-9)
图13-3
2．抛物线型经验公式
式中有c1,c2,k三个未知量。根据边界条件：当x=0时， yA=0；代入式(c)得c2=0。式(c)成为
y c1 sinkx (d )
当x=l时，yB=0；代入式(d)后可得 c1 sinkl 0 (e)
要满足式(e)，必然是c1或sinkl等于零，若c1=0，则压杆 上各点的位移都为零，这显然与压杆在微弯状态下保持平衡 的前提不符，故必须是sinkl=0。要满足这一条件的kl值为：
kl 0, ,2 ,L ,n （n为正整数）
由k P n 可得：
EI l
P
n2 2 EI
l2
(
f
)
使压杆可能在微弯状态下保持平衡的最大轴向压力，应
该是式(f) 中n=1时的P值，这就是所求的两端铰支压杆的临
界力Pcr，即
Pcr
2 EI
l2
(13 1)
式(13-1)习惯上称为两端铰支压杆的欧拉公式。当各个 方向的支承情况相同时（如两端为球铰），压杆总是在它的 抗弯能力最小的纵向平面内失稳，所以式(13-1)中的EI是压 杆的最小抗弯刚度，即I应取截面的最小形心主惯性矩Imin。
2
图13-4 对于柔度(λ<λc)的杆件，临界应力与λ的关系采用抛物线公式：
材料力学课件13压杆稳定
P A [ lj ]
lj
nw
— 极限应力法
P
Plj nw
[ Pw ] — 许可荷载法
P A
[ w ] — 折减系数法
n
Plj P
[ n w ] — 安全系数法
φ—折减系数或纵向弯曲系数；一般[σ]>[σw]，故φ<1。
由结点B的平衡条件确定支架的承载力Pmax：
Y 0 , N BA sin Pmax 0 ;
Pmax N BA sin 59 . 6
4 5
47 . 7 kN ;
实际工程中应再考虑安全系数，取[P]=Pmax/n。
返回 下一张 上一张 小结
• 第四节 压杆的稳定计算
由欧拉公式
l
i
2
1 3000 23 . 1
2
129 . 9 p 123
3
大柔度杆
lj
E
lj
2
200 10 129 . 9
2
117 MPa
Plj
A 117 4200 491 . 3 kN P 500 kN
所以，此杆不能安全承受500KN压力，而将发生失稳破坏。 为加大杆的承载能力，改变支承方式为两端固定（或加中间
2 4
I z I min
126 . 6 ;
(126 . 6 120 ) 0 . 423 ;
由 0 .5,
求柔度
l
i
0 . 5 10000 39 . 5
查 值，用插值公式求得：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工 程封顶，由于脚手架失稳，模板倒塌，造成6人死亡， 35人受伤，其中一名死者是南京电视台的摄象记者。
第十三章 压杆稳定
第十三章 压杆稳定
一、压杆稳定的概念与实例 二、两端铰支细长压杆的临界力 三、杆端约束的影响 四、不同类型压杆的临界力、临界应力总图 五、压杆的稳定计算 六、提高压杆稳定性的措施
第十三章 压杆稳定
一、压杆稳定的概念与实例
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸顶杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸 顶杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
木结构中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后， 仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈 曲而毁坏。
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现 了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人 们才可看到斜杆失稳后的情景。
dx2
（2）
此二阶线性常数齐次微分方程通解为
C1
sin
kx
C
cos
2
kx
（3）
式中C1、C2、k为待定常数。
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
待定常数C1ห้องสมุดไป่ตู้、C2、K由边界条件确定
1)当x 0时,B 0, 代入（3）式，
x
解得 C2 0。于是（3）式为
C1 sin kx
F
若取l 2cm,按屈服强度 s 235MPa计算，
Fmax 235 106 26 106 6110N
l
26mm
若取l 30cm,按两端铰接方式使其受轴向压力, 当产生明显变形时，Fmax 180N
若取l 100cm,则产生明显变形时，Fmax 50N
若取l 200cm,则产生明显变形时， Fmax 12.80N
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
2、两端铰支细长压杆的临界力 考察微弯状态下局部压杆的平衡
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
若 p , 则压杆的弯曲变形为
EI
d 2
dx2
M(x)
Fp
d 2 Fp
dx2
EI
(1)
令k 2
Fp , EI
则(1)式可以写成
d 2 k 2 0
平衡构形，扰动除去后， 平
能够恢复到直线平衡构形， 衡
则称原来的直线平衡构形 是稳定的。
构 形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 如何判断压杆的稳定与不稳定?
F>Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲 直
平衡构形，扰动除去后， 线
不能恢复到直线平衡构形， 则称原来的直线平衡构形
Fcr
n 2 EI l2
欧拉公式
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
对欧拉公式 Fcr
n2EI 中 I 如何确定？ l2
∵当各个方向的支承情况相同时，压杆总是在抗弯
能力最小的纵向平面内弯曲
I Imin
y
F h
xF
b z
例如矩形截面压杆首先在哪个平面内失稳弯曲？
（绕哪个轴转动）
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
脚手架中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
桁架中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
嫦娥奔月中的压杆
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
稳定问题:主要针对细长压杆
课堂小实验:横截面为26mm×1mm的钢尺,求其能承受的 Fmax=?
I y0z0 0 I y0
y0 , z0 为截面的主惯性轴（主轴）。 为截面对主轴 y0 的惯矩，称为主惯矩。
二、两端铰支细长压杆的临界力
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
1、临界力的概念 压杆的压力逐渐上升,使压杆从稳定的平衡状态
向不稳定的状态质变的临界点,称为临界力,以 Fcr表 示.
临界力Fcr:压杆保持直线平衡构形的最大压力. 或者说:使压杆失稳(不能保持直线平衡构形)的最小 压力.
(4)
当x l 时，A 0, 代入（4）
式后可得：C1 sin kx 0 (5)
若C1 0,则压杆轴线上各点的位移
都将等于零，这显然与压杆在微弯
状态下保持平衡的前提不符。
因此必须是 sin kl 0
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
满足 sin kl 0的条件
kl 0, ,2,3 n
平 衡 构
是不稳定的。
形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
稳定性:压杆在外力作用下保持其直线平衡构形 的能力 失稳与屈曲?
在扰动作用下,直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形,扰动去除之后,不能恢复到直线平衡构 形的过程,称为失稳或屈曲.
细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至 导致整个结构破坏.
1mm
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例
如何判断压杆的稳定与不稳定? 平衡构形—压杆的两种平衡构形：
F<Fcr : 直线平衡构形 F>Fcr : 弯曲平衡构形
第十三章 压杆稳定/一、压杆稳定的概念与实例 如何判断压杆的稳定与不稳定?
F<Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲
直 线
k nπ (n为正整数） l
由此得到两个重要结果:
(1)临界力:
K2
FP EI
又 K
n
l
FP
n2 2EI (6)
l2
第十三章 压杆稳定/二、两端铰支细长压杆的临界力
对于公式
FP
n2 2EI 的分析讨论
l2
要使压杆有可能在微弯状态下保持平衡的最大
轴向压力，实际上应该是公式中的n=1 时的FP 值，即两端铰支压杆的临界力：