材料力学10压杆稳定
材料力学10压杆稳定_1欧拉公式
◆ 本例中，三杆截面面积基本相等，但由于其形状不同， Imin 不
同，致使临界力相差很大。最合理的截面形状为圆环形。
14
[例3] 图示各杆均为圆形截面细长压杆。已知各杆的材料及直径相 等。问哪个杆先失稳？ 解：由于各杆的材料及 截面均相同，故只需比
1.3 a F F F
较其相当长度 l 即可
a
杆A： 2 l 2a
F
F
2 1
0.7
压杆两端固定可轴向移动：
0.5
6
上述弹性压杆临界力的计算公式称为欧拉公式
Fc r
π 2 EI
l
2
说明： 1）欧拉公式的适用范围：线弹性（ ≤ p）
2）在压杆沿各个方向约束性质相同的情况下（即各个方向上 的 相等），I 应取最小值 3） l 称为压杆的相当长度
2
2000年10月25日上午10 时，南 京电视台演播中心由于脚手架 失稳使屋顶模板倒塌，导致死 6 人，伤 34 人。
3
2010年1月3日，通往昆明新机场的一座在建桥梁施工时因 支撑结构中的压杆失稳而坍塌，共导致 40 余人死伤。
4
二、压杆的临界力 使压杆由稳定向失稳转化的轴向压力的界限值称为压杆的临界力， 记作 Fcr 。即当 F ＜ Fcr ： 压杆稳定 F ≥ Fcr ： 压杆失稳 亦可将压杆的临界力 Fcr 理解为使压杆失稳的最小轴向压力
hb3 1 Iy 90 403 48 108 m 4 12 12
根据欧拉公式，此压杆的临界力
Fcr
π 2 EI y l
2
23.8 kN
11
[例2] 一端固定，一端自由的中心细长压杆。已知杆长 l = 1m , 材 料的弹性模量 E = 200 GPa。当分别采用图示三种截面时，试计算 其临界力。
材料力学10压杆稳定_2经验公式
这类杆称为中长杆（或中柔度杆），亦即直线公式适用于中长杆 （或中柔度杆）
说明： 当 ≤ s，称为粗短杆，则应按强度问题处理。
三、临界应力总图
压杆的临界应力 cr 可视作压杆柔度 的分段函数，即
π2E 2
cr
查表得 a = 461 MPa、b = 2.567 MPa
临界应力 临界力
cr a b 461 2.567 64.7 294.9 MPa Fcr cr A 162.7 kN
3）由于连杆在 x-y、x-z 两个平面内的柔度 z = 64.7、y = 57.4 比
π 2 EI min
0.7l 2
870 kN
2）两端固定但可沿轴向相对移动
长度因数 = 0.5， 立柱柔度
3600
zz
s
l
imin
0.5 3600 24
75 p
此时，立柱为中柔度杆，应用直线公式计算其临界力
由表 10-2 查得 a = 304 MPa，b = 1.12 MPa
临界应力 临界力
cr a b 304 1.12 75 220 MPa Fcr cr A 220 48.541 1068 kN
[例2] 图示连杆，已知材料为优质碳钢，弹性模量 E = 210×109 GPa， 屈服极限 s = 306 MPa。试确定该连杆的临界力Fcr ，并说明横截面的 设计是否合理。
解： 由于连杆在两 个方向上的约束情 况不同，故应分别 计算连杆在两个纵 向对称平面内的柔 度，柔度大的那个 平面即为失稳平面
1）计算柔度 在 x-y 平面（弯曲中性轴为 z 轴）： 两端铰支
压杆·稳定性
sin kl = 0
即
kl = nπ n = 0,1, 2,
（d）
解得 k = nπ ，又 k 2 = P ，于是得
l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
EI
P
=
n2π2 EI l2
（10.1）
因为 n 是正整数，故式（10.1）表明使杆件保持为曲线平衡的压力，理论上是多值的。
其中使压杆保持微小弯曲的最小压力，才是临界压力 Pcr 。因此，只有取 n=1，才得到压力 的最小值。于是临界压力为
x = 0 和 x = l 时， y = 0
由此求得
B = 0 ， Asin kl = 0
上式表明，A 或 sin kl 等于零。但因 B 已经等于零，如 A 再等于零，则式（c）变为 y ≡ 0 。这
表示杆件轴线上任意点的挠度皆为零，它仍为直线的情况。这就与假设杆件处于微弯平衡的
前提相矛盾。因此必须是
第 10 章 压杆·稳定性
当轴向压力 P 较小（P＜Pcr）时，当横向干扰力消失后，其横向弯曲变形也随之消失， 直杆将恢复到图 10.1（a）所示的原直线平衡位置。此时原直线平衡位置平衡状态属于稳定平 衡状态，如图 10.1（c）。
当轴向压力 P 适中（P =Pcr）时，干扰力消失后，将保持微弯平衡状态，而不能恢复到 图 10.1（a）所示的原直线平衡位置。此时原直线平衡位置平衡状态属于临界平衡状态（或随 遇平衡状态），如图 10.1（d）。
如图 10.1（a）所示一下端固定，上端自由的理想细长直杆，受一轴向压力 P 作用。此 时，该压杆如果受到一个很小的横向干扰力，杆将产生弯曲变形，如图 10.1（b）。显然，该 压杆在原初始直线位置是能够平衡的，但平衡状态会随轴向压力 P 的大小而变化。
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学答案- 压杆稳定
15-1 两端为球铰的压杆，当它的横截面为图示各种不同形状时，试问杆件会在哪个平面内失去稳定（即在失稳时，杆的截面绕哪一根轴转动）？解：(a),(b),(e)任意方向转动，(c),(d),(f)绕图示Z 轴转动。
15-2 图示各圆截面压杆，横截面积及材料都相同，直径d ＝1.6cm ，杆材A 3钢的弹性模量E =200MPa ，各杆长度及支承形式如图示，试求其中最大的与最小的临界力之值。
解：(a) 柔度： 2301500.4λ⨯== 相当长度：20.30.6l m μ=⨯=(b) 柔度： 1501250.4λ⨯== 相当长度：10.50.5l m μ=⨯=(c) 柔度： 0.770122.50.4λ⨯== 相当长度：0.70.70.49l m μ=⨯=(d) 柔度： 0.590112.50.4λ⨯== 相当长度：0.50.90.45l m μ=⨯=(e) 柔度： 145112.50.4λ⨯== 相当长度：10.450.45l m μ=⨯=由E=200Gpa 及各柔度值看出：各压杆的临界力可用欧拉公式计算。
即：()22cr EIF l πμ=各压杆的EJ 均相同，故相当长度最大的压杆(a)临界力最小，压杆(d)与(e)的临界力最大，分别为：()2948222320010 1.610640.617.6410cr EFF l N πππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯()2948222320010 1.610640.4531.3010cr EIF l Nπππμ-⨯⨯⨯⨯⨯===⨯15-3 某种钢材P σ=230MPa ，s σ=274MPa ，E =200GPa ，直线公式λσ22.1338-=cr ，试计算该材料压杆的P λ及S λ值，并绘制1500≤≤λ范围内的临界应力总图。
解：92.633827452.5p s s a λπσλ===--===15-4 6120型柴油机挺杆为45钢制成的空心圆截面杆，其外径和内径分别为，12mm 和10mm ，杆长为383mm ，两端为铰支座，材料的E ＝210GPa ，P σ=288MPa ，试求此挺杆的临界力cr F 。
材料力学 第十章 压杆稳定问题
由杆，B处内力偶
MB Fcraq1 , q1
由梁，B处转角
MB Fcr a
q2
MBl 3EI
q1 B
MB MBl Fcra 3EI
3EI Fcr al
q2 C
l
Page21
第十章 压杆稳定问题
作业
10-2b，4，5，8
Page22
第十章 压杆稳定问题
§10-3 两端非铰支细长压杆的临界载荷
稳定平衡
b. F k l
临界(随遇)平衡
c. F k l
不稳定平衡
Fcr kl 临界载荷
F
k l
F 驱动力矩 k l 恢复力矩
Page 5
第十章 压杆稳定问题
（3）受压弹性杆受微干扰
F Fcr 稳定平衡 压杆在微弯位置不能平衡,要恢复直线
F >Fcr 不稳定平衡 压杆微弯位置不能平衡,要继续弯曲,导致失稳
(
w)
令 k2 F
EI
d 2w dx2
k
2w
k
2
l
l
FM w
x
F B
F
B F
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第十章 压杆稳定问题
d 2w dx2
k2w
k 2
F
w
通解：
A
x
B
w Asinkx Bcoskx
l
考虑位移边界条件：
x 0, w 0,
B
x 0, q dw 0
Page31
第十章 压杆稳定问题
二、类比法确定临界载荷
l
材料力学-压杆的稳定性
压杆的稳定性
倒塌后成为一片废墟
压杆的稳定性
1925年苏联莫兹尔 桥在试车时因桥梁 桁架压杆失稳导致破 坏时的情景。
压杆的稳定性
这是1966年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致 支臂柱失稳的实例。
1983年10月4日，高 54.2m、长17.25m、总 重565.4KN大型脚手架 局部失稳坍塌，5人死亡、
EI
d2
y
M
(x)
P cr
y
dx2 EI
EI
d2y k2y 0 dx2
压杆的稳定性
通解： y Asin kx B coskx
边界条件:
y
y 0, y 0
Pcr
y
Pcr
x0
xl
(i) B 0 (ii) 0 Asin kl
A 0, sin kl 0
11.1 压杆稳定的概念
一、概述
(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为 3cm，当荷载重量为6kN时杆还不致 破坏。
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为1.4m (细长压杆），当压力为0.1KN时杆 被压弯，导致破坏。
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
拉压杆的强度条件为： = —F—N [ ] A
7人受伤 。
压杆的稳定性
三 平衡的稳定性 随遇平衡 不稳定平衡
压杆的稳定性
稳定平衡
压杆平衡的稳定性
F＜FF＜cr Fcr
F>Fcr F>Fcr
F＝FF=crFcr
稳定平衡状态
不稳定平衡状态
随遇平衡状态 （临界状态）
四 临界压力Pcr的概念
压杆的稳定性
材料力学第十章 压杆稳定性问题2
Pcr P Pcr nst
nst 为稳定安全系数， 为稳定安全系数 一般大于强度安全系数 般大于强度安全系数。 由于初曲率、载荷偏差、材料不均匀、有钉子孔 等 都会降低 Pcr 。而且柔度越大，影响越大。 等，都会降低 而且柔度越大 影响越大
S
cr
max
若 P ，图中CD段选欧拉公式 若 S P ，图中 图中BC段选经验公式 若 S ，图中AB段按强度计算，即 cr
何斌
s
Page 13
Q235钢制成的矩形截面杆,两端约束以及所承受的载 荷如图示 荷如图示（（a）为正视图（b）为俯视图），在AB两处为销钉 为 视图 为俯视图 在 两处为销钉 连接。若已知L＝2300mm，b＝40mm，h＝60mm。材料的弹性模 量E＝205GPa。试求此杆的临界载荷。 正视图平面弯曲截面z绕轴 正视图平面弯曲截面z 转动；俯视图平面弯曲截 面绕y 面绕 y轴转动。 轴转动 正视图：
2 对中长杆由于 cr与 P , s b 有关 2. 强度越高, cr也越高 3 对短粗杆：强度问题 3. 对短粗杆 强度问题
何斌
P
时才适用
2E P 2
2E P
E
P
P
欧拉公式适用于 P
Page 6
材料力学
第十章 压杆稳定问题
10.4 临界应力和长细比 细长杆 中长杆和短粗杆 细长杆、中长杆和短粗杆
1．细长杆： ① P 的压杆称为细长杆。 的压杆称为细长杆 ② 此类压杆只发生了弹性失稳 ③ 稳定计算：欧拉公式 稳定计算 欧拉公式
何斌
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2 EImin 中的 Imin 如何确定 ？ 欧拉临界力公式 Fcr 2 ( l )
定性确定 Imin
例：图示细长圆截面连杆，长度 l 800 m m ，直径 d 20 mm ,材 料为Q235钢，E＝200GPa.试计算连杆的临界载荷 Fcr . 解：1、细长压杆的临界载荷
Fcr
2 3 2E 200 10 p p 200
99.35 100
1、大柔度杆（细长压杆）采用欧拉公式计算。 2E 2 EI 2 p ( p ) 临界压力：Fcr 2 临界压应力： cr ( l ) 2：中柔度杆（中长压杆）采用经验公式计算。
cr
压杆容易失稳
二、欧拉公式的适用范围
p , cr p
2E p
欧拉公式的适用范围:
2E cr 2 p .
（细长压杆临界柔度）
2E p p
p，称大柔度杆（细长压杆 ）
例：Q235钢， E 200GPa, p 200MPa.
(b): 木杆的横截面与(a)相同，高为 1.4m(细长压杆），当压力为 0.1KN时杆被压弯，导致破坏。
问题的提出
(a)和(b)竟相差60倍，为什么？
细长压杆的破坏形式：突然产生显著的弯 曲变形而使结构丧失工件能力，并非因强度不 够，而是由于压杆不能保持原有直线平衡状态 所致。这种现象称为失稳。
(a)
2
y
FN
y Fcr
d2y 2 k y0 2 dx
二阶常系数线性奇次微分方程
d y 2 k y 0 2 dx
y
2
Fcr (k ) EI
2
（二阶常系数线性齐次微分方程）
微分方程的解: y =Asinkx + Bcoskx
FN
边界条件: y ( 0 ) = 0 , y ( l ) = 0 0•A+1•B=0 sinkl • A +coskl • B=0 B=0 sinkl • A =0
§11-2
细长压杆临界压力的欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
当达到临界压力时，压杆处于微弯状态下的平衡
y FN
y Fcr
考察微弯状态下局部压杆的平衡:
M (x) = Fcr y (x) d2y M (x) = –EI d x2 d2y EI 2 Fcr y 0 dx
Fcr 令 k EI
s
60 0 0
100 55 50 59
直线公式适合合 金钢、铝合金、铸 铁与松木等中柔度 压杆。
稳定性 平衡物体在其原来外界干扰下 的变化或破坏过程。
小球平衡的三种状态
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
受压直杆平衡的三种形式
稳定平衡
随遇平衡 （ 临界状态 ）
不稳定平衡
电子式万能试 验机上的压杆稳定 实验
工程项目的 压杆稳定试验
(b)
1907年加拿大圣劳伦斯河上的魁北克桥 （倒塌前正在进行悬臂法架设中跨施工）
倒塌后成为一片废墟
1925年苏联莫兹尔 桥在试车时因桥梁 桁架压杆失稳导致破 坏时的情景。
这是1966年我国广东鹤地水库弧门由于大风导致 支臂柱失稳的实例。
1983年10月4日，高 54.2m、长17.25m、总重 565.4KN大型脚手架局部 失稳坍塌，5人死亡、7人 受伤 。
s p ( p s ) cr a b ——直线型经验公式
a , b 是与材料性
能有关的常数。
a s s b
p
材料 硅钢
铬钼钢 硬铝 铸铁 松木
a(MPa) b(MPa) 577 3.74
980 372 331.9 39.2 5.29 2.14 1.453 0.199
E 2 2E 2E 2 EI Fcr 2 i 2 2 l ( l ) A ( l ) A ( )2 i
2
一、临界应力与柔度
cr
l
i
I A
——临界应力的欧拉公式
——压杆的柔度（长细比）
柔度是影响压杆承载能力的综合指标。
i
——惯性半径
2 I z A iz , 2 I y A iy .
B A
l
Fcr
2 EI
l
2
2E d 4
l
2
64
y
3 200109 0.024
0.82 64
z
24.2 (kN )
2、从强度分析 s 235MPa
0.022 235106 73.8 (kN ) Fs A s 4
§12-3
欧拉公式的使用范围 临界应力总图
(b)
Fcr
2 EImin
l2
= 0 . 1 KN
(a)
(b)
二、支承对压杆临界载荷的影响
临界载荷欧拉公式的一般形式:
EI Fcr 2 ( l )
2
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定 两端固定 两端铰支
: : : :
＝ ＝ ＝ ＝
2.0 0.7 0.5 1.0
若 A = 0，则与压杆处于微弯状态的假设不符 因此可得：
y
Fcr
y =Asinkx + Bcoskx
B=0 sinkl • A =0
y FN
sinkl = 0
kl n （n = 0、1、2、3……） n k l
由 k2 Fcr 可得 EI
2 2
y Fcr
n EI Fcr 2 l
临界载荷: 屈曲位移函数 :
n EI Fcr 2 l nx y ( x) A sin l
2 2
临界力 F c r 是微弯下的最小压力， 故取 n = 1。且杆将绕惯性矩最小的 轴弯曲。
最小临界载荷:
Fcr
2 EImin
l
2
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的欧拉公式
(a)
F j x = A [ b] = 6 KN
材 料 力 学
11.1、压杆稳定概念
11.2、铰支细长压杆的临界力
11.3、其它支撑情况下细长压杆的临界力
11.4、临界应力 欧拉公式的适用范围
§11-1
压杆的稳定概念
拉压杆的强度条件为：
FN = —— [ ] A
(a): 木杆的横截面为矩形（12cm), 高为3cm，当荷载重量为6kN 时杆还不致破坏。