材料力学之压杆稳定
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材料力学-压杆稳定
欧拉公式是针对着两端铰支的情况推得的。
Pcr
2 EI
l2
此时若杆件横截面不同时 ，取 I I m in ，弯曲发生在抗弯 能力最弱的平面内。称最小刚度平面。 对于其他约束条件，常数 c1, c2 , k 由约束条件确定，经推导得： 两端铰支： 1 微弯曲线为正弦半波形状 2 EI 一端固定一端自由： 2 微弯曲线为半个正弦半波 pcr 2 ( l ) 两端固定： 0.5 一端固定一端铰支： 0.7
n0 p 0
不符合情况
n 1 pcr
2 EI
l2
这就是确定两端铰支压杆临界载荷的 欧拉公式，其临界力称欧拉临界力。它 与抗弯刚度EI成正比，与杆长L2成反比。 这公式只适用于弹性稳定问题
7
此时挠度
n y ( x) c1 sin k x c1 sin x l x y ( x) c1 sin (0 x l ) 正弦半波形 l
10
§13-5
临界应力与柔度、三类不同的压杆
杆件尺寸不同，其失稳的形式也不同。P335 对于“细长”杆：发生弹性失稳的可能性较大。 ---“弹性屈曲” 对于“粗短”杆：发生材料屈服的可能性较大。 ---“屈服” 对于“中长”杆：有可能发生失稳，但其临界应力已超过比例极 限， 局部区域已进入塑性。 ----“弹塑性屈曲” 怎样区分三类不同的压杆？即多长的杆会发生弹性屈曲、屈服 、弹—塑性屈服？下面引入“柔度”概念。 临界应力 cr ： Pcr cr
3
当纵向力P较小时，可看到扰动除去后，杆经若干次振动 而恢复原来的直线形式，即表明此时压杆直线形式的弹性平衡 是稳定的。 当总向力P较大时，可看到扰动除去后，杆不能恢复原来 的直线形式，而且继续弯曲，最后转入新的稳定平衡形式。即 曲线形式或由于弯曲太甚而杆被折断，此表明原来的弹性平衡 不稳定。 这说明：当压力大于一定数值时，压杆存在两种可能的平衡 形式。即直线和弯曲的平衡形式。但直线形式是不稳定的。而 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为“失稳”或“ 弯曲”。 那么当压力多大时，直线平衡形式不稳定（被破坏）？
Pcr
2 EI
l2
此时若杆件横截面不同时 ，取 I I m in ，弯曲发生在抗弯 能力最弱的平面内。称最小刚度平面。 对于其他约束条件，常数 c1, c2 , k 由约束条件确定，经推导得： 两端铰支： 1 微弯曲线为正弦半波形状 2 EI 一端固定一端自由： 2 微弯曲线为半个正弦半波 pcr 2 ( l ) 两端固定： 0.5 一端固定一端铰支： 0.7
n0 p 0
不符合情况
n 1 pcr
2 EI
l2
这就是确定两端铰支压杆临界载荷的 欧拉公式，其临界力称欧拉临界力。它 与抗弯刚度EI成正比，与杆长L2成反比。 这公式只适用于弹性稳定问题
7
此时挠度
n y ( x) c1 sin k x c1 sin x l x y ( x) c1 sin (0 x l ) 正弦半波形 l
10
§13-5
临界应力与柔度、三类不同的压杆
杆件尺寸不同，其失稳的形式也不同。P335 对于“细长”杆：发生弹性失稳的可能性较大。 ---“弹性屈曲” 对于“粗短”杆：发生材料屈服的可能性较大。 ---“屈服” 对于“中长”杆：有可能发生失稳，但其临界应力已超过比例极 限， 局部区域已进入塑性。 ----“弹塑性屈曲” 怎样区分三类不同的压杆？即多长的杆会发生弹性屈曲、屈服 、弹—塑性屈服？下面引入“柔度”概念。 临界应力 cr ： Pcr cr
3
当纵向力P较小时，可看到扰动除去后，杆经若干次振动 而恢复原来的直线形式，即表明此时压杆直线形式的弹性平衡 是稳定的。 当总向力P较大时，可看到扰动除去后，杆不能恢复原来 的直线形式，而且继续弯曲，最后转入新的稳定平衡形式。即 曲线形式或由于弯曲太甚而杆被折断，此表明原来的弹性平衡 不稳定。 这说明：当压力大于一定数值时，压杆存在两种可能的平衡 形式。即直线和弯曲的平衡形式。但直线形式是不稳定的。而 压杆从直线平衡形式到弯曲平衡形式的转变称为“失稳”或“ 弯曲”。 那么当压力多大时，直线平衡形式不稳定（被破坏）？
材料力学压杆稳定
D 0, C 1 l 2
3
x 0, w
1 Fa l 2
3 EIl
3EI Fcr al
§14.7 纵横弯曲旳概念
❖9.15
作业9－2
在图示铰接杆系ABC中，AB和BC皆为细长压杆， 且截面相同，材料一样。若因在ABC平面内失稳而 破坏，并要求0<</2，试拟定F为最大值时旳角。
Fcr
2 EI ( l )2
截 面
F
F
材
料
相
同 ，
1.5l
2l
拟
定
失
稳
顺 l 3l
2l
序 。
(1)
(4)
F
F
F
4l
5l
3l
2.8l
2.5l
1.5l
(2)
(3)
(5)
Fcr
2 EI ( l )2
图示托架中AB杆旳直径
d=30mm,长度l=800mm，
两端可视为铰支，材料为
F
A3钢，s=240MPa。试求
第九章 压杆稳定
§9.1 压杆稳定旳概念 §9.2 两端铰支细长压杆旳临界压力 §9.3 其他支座条件下细长压杆旳临界压力 §9.4 欧拉公式旳合用范围 经验公式 §9.5 压杆旳稳定校核 §9.6 提升压杆稳定性旳措施 §9.7 纵横弯曲旳概念
§9.1 压杆稳定旳概念
1. 平衡旳稳定性
a）稳定平衡
B = 0 sinkl=0 kl = n k = n/l
F
k 2 EI
n
2
EI
l
Fcr
2 EI l2
w
A
sin
x
l
§9.3 其他支座条件下细长压杆 旳临界压力
材料力学之压杆稳定
材料力学之压杆稳定引言材料力学是研究物体内部受力和变形的学科，压杆稳定是其中的一个重要内容。
压杆稳定是指在受到压力作用时，压杆能够保持稳定，不发生失稳或破坏的现象。
本文将介绍压杆稳定的基本原理、稳定条件以及一些常见的失稳形式。
压杆的受力分析在进行压杆稳定分析前，我们首先需要对压杆受力进行分析。
压杆通常是一根长条形材料，两端固定或铰接。
在受到外部压力作用时，压杆会受到内部的压力，这些压力会导致杆件产生变形和应力。
在分析压杆稳定性时，我们主要关注压杆的弯曲和侧向稳定性。
压杆的基本原理压杆的稳定性是由杆件的弯曲和侧向刚度共同决定的。
当压杆弯曲和侧向刚度足够大时，压杆能够保持稳定。
所以，为了提高压杆的稳定性，我们可以采取以下几种措施：1.增加杆件的截面面积，增加抗弯能力；2.增加杆件的高度或长度，增加抗弯刚度；3.增加杆件的横向剛性，增加抗侧向位移能力；4.添加支撑或加固结构，增加整体稳定性。
压杆的稳定条件压杆稳定的基本条件是在承受外部压力时，内部应力不超过材料的极限强度。
当内部应力超过材料的极限强度时，压杆将会发生失稳或破坏。
在实际工程中，我们一般采用压杆的临界压力比来判断压杆的稳定性。
临界压力比是指杆件在失稳前的临界弯曲载荷与临界弯曲载荷之比。
当临界压力比大于1时，压杆是稳定的；当临界压力比小于1时，压杆是不稳定的。
临界压力比的计算可以采用欧拉公式或者Vlasov公式等方法。
这些方法能够给出压杆在不同边界条件下的临界压力比。
在工程实践中，我们可以根据具体问题选择合适的方法来计算临界压力比。
压杆的失稳形式压杆失稳通常有两种形式：弯曲失稳和侧向失稳。
弯曲失稳压杆的弯曲失稳是指杆件在受到外部压力作用时，发生弯曲变形并导致失稳。
在弯曲失稳中，压杆的弯曲形态可以分为四种：1.局部弯曲失稳：杆件出现弯曲局部失稳，形成凸起或凹陷；2.局部弯扭失稳：杆件出现弯曲和扭曲共同失稳；3.全截面失稳：整个杆件截面均发生失稳；4.全体失稳：整个杆件完全失稳并失去稳定性。
材料力学_压杆稳定
π 2E λp = σp
欧拉公式仅适用于细长压杆的稳定计算
对Q235 钢,E=200GPa,σp=200MPa,则 , ,
200 × 109 λp = π ≈ 100 6 200 × 10
9.2 压杆的临界应力
二,临界应力总图 大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): 细长压杆
σ cr σs
π 2 EI π 2E Fcr σ cr = = = 2 A (l / i )2 A(l )
其中
记
λ=
l
i
压杆的柔度或 压杆的柔度或长细比 欧拉临界应力
i=
I A
π 2E σ cr = 2 λ
(λ = λmax )
π 2E π 2E σ cr = 2 ≤ σ p λ ≥ λ σp
大柔度压杆(细长压杆 : 大柔度压杆 细长压杆): λ ≥ λ p 细长压杆
σp
σ cr = σ s
σcr = a1 b1λ
2
π 2E σ cr = 2 λ
直线经验公式: 直线经验公式:
(λ ≥ λ p )
σ cr = a bλ
σ cr = π E λ2
2
中柔度压杆(中长压杆 中柔度压杆 中长压杆) 中长压杆
σ cr = a bλ (λs ≤ λ ≤ λ p )
σ cr ≤ σ s (σ b ) λs =
2
d y = M ( x) = M B + FBy (l x) Fy 2 dx
2
k2 =
F EI ~ M M= B F
y
A
y (0) = 0 y′(0) = 0 y (l ) = 0 y′(l ) = 0 ~ ~ B + M + F l = 0 0 1 1 l ~ k 0 0 1 A k F = 0 =0 ~ sin kl cos kl 1 0 A sin kl + B cos kl + M = 0 ~ k cos kl k sin kl 0 1 kA cos kl kB sin kl F = 0 kl sin = 0 or Det = k[kl sin kl 2(1 cos kl )] 2 kl kl kl kl kl = 2k sin ( kl cos 2 sin ) = 0 (kl cos 2 sin ) = 0 2 2 2 2 2
材料力学 第九章 压杆稳定
cr s p
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
cr s cr a b
cr
小柔度杆 中柔度杆
O
π2 E
2
大柔度杆
2
1
l
i
大柔度杆—发生弹性失稳 中柔度杆—发生非弹性失稳 小柔度杆—不发生失稳，而发生强度失效
Fuzhou University
杆类型
大柔度杆
定义
1
临界力
π EI Fcr ( l ) 2
n 0,1, 2
取
n 1
π 2 EI Fcr 2 l
细长压杆的临界载荷的欧 拉公式 (两端铰支)
Fuzhou University
材料力学课件
w A sin kx B co s kx
kl n , n 0,1, 2
F x l w F x
取 n 1
π 2 EI Fcr 2 l
2
临界应力
cr π2E性质Fra bibliotek2
稳定 稳定 强度
中柔度杆 2 1 Fcr A(a b ) 小柔度杆
cr a b
2
Fcr A s
cr s
l
i
1 π
i
E
I A
1.0, 0.5, 0.7, 2.0
a s 2 b
Fcr
Fcr
π 2 EI
2l
2
π 2 EI
0.7l
2
π 2 EI Fcr 2 (l )
欧拉公式的普遍形式
Fuzhou University
材料力学课件 讨论：
π 2 EI Fcr ( l )2
材料力学第九章 压杆稳定
02
创新研究方法与手段
积极探索新的实验技术和数值模拟方法，提高压杆稳定研究的精度和可
靠性。
03
拓展应用领域
将压杆稳定研究成果应用于更多领域，解决实际工程问题，推动科学技
术进步。
THANKS
感谢观看
稳定性取决于压杆的初始弯曲程度、压力的大小 和杆件的材料特性。
当压杆受到微小扰动时，如果能够恢复到原来的 平衡状态，则称其为稳定；反之，则为不稳定。
压杆的临界载荷
临界载荷是指使压杆由稳定平衡 状态转变为不稳定平衡状态的载
荷。
当压杆所受压力小于临界载荷时， 压杆保持稳定平衡状态；当压力 大于临界载荷时，压杆将失去稳
相应措施进行解决。
建筑结构中的压杆问题
02
高层建筑、大跨度结构等建筑中的梁、柱等部件可能发生失稳，
需要加强设计和施工控制。
压力容器中的压杆问题
03
压力容器中的管道、支撑部件等可能发生失稳，需要采取相应
的预防和应对措施。
05
压杆稳定的未来发展与展望
压杆稳定研究的新趋势
跨学科交叉研究
压杆稳定与材料科学、计算科学、工程结构等领域相互渗透，形 成多学科交叉的研究趋势。
工程中常见的压杆问题
1 2
细长杆失稳
细长杆在压力作用下容易发生弯曲，导致失稳。
短粗杆失稳
短粗杆在压力作用下可能发生局部屈曲，导致失 稳。
3
弹性失稳
材料在压力作用下发生弹性变形，当压力超过某 一临界值时，杆件发生失稳。
解决压杆失稳的方法与措施
加强材料质量
选择优质材料，提高材料的弹 性模量和抗拉强度，以增强压
材料力学第九章 压杆稳 定
• 引言 • 压杆稳定的基本理论 • 压杆稳定的实验研究 • 压杆稳定的工程应用 • 压杆稳定的未来发展与展望
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力
材料力学压杆稳定概念欧拉公式计算临界力材料力学是研究物体受力及变形行为的一门学科。
压杆稳定是材料力学中重要的概念之一、当一个杆件受到作用力时，如果杆件不发生任何形状上的变化，我们称之为杆件处于稳定状态。
然而，当作用力超过一定临界值时，杆件就会发生失稳，产生形状上的变化。
因此，欧拉公式就是用来计算杆件临界力的一种方式。
欧拉公式由瑞士数学家欧拉于18世纪中叶首次提出。
它的基本假设是杆件是理想化的，即杆件是均匀、无缺陷、具有均匀截面的杆件。
根据欧拉公式，杆件临界力可通过以下公式计算：Pcr = (π^2 * E * I) / L^2其中，Pcr表示临界力，E表示杨氏模量，I表示截面惯性矩，L表示杆件的有效长度。
从上述公式中可以看出，临界力与材料的弹性模量有关，即材料越硬，临界力越大；同时临界力与截面的形状也有关，即截面惯性矩越大，临界力越大；临界力还与杆件长度有关，即杆件越短，临界力越大。
例子：假设有一根长为L的无缺陷的圆柱形杆件，其截面半径为r，杨氏模量为E。
根据材料力学的知识，该圆柱形杆件的截面惯性矩可计算为I=(π*r^4)/4Pcr = (π^2 * E * ((π * r^4) / 4) ) / L^2通过上述公式，可以计算出该无缺陷的圆柱形杆件的临界力。
这个临界力表示了该杆件能够承受的最大作用力。
如果作用力超过了临界力，该杆件将发生失稳，产生形状上的变化。
总结起来，材料力学中的压杆稳定概念是指杆件在受力作用下不发生形状上的变化。
欧拉公式是用来计算杆件临界力的一种常用公式，可以帮助工程师们确定杆件的最大承载能力。
材料力学：压杆稳定
坍塌后的奎拜克桥
材料力学教学课件
韩国汉城
1995年6月29日下午，韩国汉城三 丰百货大楼，由于盲目扩建、加层， 致使大楼四五层立柱不堪重负而产 生失稳破坏，大楼倒塌，死502人， 伤930人，失踪113人。
2020年2月3日星期一
10
第九章 压杆稳定
中国南京 2000年10月25日上午10时，南京电视台演播中 心演播大厅的屋顶的施工中，由于脚手架失稳， 造成屋顶模板倒塌，死6人，伤34人。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
26
第九章 压杆稳定
1）、细长杆的临界应力
cr
2E 2
p
2E p
引入记号 1
2E p
欧拉公式的适用范围
l
i
1
2E p
2）、中长杆的临界应力（经验公式）
cr a b, 2 1
sin
kl
l
coskl
0
2020年2月3日星期一
19
第九章 压杆稳定
由于杆在微弯状态下保持平衡时，
Fy不可能等于零，故由上式得
1 sin kl l coskl 0 k 亦即 tan kl kl
满足此条件的最小非零解为kl=4.49，亦即 Fcr l 4.49 EI
从而得到此压杆求临界力的欧拉公式：
受均匀压力的球形薄壳或薄圆环，当压力超过一定数值时，圆环将 不能保持圆对称的平衡形式，而突然变为非圆对称的平衡形式。
材料力学教学课件
2020年2月3日星期一
9
第九章 压杆稳定
由于构件的失稳往往是突然发生的，因而其危害性也较大。 历史上曾多次发生因构件失稳而引起的重大事故。如1907年 加拿大劳伦斯河上，跨长为548米的奎拜克大桥，因压杆失 稳，导致整座大桥倒塌。近代这类事故仍时有发生。
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2
33
§10-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一. 压杆的临界应力
2EI Pcr 2 (l )
cr
2 2 2EI E (i A) 2 E 2 2 2 A (l ) A (l ) A l
Pc r
l
i
E cr 2
2
i
正方形
等边角钢
槽钢
29
例: 五根直径都为 d 的细长圆杆,铰接构成平面正方形 杆系 ABCD , 如各杆材料相同, 弹性模量为 E 。 求: 图 (a)、(b) 所示两种载荷作用下杆系所能承受的 最大载荷。
30
解: 图 (a) 中, BD 杆受压 , 其余杆受拉。 BD 杆的临界压力 Pcr
研究压杆稳定性问题尤为重要
11
12
压 杆 的 稳 定 性 试 验
13
14
第十章 压杆稳定
本章要点
(1) 稳定性概念 (2) 细长压杆临界压力的计算公式——欧拉公式 (3) 稳定性强度较核
关键概念
稳定性、细长压杆、临界压力、欧拉公式、 稳定性安全系数、临界应力总图、柔度、长细比
15
目录
§14-1 压杆稳定性的基本概念
§12-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §14-3 细长压杆的临界压力 欧拉公式
§14-4 压杆的临界应力及临界应力总图 §14-5 压杆的稳定性计算
16
§10-1 压杆稳定性的概念
平衡稳定性的概念
钢板尺：一端固定, 一端自由, 受轴向压
17
其它构件的稳定性
P P
失稳 ---- 压杆由稳定的直线平衡状态 变为不稳定的直线平衡状态的现象。 Pcr ---- 称为临界压力 使压杆不失稳的最大轴向压力 或 使压杆失稳的最小轴向压力。 稳定性 ---- 压杆保持原有直线平衡形态的能力。 与压杆的材料、截面形式、 工程上要求 Pmax ＜ Pcr 18 长度、及杆端约束有关。
9
案例2. 1995年6月29日下午, 韩国汉城三丰百货大楼, 由于盲目扩建, 加层, 致使大楼四五层立柱不堪重负而 产生失稳破坏, 大楼倒塌, 死 502人, 伤930人, 失踪113人。
10
案例3 . 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心 由于脚手架失稳, 造成屋顶模板倒塌,死6人, 伤34人 。
要使 P 最大,只有 FN1 , FN2 都达到临界压力, 即
P cos P sin
2E I
l1
2
（1） （2）
2E I
l2 2
2
①
90
②
将式 (2) 除式 (1) 便得
l1 tg l 2
ctg
2
arctg(ctg )
杆系所能承受的最大载荷
2EI
2a
2
2EI
2a 2
Pmax Pcr
2 EI
( 2a )
2
3 Ed 4
128a
2
图 (b) 中, BD 杆受拉 , 其余杆受压 。 四压杆的临界压力: 2EI Pcr a2 杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
3 Ed 4
2
2E p
欧拉公式的适用范围：
p
35
满足该条件的压杆称为细长杆或大柔度杆。
对低碳钢, 当取 E=206GPa , σp = 200MPa ,
2E 2 206 109 p 100 6 p 200 10 所以, 对低碳钢材料, 只有压杆的长细比λ≥100 时, 才能应用欧拉公式计算其临界压力。 当压杆的长细比 λ＜λp 时, 欧拉公式已不适用。
2
μ-----长度系数
Pc r
EI
2
EI
2
EI
2
EI
2
l
2
μ=1
( 2l ) μ=2
2
(0.7l ) μ=0.7
2
(0.5l ) μ=0.521
2
Pcr
l
2l l
l C 0.7l
Pcr
Pcr
0.5l Pcr
22
例: 材料相同, 直径相等的三根细长压杆如图示, 如取 E=200GPa , d=160mm , 试: 计算三根压杆的临界压力, 并比较大小。
1:1:5
Pcr a : Pcr b : Pcr c cr a A1 : cr b A2 : cr c A3
1: 2 : 20
42
例: 图示圆截面压杆 d=40mm , σs = 235MPa 。 求: 可以用经验公式σcr=304-1.12λ(MPa) 计算临界应力 时的最小杆长。
得 则
v k v 0
2
19
通解为 通解： v
A sin kx B cos kx
通解 通解： v 边界条件
A sin kx B cos kx x 0 ，v 0 B0
P kl n (n 0,1,2,) k EI n P n 2 2 E I k P EI l l2
稳定性条件也可以表示成： 式中
ns t
Pc r Pmax
[ns t ]
n s t为压杆实际的工作稳定安全系数。
40
例:非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力， 其结果比实际＿＿＿＿＿＿； 大，危险 横截面上的正应力有可能＿＿＿＿＿＿＿＿。 超过比例极限
例: 三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的 细长杆结构, 各自的截面形状如图。 求: 三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
8
27
例: 圆截面的细长压杆, 材料、杆长和杆端约束保持 不变, 若将压杆的直径缩小一半, 则其临界力为 1 原压杆的＿＿ 16 ; 若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面, 则其临界力为原压杆的＿＿倍。 3
解: (1).
(2).
2 E I E 64 Pcr 2 ( l) ( l) 2
在工程上, 一般采用经验公式。在我国的设计手册 和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。
则
直线公式
cr a b
36
式中 a、b 是与材料性质有关的系数。
表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木 a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7 b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
2
图 (b) 中, AB , BD 杆受压
N AB N BD P2
EI
2
a
2
P2
2EI
a2
26
例: 长方形截面细长压杆, b/h=1/2 ; 如果将 b 改为 h 后 仍为细长杆, 临界力 Pcr 是原来的多少倍？ 解：
Pcr b Pcr a
2 E Ib h4 3 Ib ( l) 2 h 12 2 3 E Ia b I a hb ( l) 2 12
解: 由
a s 304 235 616 . s 112 . b l 要求 s i
有
0.04 i l s 616 . 4 0.88 m 0.7
E cr 2
2
41
cr a : cr b : cr c
l
i
4
E E E : : 2 2 2 1 2 3
2 2 2
I1 I 2 I 3 i1 : i2 : i3 A : A : A 1 2 3
2 2 2
4
2 4 2 d d d d d 4 2 64 4 2 64 64 : : d 2 d2 d2 4 2 4 4 4
1
工程实例
2
3
4
5
6
工程背景
7
工程背景
8
失稳破坏案例
案例 1
上世纪初, 享有盛誉的美国桥梁学家库伯 (Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥 (Quebec Bridge) 1907年8月29日, 发生稳定性破坏, 85 位工人死亡, 成为上世纪十大工程惨剧之一。
P P P
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
23
P
解: 三根压杆的临界压力分别为:
2 EI 2 200 109 (a) . Plj 2 L 1 52
EI b . Plj 2 L
2
0.164
64 2540kN
0.7 7
2
x l ，v 0 A sin kl 0
sin kl 0
x
Fcr
l m m
2EI
l
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
y
B
v A sin kx A sin
x
A — 最大挠度
20
二. 其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
EI P cr 2 ( l)
§10-2 细长压杆的临界压力欧拉公式
一. 两端铰支细长压杆的临界压力 设: 理想的中心受压细长杆, 在最小抗弯平面内失稳。
x
Fcr
M ( x) P v E I v M ( x) P v
F
M(x)=-Fv m x B
l m m m x
w
y B
y
P 即 v v0 即 EI P 2 令 令k EI
33
§10-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一. 压杆的临界应力
2EI Pcr 2 (l )
cr
2 2 2EI E (i A) 2 E 2 2 2 A (l ) A (l ) A l
Pc r
l
i
E cr 2
2
i
正方形
等边角钢
槽钢
29
例: 五根直径都为 d 的细长圆杆,铰接构成平面正方形 杆系 ABCD , 如各杆材料相同, 弹性模量为 E 。 求: 图 (a)、(b) 所示两种载荷作用下杆系所能承受的 最大载荷。
30
解: 图 (a) 中, BD 杆受压 , 其余杆受拉。 BD 杆的临界压力 Pcr
研究压杆稳定性问题尤为重要
11
12
压 杆 的 稳 定 性 试 验
13
14
第十章 压杆稳定
本章要点
(1) 稳定性概念 (2) 细长压杆临界压力的计算公式——欧拉公式 (3) 稳定性强度较核
关键概念
稳定性、细长压杆、临界压力、欧拉公式、 稳定性安全系数、临界应力总图、柔度、长细比
15
目录
§14-1 压杆稳定性的基本概念
§12-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §14-3 细长压杆的临界压力 欧拉公式
§14-4 压杆的临界应力及临界应力总图 §14-5 压杆的稳定性计算
16
§10-1 压杆稳定性的概念
平衡稳定性的概念
钢板尺：一端固定, 一端自由, 受轴向压
17
其它构件的稳定性
P P
失稳 ---- 压杆由稳定的直线平衡状态 变为不稳定的直线平衡状态的现象。 Pcr ---- 称为临界压力 使压杆不失稳的最大轴向压力 或 使压杆失稳的最小轴向压力。 稳定性 ---- 压杆保持原有直线平衡形态的能力。 与压杆的材料、截面形式、 工程上要求 Pmax ＜ Pcr 18 长度、及杆端约束有关。
9
案例2. 1995年6月29日下午, 韩国汉城三丰百货大楼, 由于盲目扩建, 加层, 致使大楼四五层立柱不堪重负而 产生失稳破坏, 大楼倒塌, 死 502人, 伤930人, 失踪113人。
10
案例3 . 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心 由于脚手架失稳, 造成屋顶模板倒塌,死6人, 伤34人 。
要使 P 最大,只有 FN1 , FN2 都达到临界压力, 即
P cos P sin
2E I
l1
2
（1） （2）
2E I
l2 2
2
①
90
②
将式 (2) 除式 (1) 便得
l1 tg l 2
ctg
2
arctg(ctg )
杆系所能承受的最大载荷
2EI
2a
2
2EI
2a 2
Pmax Pcr
2 EI
( 2a )
2
3 Ed 4
128a
2
图 (b) 中, BD 杆受拉 , 其余杆受压 。 四压杆的临界压力: 2EI Pcr a2 杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
3 Ed 4
2
2E p
欧拉公式的适用范围：
p
35
满足该条件的压杆称为细长杆或大柔度杆。
对低碳钢, 当取 E=206GPa , σp = 200MPa ,
2E 2 206 109 p 100 6 p 200 10 所以, 对低碳钢材料, 只有压杆的长细比λ≥100 时, 才能应用欧拉公式计算其临界压力。 当压杆的长细比 λ＜λp 时, 欧拉公式已不适用。
2
μ-----长度系数
Pc r
EI
2
EI
2
EI
2
EI
2
l
2
μ=1
( 2l ) μ=2
2
(0.7l ) μ=0.7
2
(0.5l ) μ=0.521
2
Pcr
l
2l l
l C 0.7l
Pcr
Pcr
0.5l Pcr
22
例: 材料相同, 直径相等的三根细长压杆如图示, 如取 E=200GPa , d=160mm , 试: 计算三根压杆的临界压力, 并比较大小。
1:1:5
Pcr a : Pcr b : Pcr c cr a A1 : cr b A2 : cr c A3
1: 2 : 20
42
例: 图示圆截面压杆 d=40mm , σs = 235MPa 。 求: 可以用经验公式σcr=304-1.12λ(MPa) 计算临界应力 时的最小杆长。
得 则
v k v 0
2
19
通解为 通解： v
A sin kx B cos kx
通解 通解： v 边界条件
A sin kx B cos kx x 0 ，v 0 B0
P kl n (n 0,1,2,) k EI n P n 2 2 E I k P EI l l2
稳定性条件也可以表示成： 式中
ns t
Pc r Pmax
[ns t ]
n s t为压杆实际的工作稳定安全系数。
40
例:非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力， 其结果比实际＿＿＿＿＿＿； 大，危险 横截面上的正应力有可能＿＿＿＿＿＿＿＿。 超过比例极限
例: 三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的 细长杆结构, 各自的截面形状如图。 求: 三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
8
27
例: 圆截面的细长压杆, 材料、杆长和杆端约束保持 不变, 若将压杆的直径缩小一半, 则其临界力为 1 原压杆的＿＿ 16 ; 若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面, 则其临界力为原压杆的＿＿倍。 3
解: (1).
(2).
2 E I E 64 Pcr 2 ( l) ( l) 2
在工程上, 一般采用经验公式。在我国的设计手册 和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。
则
直线公式
cr a b
36
式中 a、b 是与材料性质有关的系数。
表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木 a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7 b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
2
图 (b) 中, AB , BD 杆受压
N AB N BD P2
EI
2
a
2
P2
2EI
a2
26
例: 长方形截面细长压杆, b/h=1/2 ; 如果将 b 改为 h 后 仍为细长杆, 临界力 Pcr 是原来的多少倍？ 解：
Pcr b Pcr a
2 E Ib h4 3 Ib ( l) 2 h 12 2 3 E Ia b I a hb ( l) 2 12
解: 由
a s 304 235 616 . s 112 . b l 要求 s i
有
0.04 i l s 616 . 4 0.88 m 0.7
E cr 2
2
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cr a : cr b : cr c
l
i
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E E E : : 2 2 2 1 2 3
2 2 2
I1 I 2 I 3 i1 : i2 : i3 A : A : A 1 2 3
2 2 2
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2 4 2 d d d d d 4 2 64 4 2 64 64 : : d 2 d2 d2 4 2 4 4 4
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工程实例
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工程背景
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工程背景
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失稳破坏案例
案例 1
上世纪初, 享有盛誉的美国桥梁学家库伯 (Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥 (Quebec Bridge) 1907年8月29日, 发生稳定性破坏, 85 位工人死亡, 成为上世纪十大工程惨剧之一。
P P P
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
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P
解: 三根压杆的临界压力分别为:
2 EI 2 200 109 (a) . Plj 2 L 1 52
EI b . Plj 2 L
2
0.164
64 2540kN
0.7 7
2
x l ，v 0 A sin kl 0
sin kl 0
x
Fcr
l m m
2EI
l
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
y
B
v A sin kx A sin
x
A — 最大挠度
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二. 其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
EI P cr 2 ( l)
§10-2 细长压杆的临界压力欧拉公式
一. 两端铰支细长压杆的临界压力 设: 理想的中心受压细长杆, 在最小抗弯平面内失稳。
x
Fcr
M ( x) P v E I v M ( x) P v
F
M(x)=-Fv m x B
l m m m x
w
y B
y
P 即 v v0 即 EI P 2 令 令k EI