两个rv的函数分布

例. 设X和Y相互独立 , 且都服从 N(0, ),
2
求Z X Y 的分布函数 . x 1 解 :已 知f X (x) e 2 ,- x , 2 y 1 f Y (y) e 2 ,- y , 2
2 2
2 2 2 2
先求FZ (z ) P X 2 Y 2 z ,
-
例4.设X , Y分 别 表 示 两 只 不 同 型 的 号灯 泡 的 寿 命 , X , Y相 互 独 立 ,它 们 的 概 率 密 度 依 次 为 e -x , x 0 , 2e - 2 y , y 0 , f X(x) , f Y (y) 0 , 其 他, 0 , 其 他, X 试 求Z 的 概 率 密 度 函 数 . Y
解 :由f Z (z )
f Z (z ) ye
0


y f X (yz)f Y (y )dy有
2y
yz
2e
dy 2ye y ( z 2 ) dy
0

2 , z 0, 2 f Z (z) 0,当z 0时. 即 f Z (z) ( 2 z) z 0. 0,
(z) FZ


0
f(z y,y)ydy f(z y,y)( y)dy
-
0



-
f(z y,y) y dy
得 f Z (z) f(z y,y) y dy.
-

特别地, 当X,Y相互独立时,
f Z (z) f X (z y)f Y (y) y dy .
离散型r.v. 的和函数的分布:
设X,Y是离散型r.v.且相互独立, 其分布律分别为: P{X=i}=pi,i=0,1,2,3,…, P{Y=j}=qj,j=0,1,2,3,…, 求 Z=X+Y的分布律.
解:
P{Z=k}=P{X+Y=k} P{ X i, Y k i}
P{ X i} P{Y k i}
FZ (z) Pg(X,Y) z (2) 在 求Pg(X,Y) z 的过程中 , 用到下列等式 : Pg(X,Y) z f(x,y)dxdy
g(x,y) z
其 中f(x,y)为(X,Y)的 联 合 密 度 函 数 .
( 3 ) 利用密度函数与分布函 数的关系 求出Z g(X,Y)的概率密度 .
当z 0时, FZ (z ) 0,


当z 0时, FZ (z ) P{ X 2 Y 2 z}
1 e 2 2 πσ 2 2 x y z x2 y 2 2 2
dxdy
x rcos 作极坐标变换 y rsin
(0 r z , 0 2)
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}+ P{X=-1,Y=1} =5/18
P{Z=1}=P{X=-1,Y=2}+ P{X=0,Y=1} +P{X=1,Y=0} =6/18 P{Z=2}=P{X=0,Y=2}+ P{X=1,Y=1} =5/18 P{Z=3}=P{X=1,Y=2} =1/18 Z=X+Y的分布列: Z -1 0 -1 1/18 5/18 1 6/18 2 3 5/18 1/18
当X与 Y相 互独立时 , f(x,y) f X (x) f Y (y)有
f Z (z) - f X (x) f Y (z - x)dx f X (z - y) f Y (y)dy - 称为卷积公式 , 记为f X * f Y .


结论: 若X, Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y 也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密度函数 的卷积.
i 1
i!
e 1 , e 2 ,
k
i 0,1, j 0,1,
i0

j 2
由上式知, P{Z=k} P{X Y k } p i q k i , k 0,1,2,...
k
j!
i k i k i1 1 k2i 2 ( ) 1 2 1 2 P{Z k } e e e i ! ( k i )! i 0 i 0 i! (k i )!
1 e 2π
z2 4



e
t 2
dt

1 2
e
z2 4N( k , ) (k 1,2,n)且X 1 , X 2 , , X n 相 互 独 立, 则 它 们 的 和 2 2 2 X1 X n ~ N( 1 2 n , 1 2 n ) . 进 一 步, 有 限 个 相 互 独 立 的 正 r.v. 态 的线性组合仍 服从正态分布 .
反 之, 若X, Y都 小 于 等 于 z ,则 它 们 中 的 大 者 也 小 于 等 于z , 于 是 max(X,Y) z X z, Y z
从而FM (z) Pmax(X,Y) z P X z, Y z
FX (z) FY (z)
P{X z}P{Y z} (X,Y相互独立 )
特别地, 当X1,X2,…,Xn 相互独立同分布时, 设它们的分布函数为F(x), 则 FM(z)=(F(z))n, FN(z)=1-(1-F(z))n.
(四) 利用“分布函数法”导出两r.v.的和,商等的分布 函数或密度函数的公式, 其要点为:
(1) 为求r.v.函数g(X,Y)的密度函数 先求它的分布 ,
i0
k i0
k
k
i0
(X与Y相互独立)
于是有: P{X Y k } p i q k i , k 0,1,2,... 这就是Z=X+Y的分布律.
例 设X,Y是相互独立, 分别服从参数为1,2的泊 松分布, 试证明Z=X+Y服从参数为1+2指数分布. 证明: 已知
P{ X i } P{Y j }
1 P{X z} P{Y z} (相互独立 )
1 (1 P{X z})(1 P{Y z})
1 (1 FX (z))(1 FY (z)).
推广: 设X1,X2,…,Xn相互独立, 分布函数分别为F1(x),F2(x),…,Fn(x), 则 M=max(X1,X2,…,Xn)的分布函数为 FM(z)=F1(z)· F2(z)…Fn(z) N=min(X1,X2,…,Xn)的分布函数为 FN(z)=1-(1-F1(z))· (1-F2(z))…(1-Fn(z))
2
由卷积公式有 f Z (z) - f X (x)f Y (z - x)dx



e
x2 2
e
(z x) 2 2
1 dx e 2π
z2 4

z 4
2



e
z x 2
dx
z 令t x - , 得f Z ( z ) 1 e 2 2π
2 k
注意:（1）上例中“独立性”条件不可缺少。 （2） X, Y同分布，不一定有X=Y。 例如： Ｘ服从Ｎ(0,1)分布，则Y=-X也服从Ｎ(0,1)分布 显然不满足X=Y.
(二) 商(Z=X/Y)的分布:
X 设( X, Y )的 密 度 函 数 为 f ( x,y ),求Z ( Y 0)的 分 布 密 度 . Y
r2
2 z - 2 1 2 于是 FZ (z) d e rdr 2 0 0 2 r2 z2 1 - 2 2 2 2 z 2 e 1 e 2 2 2 0 2
z (z) 2 e FZ
2
-
z
2 2
z -z2 2 e 2 , z 0, f Z (z ) (参 数 为 的 瑞 利 分 布 ) 0, z 0.
仍用 "分布函数法 " , 先求Z的分布函数
FZ (z )
X P{( X, Y ) G }, 其中G ( x, y ) x z , P z y Y
如图 , 于是 FZ (z )

x / yz
f(x,y)dxdy


0
yz f(x, y)dx dy 0 f(x, y)dx dy - - yz
假设积分与求导可交换 次序, z-y (z ) f(x,y)dx dy f(z - y, y)dy FZ - - -
由此得到 Z的密度函数 f Z (z)
-


-
f(z - y, y)dy.
类似地 , f Z (z ) f(x,z - x) dx.
(1 2 ) 1 ( 1 2 ) k k! i k i e k e 1 2 ( ) 1 2 k! i 0 i! (k i )! k!
从而证明Z=X+Y也服从指数分布.
（2） Z=X+Y的分布(连续型): 已知(X,Y)的联合密度是f(x, y), 求Z=X+Y的 分布密度. 先求Z X Y的分布函数 .
例1. (P86)设X和Y相互独立, 且都服从N(0, 1), 求:Z=X+Y的分布密度. () x 1e x dx 0 解 :由X和Y都服从 N(0,1)知 2
f X (x)
1 2π
1
2π
e
x2 2
, f Y (y)

1
2π
e

y 2
, x, y ,
FZ (z) P{Z z} P{X Y z} P{(X, Y) G} ,