2019年中考数学高频考点突破

(完整版)专题11三角形综合问题(精练)-2019年中考数学高频考点突破(解析版)

一、选择题（10×3=30分）1.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个．2.如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠23.（2018·广西梧州·3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．4.（2018·辽宁大连·3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α解：由题意可得：∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α．故选C．5.（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．6.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=CD【考点】KX：三角形中位线定理；KH：等腰三角形的性质．.【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，∴∠FDE=∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=CD，∵AB=AC，∴AB=CD，故D正确，不符合题意．故选C．7.（2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．[来&源:%中国@教*育#出版网]在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，8.（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，9.（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，10.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确二、填空题（6×4=24分）.11.如图22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__ _(只需写一个，不添加辅助线)．【解析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD.12.（2018·广西贺州·3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是．13. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE=DB=CD=AB，∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠DEC=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=，∴AE=．14.（2018•绵阳）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．15.（2017广西）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．【解答】解：连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠PAP′===．故答案为．16.（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E 处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是.A．4 B．C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，三、解答题（共46分）.17.某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，嘉琪认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程．【点拨】判定两个三角形是否满足全等条件“SAS”．【解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由已知条件不能直接得到这两个三角形全等．可考虑连接BC，由SSS可先得△ABC和△DCB全等，由全等三角形的性质，可得到∠A＝∠D，再根据∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，由AAS判断得到△ABO≌△DCO.18.如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角△ADF，连接CF.(1)当点D 在线段BC 上时(不与点B 重合)，线段CF 和BD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明； (2)当点D 在线段BC 的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．【点拨】可证明△ACF ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得CF ＝BD ，CF ⊥BD.(2)(1)的结论仍然成立． ∵∠CAB ＝∠DAF ＝90°，∴∠CAB ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠CAF ＝∠BAD.在△ACF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B. ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∴∠BCF ＝∠ACF ＋∠ACB ＝45°＋45°＝90°，即CF ⊥BD. 综上，CF ＝BD ，且CF ⊥BD.19. （2016·山东潍坊）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．（1）如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：MN=AC ；（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．20.（山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【考点】等腰三角形的性质．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△AC B和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．。

2019年中考数学重点题型突破易错点：3-3-2《二次函数》试题及答案

二次函数易错清单1.二次函数与方程、不等式的联系.【例1】(2014·湖北孝感)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图,则以下结论:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个数为().A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【解析】由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线=1,得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.【答案】∵抛物线与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,所以①错误.∵顶点为D(-1,2),∴抛物线的对称轴为直线x=-1.∵抛物线与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间.∴当x=1时,y<0.∴a+b+c<0,所以②正确.∵抛物线的顶点为D(-1,2),∴a-b+c=2.∵抛物线的对称轴为直线=1,∴b=2a.∴a-2a+c=2,即c-a=2,所以③正确.∵当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=1时,ax2+bx+c=2,∴方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根,所以④正确.故选C.【误区纠错】本题考查了二次函数的图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线,当a>0,抛物线开口向上;对称轴为直线-;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c);当b2-4ac>0,抛物线与x轴有两个交点;当b2-4ac=0,抛物线与x轴有一个交点;当b2-4ac<0,抛物线与x轴没有交点.2.用二次函数解决实际问题.【例2】(2014·江苏泰州)某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A,B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A,B两组材料的温度分别为y A℃,y B℃,y A,y B与x的函数关系式分别为y A=kx+b, (部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求y A,y B关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?【解析】(1)首先求出y B函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出y A函数关系式;(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入y B求出答案;(3)得出y A-y B的函数关系式,进而求出最值即可.解得m=100.∴y B=(x-60)2+100.解得y B=200.∴y A=-20x+1000.(2)当A组材料的温度降至120℃时,120=-20x+1000,解得x=44.∴B组材料的温度是164℃.∴当x=20时,两组材料温差最大为100℃.【误区纠错】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键.3.二次函数存在性问题的讨论.(1)求该抛物线的解析式;(2)求点A关于直线y=2x的对称点A'的坐标,判定点A'是否在抛物线上,并说明理由;(3)点P是抛物线上一动点,过点P作y轴的平行线,交线段CA'于点M,是否存在这样的点P,使四边形PACM是平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式;(2)首先求出对称点A'的坐标,然后代入抛物线解析式,即可判定点A'是否在抛物线上.本问关键在于求出A'的坐标.如答图所示,作辅助线,构造一对相似三角形Rt△A'EA∽Rt△OAC,利用相似关系、对称性质、勾股定理,求出对称点A'的坐标;(3)本问为存在型问题.解题要点是利用平行四边形的定义,列出代数关系式求解.如答图所示,平行四边形的对边平行且相等,因此PM=AC=10;利用含未知数的代数式表示出PM的长度,然后列方程求解.【误区纠错】本题是二次函数的综合题型,考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点,涉及考点较多,有一定的难度.第(2)问的要点是求对称点A'的坐标,第(3)问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解.名师点拨1.能通过画二次函数图象求一元二次方程的近似解,能说明二次函数与一元二次方程的联系与区别.2.会借助函数思想及图象求不等式的解集.3.借助二次函数思想解决实际问题.提分策略1.抛物线对称性的应用.(1)二次函数的图象是抛物线,是轴对称图形,充分利用抛物线的轴对称性,是研究利用二次函数的性质解决问题的关键.(2)已知二次函数图象上几个点的坐标,一般用待定系数法直接列方程(组)求二次函数的解析式.(3)已知二次函数图象上的点(除顶点外)和对称轴,便能确定与此点关于对称轴对称的另一点的坐标.【例1】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)求△ABD的面积;(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.【解析】(1)在矩形OCEF中,已知OF,EF的长,先表示出C,E的坐标,然后利用待定系数法确定该函数的关系式.(2)根据(1)的函数关系式求出A,B,D三点的坐标,以AB为底、点D纵坐标的绝对值为高,可求出△ABD的面积.(3)首先根据旋转条件求出点G的坐标,然后将点G的坐标代入抛物线对应的函数关系式中直接进行判断即可.∴抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3.(2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,∴抛物线的顶点坐标为D(1,4).∴△ABD中边AB的高为4.令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3.所以AB=3-(-1)=4.(3)△AOC绕点C逆时针旋转90°,CO落在CE所在的直线上,由(2)可知OA=1,∴点A对应点G的坐标为(3,2).当x=3时,y=-32+2×3+3=0≠2,∴点G不在该抛物线上.2.利用二次函数解决抛物线形问题.利用二次函数解决抛物线形问题,一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系,设出合适的二次函数的解析式,把实际问题中已知条件转化为点的坐标,代入解析式求解,最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.【例2】如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从点O正上方2 m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与点O 的水平距离为9 m,高度为2.43 m,球场的边界距点O的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式;(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.3.二次函数的实际应用.【例3】某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务,想转行经营服装专卖店又缺少资金.“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金,并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息).已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元,该品牌服装日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示.该店应支付员工的工资为每人每天82元,每天还应支付其他费用为106元(不包含债务).(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;(2)若该店暂不考虑偿还债务,当某天的销售价为48元/件时,当天正好收支平衡(收人=支出),求该店员工的人数;(3)若该店只有2名员工,则该店最早需要多少天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为多少元?【解析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式;(2)根据收入等于指出,可得一元一次方程,根据解一元一次方程,可得答案;(3)分类讨论40≤x≤58,或58≤x≤71,根据收入减去支出大于或等于债务,可得不等式,根据解不等式,可得答案.综合两种情形,得b≥380,即该店最早需要380天能还清所有债务,此时每件服装的价格应定为55元.4.二次函数在几何图形中的应用.二次函数在几何图形中的应用,实际上是数形结合思想的运用,将代数与几何融为一体,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分运用三角函数解直角三角形,相似、全等、圆等来解决问题,充分运用几何知识求解析式是关键.二次函数与三角形、圆等几何知识结合时,往往涉及最大面积、最小距离等问题,解决的过程中需要建立函数关系,运用函数的性质求解.【例4】如图,在边长为24 cm的正方形纸片ABCD上,剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形,再沿图中的虚线折起,折成一个长方体形状的包装盒(A,C,D四个顶点正好重合于上底面上一点).已知E、F在边AB上,是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=BF=x(cm).(1)若折成的包装盒恰好是个正方体,试求这个包装盒的体积V;(2)某广告商要求包装盒的表面(不含下底面)面积S最大,试问x应取何值?(2)利用已知表示出包装盒的表面积,进而利用函数最值求出即可.∵0<x<12,∴当x=8时,S取得最大值384cm2.专项训练一、选择题1. (2014·山东聊城模拟)如图,抛物线y=x2与直线y=x交于点A,沿直线y=x平移抛物线,使得平移后的抛物线顶点恰好为A点,则平移后抛物线的解析式是().A. y=(x+1)2-1B. y=(x+1)2+1C. y=(x-1)2+1D. y=(x-1)2-1(第1题)(第2题)2.(2014·四川乐山模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点).有下列结论:A. ①②B. ③④C. ①③D. ①③④(第3题)3.(2013·浙江宁波北仑区一模)如图,在四边形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,设CD的长为x,四边形ABCD的面积为y,则y与x之间的函数关系式是().二、填空题4.(2014·吉林四平育才中学模拟)点P在抛物线y=(x-2)2+1上,设点P的坐标为(x,y),当0≤x≤3时,y的取值范围为.5.(2014·江苏常州模拟)已知二次函数y=ax2+bc+c中,函数y与自变量y=(x>0)的部分对应值如下表:若A(m,y1),B(m+1,y2)两点都在该函数的图象上,当m= 时,y1=y2.6.(2013·辽宁葫芦岛一模)已知点A(m,0)是抛物线y=x2-2x-1与x轴的一个交点,则代数式2m2-4m+2 013的值是.三、解答题7. (2014·山东济南外国语学校模拟)如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x 轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在边BC上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)求点D的坐标.(第7题)8. (2014·山东日照模拟)已知抛物线经过A(2,0).设顶点为点P,与x 轴的另一交点为点B.(1)求b的值,求出点P、点B的坐标;(2)如图,在直线上是否存在点D,使四边形OPBD为平行四边形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,使△AMP≌△AMB?如果存在,试举例验证你的猜想;如果不存在,试说明理由.(第8题)(1)填空:点C的坐标是,b= ,c= ;(2)求线段QH的长(用含t的式子表示);(3)依点P的变化,是否存在t的值,使以P,H,Q为顶点的三角形与△COQ相似?若存在,求出所有t的值;若不存在,说明理由.(第9题)参考答案与解析1. C[解析] 得出A点的坐标是(1,1),所以平移后以A点为顶点的解析式为y=(x-1)2+1.2.D[解析]①由抛物线的对称轴为直线x=1,一个交点A(-1,0),得到另一个交点坐标,利用图象即可对于选项①作出判断;②根据抛物线开口方向判定a的符号,由对称轴方程求得b与a的关系是b=-2a,将其代入(3a+b),并判定其符号;利用c的取值范围可以求得n的取值范围.4. 1≤y≤5[解析]将x=0,x=2分别代入y=(x-2)2+1求出y的取值范围为1≤y≤5,注意本题切忌直接将x=0,x=3代入,要考虑二次函数的对称轴二边增减性,5. 1.5[解析]二次函数的解析式为y=x2-4x+5,∵y1=y2,∴m2-4m=(m+1)2-4(m+1),解得m=1.5.6. 2015[解析]依题意知m2-2m-1=0,得m2-2m=1,所以2m2-4m+2013=2(m2-2m)+2013=2015.7. (1)设抛物线顶点为E,根据题意,得E(2,3),设抛物线解析式为y=a(x-2)2+3,(3)符合条件的点M存在.证明如下:过点P作x轴的垂线,垂足为C,则PC=2,AC=2,由勾股定理,可得AP=4,PB=4,又AB=4,所以△APB是等边三角形.只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点,连接PM,BM,由于AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP,可得△AMP≌△AMB.因此存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.由题意,得△BHP∽△BOC,∵OC∶OB∶BC=3∶4∶5,∴HP∶HB∶BP=3∶4∶5.∵PB=5t,∴HB=4t,HP=3t.∴OH=OB-HB=4-4t.∴OQ=4t.①当H在Q,B之间时,QH=OH-OQ=(4-4t)-4t=4-8t.②当H在O,Q之间时,QH=OQ-OH=4t-(4-4t)=8t-4.综合①②,得QH=|4-8t|.。

专题11 三角形综合问题(精练)-2019年中考数学高频考点突破(解析版)

一、选择题（10×3=30分）1.如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有(C)A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个．2.如图，▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为( )A．BE＝DF B．BF＝DE C．AE＝CF D．∠1＝∠23.（2018·广西梧州·3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】利用轴对称图形的性质得出△BAC≌△B′AC′，进而结合三角形内角和定理得出答案．4.（2018·辽宁大连·3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α解：由题意可得：∠CBD=α，∠ACB=∠EDB．∵∠EDB+∠ADB=180°，∴∠ADB+∠ACB=180°．∵∠ADB+∠DBC+∠BCA+∠CAD=360°，∠CBD=α，∴∠CAD=180°﹣α．故选C．5.（2018•聊城）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ=2α+βB．γ=α+2βC．γ=α+βD．γ=180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．6.（2017•营口）如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD=∠CAB=45°，则下列结论不正确的是（）A．∠ECD=112.5°B．DE平分∠FDC C．∠DEC=30°D．AB=CD【考点】KX：三角形中位线定理；KH：等腰三角形的性质．.【分析】由AB=AC，∠CAB=45°，根据等边对等角及三角形内角和定理求出∠B=∠ACB=67.5°．由Rt△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=90°，根据三角形内角和定理求出∠ACD=45°，根据等角对等边得出AD=DC，那么∠ECD=∠ACB+∠ACD=112.5°，从而判断A正确；根据三角形的中位线定理得到FE=AB，FE∥AB，根据平行线的性质得出∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°．根据直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，等量代换得到FE=FD，再求出∠FDE=∠FED=22.5°，进而判断B正确；由∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，求出∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，从而判断C错误；在等腰Rt△ADC中利用勾股定理求出AC=CD，又AB=AC，等量代换得到AB=CD，从而判断D正确．∵F是AC的中点，∠ADC=90°，AD=DC，∴FD=AC，DF⊥AC，∠FDC=45°，∵AB=AC，∴FE=FD，∴∠FDE=∠FED=（180°﹣∠EFD）=（180°﹣135°）=22.5°，∴∠FDE=∠FDC，∴DE平分∠FDC，故B正确，不符合题意；∵∠FEC=∠B=67.5°，∠FED=22.5°，∴∠DEC=∠FEC﹣∠FED=45°，故C错误，符合题意；∵Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，∴AC=CD，∵AB=AC，∴AB=CD，故D正确，不符合题意．故选C．7.（2017山东滨州）如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质．【分析】如图作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要证明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判断．[来&源:%中国@教*育#出版网]在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，8.（2018•杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，9.（2018•孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，10.（2018•扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP•MD=MA•ME所以②正确二、填空题（6×4=24分）.11.如图22－7，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是__ _(只需写一个，不添加辅助线)．【解析】由已知AB＝BC，及公共边BD＝BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个边了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS.所以可添∠ABD＝∠CBD或AD＝CD.12.（2018·广西贺州·3分）如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是．13. （2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于．【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE的长．【解答】解：由题意可得，DE=DB=CD=AB，∴∠DEC=∠DCE=∠DCB，∵DE∥AC，∠DCE=∠DCB，∠ACB=90°，∴∠DEC=∠ACE，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°，∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=，∴AE=．14.（2018•绵阳）如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC边上的中线BE，AD垂直相交于O点，则AB=．【分析】利用三角形中线定义得到BD=2，AE=，且可判定点O为△ABC的重心，所以AO=2OD，OB=2OE，利用勾股定理得到BO2+OD2=4，OE2+AO2=，等量代换得到BO2+AO2=4，BO2+AO2=，把两式相加得到BO2+AO2=5，然后再利用勾股定理可计算出AB的长．15.（2017广西）如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为．【考点】R2：旋转的性质；KK：等边三角形的性质；T7：解直角三角形．【解答】解：连接PP′，如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6，∵△ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA，在△PCB和△P′CA中，∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10，∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠PAP′===．故答案为．16.（2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E 处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是.A．4 B．C．3D．2【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】只要证明△ABD∽△MBE，得=，只要求出BM、BD即可解决问题．∵∠DAM=∠DAC=∠DBA，∠ADM=∠ADB，∴△ADM∽△BDA，∴=，即=，三、解答题（共46分）.17.某产品的商标如图所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，嘉琪认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，∴△ABO≌△DCO.你认为嘉琪的思考过程对吗？如果正确，指出她用的是判别三角形全等的哪个条件；如果不正确，写出你的思考过程．【点拨】判定两个三角形是否满足全等条件“SAS”．【解答】解：显然嘉琪的思路是不正确的，因为由已知条件不能直接得到这两个三角形全等．可考虑连接BC，由SSS可先得△ABC和△DCB全等，由全等三角形的性质，可得到∠A＝∠D，再根据∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，由AAS判断得到△ABO≌△DCO.18.如图1所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为直角边，A为直角顶点，在AD左侧作等腰直角△ADF，连接CF.(1)当点D 在线段BC 上时(不与点B 重合)，线段CF 和BD 的数量关系与位置关系分别是什么？请给予证明； (2)当点D 在线段BC 的延长线上时，(1)的结论是否仍然成立？请在图2中画出相应的图形，并说明理由．【点拨】可证明△ACF ≌△ABD ，再利用全等三角形的性质，可得CF ＝BD ，CF ⊥BD.(2)(1)的结论仍然成立． ∵∠CAB ＝∠DAF ＝90°，∴∠CAB ＋∠CAD ＝∠DAF ＋∠CAD ，即∠CAF ＝∠BAD.在△ACF 和△ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAF ＝∠BAD ，AF ＝AD ，∴△ACF ≌△ABD(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B. ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∴∠BCF ＝∠ACF ＋∠ACB ＝45°＋45°＝90°，即CF ⊥BD. 综上，CF ＝BD ，且CF ⊥BD.19. （2016·山东潍坊）如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．（1）如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：MN=AC ；（2）如图2，将△EDF以点D为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB、BC相交于点G、P，连接GP，当△DGP的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【分析】（1）连接BD，证明△ABD为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可；（2）分∠EDF顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即可．（2）解：∵AB∥DC，∠BAD=60°，∴∠ADC=120°，又∠ADE=∠CDF=30°，∴∠EDF=60°，当∠EDF顺时针旋转时，由旋转的性质可知，∠EDG=∠FDP，∠GDP=∠EDF=60°，DE=DF=，∠DEG=∠DFP=90°，在△DEG和△DFP中，，同理可得，当逆时针旋转60°时，△DGP的面积也等于3，综上所述，将△EDF以点D为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP的面积等于3．20.（山东省菏泽市·3分）如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求证：AD=BE；②求∠AEB的度数．（2）如图2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM为△DCE中DE边上的高，BN为△ABE中AE边上的高，试证明：AE=2CM+BN．【考点】等腰三角形的性质．【解答】（1）①证明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△AC B和△DCE均为等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCE中，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵点A，D，E在同一直线上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．（2）证明：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMD中，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．。

2019年初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案(有答案)

1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。

2.掌握正方形的性质定理1和性质定理2。

3.正确运用正方形的性质解题。

4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。

5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。

知识结构正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）。

正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。

正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。

小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：①正方形对边平行。

②正方形四边相等。

③正方形四个角都是直角。

④正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

例1．如图，折叠正方形纸片ABCD ，先折出折痕BD ，再折叠使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，使2AD =，求AG ．【解析】：作GM ⊥BD ，垂足为M ．由题意可知∠ADG=GDM ，则△ADG ≌△MDG ． ∴DM=DA=2． AC=GM 又易知：GM=BM ．而）， ∴AG=BM=2）．例2 ．如图，P 为正方形ABCD 内一点，10PA PB ==，并且P 点到CD 边的距离也等于10，求正方形ABCD 的面积？【解析】：过P 作EF AB ⊥于F 交DC 于E ．设PF x =，则10EF x =+，1(10)2BF x =+．由222PB PF BF =+．可得：222110(10)4x x =++．故6x =．216256ABCD S ==．例3. 如图，E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点，AM EF ⊥，•垂足为M ，AM AB =，则有EF BE DF =+，为什么？【解析】：要说明EF=BE+DF ，只需说明BE=EM ，DF=FM 即可，而连结AE 、AF ．只要能说明△ABE ≌△AME ，△ADF ≌△AMF 即可．理由：连结AE 、AF ．由AB=AM ，AB ⊥BC ，AM ⊥EF ，AE 公用， ∴△ABE ≌△AME ． ∴BE=ME ．同理可得，△ADF ≌△AMF ．∴DF=MF ．∴EF=ME+MF=BE+DF ．例4．如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，且45EAF ︒∠=，试说明EF BE DF =+。

实践操作问题(精练)-2019年中考数学高频考点突破全攻略(解析版)

一、选择题（10×3=30分）1.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）A．B． C． D．【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察图形特点，利用对称性与排除法求解．2.（扬州）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A、6B、3C、2.5D、2【解答】解：如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小=4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3=2.5．故选C．3.（2018•嘉兴•3分）将一张正方形纸片按如图步骤①,②沿虚线对折两次,然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角,展开铺平后的图形是（）A. （A）B.（B）C. （C）D. （D）4.（2016•曲靖）如图，C，E是直线l两侧的点，以C为圆心，CE长为半径画弧交l于A，B两点，又分别以A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定正确的是（）A 、CD ⊥lB 、点A ，B 关于直线CD 对称C 、点C ，D 关于直线l 对称 D 、CD 平分∠ACB5. （2018•海南•3分）如图1，分别沿长方形纸片ABCD 和正方形纸片EFGH 的对角线AC ，EG 剪开，拼成如图2所示的▱KLMN ，若中间空白部分四边形OPQR 恰好是正方形，且▱KLMN 的面积为50，则正方形EFGH 的面积为（）A ．24B ．25C ．26D ．27【分析】如图，设PM=PL=NR=AR=a ，正方形ORQP 的边长为b ，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，设PM=PL=NR=AR=a ，正方形ORQP 的边长为b ．由题意：a 2+∴a 2=25， ∴正方形EFGH 的面积=a 2=25，故选：B ． 6. 有若干张面积分别为a 2、b 2、ab 的正方形和长方形纸片，阳阳从中抽取了1张面积为a 2的正方形纸片，4张面积为ab的长方形纸片，若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为b2的正方形纸片（）A．2张B．4张C．6张D．8张7.如图，在一张△ABC纸片中，∠C=90°，∠B=60°，DE是中位线，现把纸片沿中位线DE剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼成的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】将该三角形剪成两部分，拼图使得△ADE和直角梯形BCDE不同的边重合，即可解题．【解答】解：①使得BE与AE重合，即可构成邻边不等的矩形，如图：∵∠B=60°，∴AC=BC，∴CD≠BC．学科&网②使得CD与AD重合，即可构成等腰梯形，如图：③使得AD 与DC 重合，能构成有两个角为锐角的是菱形，如图：故计划可拼出①②③．故选C8. 如图，在一张三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，DE 是中位线，现把纸片沿中位线DE 剪开，计划拼出以下四个图形：①邻边不等的矩形；②等腰梯形；③有两个角为锐角的菱形；④正方形．那么以上图形一定能被拼出的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4②把△ADE 以AD 为对称轴作轴对称变换，再向下平移DC 的长度，即可构成等腰梯形，如解图②.③把△ADE 绕点D 旋转180°，即可构成有两个角为锐角的菱形，如解图③.④正方形无法拼成．9. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连结BP 交EF 于点Q ，有下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是(D )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④∴BE＝2EQ.∵EF＝2BE，EQ＋FQ＝4EQ，∴FQ＝3EQ，故③错误；由翻折的性质，得∠EFP＝∠EFB＝30°，∴∠BFP＝30°＋30°＝60°.又∵∠PBF＝90°－∠EBQ＝90°－30°＝60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确．综上所述，正确的结论是①④.10.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设P n﹣1D n﹣2的中点为D n﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点D n﹣1重合，折痕与AD交于点P n（n＞2），则AP6的长为（）A．B．C．D．【分析】先写出AD、AD1、AD2、AD3的长度，然后可发现规律推出AD n的表达式，继而根据AP n=AD n即可得出AP n的表达式，也可得出AP6的长．二、填空题（6×4=24分）.11.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，∠B＝50°.现将△ADE沿DE折叠，使点A落在三角形所在平面内的点A1处，则∠BDA1的度数为°．【解析】∵DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠ADE＝50°.由折叠的性质，得∠A1DE＝∠ADE＝50°.∴∠BDA1＝180°－∠ADE－∠A1DE＝180°－50°－50°＝80°.12.如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为2m+4 ．【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．【解答】解：设拼成的矩形的另一边长为x，则4x=（m+4）2﹣m2=（m+4+m）（m+4﹣m），解得x=2m+4．故答案为：2m+4．学科&网13. （山东省东营市·4分）如图，折叠矩形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，已知折痕AE ＝55cm ，且tan ∠EFC ＝34，那么矩形ABCD 的周长_____________cm ．14. 在Rt△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3 cm ，AC ＝4 cm ，以斜边BC 上距离B 点3 cm 的点P 为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到Rt△DEF ，则旋转前后两个直角三角形重叠部分的面积为 cm 2.【解析】设DF 与AC ，BC 分别交于点R ，Q ，过点P 作PM ⊥QR 于点M ，作PN ⊥AC 于点N ，易得四边形PMRN 为正方形，重叠部分的面积和正方形PMRN 的面积相等，易得△CPN ∽△CBA ，∴PN BA ＝CP CB ，即PN 3＝25，∴PN ＝65(cm)，∴正方形PMRN 的面积为3625 cm 2，故重叠部分的面积为3625cm 2.15. 如图①所示，用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板，恰好能拼成如图②所示的四边形ABCD ，如果AE ＝4，CE ＝3BE ，那么这个四边形的面积是．16.（2018·辽宁大连·3分）如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E为AD上一点，且∠ABE=30°，将△AB E 沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则DF的长为．解：如图作A′H⊥BC于H．∵∠ABC=90°，∠ABE=∠EBA′=30°，∴∠A′BH=30°，∴A′H=BA′=1，BH=A′H=，∴CH=3﹣．∵△CDF∽△A′HC，∴ =，∴ =，∴DF=6﹣2．故答案为：6﹣2．三、解答题（共46分）.17.某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是▱ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出入口，要求分别在▱ABCD的四条边上，请你设计两种方案：方案(1)：如图(1)所示，两个出入口E、F已确定，请在图(1)上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；方案(2)：如图(2)所示，一个出入口M 已确定，请在图(2)上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法.【分析】本题属于开放性试题，不管哪种方案都离不开所设计的四边形的面积是▱ABCD 面积的一半，作平行线是解题的关键，因为平行线间的距离处处相等．画法3：如图3(1)在AD 上取一点H ，使DH ＝CF ；(2)在CD 上任取一点G 连接EF 、FG 、GH 、HE ，则四边形EFGH 就是所要画的四边形．方案(2)画法：如图4：(1)过M 点作MP ∥AB 交AD 于点P ，(2)在AB 上取一点Q ，连接PQ ，(3)过M 作MN ∥PQ 交DC 于点N ，连接QM 、PN 、MN 则四边形QMNP 就是所要画的四边形．(本题答案不唯一，符合要求即可)18. （2018•江苏无（1）请用直尺（不带刻度（21）中这样的直线AC 是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC ，并写出与之对应的函数表达式．【解答】（1）解：如图△ABC即为所求；（2）解：这样的直线不唯一．①作线段OB的垂直平分线AC，满足条件，此时直线的解析式为y=﹣32x+132②作矩形OA′BC′，直线A′C′，满足条件，此时直线A′C′的解析式为y=﹣23x+4．学科&网19.（2018济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒 EF；③T 型尺（CD 所在的直线垂直平分线段 AB）．（1）在图 1 中，请你画出用 T 形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图 2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点 M，N 之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得 MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．【解答】解：（1）如图点 O 即为所求；20.（2018黑龙江龙东）（8.00分）如图，在Rt△BCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF．（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段BC、DE与DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．【解答】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．∵BC=AB=BD，BE=BH，∴AH=ED，∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FED=∠HAE，∵∠BHE=∠CDB=45°，∴∠AHE=∠EDF=135°，∴△AHE≌△EDF，∴HE=DF，∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH=DF．∴BC﹣DE=DF．（2）解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH．可得：DE﹣BC=DF．如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE，可得BC+DE=DF．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．21. （2018山东日照）（13分）问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，则：AC=AB．探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．（1）如图1，连接AB边上中线CE，由于CE=AB，易得结论：①△ACE为等边三角形；②BE与CE之间的数量关系为．（2）如图2，点D是边CB上任意一点，连接AD，作等边△ADE，且点E在∠ACB的内部，连接BE．试探究线段BE与DE之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段BE与DE之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论．拓展应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作等边△ABC，当C点在第一象限内，且B（2，0）时，求C点的坐标．【解答】解：探究结论（1）如图1中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵AC=AB=AE=EB，∴△ACE是等边三角形，∴EC=AE=EB，故答案为EC=EB．（2）如图2中，结论：ED=EB．理由：连接PE．（3）当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：ED=EB，故答案为ED=EB．拓展应用：如图3中，作AH⊥x轴于H，CF⊥OB于F，连接OA．∵A（﹣，1），∴∠AOH=30°，由（2）可知，CO=CB，∵CF⊥OB，∴OF=FB=1，∴可以假设C（1，n），∵OC=BC=AB，∴1+n2=1+（+2）2，∴n=2+，∴C（1，2+）．学科&网。

2019中考复习：初中数学28个高频考点

初中数学28个高频考点初中数学有很多重难点，也是大多数同学的易错点。

很多同学会在一些基础题上粗心，虽说是粗心，归根结底也是知识点没有掌握牢固。

再者，一些稍许设置陷阱的题，多数学生会失分，所以，这类题目就极具代表性，是典型题。

这些常考、易错的知识点可以说中考的高频考点，一定要“吃透”！一、相似三角形（7个考点）考点1相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：（1）理解相似形的概念；（2）掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

考点2平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的有关定理考核要求：理解并利用平行线分线段成比例定理解决一些几何证明和几何计算。

注意：被判定平行的一边不可以作为条件中的对应线段成比例使用。

考点3相似三角形的概念考核要求：以相似三角形的概念为基础，抓住相似三角形的特征，理解相似三角形的定义。

考点4相似三角形的判定和性质及其应用考核要求：熟练掌握相似三角形的判定定理(包括预备定理、三个判定定理、直角三角形相似的判定定理)和性质，并能较好地应用。

考点5三角形的重心考核要求：知道重心的定义并初步应用。

考点6向量的有关概念考点7向量的加法、减法、实数与向量相乘、向量的线性运算考核要求：掌握实数与向量相乘、向量的线性运算二、锐角三角比（2个考点）考点8锐角三角比（锐角的正弦、余弦、正切、余切）的概念，30度、45度、60度角的三角比值。

考点9解直角三角形及其应用考核要求：（1）理解解直角三角形的意义；（2）会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角三角形和解决一些简单的实际问题，尤其应当熟练运用特殊锐角的三角比的值解直角三角形。

三、二次函数（4个考点）考点10函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：（1）通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念；（2）知道常值函数；（3）知道函数的表示方法，知道符号的意义。

2019中考数学热点难点突破《切线的性质和判定》(解析版)

考纲要求:1．掌握判定直线与圆相切的方法，并能运用直线与圆相切的方法进行计算与证明．.2．掌握直线与圆相切的性质，并能运用直线与圆相切的性质进行计算与证明．.基础知识回顾:1.切线一般地，当直线与圆有唯一公共点时，叫直线与圆相切，其中的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点.（1）切线与圆只有一个公共点.2.切线（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.的性质（3）切线垂直于经过切点的半径.（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.3.切线（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.的判定（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.应用举例:招数一、利用切线进行证明和计算。

【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，且交⊙O于点E．连接OC，BE，相交于点F．（1）求证：EF=BF；（2）若DC=4，DE=2，求直径AB的长．【答案】(1)证明见解析；（2）10.【解析】（1）证明：，，，，，，；即直径的长是10．学科@网【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，⊙的半径为2(为坐标原点)，点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】招数二、添加辅助线法:通常利用添加辅助线来辅助证明圆的切线。

【例3】如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：连接，，，，，在中，，，，则为圆的切线；【例4】如图，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC是⊙O的切线．解析：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BA C的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线．招数三、切线的性质和判定的综合应用。

2019中考数学热点难点突破《变式探究题》(原卷版)

专题04 变式探究题考纲要求:变式探究题比一般综合题更能考查学生的分析、探索能力以及思维的发散、综合运用知识的能力，难度适中，从而深受命题者的青睐，中考题型以填空题、解答题为主，难度一般不是很大．基础知识回顾:解变式探究题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法.应用举例:类型一、特殊的四边形的变式题【例1】在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=34，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；（2）如图2，试探索：RMMQ的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．类型二、三角形有关的变式题【例2】数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．类型三、图形的旋转与对称变式【例3】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．①求证：BD⊥CF；②当AB=2，AD=3时，求线段DH的长．方法、规律归纳:解开放型问题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法.实战演练:1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA 交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是；（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，当∠ADC=α时，求MEMD的值．2. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求证：∠ABD＝∠ACE；（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．（3）在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．3．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．4．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接求证：的面积为提示：过点D作BC边上的高DE，可证≌探究2：如图2，在一般的中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接请用含a的式子表示的面积，并说明理由．探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接试探究用含a的式子表示的面积，要有探究过程．5．．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．6．已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．7．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．8.如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=，请直接写出线段AD和DF的长．9.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：B E=CF；（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．10．如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点抛物线经过O、C、D三点．求抛物线的表达式；点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；若沿CD方向平移点C在线段CD上，且不与点D重合，在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．。