双曲函数与三角函数
三角函数公式与双曲函数
公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα诱导公式记忆口诀奇变偶不变，符号看象限。
“奇、偶”指的是整数n的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。
（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。
一全正；二正弦；三两切；四余弦这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“＋”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”。
高数16个基本初等函数
高数是一门重要的数学课程，其中最基础的内容就是16个基本初等函数。
这些函数在数学和实际应用中都有着广泛的应用，下面我们将逐一介绍这16个函数。
一、常数函数常数函数是指函数f(x)=c，其中c为常数。
这个函数的图像是一条平行于x轴的直线，它的斜率为0。
常数函数在实际应用中常用于表示一些固定的量，如重力加速度g=9.8m/s²。
二、幂函数幂函数是指函数f(x)=x^a，其中a为常数。
幂函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
幂函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如人口增长、放射性衰变等。
三、指数函数指数函数是指函数f(x)=a^x，其中a为常数。
指数函数的图像随着a的不同而变化，当a>1时，函数的图像呈现出上升的趋势，当0<a<1时，函数的图像呈现出下降的趋势。
指数函数在实际应用中常用于描述一些具有指数增长或衰减的现象，如利息的复利计算、细胞的增长等。
四、对数函数对数函数是指函数f(x)=loga(x)，其中a为常数。
对数函数的图像是一条上升的曲线，它的斜率在x=1处为1。
对数函数在实际应用中常用于描述一些量的倍数关系，如声音的强度、地震的震级等。
五、三角函数三角函数是指正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数和余弦函数的图像都是周期性波动的曲线，它们的周期为2π。
正切函数的图像则是一条无限延伸的曲线。
三角函数在实际应用中常用于描述周期性变化的现象，如天体运动、电流的交流等。
六、反三角函数反三角函数是指正弦函数的反函数、余弦函数的反函数和正切函数的反函数。
反三角函数的图像是一条上升或下降的曲线，它们的定义域和值域与对应的三角函数相反。
反三角函数在实际应用中常用于求解三角函数的反函数值，如角度的计算、电路的分析等。
七、双曲函数双曲函数是指双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数。
双曲函数
▪ 悬链线 ▪ 数学证明
双曲函数图册
相关函数 纠错
9 参考文献
5 导数 6 不定积分
二次函数
对勾函数
复变函数
1
定义
双曲函数（hyperbolic function）可借助指数函数定义 [1] 双曲正弦：
编辑 幂指函数 贝塞尔函数 三次函数
双曲余弦：
五次函数
幂函数
初等函数
双曲正切：
词条统计
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中文名 外文名 双曲函数 Hyperbolic function 别 称 领 域 圆函数 数学函数论
目录
1 定义 2 函数性质 3 与三角函数关系 4 恒等式
▪ 加法公式
▪ 减法公式 ▪ 二倍角公式 ▪ 三倍角公式 ▪ 半角公式
7 级数表示 8 实际应用
▪ 阻力落体 ▪ 导线电容 ▪ 粒子运动 ▪ 非线性方程
[（x2+a2）+y2] /[（x2―a2）+y2]=k2 ⒆ 式中 k2 =e4πε0φ/λ ⒇ 令 c=[（k2+1）/（k2―1）]a （21） 则⒆式可化为 （x―c）2+y2=[4k2/（k2―1）2]a 2 （22） 这表明，偶极线的等势面都是轴线平行于z轴的圆柱面，它们的轴线都在z轴上z=c处，其横截面的半径为 R=∣2k/（k2―1） ∣a （23） 这个结果启示，我们可以找到偶极线的两个等势面，使它们分别与原来两导线的表面重合。这只要下列等式成立就可以了： a1= ∣c1∣=[（k12+1）/（k12―1）]a （24） R1=∣2k1/（k12―1） ∣a （25） a2= ∣c2∣=[（k22+1）/（k22―1）]a （26） R2=∣2k2/（k22―1） ∣a （27） d=a1+a2 （28） 由（24）至（27）式得 a12―R12=a2= a22―R22 （29） 原来两导线表面的方程是 R1：（x―a1）2+y2= R12 （30） R2：（x+a2）2+y2= R22 （31） 利用（29）式，可以把（30）和（31）式分别化为 x2+y2+ a2= 2a1 x （32） x2+y2+ a2= ―2a2 x （33） 利用（32）和（33）两式，由⒅式得出，半径为R1和R2的两导线的电势分别为 φ1=（λ/4πε0）In[（a1+a）/ （a1―a）] （34） φ2=―（λ/4πε0）In[（a2+a）/ （a2―a）] （35） 于是两导线的电势差便为 U=φ1+φ2=（λ/2πε0）In[（a1+a）（a2―a）/ R1R2] （36） 用已知的量消去未知数，可以得出 U=（λ/2πε0）In[（d2―R12―R2）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R2）/ 2R1R2]2―1] （37） 最后得出原来两导线为l一段的电容为 C=Q/U=2πε0l/ In[（d2―R12―R22）/ 2R1R2+√[（d2―R12―R22）/ 2R1R2]2―1] （38） 单位长度的电容为 c=2πε0/ In[（d2 ― R12 ―R22） / 2R1R2+√ [（d2―R12―R22） / 2R1R2 ] 2―1] （39） 利用反两曲余弦关系式 archx= In[（x+√x2―1）] （40） 对本题的精确解表示作简洁表示 c=2πε0/ arch[（d2―R12―R22）/ 2R1R2] （41） 最后一式可以在一般手册上查到。
双曲三角函数sinh，cosh，tanh，coth
双曲三⾓函数sinh，cosh，tanh，coth曲函数基本定sinh x =(ex - e－x)/2cosh x =(ex + e－x)/2tanh x =sinh x / cosh xcoth x = 1 / tanh xsech x = 1 / cosh xcsch x = 1 / sinh xsinh 的名称是双曲正弦或超正弦, cosh 是双曲余弦或超余弦, tanh 是双曲正切、coth 是双曲余切、sech 是双曲正割、csch 是双曲余割。
与三⾓函数的关系双曲函数与三⾓函数有如下的关系:sin ix = i sinh xcos ix = cosh xtan ix = i tanh xcot ix = -i coth xsec ix = sech xcsc ix = -i csch x恒等式与双曲函数有关的恒等式如下:cosh2 y - sinh2 y = 1⼆倍参数:sinh 2y = 2 sinh y cosh ycosh 2y = sinh2 y + cosh2 y参数的加总:sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh ycosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y平⽅转⼆倍参数:sinh2 y = (cosh 2y - 1)/2cosh2 y = (cosh 2y + 1)/2命名原因双曲函数被如此命名⼤概是因参数曲线 (sinh t, cosh t) 所描絵的是⼀条双曲线.另外, 因参数曲线 (sin t, cos t) 描絵⼀个圆, 故三⾓函数亦可称为圆函数.反双曲函数反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:sinh－1 x = ln[x + (x2+1)1/2]cosh－1 x = －ln[x - (x2+1)1/2]tanh－1 x = ln[(1+x)/(1-x)]/2 = ln[(1-x2)1/2/(1-x)]coth－1 x = ln[(x+1)/(x-1)]/2 = ln[(x2-1)1/2/(x-1)]sech－1 x = ln{x / [1-(1-x2)1/2]}csch－1 x = ln{[1+(1+x2)1/2] / x}。
三角函数和双曲函数公式表
三角函数的定义直角坐标系中定义直角三角形定义a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的图像。
单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：级数定义只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。
（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。
我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。
它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。
这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。
它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。
与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。
在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。
角函数与双曲函数基本公式对照表
圆函数（三角函数）1.基本性质：sin tan cos x x x =,cos cot sin xx x = 1sec cos x x =,1csc sin x x =tan cot 1x x =sin csc 1x x = sec cos 1x x =22sin cos 1x x +=221tan sec x x +=,221cot csc x x +=2.奇偶性：sin()sin x x -=- cos()cos x x -= tan()tan x x -=-3.两角和差公式sin()sin cos cos sin x y x y x y ±=± cos()cos cos sin sin x y x y x y ±=m tan tan tan()1tan tan x yx y x y±±=m4.二倍角公式 sin 22sin cos x x x =2222cos 2cos sin 2cos 112sin x x xx x=-=-=-22tan tan 21tan xx x=-双曲函数1.基本性质：sh th ch x x x =,ch cth sh xx x= 1sech ch x x =,1csch sh x x =th cth 1x x = sh csch 1x x = sech ch 1x x =22ch sh 1x x -=221th sech x x -=,221cth csch x x -=-2.奇偶性：sh()sh x x -=- ch()ch x x -= th()th x x -=-3.两角和差公式sh()sh ch ch sh x y x y x y ±=± ch()ch ch sh sh x y x y x y ±=± th th th()1th th x yx y x y±±=±4.二倍角公式 sh 22sh ch x x x =2222ch 2ch +sh 2ch 112sh x x xx x==-=+ 22th th 21th xx x=+5.半角公式 21cos sin 22x x -=,21cos cos 22x x += sin 1cos tan 21cos sin x x xx x-==+ 21cos 2sin 2x x -=,21cos 2cos 2x x +=6.万能公式22tan2sin 1tan 2xx x=+,221tan 2cos 1tan 2x x x -=+ 22tan2tan 1tan 2x x x=-7.三倍角公式3sin33sin 4sin x x x =-3cos34cos 3cos x x x =-8.积化和差公式()()1sin cos sin sin 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1cos sin sin sin 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1sin sin cos cos 2x y x y x y =-+--⎡⎤⎣⎦9.和差化积公式sin sin 2sin cos 22x y x yx y +-+=sin sin 2cos sin22x y x yx y +--=cos cos 2cos cos22x y x yx y +-+=cos cos 2sin sin22x y x yx y +--=- 5.半角公式2ch 1sh 22x x -=,2ch 1ch 22x x +=sh ch 1th 2ch 1sh x x x x x-==+2ch 12sh 2x x -=,2ch 12ch 2x x +=6.万能公式22th2sh 1th 2xx x =-,221th 2cos 1th 2x x x +=- 22th2th 1th 2x x x =+7.三倍角公式3sh 33sh 4sh x x x =+ 3ch34ch 3ch x x x =-8.积化和差公式()()1sh ch sh sh 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1ch sh sh sh 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦ ()()1ch ch ch ch 2x y x y x y =++-⎡⎤⎣⎦()()1sh sh ch ch 2x y x y x y =+--⎡⎤⎣⎦9.和差化积公式sh sh 2shch 22x y x yx y +-+=sh sh 2ch sh22x y x yx y +--=ch ch 2ch ch22x y x yx y +-+=ch ch 2sh sh22x y x yx y +--=。
函数的24种极限总结
函数的24种极限总结在数学中，函数的极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析等领域有着广泛的应用。
本文将总结函数的24种极限，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
1. 常数函数的极限。
当函数f(x) = c为常数时，其极限为lim(x→a) f(x) = c。
这是因为常数函数在任意点的取值都是常数c，因此其极限也等于c。
2. 幂函数的极限。
对于幂函数f(x) = x^n，当n为正整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = a^n。
当n 为负整数时，其极限为lim(x→a) f(x) = 1/a^n。
当n为分数时，其极限需要根据具体情况进行计算。
3. 指数函数的极限。
指数函数f(x) = a^x的极限为lim(x→a) f(x) = a^a。
其中a为常数且大于0。
4. 对数函数的极限。
对数函数f(x) = log_a(x)的极限为lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
其中a为常数且大于0且不等于1。
5. 三角函数的极限。
三角函数sin(x)和cos(x)在其定义域内的极限都存在，分别为lim(x→0) sin(x) = 0和lim(x→0) cos(x) = 1。
6. 反三角函数的极限。
反三角函数arcsin(x)和arccos(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x→0) arcsin(x) = 0和lim(x→0) arccos(x) = 1。
7. 双曲函数的极限。
双曲函数sinh(x)和cosh(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→0) sinh(x) = 0和lim(x→0) cosh(x) = 1。
8. 反双曲函数的极限。
反双曲函数arcsinh(x)和arccosh(x)在其定义域内的极限也都存在，分别为lim(x →0) arcsinh(x) = 0和lim(x→0) arccosh(x) = 1。
9. 指数对数函数的极限。
指数对数函数f(x) = x^a和f(x) = log_a(x)在其定义域内的极限分别为lim(x→a) f(x) = a^a和lim(x→a) f(x) = log_a(a) = 1。
三角函数和双曲函数
y=atanhx, ,xe2y+x= e2y- 1, .
plot(x,atanh(x),x,log((1+x)./(1-x))/2,'r.')%出现复数,曲线相同
%三角函数与双曲函数的关系
clear%清除变量
xm=6;%最大横坐标
x=linspace(-xm,xm);%自变量向量
(2.2.2)反双曲余弦函数与反余弦函数的关系
y= arccoshx,x= coshy= cosiy, iy= arccosx,y= -iarccosx.
plot(x,acosh(x),x,-i*acos(x),'r.')
(2.2.3)反双曲余弦函数与对数函数的关系
y=acoshx, ,(ey)2- 2xey+ 1 = 0,
plot(x,atan(x),x,-i*atanh(i*x),'r.')
(2.3.2)反双曲正切函数与反正切函数的关系
y= arctanhx,x= tanhy= -itaniy, iy= arctanix,y= -iarctanix.
plot(x,atanh(x),x,-i*atan(i*x),'r.')
axis([0,4*pi,-10,10])
(1.3.2)双曲正切函数与正切函数的关系
(1.3.2) ,tanhx= -itanix.
plot(x,tanh(x),x,-i*tan(i*x),'r.')
(2.1.1)反正弦函数与反双曲正弦函数的关系
y= arcsinx,x= siny= -isinhiy, iy= arcsinhix,y= -iarcsinhix.
双曲函数和三角函数
三角函数的定义直角坐标系中定义直角三角形定义a, b, h 为角A的对边、邻边和斜边在笛卡尔平面上f(x) = sin(x) 和f(x) = cos(x) 函数的图像。
单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和π/2 弧度之间的角。
它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：x2+y2=1对于大于 2π或小于−2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数：级数定义只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，余弦的导数是负的正弦。
（在微积分中，所有角度都以弧度来度量）。
我们可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数x都成立：这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。
它们经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在傅立叶级数中），因为无穷级数的理论可从实数系的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。
这样，这些函数的可微性和连续性便可以单独从级数定义来确立。
在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，分子称为“正切数”，它有一个组合解释：它们枚举了奇数势的有限集合的交错排列（alternating permutation）。
在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释：它们枚举偶数势的有限集合的交错排列。
从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。
它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述泰勒级数来定义的。
与指数函数和复数的联系可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分：这个联系首先由欧拉注意到，叫做欧拉公式。
在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。
三角函数与双曲函数基本公式对照表
th x sh x ch x 1 2 ch x 1 sh x
ch x 1 2sh2 x , ch x 1 2 ch2 x
2
2
6.万能公式
2 th x
1 th2 x
sh x
2 , cos x
2
1 th2 x
1 th2 x
2
2
x
2 th
th x
2
1 th2 x
2
7.三倍角公式
sh 3x 3sh x 4sh3 x ch 3x 4 ch3 x 3ch x
th
2x
1
2
th x th2 x
5.半角公式
sin2 x 1 cos x , cos2 x 1 cos x
22
22
tan x sin x 1 cos x 2 1 cos x sin x
1 cos x 2sin2 x ,1 cos x 2 cos2 x
2
2
6.万能公式
2 tan x
1 tan2 x
4.二倍角公式
sin 2x 2sin x cos x
cos 2x cos2 x sin2 x
2 cos2 x 1
1 2sin2 x
tan
2
x
1
2
tan tan
x
2
x
双曲函数
1.基本性质：
th x sh x , cth x ch x
ch x
sh x
sech x 1 , csch x 1
2
2
cos x cos y 2 cos x y cos x y
2
2
cos x cos y 2sin x y sin x y
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双曲函数
王希
对之前在双曲函数的来历是什么，与三角函数有什么关系？ - 数学问题的回答不太满意，故在此重新撰文。
尽我所能全面具体详细地介绍双曲函数相关的方方面面，希望它能成为最好的讲解双曲函数的文章。
除了第七部分，高中生都应该可以看懂，因此我不希望大家回复「不明觉厉」，而是看懂它并回复「受益匪浅」。
我希望想了解双曲函数的知友看了我的文章都能有所收获。
一、发展历史
双曲函数的起源是悬链线，首先提出悬链线形状问题的人是达芬奇。
他绘制《抱银貂的女人》时曾仔细思索女人脖子上的黑色项链的形状，遗憾的是他没有得到答案就去世了。
时隔170年之久，著名的雅各布·伯努利在一篇论文中又提出了这个问题，并且试图去证明这是一条抛物线。
事实上，在他之前的伽利略和吉拉尔都猜测链条的曲线是抛物线。
一年之后，雅各布的证明毫无进展（废话，证明错的东西怎么会有进展）。
而他的弟弟约翰·伯努利却解出了正确答案，同一时期的莱布尼茨也正确的给出了悬链线的方程。
他们的方法都是利用微积分，根据物理规律给出悬链线的二次微分方程然后再求解。
18世纪，约翰·兰伯特开始研究这个函数，首次将双曲函数引入三角学；19世纪中后期，奥古斯都·德·摩根将圆三角学扩展到了双曲线，威廉·克利福德则使用双曲角参数化单位双曲线。
至此，双曲函数在数学上已经占有了举足轻重的地位。
19世纪有一门学科开始了全面发展——复变函数。
伴随着欧拉公式的诞生，双曲函数与三角函数这两类看起来截然不同的函数获得了前所未有的统一。
二、函数定义
在讲双曲函数的定义之前，我们先看一看三角函数的定义。
如图所示：
在实域内，三角函数的值是通过单位圆和角终边上三角函数线的长度定义的。
当然这个「长度」是有正负的。
同理，双曲函数的值也是通过双曲线和角终边上的双曲函数线的长度定义的。
如图：
具体的定义为
，
，。
三、函数性质
和对应的三角函数性质十分类似，但又有一定的区别。
四、恒等式
双曲函数恒等式一定要结合着三角函数恒等式一起看，真的是太像了：
五、欧拉公式
欧拉公式是复变函数里几乎最重要的一个公式，它揭示了三角函数和指数函数之间的内在联系，从形式上也十分简洁优美：
用替换掉，得到
这样我们可以解出正弦和余弦函数与指数函数的关系式：
再把双曲函数拉过来看看
是不是非常接近了呢？很容易看出它们之间存在这样的关系：
六、复域统一
先研究一下三角函数和双曲函数的级数展开。
双曲函数和三角函数的区别仅仅在于是否有的幂这一项，双曲函数就是将三角函数改为非交错级数。
正是由于其无比相似的级数展开，才使得它们具有十分相似的性质。
我们说了这么多，两类函数似乎各种相似却还是不一样。
那么三角函数和双曲函数的关系到底是什么呢？
在复域上，它们的形状其实是一样的！
不信？我们画一画图像。
直观地看，同一行的两个函数除了角度不同之外形状是一样的。
而其实这个关系前边已经说明过了：
这两个式子说明对应的两个函数仅通过旋转（对于复变函数，乘就相当于逆时针旋转90°）即可重合。
对了，大家都知道三角函数的周期是，那么大家猜猜双曲函数的周期是多少？没错，是！
七、映射关系（需具备复变函数基础）
正弦与余弦映射均由复变函数里的基本映射复合而成。
如是由旋转的映射、指数函数映射以及如可夫斯基映射复合而成：
由公式
同样可知的复合过程。
由上述知，宽度为的铅直带状区域是的单叶区域。
我们来看看余弦函数在带状域的映射情况：
求直线的像，有
由此得
这是一个直线到双曲线的映射，当为正数和负数时分别为其一个分支。
而直线被映射为正实轴从1到的割痕，直线被映射为沿实轴到
的割痕。
带状域的像为整个平面，除去实轴上从-1穿过无穷远到1的线段。
八、应用范围
1.悬链线
悬链线的方程是双曲余弦函数，这个在文章开头已经介绍过。
而悬索桥、双曲拱桥、架空电缆等都用到了悬链线的原理。
在工程上，定义为悬链线系数，而把悬链的方程记为
给应用带来很大的方便，如图：
2.平行直导线单位长度电容
真空中无限长圆柱形直导线平行放置，相距为，半径分别为,电荷线密度为,则其单位长电容值为
虽然是反双曲函数，但我觉得也算双曲函数的应用。
这个公式在常见的手册上都是可以看到的。
3.换元积分
形如的被积函数，除了三角换元外，还可以用、的双曲代换，如
4.边值问题的解
直角坐标系中的拉普拉斯方程为
设可以表示为3个函数的积
带入上式得
由于这三项分别是的函数，因此方程恒成立就要求这三项均为常数。
即
当时，
当时，
而当时，其解即为双曲函数：
九、反双曲函数简介
反双曲函数是双曲函数的反函数，其推导很简单：令,解关于的一元二次方程，再取自然对数即得。
细心的读者会注意到反双曲函数用的符号为ar,而反三角函数用的符号为arc，为什么呢？
因为反三角函数也可以用弧长定义：就是「正弦值为x的角的弧长」。
而反双曲函数则是用面积定义，表示对应双曲扇形面积的二倍，用arsh、arch 等显示与其他函数的区别。
arc在英文中有「弧长」的意思，而ar表示area，有「面积」的意思。
十、参考文献
[1]Inverse trigonometric functions
[2]Inverse hyperbolic function
[3]Hyperbolic function
[4](俄)博亚尔丘克，复变函数[M]，北京，清华大学出版社，2008.5.
[5]同济大学数学系，高等数学[M]，北京，高等教育出版社，2007.10.
[6]张清，两无限长平行直导线间电容的精确解[J]，安徽，安徽工业大学学报，2003.1.
[7]徐裕生，反双曲函数符号的含义[J]，陕西，高等数学研究，1996.3。