线性规划案例分析
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述假设有一家生产玩具的工厂，该工厂生产两种类型的玩具：A型和B型。
工厂有两个车间可供使用，分别是车间1和车间2。
每一个车间生产一种类型的玩具，并且每一个车间每天的生产时间有限。
玩具A的生产需要1个小时在车间1和2个小时在车间2，而玩具B的生产需要3个小时在车间1和1个小时在车间2。
每一个车间每天的生产能力分别是8个小时和6个小时。
每一个玩具A的利润为100元，而玩具B的利润为200元。
现在的问题是，如何安排每一个车间每天的生产时间，以使得利润最大化？二、数学建模1. 定义变量：设x1为在车间1生产的玩具A的数量（单位：个）；设x2为在车间2生产的玩具A的数量（单位：个）；设y1为在车间1生产的玩具B的数量（单位：个）；设y2为在车间2生产的玩具B的数量（单位：个）。
2. 建立目标函数：目标函数为最大化利润，即：Maximize Z = 100x1 + 200y13. 建立约束条件：a) 车间1每天的生产时间限制：x1 + 3y1 ≤ 8b) 车间2每天的生产时间限制：2x1 + y1 ≤ 6c) 非负约束条件：x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0三、求解线性规划问题使用线性规划求解器，可以求解出最优的生产方案。
1. 求解结果：根据线性规划求解器的结果，最优解为：x1 = 2, x2 = 0, y1 = 2, y2 = 0即在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B，可以实现最大利润。
2. 最大利润：根据最优解，可以计算出最大利润：Z = 100x1 + 200y1= 100(2) + 200(2)= 600元因此，在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
四、结果分析根据线性规划求解结果，我们可以得出以下结论：1. 最优生产方案：根据最优解，最优生产方案为在车间1生产2个玩具A，在车间2生产2个玩具B。
2. 最大利润：在给定的生产时间限制下，最大利润为600元。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划经典例题
线性规划经典例题一、问题描述我们考虑一个典型的线性规划问题，假设有一个工厂需要生产两种产品：产品A和产品B。
工厂有两个生产车间：车间1和车间2。
生产产品A需要在车间1和车间2进行加工，而生产产品B只需要在车间2进行加工。
每一个车间的加工时间和加工费用都是不同的。
我们的目标是找到最佳的生产计划，使得总的加工时间和加工费用最小。
二、问题分析1. 定义变量：- x1：在车间1生产产品A的数量- x2：在车间2生产产品A的数量- y：在车间2生产产品B的数量2. 定义目标函数：目标函数是最小化总的加工时间和加工费用。
假设车间1生产产品A的加工时间为t1，车间2生产产品A的加工时间为t2，车间2生产产品B的加工时间为t3，车间1生产产品A的加工费用为c1，车间2生产产品A的加工费用为c2，车间2生产产品B的加工费用为c3，则目标函数可以表示为：Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y3. 约束条件：- 车间1生产产品A的数量不能超过车间1的生产能力：x1 <= capacity1- 车间2生产产品A的数量不能超过车间2的生产能力：x2 <= capacity2- 车间2生产产品B的数量不能超过车间2的生产能力：y <= capacity2 - 产品A的总需求量必须满足：x1 + x2 >= demandA- 产品B的总需求量必须满足：y >= demandB4. 线性规划模型：综上所述，我们可以建立如下的线性规划模型：最小化 Z = t1 * x1 + t2 * x2 + t3 * y + c1 * x1 + c2 * x2 + c3 * y满足约束条件：- x1 <= capacity1- x2 <= capacity2- y <= capacity2- x1 + x2 >= demandA- y >= demandB- x1, x2, y >= 0三、数据和解决方案为了展示如何求解该线性规划问题，我们假设以下数据：- 车间1的生产能力为100个产品A- 车间2的生产能力为150个产品A和100个产品B- 产品A的总需求量为200个- 产品B的总需求量为80个- 车间1生产产品A的加工时间为2小时，加工费用为10元/个- 车间2生产产品A的加工时间为1小时，加工费用为8元/个- 车间2生产产品B的加工时间为3小时，加工费用为15元/个根据以上数据，我们可以得到线性规划模型如下：最小化 Z = 2 * x1 + 1 * x2 + 3 * y + 10 * x1 + 8 * x2 + 15 * y满足约束条件：- x1 <= 100- x2 <= 150- y <= 100- x1 + x2 >= 200- y >= 80- x1, x2, y >= 0接下来，我们可以使用线性规划求解器来求解该问题。
线性规划的理论与实例分析
线性规划的理论与实例分析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种重要的运筹学工具，常常被应用于生产、物流、金融等领域中的优化问题。
本文将从理论和实例两个角度，介绍线性规划的基本概念、模型及求解方法。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数、约束条件等。
（一）决策变量决策变量是指影响问题结果的变量，通常用x1、x2、 (x)表示。
例如，生产线上的机器数量、产品的产量等都是决策变量。
（二）目标函数目标函数是指要最大化或最小化的某个指标，通常用z表示。
例如，最小化成本、最大化利润等都是目标函数。
（三）约束条件约束条件是指在问题求解中要满足的条件。
例如，不超过机器限制数量、满足生产需求等都是约束条件。
通常用不等式或等式形式表示。
二、线性规划的模型线性规划的一般形式可表示为：最大化或最小化目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn约束条件：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm或x1, x2, … , xn ≥ 0 （非负性约束条件）其中，c1、c2、…、cn为各决策变量的系数，a11、a12、…、amn为各约束条件中各决策变量的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的值，x1、x2、…、xn为决策变量，非负性约束条件也称为非负约束。
三、线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，这里主要介绍两种：单纯性法和对偶理论。
（一）单纯性法单纯性法是线性规划的一种基本算法，其实质是在各约束条件限制下寻找目标函数最大或最小值。
单纯性法基于以下两个原则：①某个极值点必定满足目标函数的所有约束条件；②各个变量所形成的可行解区域有限，且该区域的可行解点数有限。
单纯性法的具体过程如下：Step 1 建立初始单纯形表将约束条件转化为标准形式，即将约束条件化为”≤“的形式，并加入人工变量，得到初始单纯形表。
MBA线性规划案例分析题
线性规划案例分析题：某工业仪器制造厂生产计划的优化与效率分析一、案例背景1．基本概况某工业仪器制造厂是国有制造企业，主要生产A、B、C、D四种型号工业用精密测量仪器，销往全国各地，部分产品出口东南亚。
四种产品中，C、D仪器是亏本产品，主要原因是原材料(如特型钢材)持续涨价，而销售价格一直未能提高，加之职工工资提高及相关费用增加等原因，致使成本上升，而每生产1万支C仪器要亏损2440元，但为满足市场需求，根据订货情况，厂里决定2012年1月份仍生产12万支。
D仪器是新产品，尚在试制阶段，为了提高质量，降低成本，吸引客户，打开销路，厂里决定在2012年1月生产1．5万支。
该厂主要盈利产品是A、B仪器，产品质量在同行业中处于领先地位，由于采取薄利多销的经营方针，产品销售势头很好。
随着竞争机制引入企业，过去制定生产计划一靠上级指令，二靠经验安排的老办法已越来越不适应新形势的需要。
与此同时，虽然该厂主打产品销售状况良好，但我国入世后，随着一些国外同类产品逐渐向我国市场渗透，对该企业产品形成了威胁，使该企业面临严峻的挑战。
因此，要生存发展，就必须千方百计提高企业素质，在生产环节上，应用现代化管理方法制定生产计划，努力挖掘潜力，科学组织生产，以实现产品利润最大化。
2．生产状况分析及资料数据的整理（1）原定1月份生产计划及各产品利润指标见表1。
表1 2012年1月份生产计划及各产品利润指标（2）生产用各种原材料来源充足，并有足够的流动资金做基础，因此，原材料不是增加生产的制约因素，主要的限制条件是可利用的设备台时及基本生产工人工时，即设备与人力资源问题。
根据该厂工时定额计算，生产每万支各种仪器的设备台时及工时定额见表2。
表2 产品所需设备台时及工人公时定额表(3)该厂标准工作日为每月26天，标准工作日长度为每日8h，结合考虑每台设备每月所需正常维修保养时间，可以计算出全月可使用的设备加工能力。
由于C、D两种仪器已作出决定必须各生产12万支和1．5万支，故为简化问题，不再考虑这两种产品的生产计划，而将它们所需的设备台时及人力工时从可利用的总台时／工时中扣除。
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
线性规划应用案例分析
通过整理，得到以下模型：
15
例6．（续）
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%）
标准汽油
表 4
辛烷数
蒸汽压力(g/cm2)
库存量(L)
1
2 3 4
107.5
93.0 87.0 108.0
7.11×10-2
11.38 ×10-2 5.69×10-2 28.45 ×10-2 蒸汽压力(g/cm2)
380000
265200 408100 130100 产量需求
表 4 7
---
6
飞机汽油 辛烷数 1 2 不小于91 不小于100
0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%）
-0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
x11+
x21 +
x31 ≤ 100
(供应量限制）
x12+
x13+
x22 +
x23 +
x32 ≤ 100
x33 ≤ 60
(供应量限制）
约束条件： 从第1个表中有：
x11≥0.5(x11+x12+x13)
x12≤0.25(x11+x12+x13)
x21≥0.25(x21+x22+x23) x22≤0.5(x21+x22+x23)
线性规划案例分析(1)
1. 在一个金属板加工车间内，要从尺寸为48分米⨯96分米的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。
此车间接到订单要求生产8块大小为36分米⨯50分米的矩形金属板，13块大小为24分米⨯36分米的矩形金属板，以及15块大小为18分米⨯30分米的矩形金属板。
这些金属板都需要从现有的大金属板上切割下来。
为了生产出满足订单要求的金属板，最少可以使用多少块大金属板？ 列出该问题的线性规划模型。
Zmin =2. 某县级市正在研究引进公交系统以减轻市内自驾车引起的烟尘污染。
这项研究的目标是寻求满足运输所需要的最少公交车数。
在收集了必要的信息之后，市政工程师注意到，每天所需的最少公交车数随一天中的时间不同而变化，而且所需的最少公交车数在若干连续的4小时间隔内可以近似看成一个常数。
图1描述了工程师的发现，为了完成公交车所需的日常维护，每辆公交车一天只能连续运行8小时，问该市至少需要多少量公交车？列出该问题的线性规划模型。
0:004:008:0012:0016:0020:0024:00481248107124图13. 某银行正在制订一项总额可达6000万元的贷款策略，表1提供了各类贷款的相关数据。
表1贷款类型利率 坏账比率 个人 0.140 0.10 汽车0.130 0.07 住房0.120 0.03 农业0.125 0.05 商业 0.100 0.02其中，坏账不可收回且不产生利息收入。
为了与其它金融机构竞争，要求银行把至少40%的资金分配给农业和商业贷款。
为扶持当地的住房产业，住房贷款至少要等于个人、汽车和住房贷款总额的50%。
银行还有一项明确的政策，不允许坏账的总比例超过全部贷款的4%。
试寻求一种最佳贷款策略，使得银行的净收益达到最大。
建立此问题的线性规划模型。
4.某种产品在未来4个季度的需求量分别是300，400，450，250件，每件的价格在第1季度以20元开始，其随后的每个季度增加2元。
供应商在任一季度最多可以提供产品400件。
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2.某市柴油机厂年度产品生产计划的优化研究
1)问题的提出
某市柴油机厂是我国生产中小功率柴油机的重点骨干企业之一，主要产品有2105柴油机、X2105柴油机、X4105柴油机、X4110柴油机、X6105柴油机、X6110柴油机，产品市场占有率大，覆盖面广，广泛用于农业机械、工程机械、林业机械、船舶、发电机组等。
在同行业中占有一定的优势。
但另一方面，也确实存在管理方法陈旧、管理手段落后的实际问题，尤其是随着经济体制改革的深入，以前在计划经济体制下生存的国营企业越来越不适应市场经济的要求。
为改变这种不利局面，厂领导决定实行科学管理，其中努力提高企业编制产品生产计划的科学性是一个重要的目标。
2)生产现状及资料分析
柴油机的主要生产过程为原材料经过锻造、铸造或下料，再进行热处理、机加工工序，进入总装，最后试车、装箱、入成品库。
该厂将毛坯生产工艺，即锻造、铸造或下料过程渐渐向外扩散，形成专业化生产，以达到规模效益，故该厂柴油机生产过程主要可以分三大类：热处理、机加工、总装。
与产品生产有关的数据资料如下：
每种产品的单位产值如下表：
每件产品所需的热处理、机加工、总装工时及全厂能提供的三种总工时如下表：
产品原材料主要是生铁、焦碳、废钢、钢材四大类资源，供应科根据历年的统计资料及当年的原材料市场情况，给出了各种原材料的最大供应量如下表：
油机今年的市场需求量如下表：
根据以上情况，该企业应如何制定当年销售收入最大的生产计划方案？根据题设，可以获得约束方程如下：
Max Z=5400X1+6500X2+12000X3+14000X4+18500X5+20000X6
10.58X1+11.03X2+20.11X3+32.26X4+37.68X5+40.84X6<=120000
14.58X1+7.05X2+23.96X3+27.7X4+29.36X5+40.43X6<=95000
17.08X1+150X2+29.37X3+33.38X4+55.1 X5+53.5X6<=180000
0.18X1+0.19X2+0.35X3+0.36X4+0.54X5+0.55X6<=1562
0.11X1+0.12X2+0.22X3+0.23X4+0.33X5+0.34X6<=951
0.06X1+0.06X2+0.12X3+0.13X4+0.18X5+0.19X6<=530
0.04X1+0.04X2+0.08X3+0.09X4+0.12X5+0.13X6<=350
X1<=8000
X2<=1500
X3<=4000
X4<=1000
X5<=3000
X6<=2000
将条件汇入Win QSB软件可得如下：
由上图可知最优解为X=(0，207，0，1000，2098,0)T,最优值Z=5415.23万元。
(四)结果分析
1)根据计算结果，能够使年利润达到最大化的产品生产计划是：X2105柴油机生产207辆，X4110柴油机生产1000辆，X6105柴油机生产2098辆，共计3305辆。
目标利润为5415.23万元。
2)由以上求解结果可知，总装工时、钢材、X4110柴油机是稀缺的资源，其余资源均有剩余，由影子价格也可看出，总装工时、钢材、X4110柴油机是希缺的，并且钢材是最稀缺的，如果增加这三种资源，有其是增加钢材的供应，会很大程度上提高总利润，并且增加流动资金可使总利润提高最快。
因此上述产品生产计划在实践中应作出适当调整。
(五)方案调整
从影子价格可以看出，钢材是最稀缺的资源，并且其变动范围为：129.0987至351.4478，在这个范围内变动钢材的供应量，是合理的。
因此，可以将钢材的约束量变为351.4478，其运行结果如下图所示：
从上图可以看出：此时，最大收益从5415.23万元变为5437.382万元，最大收益增加了。
并且此时的最优解为X=(0，202，0，1000，2111,0)T,影子价格中显示出钢材依然是最稀缺的资源，同时其变动范围从351.4478变为353.8629，同时，总装工时、焦炭、X4110柴油机是稀缺的资源，因此，需要进一步地调整。
从上图可以看出：将钢材的供应量增加到353.8629时，钢材的剩余和供应达到一个平衡点，此时，钢材不再是一个稀缺的资源，而是一个平衡的量。
问题中最大收益从5437.382万元
变为5473.34万元，最大收益增加了。
并且此时的最优解为X=(0，212，0，1000，1711,385)T,从影子价格可以看出，此时焦炭是最为稀缺的资源，总装工时小于1，基本达到平衡点。
X4110柴油机的稀缺性增加，同时机加工时也变成稀缺的资源，焦炭变成了最稀缺的资源。
因此，若增加焦炭的供应量，会增加最大收益，其调整结果如下图所示：
从上图可以看出，最大收益Z并没有增加仍然为5473.34万元，并且此结果与第一次调整的影子结果一致。
影子价格中显示出钢材依然是最稀缺的资源，总装工时、焦炭、X4110柴油机是稀缺的资源，也与第一次的结果一致。
因此可以相信，结果已经在一个相对均衡的范围内。
为了验证这种想法，进行进一步的调整，其结果如下：
从上图可以看出，最大收益Z增加到5504.604万元，影子价格中显示出的结果与第二次调整的结果一致，焦炭变成了是最稀缺的资源，因此可以相信，最大收益已经是个均衡点。
此时的最优解为X=(0，202，0，1000，1797,324)T。