八年级数学上册：三角形中的边角关系命题与证明练习
沪科版八年级上册数学第13章 三角形中的边角关系、命题与证明含答案
沪科版八年级上册数学第13章三角形中的边角关系、命题与证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，将△ABC三个角分别沿DE、HG、EF翻折，三个顶点均落在点O处，则∠1＋∠2的度数为( )A.120°B.135°C.150°D.180°2、如图，△ABC的面积为1cm2， AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（）A. B. C. D.3、如图，在矩形ABCD中，点E是AD上任意一点，则有（）A.△ABE的周长＋△CDE的周长＝△BCE的周长B.△ABE的面积＋△CDE 的面积＝△BCE的面积C.△ABE∽△DECD.△ABE∽△EBC4、若等腰三角形的顶角为，则它的一个底角度数为A.20°B.50°C.80°D.100°5、平行四边形的两条对角线长分别为8cm和10cm，则其边长的范围是（）A.2＜x＜6B.3＜x＜9C.1＜x＜9D.2＜x＜86、如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠1＝30°，∠2＝40°，∠D的度数是（）A.110°B.120°C.130°D.140°7、如图，已知△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A.90°B.135°C.270°D.315°8、如图，直线AB∥CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于（）A.70°B.80°C.90°D.100°9、如果三角形的两边长分别是4和9，那么第三边长可能是( )A.1B.5C.8D.1410、如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD :S△ACD=( )A.3:4B.4:3C.16:9D.9:1611、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，则下列说法中错误的是（）A.如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°B.如果，则∠B=60°，∠A=30° C.如果，那么△ABC是直角三角= D.如果，那么△ABC是直角三角形12、如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，AD＝5，DH⊥AB于点H，则DH的长为( )A.24B.10C.4.8D.613、如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB=2DE，∠E=16°，则∠ABC的度数是( )A. B. C. D.14、如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F．若∠BAC=35°，则∠BFC的大小是（）A.105°B.110°C.100°D.120°15、下列命题正确的有 ( )个①40°角为内角的两个等腰三角形必相似②若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为750③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形④一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，（a>b=c），那么a2∶b2∶c2=2∶1∶1⑤若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，则此△为等腰直角三角形。
三角形中的边角关系、命题与证明期末复习(含答案)
期末复习三角形中的边角关系、命题与证明类型一三角形的有关概念1.已知AD,AE分别是△ABC的中线和角平分线,则下列结论中错误的是()A.BD=BCB.BC=2CDC.∠BAE=∠BACD.∠BAC=2∠CAD2.如图QM3-1所示:图QM3-1(1)在△ABC中,BC边上的高是;(2)在△AEC中,AE边上的高是.3.如图QM3-2,回答下列问题:(1)图中有几个三角形?试写出这些三角形;(2)∠1是哪个三角形的内角?(3)以CE为一条边的三角形有几个?是哪几个?图QM3-2类型二三角形中三边关系的应用4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x千米远,则x的值应满足()A.x=3B.x=3或x=7C.3<x<7D.3≤x≤75.已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是()A.5B.6C.12D.166.△ABC的边长均为整数,且最大边的长为7,那么这样的三角形共有个.7.已知三角形两边的长为4,8,则第三边的长可以是(写出一个即可).类型三三角形内角和定理及其推论的应用8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为234,则∠B的度数为()A.120°B.80°C.60°D.40°9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是()图QM3-3A.45°B.50°C.60°D.75°10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2,求∠BPC 的度数.图QM3-4类型四命题与证明11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命题:.12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确的命题.14.如图QM3-5,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,AE平分∠BAD,若AE∥CF,∠BCF=60°.请你求出∠DCF的度数,并说明你的理由.图QM3-5类型一分类讨论思想的应用15.已知等腰三角形两边的长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为.16.△ABC中,AB∶AC=3∶2,BC=AC+1,若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成8∶7两部分,求边AB,AC的长.17.现在要设计一种三角形有两种方案:①三角形三边长分别为2x,3x,10,其中x为正整数,且周长不超过30;②有两边长分别是7分米,3分米,第三边长y为奇数(单位:分米).分别讨论满足条件的三角形各有几个.类型二解三角形问题常用辅助线18.如图QM3-6所示,已知a∥b,∠2=95°,∠3=150°,求∠1的度数.图QM3-619.如图QM3-7,若AB∥CD,求证:∠E+∠BAE-∠CDE=180°.图QM3-720.如图QM3-8,AD,BC相交于点E,∠1=∠2,∠3=∠4,∠C=32°,∠D=28°,求∠APB的度数.图QM3-8类型三创新问题展示21.在研究三角形内角和等于180°的证明方法时,小明和小虎分别给出了下列证法.小明:在△ABC中,延长BC到点D,∴∠ACD=∠A+∠B(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).又∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等式的性质).小虎:在△ABC中,过点C作CD⊥AB于点D(如图QM3-9),∴∠ADC=∠BDC=90°(直角的定义),则∠A+∠ACD=90°,∠B+∠BCD=90°(直角三角形的两锐角互余),∴∠A+∠ACD+∠B+∠BCD=180°(等式的性质),即∠A+∠B+∠ACB=180°.请你判断上述两名同学的证法是否正确,如果不正确,写出一种你认为较简单的证明三角形内角和定理的方法,并与同伴交流.图QM3-922.已知:如图QM3-10①,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点O,则∠BOC=90°+∠A=×180°+∠A.请说明理由;如图QM3-10②,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的两条三等分线分别对应交于点O1,O2,则∠BO1C=×180°+∠A,∠BO2C=×180°+∠A.请说明理由;根据以上阅读理解,猜想n等分时[内部有(n-1)个交点],用含n的代数式表示∠BO n-1C= (直接写出结果,不需说明理由).图QM3-10期末复习1.D2.(1)AB(2)CD3.解:(1)图中共有8个三角形,分别是△ABC,△ABE,△ACD,△BCD,△BCE,△BCO,△BDO,△CEO.(2)∠1是△BCD和△BDO的内角.(3)以CE为一条边的三角形有2个,分别是△BCE和△CEO.4.D5.C6.167.答案不唯一,如5,6等8.C9.D10.解:∵∠A=40°,∠ACB=∠ABC,∴∠ACB=∠ABC=70°.又∵∠1=∠2,∴∠BCP=∠ABP.∴∠2+∠BCP=∠2+∠ABP=∠ABC=70°,∴∠BPC=180°-(∠2+∠BCP)=110°.11.答案不唯一,如“对顶角相等”12.-3(答案不唯一)13.解:可能组成的正确命题有如下几种结果(前两个作为条件,后一个作为结论):①②④;②④①;①④②;②⑤③;③⑤②;②③⑤.14.解:∠DCF=60°.理由如下:如图,∵∠B=90°,∠BCF=60°,∴∠1=30°.∵AE∥CF,∴∠2=∠1=30°.∵AE平分∠BAD,∴∠3=∠2=30°.又∵∠D=90°,∴∠4=60°.∵AE∥CF,∴∠DCF=∠4=60°.15.16或1716.解:设AB=3x,AC=2x,则BC=2x+1,由题意得①3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=2,则AB=6,AC=4;②3x+x=(3x+2x+2x+1)×,解得x=,则AB=,AC=.答:边AB的长为6,边AC的长为4;或者边AB的长为,边AC的长为.17.解:①2x+3x+10≤30,解得x≤4,即x可取1,2,3,4.当x等于1时,三边长分别为2,3,10,构不成三角形;当x等于2时,三边长分别为4,6,10,构不成三角形;当x等于3时,三边长分别为6,9,10;当x等于4时,三边长分别为8,12,10.故满足条件的三角形共有2个.②三角形的第三边长y满足:7-3<y<3+7,即4<y<10.因为第三边长为奇数,因而第三边长可以为5,7或9.故满足条件的三角形共有3个.18.解:解法一:如图①,∠ABC=180°-∠2=85°.∵a∥b,∴∠CAB=180°-∠3=30°.∵∠1是△ABC的外角,∴∠1=∠CAB+∠ABC=115°;解法二:如图②,过∠2的顶点A作射线AB∥a,那么AB∥b,则∠CAB=180°-150°=30°,∴∠DAB=∠2-∠CAB=95°-30°=65°,∴∠1=180°-∠DAB=115°;解法三:如图③,连接AC,∵a∥b,∴∠DAC+∠ECA=180°.而∠DAC=∠1-∠BAC,∠ECA=∠3-∠ACB,∴(∠1-∠BAC)+(∠3-∠ACB)=180°,即∠1+∠3-(∠BAC+∠ACB)=180°.在△ABC中,∠BAC+∠ACB+∠2=180°,即∠BAC+∠ACB=180°-∠2,∴∠1+∠3-(180°-∠2)=180°,从而∠1=360°-∠2-∠3=360°-95°-150°=115°.19.证明:如图,连接AD.∵AB∥CD,∴∠BAD=∠CDA(两直线平行,内错角相等).又∵∠ADE+∠DAE+∠E=180°(三角形内角和定理),∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠CDA,∴∠ADE+∠DAE+∠E+∠BAD=180°+∠ADE+∠CDE,∴∠E+∠BAE=180°+∠CDE,∴∠E+∠BAE-∠CDE=180°.20.解:由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,得∠AEB=∠CAE+∠C=∠DBC+∠D,从而2∠AEB=∠1+∠2+∠3+∠4+∠C+∠D,即∠AEB=∠2+∠3+(∠C+∠D).连接PE并延长至点F,易知∠AEF=∠2+∠APF,∠BEF=∠3+∠BPF,∴∠AEB=∠2+∠3+∠APB,∴∠APB=(∠C+∠D)=30°.21.解:两名同学的证法都不对.因为“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”与“直角三角形的两锐角互余”都是由三角形内角和定理推导的.证明:如图,在△ABC中,过点A作EF∥BC,∴∠EAB=∠B,∠FAC=∠C(两直线平行,内错角相等).∵∠EAB+∠BAC+∠FAC=180°(平角的定义),∴∠B+∠BAC+∠C=180°.22.解:在题图①中,∵∠OBC=∠ABC,∠OCB=∠ACB,∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=90°+∠A=×180°+∠A.在题图②中,∵∠O1BC=∠ABC,∠O1CB=∠ACB,∴∠BO1C=180°-∠O1BC-∠O1CB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=120°+∠A=×180°+∠A.同理,∵∠O2BC=∠ABC,∠O2CB=∠ACB,∴∠BO2C=180°-∠O2BC-∠O2CB=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(180°-∠A)=60°+∠A=×180°+∠A.通过前两个结果的证明,从而猜想:∠BO n-1C=×180°+-∠A.。
沪科8年级数学上册第13章2 命题与证明
作为进一步判断其他命题真假的依据，只不过基本事实
(公理) 是最原始的依据；而命题不一定是真命题，因而不
能直接用来作为判断其他命题真假的依据.
例 4 填写下列证明过程中推理的依据.
知4－练
如图13.2-1，已知AC，BD相交于点O，DF平分
∠CDO与AC相交于点F，BE平分
∠ABO与AC相交于点E，∠A＝∠C.
知识点 5 三角形内角和定理及推论1, 2
知5－讲
1. 定理 三角形的内角和等于180°. 几何语言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.
2. 三角形内角和定理的证明
知5－讲
证明方法 方法一
图示
证明过程
如图，过点A作l∥BC，则 ∠2＝∠B，∠3＝∠C. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠1＋∠B＋∠C＝180°.
知1－练
解：(1)(2)(3)(4)(5)(7)是命题，其中(2)(3)是真命题， (1)(4)(5)(7)是假命题.(6)不是命题.
知1－练
1-1. [期末·宿州桥区]下列命题是真命题的是( C ) A． 如果AB＝BC，那么点C是AB的中点 B． 三条线段的长分别为a，b，c，如果a＋b > c，那 么这三条线段一定能组成三角形 C． 三角形的内角和等于180° D． 如果| a |＝| b |，那么a＝b
续表： 证明方法
方法二
图示
知5－讲
证明过程 如图， 过点C作CD∥AB， 则∠1＝∠A，∠2＝∠B. 因 为∠1＋∠2＋∠ACB＝ 180°，所以∠A＋∠B＋ ∠ACB＝180°.
续表： 证明方法
方法三
图示
知5－讲
证明过程 如图，过点D作DE∥AB， DF∥AC，则∠1＝∠C， ∠2＝∠4，∠3＝∠B，∠A ＝∠4. 所以∠2＝∠A. 因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，所 以∠A＋∠B＋∠C＝180°.
安徽省八年级上册数学(沪科版)期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选
2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选一．解答题（共22小题）1．（2019秋•当涂县期末）如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠ABC与∠ACB的三等分线分别交于点M、N 两点．（1）求∠BMC的度数；（2）若设∠A＝α，用α的式子表示∠BMC的度数．2．（2019秋•埇桥区期末）（1）如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．①当∠A＝60°时，求∠D的度数．②猜想∠A与∠D有什么数量关系？并证明你的结论．（2）如图（b），BD平分外角∠CBP，CD平分外角∠BCQ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确，请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程）．3．（2019秋•临泉县期末）如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件：①AB＝DE；②AC＝DF；③AB∥DE；④BE＝CF．请你从中选三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，并加以证明．解：我写的真命题是：已知：；求证：．（注：不能只填序号）证明如下：4．（2019秋•濉溪县期末）在如图所示的平面直角坐标系中，作出下列坐标的A（﹣3，2），B（0，﹣4），C （5，﹣3），D（0，1）．并求出四边形ABCD的面积．5．（2019秋•潜山市期末）如图，∠A＝37°，∠B＝28°，∠ADB＝148°，求∠C的度数．6．（2019秋•庐阳区期末）如图，在△ABC中，AD、CE分别平分∠BAC和∠ACB，AD、CE交于点O，若∠B＝50°，求∠AOC．7．（2019秋•庐阳区期末）在△ABC中，∠A+∠B＝∠C，∠B﹣∠A＝30°．（1）求∠A、∠B、∠C的度数；（2）△ABC按角分类，属于什么三角形？△ABC按边分类，属于什么三角形？8．（2019秋•裕安区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AE，CF是角平分线，它们相交于为O，AD是高，求∠BAD和∠AOC的度数．9．（2019秋•瑶海区期末）如图，已知△ABC．（1）若AB＝4，AC＝5，则BC边的取值范围是；（2）点D为BC延长线上一点，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E，若∠E＝55°，∠ACD＝125°，求∠B的度数．10．（2019秋•全椒县期末）已知，如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC 和CB的延长线于点D，E，F．（1）求证：∠F+∠FEC＝2∠A；（2）过B点作BM∥AC交FD于点M，试探究∠MBC与∠F+∠FEC的数量关系，并证明你的结论．11．（2019秋•涡阳县期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AD⊥BC于D，AD＝5，BE⊥AC于E，求BE的长．12．（2019秋•全椒县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．13．（2019秋•和县期末）如图，在△ABC中，∠B＝47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，求∠E的度数．14．（2019秋•涡阳县期末）如图，三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（﹣4，﹣6），（﹣6，﹣3），求三角形AOB的面积（提示：三角形AOB的面积可以看作一个梯形的面积减去一些小三角形的面积）．15．（2018秋•望江县期末）在△ABC中，AB＝9，BC＝2，AC＝x．（1）求x的取值范围；（2）若△ABC的周长为偶数，则△ABC的周长为多少？16．（2018秋•长丰县期末）已知：如图，D是AB上的一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A ＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°．求：（1）∠BDC的度数；（2）∠BFC的度数．17．（2018秋•埇桥区期末）在△ABC中，∠A＝∠B+20°，∠C＝∠A+50°，求△ABC各内角的度数．18．（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，∠ACB＞90°，AE平分∠BAC，AD⊥BC交BC的延长线于点D．（1）若∠B＝30°，∠ACB＝100°，求∠EAD的度数；（2）若∠B＝α，∠ACB＝β，试用含α、β的式子表示∠EAD，则∠EAD＝．（直接写出结论即可）19．（2018秋•桐城市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AE是∠BAC的平分线，∠B＝30°，∠C ＝70°，分别求：（1）∠BAC的度数；（2）∠AED的度数；（3）∠EAD的度数．20．（2018秋•无为县期末）如图，AC平分∠DCE，且与BE的延长线交于点A．（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，则∠BEC＝．（直接在横线上填写度数）（2）小明经过改变∠A，∠B的度数进行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三个角之间存在固定的数量关系，请你用一个等式表示出这个关系，并进行证明．解：（2）关系式为：证明：21．（2018秋•阜南县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC，∠B＝42°，∠C＝70°，求：∠DAE的度数．22．（2019春•庐江县期末）已知：三角形ABC和同一平面内的点D．（1）如图1，点D在BC边上，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB于F．若∠EDF＝85°，则∠A的度数为°．（2）如图2，点D在BC的延长线上，DF∥CA，∠EDF＝∠A，证明：DE∥BA．（3）如图3，点D是三角形ABC外部的一个动点，过D作DE∥BA交直线AC于E，DF∥CA交直线AB于F，直接写出∠EDF与∠A的数量关系（不需证明）．2020-2021学年安徽省八年级上册数学（沪科版）期末考试复习：第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》解答题精选参考答案与试题解析一．解答题（共22小题）1．【解答】解：（1）∵∠A ＝75°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣75°＝105°，∴∠MBC +∠MCB =23×105°＝70°，∴∠BMC ＝180°﹣70°＝110°．（2）∵∠A ＝α，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣α∴∠MBC +∠MCB =23×（180°﹣α）＝120°−23α∴∠BMC ＝180°﹣（120°−23α）＝60°+23α2．【解答】解：（1）①∵∠A ＝60°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣60°＝120°，∵∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×120°＝60°，∴∠D ＝180°﹣60°＝120°．②结论：∠D ＝90°+12∠A ．理由：∵∠DBC =12∠ABC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×（∠ABC +∠ACB ）=12（180°﹣∠A ）＝90°−12∠A∴∠D ＝180°﹣（90°−12∠A ）＝90°+12∠A ．（2）不正确．结论：∠D ＝90°−12∠A ．理由：∵∠DBC =12∠PBC ，∠DCB =12∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12×（∠PBC +∠QCB ）=12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ）=12（180°+∠A ）＝90°+12∠A ，∴∠D ＝180°﹣（90°−+12∠A ）＝90°−12∠A ．3．【解答】解：我写的真命题是：已知：①②④；求证：③证明如下：∵BE ＝FC ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝FE ，在△ABC 和△DEF 中{AA =AA AA =AA AA =AA ，∴△ABC ≌△DEF （SSS ），∴∠B ＝∠DEF ，∴AB ∥DE ．故答案为①②④；③．4．【解答】解：如图所示，S 四边形ABCD =12×5×3+12×5×5=20．5．【解答】解：连接CD 并延长点E ， ∵∠ACD ＝∠ADE ﹣∠A ＝∠ADE ﹣37°，∴∠A ＝37°，∠ADE ＝∠A +∠ACD ，同理可得：∠BCD ＝∠BDE ﹣28°，∵∠ACB ＝∠ACD +∠BCD ，∴∠ADB ＝148°，∠ACB ＝∠ADB ﹣∠A ﹣∠B ，＝148°﹣37°﹣28°＝83°．6．【解答】解：∵∠ABC ＝50°， ∴∠BAC +∠ACB ＝180°﹣50°＝130°，∵AD ，CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC =12∠BAC ，∠OCA =12∠ACB ，∴∠OAC +∠OCA =12（∠BAC +∠ACB ）=12×130°＝65°，在△AOC 中，∠AOC ＝180°﹣（∠OAC +∠OCA ）＝180°﹣65°＝115°．7．【解答】解：（1）由题意：{∠A +∠A =∠AAA −AA =30°AA +AA +AA =180°，解得{∠A =30°AA =60°AA =90°．（2）∵∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴按角分类，属于直角三角形．△ABC 按边分类，属于不等边三角形．8．【解答】解：∵AD 是高，∠B ＝50°，∴Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAC ＝90°，∠B ＝50°，∴△ABC 中，∠ACB ＝90°﹣50°＝40°，∵AE ，CF 是角平分线，∴∠CAE =12∠BAC ＝45°，∠ACF =12∠ACB ＝20°，∴△AOC 中，∠AOC ＝180°﹣45°﹣20°＝115°．9．【解答】解：（1）∵AB ＝4，AC ＝5，∴5﹣4＜BC ＜4+5，即1＜BC ＜9，故答案为：1＜BC ＜9；（2）∵∠ACD ＝125°，∴∠ACB ＝180°﹣∠ACD ＝55°，∵DE ∥AC ，∴∠BDE ＝∠ACB ＝55°．∵∠E ＝55°，∴∠B ＝180°﹣∠E ﹣∠BDE ＝180°﹣55°﹣55°＝70°．10．【解答】（1）证明：∵∠FEC ＝∠A +∠ADE ，∠F +∠BDF ＝∠ABC ，∴∠F +∠FEC ＝∠F +∠A +∠ADE ，∵∠ADE ＝∠BDF ，∴∠F +∠FEC ＝∠A +∠ABC ，∵∠A ＝∠ABC ，∴∠F +∠FEC ＝∠A +∠ABC ＝2∠A ．（2）∠MBC ＝∠F +∠FEC ．证明：∵BM ∥AC ，∴∠MBA ＝∠A ，、∵∠A ＝∠ABC ，∴∠MBC ＝∠MBA +∠ABC ＝2∠A ，又∵∠F +∠FEC ＝2∠A ，∴∠MBC ＝∠F +∠FEC ．11．【解答】解：∵S △ABC =12AC •BE ，S △ABC =12BC •AD ，∴AC •BE ＝BC •AD ，∴BE =406=203．12．【解答】解：设BD ＝CD ＝x ，AB ＝y ，则AC ＝2BC ＝4x ，∵BC 边上的中线AD 把△ABC 的周长分成60和40两部分，AC ＞AB ， ∴AC +CD ＝60，AB +BD ＝40，即{4A +A =60A +A =40，解得：{A =12A =28， 当AB ＝28，BC ＝24，AC ＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，所以AC ＝48，AB ＝28．13．【解答】解：∵三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，∴∠EAC =12∠DAC ，∠ECA =12∠ACF ；又∵∠B ＝47°（已知），∠B +∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），∴12∠DAC +12∠ACF =12（∠B +∠B +∠1+∠2）=227°2（外角定理），∴∠E ＝180°﹣（12∠DAC +12∠ACF ）＝66.5°．14．【解答】解：S △AOB ＝S 梯形BCDO ﹣（S △ABC +S △OAD ） =12×（3+6）×6﹣（12×2×3+12×4×6）＝27﹣（3+12） ＝12．15．【解答】解：（1）由题意知，9﹣2＜x ＜9+2，即7＜x ＜11；（2）∵7＜x ＜11，∴x 的值是8或9或10，∴△ABC 的周长为：9+2+8＝19（舍去）．或9+2+9＝20或9+2+10＝21（舍去）即该三角形的周长是20．16．【解答】解：（1）∵∠A ＝62°，∠ACD ＝35°，∴∠BDC ＝∠A +∠ACD ＝62°+35°＝97°；（2）∵∠ABE ＝20°，∠BDC ＝97°，∴∠BFC ＝∠BDC +∠ABE ＝97°+20°＝117°．17．【解答】解：∵∠A ＝∠B +20°，∠C ＝∠A +50°， ∴∠C ＝∠B +20°+50°，∵∠A +∠B +∠C ＝180°，∴∠B +20°+∠B +∠B +20°+50°＝180°，解得：∠B ＝30°，∴∠A ＝30°+20°＝50°，∴∠C ＝50°+50°＝100°，即∠A ＝50°，∠B ＝30°，∠C ＝100°．18．【解答】解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝100°，∴∠ACD ＝180°﹣100°＝80°，∴∠CAD ＝90°﹣80°＝10°，∵∠B ＝30°，∴∠BAD ＝90°﹣30°＝60°，∴∠BAC ＝50°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =12∠BAC ＝25°，∴∠EAD ＝∠CAE +∠CAD ＝35°；（2）∵AD ⊥BC ，∴∠D ＝90°，∵∠ACB ＝β，∴∠ACD ＝180°﹣β，∴∠CAD ＝90°﹣∠ACD ＝β﹣90°，∵∠B ＝α，∴∠BAD ＝90°﹣α，∴∠BAC ＝90°﹣α﹣（β﹣90°）＝180°﹣α﹣β， ∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE =12∠BAC ＝90°−12（α+β），∴∠EAD ＝∠CAE +∠CAD ＝90°−12（α+β）+β﹣90°=12β−12α．故答案为：12β−12α．19．【解答】解：（1）∵∠B ＝30°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝80°；（2）∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠BAE =12∠BAC ＝40°，∴∠AED ＝∠BAE +∠B ＝40°+30°＝70°；（3）∵AD ⊥BC ，∴∠ADE ＝90°，∴∠EAD ＝∠ADE ﹣AED ＝90°﹣70°＝20°．20．【解答】解：（1）∵∠A ＝35°，∠B ＝30°，∴∠ACD ＝∠A +∠B ＝65°，又∵AC 平分∠DCE ，∴∠ACE ＝∠ACD ＝65°，∴∠BEC ＝∠A +∠ACE ＝35°+65°＝100°， 故答案为：100°；（2）关系式为∠BEC ＝2∠A +∠B ．理由：∵AC 平分∠DCE ，∴∠ACD ＝∠ACE ，∵∠BEC ＝∠A +∠ACE ＝∠A +∠ACD ，∵∠ACD ＝∠A +∠B ，∴∠BEC ＝∠A +∠A +∠B ＝2∠A +∠B ．21．【解答】解：∵∠B ＝42°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ＝68°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAE=12A BAC＝34°，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝20°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝34°﹣20°＝14°．22．【解答】解：（1）∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠A＝∠DEC，∠DEC＝∠EDF，∵∠EDF＝85°∴∠A＝∠EDF＝85°；故答案为：85；（2）证明：如图1，延长BA交DF于G．∵DF∥CA，∴∠2＝∠3．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3．∴DE∥BA．（3）∠EDF＝∠A，∠EDF+∠A＝180°，理由：如图2，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠E＝180°，∠E+∠EAF＝180°，∴∠EDF＝∠EAF＝∠A；如图3，∵DE∥BA，DF∥CA，∴∠EDF+∠F＝180°，∠F＝∠CAB，∴∠EDF+∠BAC＝180°．即∠EDF+∠A＝180°，。
沪科版八年级数学上第13章三角形中的边角关系、命题与证明13
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典例导学 如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠B.求证：△CDB 是直角
三角形．
【思路分析】要证△CDB 是直角三角形，可证∠B＋∠DCB＝90°，在△ABC
中，已知∠ACB＝90°，易证△CDB 是直角三角形．
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A．85° B．90° C．95° D．100°
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9．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，则∠B 为 A．15° B．30° C．50° D．60°
(D)
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10．已知三角形 ABC 的三个内角满足关系∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形 (D)
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第 3 课时 三角形内角和定理的证明及 推论
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要点感知 1．三角形内角和定理：三角形的内角和等于 18180°0°. 2．为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅辅助线助线． 3．直角三角形的两锐角互互余 余． 4．有两个角互余的三角形是直直角角三三角形角形．
1 ∴∠EGD＝3×(180°－60°)＝40°， ∴∠1＝40°.
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(2)∠AEF＋∠FGC＝90°. 理由：∵AB∥CD， ∴∠AEG＋∠CGE＝180°， 即∠AEF＋∠FEG＋∠EGF＋∠FGC＝180°， 又∵∠FEG＋∠EGF＝90°， ∴∠AEF＋∠FGC＝90°.
八年级数学上册三角形中的边角关系、命题与证明 . 命题与证明三角形的外角
12.星期天,小明见爸爸愁眉苦脸在看一张图纸,他便悄悄地来到爸爸身边,想看爸爸为什么犯愁.爸爸 见到他,高兴地对他说:“来帮我一个忙,你看这是一个四边形零件的平面图,它要求∠BDC等于 140°才算合格,小明通过测量得∠A=90°,∠B=19°,∠C=40°后就下结论说此零件不合格,于是爸爸 让小明解释(jiěshì)这是为什么,小明很轻松地说出了原因,并用如下的三种方法解出此题.请你分别说 出不合格的理由. ( 1 )如图1,连接AD并延长. ( 2 )如图2,延长CD交AB于点E. ( 3 )如图3,连接BC.
( 2 )∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∠BAC=70°,∠B=40°,
∴∠C=70°.
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6.如图所示,∠ACD是△ABC的一个外角,CE平分∠ACD,F为CA延长线上的一 点(yī diǎn),FG∥CE,交AB于点G,下列说法正确的是 ( C )
A.∠2+∠3>∠1 B.∠2+∠3<∠1 C.∠2+∠3=∠1 D.无法(wúfǎ)判断
你的结论.
解:( 1 )延长(yáncháng)BD交AC于点E. ∵∠BDC是△CDE的外角,∴∠BDC=∠ACD+∠CED,
∵∠CED是△ABE的外角,∴∠CED=∠A+∠ABD.
∴∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD. ( 2 )∠D+∠A+∠ABD+∠ACD=360°. ( 3 )令BD,AC交于点E, ∵∠AED是△ABE的外角,∴∠AED=∠A+∠ABD, ∵∠AED是△CDE的外角,∴∠AED=∠D+∠ACD,
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知识点2 三角形外角(wài jiǎo)的性质
第十三章 三角形边角关系及命题与证明 (含答案)
第十三章三角形边角关系及命题与证明一、单选题1．已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（）A． 3和4 B． 1和2 C． 2和3 D． 4和52．已知非直角三角形ABC中，∠A=45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）A． 45° B． 45°或135° C． 45°或125° D． 135°3．下列说法中正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类C．射线就是直线D．两点之间的所有连线中，线段最短4．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，C、D 两点落到、处已知，且，则的度数为A． B． C． D．5．已知如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠BAC=60°，BO、AO分别平分∠ABC 和∠BAC，求∠BCO的大小（）A． 35° B． 40° C． 55° D． 60°6．下列命题中，属于真命题的是（）A．同位角相等 B．任意三角形的外角一定大于内角C．多边形的内角和等于180° D．同角或等角的余角相等7．如图：在△ABC中，G是它的重心，AG⊥CD ，如果，则△AGC的面积的最大值是（）A． B． 8 C． D． 68．如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=（∠BAC﹣∠C）；④∠BGH=∠ABE+∠C．试卷第1页，总4页其中正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④9．如图，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边中点，O是四边形ABCD内一点，若四边形AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为7、9、10，则四边形DHOG的面积为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 1010．设△ABC的面积为1，如图①将边BC、AC分别2等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等份，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S2；……，依此类推，则S5的值为（）A． B． C． D．二、填空题11．对于命题“如果∠1+∠2=90°,那么∠1=∠2”,能说明它是假命题的反例是_____.12．如图，点C是线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的同侧作等边△ACD、等边△BCE，BD、AE交于点P．若AB=6，则PC的最大值为_____．13．如图，设△ABC的两边AC与BC之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，则a的取值范围是_____．14．如图，中，，、分别平分，，则________，若、分别平分，的外角平分线，则________．15．三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”，如果一个“特征三角形”的“特征角”为，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为______．三、解答题试卷第2页，总4页16．已知:点D是∠ABC所在平面内一点,连接AD、CD．（1）如图1,若∠A＝28°,∠B＝72°,∠C＝11°,求∠ADC;（2）如图2,若存在一点P，使得PB平分∠ABC,同时PD平分∠ADC,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明;.（3）如图3,在 (2) 的条件下,将点D移至∠ABC的外部,其它条件不变,探究∠A,∠P,∠C的关系并证明（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，∠A=600，∠B=400，求∠BDC．18．如图①，在△ABC中，AE平分∠BAC，∠C＞∠B，F是AE上一点，且FD⊥BC于D点．(1)试猜想∠EFD，∠B，∠C的关系，并说明理由；(2)如图②，当点F在AE的延长线上时，其余条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由．①②19．“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题．已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：问题一：在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；问题二：在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，试求∠P的度数；试卷第3页，总4页问题三：在图3中，已知AP、CP分别平分∠BAM、∠BCD，请问∠P与∠B、∠D之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．问题四：在图4中，已知AP的反向延长线平分∠EAB，CP平分∠DCF，请直接写出∠P与∠B、∠D之间的数量关系．20．一副三角板如图1摆放,∠C=∠DFE=90∘,∠B=30∘,∠E=45∘,点F在BC上,点A在DF上,且AF平分∠CAB,现将三角板DFE绕点F顺时针旋转(当点D落在射线FB上时停止旋转).(1)当∠AFD=_ __∘时,DF∥AC;当∠AFD=__ _∘时，DF⊥AB；(2)在旋转过程中，DF与AB的交点记为P，如图2，若AFP有两个内角相等，求∠APD的度数；(3)当边DE与边AB、BC分别交于点M、N时，如图3，若∠AFM=2∠BMN，比较∠FMN与∠FNM的大小，并说明理由。
八年级数学上册试题 第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷-沪科版(含解析)
第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》章节测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是（）A．人能直立在地面上B．校门口的自动伸缩栅栏门C．古建筑中的三角形屋架D．三轮车能在地面上运动而不会倒2．如图，△ABC的三边长均为整数，且周长为22，AM是边BC上的中线，△ABM的周长比△ACM的周长大2，则AC长的可能值有（）个．A．3B．4C．5D．63．下列命题是假命题的是（ ）A．如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3B．对顶角相等C．如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除D．内错角相等4．如图所示，∠F＝90°，CE⊥AB，C是BF的中点，D是BE上的一点，下列说法正确的是（ ）A．CD是△ABC的中线B．AF是△ABC的高C．CE是△ABF的中位线D．AC是△ABF的角平分线5．如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B=40°，∠C=60°，则∠ADE的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°6．如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC 的值为（）=48，则SΔDEFA．2B．4C．6D．87．如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为3、4、5、7，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值是（ ）A．7B．8C．9D．108．如图，△ABC中，∠ABC=3∠C，E分别在边BC，AC上，∠EDC=24°，∠ADE=3∠AED，∠ABC的平分线与∠ADE的平分线交于点F，则∠F的度数是（ ）A．54°B．60°C．66°D．72°9．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，AD⊥BC于点D．∠ABD的角平分线BF所在直线与射线AE 相交于点G，若∠ABC=3∠C，且∠G=20°，则∠DFB的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°10.如图，∠ABC=∠ACB，BD、CD、BE分别平分∠ABC，外角∠ACP，外角∠MBC，以下结论：①AD∥BC，②BD⊥BE，③∠BDC+∠ABC=90°，④∠BAC+2∠BEC=180°，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD<1AB)，2在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为．12．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，若AB=6，DE=4，则AC=．，DF=8313．已知△ABC的边长a，b，c满足(a−2)2+|b−4|=0，则a、b的值分别是，若c为偶数，则△ABC的周长为．14．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，CD:AD=1:2，连接BD，点E是线段BD上一点，BE:ED=1:3，连接AE，点F是线段AE的中点，连接CF交线段BD于点G，若△ABC的面积是12，则△EFG的面积是．15．如图△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD=90°，∠B=40°，∠C=70°，点D在边OA上，将△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中当CD∥AB时，旋转时间秒．16．如果三角形中任意两个内角∠α与∠β满足2α−β=60°，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形ABC中，BD⊥AC于点D，若△ABC、△ABD、△BCD都是“斜等边三角形”，则∠ABC=．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（1）一个多边形的内角和是外角和的3倍，这个多边形是几边形？（2）小明求得一个多边形的内角和为1280°，小强很快发现小明所得的度数有误，后来小明复查时发现他重复加了一个内角，求出这个多边形的边数以及他重复加的那个角的度数．18．（6分）如图所示，D是△ABC的边AC上任意一点（不含端点），连结BD，请判断AB+BC+AC 与2BD的大小关系，并说明理由．19．（8分）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．将△ABC平移，使点C平移至点D，点A、B的对应点分别是点E、F．(1)在图中请画出△ABC平移后得到的△DEF；(2)在图中画出△ABC的AB边上的高CH；(3)若连接CD、AE，则这两条线段之间的关系是 ；(4)△DEF的面积为 ．20．（8分）如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10 cm，∠CAB=90°．(1)求AD的长；(2)求△ACE和△ABE周长的差．21．（8分）在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．(1)如图1，∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C=______；(3)F是射线AE上一动点，C、H分别为线段A B，BC上的点（不与端点重合），将△BGH沿着GH 折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．22．（8分）已知，在△ABC中，∠BAC=∠ABC，点D在AB上，过点D的一条直线与直线AC、BC分别交于点E、F．(1)如图1，∠BAC=70°，则∠CFE+∠FEC=______°．(2)如图2，猜想∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3，直接写出∠BAC、∠FEC、∠CFE之间的数量关系______．23．（8分）将含30°角的三角板ABC（∠B=30°）和含45°角的三角板FDE及一把直尺按图方式摆放在起．使两块三角板的直角顶点A，F重合．点A，F，C，E始终落在直尺的PQ边所在直线上．将含45°角的三角板FDE沿直线PQ向右平移．(1)当点F与点C重合，请在备用图中补全图形，并求平移后DC与CB形成的夹角∠DCB的度数；(2)如图，点F在线段AC上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线FN与边BC交于点N，请证明在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；(3)仿照（2）的探究，点F在射线CQ上移动，M是边AB上的动点，满足∠DFM被FB平分，∠EFM的平分线F N'所在直线与直线BC交于点N，请写出一个与平移过程有关的合理猜想．（不用证明）答案一．选择题1．C【分析】根据三角形的稳定性进行判断即可求解．【详解】解：古建筑中的三角形屋架是利用了三角形的稳定性，故选C2．B【分析】依据ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，可得2<BC<11，再根据ΔABC的三边长均为整数，即可得到BC=4，6，8，10．【详解】解：∵ΔABC的周长为22，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴2<BC<22−BC，解得2<BC<11，又∵ΔABC的三边长均为整数，ΔABM的周长比ΔACM的周长大2，∴AC=22−BC−22=10−12BC为整数，∴BC边长为偶数，∴BC=4，6，8，10，即AC的长可能值有4个，故选：B．3．D【分析】利用对顶角的性质、实数的性质、平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、如果∠1=∠2，∠2=∠3，那么∠1=∠3，正确，是真命题，故本选项不符合题意；B、对顶角相等，正确，是真命题，故本选项不符合题意；C、如果一个数能被6整除，那么它肯定也能被3整除，正确，是真命题，故本选项不符合题意；D、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故本选项符合题意．故选：D．4．B【分析】根据三角形中位线的定义，三角形角平分线、中线和高的定义作答．【详解】解：A、AC是△ABC的中线，故本选项不符合题意．B 、由∠F ＝90°知，AF 是△ABC 的高，故本选项符合题意．C 、CE 是△ABC 的高，故本选项不符合题意．D 、AC 是△ABF 的中线，故本选项不符合题意．故选：B ．5．C【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC ，再根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC =40°，最后利用垂线的定义可得∠AED=90°，进而解答即可．【详解】解：∵∠B =40°，∠C =60°，∴∠BAC=180°−40°−60°=80°．∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=∠DAC =40°．∵DE ⊥AC ，∴∠AED =90°，∴∠ADE =90°−∠DAE =50°．故选C ．6．C【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．【详解】解：连接CD ，如图所示：∵点D 是AG 的中点，∴S △ABD =12S △ABG ，S △ACD =12S △AGC ，∴S △ABD +S △ACD =12S △ABC =24，∴S △BCD =12S △ABC =24，∵点E 是BD 的中点，∴S△CDE =12S△BCD=12，∵点F是CE的中点，∴S△DEF =12S△CDE=6．故选：C．7．C【分析】若两螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，根据三角形任意两边之和大于第三边，进行求解即可．【详解】解：①当3、4在一条直线上时，三边长为：5、7、7，此时最大距离为7；②∵4+5<3+7，∴3、7不可能在一条直线上；③当4、5在一条直线上时，三边长为：3、7、9，此时最大距离为9；④∵4+3<5+7，∴5、7不可能在一条直线上；综上所述：最大距离为9．故选：C．8．B【分析】根据题意可知∠FBC=32∠C，设∠C=x，表示出∠ADE，根据角平分线的定义，可得∠EDF的度数，根据∠FDC=∠F+∠FBC列方程，即可求出∠F的度数．【详解】解：∵BF平分∠ABC，∴∠FBC=12∠ABC，∵∠ABC=3∠C，∴∠FBC=32∠C，设∠C=x，则∠FBC=32x，∵∠EDC=24°，∴∠AED=x+24°，∵∠ADE=3∠AED，∴∠ADE=3x+72°，∵DF平分∠ADE，∴∠EDF=32x+36°，∵∠FDC=∠F+∠FBC，∴32x+36°+24°=∠F+32x，∴∠F=60°．故选：B．9．C【分析】由角平分线的定义可以得到∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF，设∠CAE=∠BAE=x，假设∠C=y，∠ABC=3y，通过角的等量代换可得到∠DFB=3∠G，代入∠G的值即可．【详解】∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABD∴∠CAE=∠BAE，∠ABF=∠DBF设∠CAE=∠BAE=x∵∠ABC=3∠C∴可以假设∠C=y，∠ABC=3y∴∠ABF=∠DBF=∠CBG=12(180°−3y)=90°−32y∵AD⊥CD∴∠D=90°∴∠DFB=90°−∠DBF=32y设∠ABF=∠DBF=∠CBG=z，则{z=x+∠Gz+∠G=x+y∴∠G=12y∴∠DFB=3∠G∵∠G=20°∴∠DFB=60°故答案选：C10．D【分析】根据角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、平行线的判定一一判定即可．【详解】解：①设点A、B在直线MF上，∵BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，∴AD平分△ABC的外角∠FAC，∴∠FAD=∠DAC，∵∠FAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠FAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确．②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=12∠ABC+12∠MBC=12×180°=90°，∴EB⊥BD，故②正确．③∵∠DCP=∠BDC+∠CBD，2∠DCP=∠BAC+2∠DBC，∴2(∠BDC+∠CBD)=∠BAC+2∠DBC，∴∠BDC=12∠BAC，∵∠BAC+2∠ACB=180°，∴12∠BAC+∠ACB=90°，∴∠BDC+∠ACB=90°，故③正确．④∵∠BEC=180°−12(∠MBC+∠NCB)=180°−12(∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC)=180°−12(180°+∠BAC)∴∠BEC=90°−12∠BAC，∴∠BAC+2∠BEC=180°，故④正确．故选：D．二．填空题11．124°【分析】根据已知、折叠和平行线，得∠BEF=∠C，再计算∠BED的度数，最后根据三角形内角和为180°计算∠BDE的度数即可．【详解】∵EF∥AC，∠B=32°，∠A=100°，∴∠BEF=∠C=180°−∠A−∠B=180°−100°−32°=48°（两直线平行，同位角相等），∵纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，∴∠BED=12∠BEF=12×48°=24°，∴∠BDE=180°−∠B−∠BED=180°−32°−24°=124°（三角形内角和为180°），故答案为：124°．12．9【分析】由AD为△ABC的中线得S△ABD =S△ACD，从而得到12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，代入进行计算即可得到答案．【详解】解：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∴S△ABD =S△ACD，∵DE，DF分别为△ABD，△ACD的一条高，∴12⋅AB⋅DE=12⋅AC⋅DF，∵AB=6，DE=4，DF=83，∴AC=9，故答案为：9．13． 2、4 10【分析】由(a −2)2+|b −4|=0，可得a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，由c 为偶数，可得c =4，然后求周长即可．【详解】解：∵(a −2)2+|b −4|=0，∴a −2=0，b −4=0，解得a =2，b =4，由三角形三边关系可得，b −a <c <a +b ，即2<c <6，∵c 为偶数，∴c =4，∴△ABC 的周长为2+4+4=10，故答案为：2、4，10．14．94【分析】连接DF ，CE ．由题意中的线段的比和S △ABC =12，可推出S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD=13S △ABC =4，从而可求出S △ABE =14S △ABD =2，S △ADE =34S △ABD =6．结合中点的性质即得出S △ADF =S △EDF =12S △ADE =3，从而可求出S △CDF =12S △ADF =32，进而得出S △ECF =S △ACF=S △ADF +S △CDF =92，最后即得出DGEG =S △CDF S △ECF=13，最后即可求出S △EFG =34S △EDF =94．【详解】解：如图，连接DF ，CE ．∵CD:AD=1:2，S △ABC =12，∴S △ABD =23S △ABC =8，S △CBD =13S △ABC =4．又∵BE:ED =1:3，∴S△ABE =14S△ABD=2，S△ADE=34S△ABD=6．∵点F是线段AE的中点，∴S△ADF =S△EDF=12S△ADE=3．∵CD:AD=1:2，∴S△CDF =12S△ADF=32，∴S△ACF =S△ADF+S△CDF=92，∴S△ECF =S△ACF=92，∴S△CDFS△ECF =3292=13，即S△DEF+S△DGCS△EFG+S△EGC=13,∴DGEG =13，∴S△EFG =34S△EDF=94．故答案为：94．15．11或29【分析】根据题意，画出图形，进行分类讨论，①当点C在△AOB内时，根据三角形的内角和定理可得∠D=20°，根据平行线的性质得出∠1=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠2，进而得出∠AOD=∠AOB+∠2，即可求解；②当点C在△AOB外时，延长BO交CD 于一点，根据平行线的性质得出∠3=∠B=40°，再根据三角形的外角定理求出∠4=20°，即可得出∠AOD，即可求解．【详解】解：①当点C在△AOB内时，如图，在Rt△OCD中，∠C=70°，∴∠D=180°−90°−70°=20°，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠1=∠B=40°，∵∠D+∠2=∠1，∴∠2=40°−20°=20°，∴∠AOD=∠AOB+∠2=90°+20°=110°，∴旋转时间=110÷10=11（秒），②当点C在△AOB外时，延长BO交CD于一点，如图，∵CD∥AB，∠B=40°，∴∠3=∠B=40°，由①可得，∠D=20°，∴∠4=∠3−∠D=40°−20°=20°，∴∠AOD=90°−∠4=70°，∴△COD绕点O沿顺时针方向旋转了360°−70°=290°，∴旋转时间=290÷10=29（秒），故答案为：11或29．16．55°【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】解：△ABD是“斜等边三角形”，BD⊥AC，∴∠ADB=90°（1）2∠A−∠ABD=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=50°，∠ABD=40°；（2）2∠A−∠ADB=60°，∴解得：∠A=75°，∠ABD=15°；（3）2∠ABD−∠A=60°，∵∠A+∠ABD=90°，∴解得：∠A=40°，∠ABD=50°；（4）2∠ABD−∠ADB=60°，∴解得：∠ABD=75°，∠A=15°；△BCD是“斜等边三角形”，①2∠C−∠CBD=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=50°，∠CBD=40°；②2∠C−∠CDB=60°，∴解得：∠C=75°，∠CBD=15°；③2∠CBD−∠C=60°，∵∠C+∠CBD=90°，∴解得：∠C=40°，∠CBD=50°；④2∠CBD−∠CDB=60°，∴解得：∠CBD=75°，∠C=15°；当（1）①成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=50°，∠CBD=40°，∴∠CBA=40°+40°=80°，∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；当（1）②成立时，∠A=50°，∠ABD=40°，∠C=75°，∠CBD=15°，∴∠CBA=40°+15°=55°，∵2∠CBA−∠A=60°，∴△ABC是“斜等边三角形”，符合题意；同理得：符合题意的只有∠ABC=55°，故答案为：55°三．解答题17．解：（1）设这个多边形的边数是n，由题意得：(n−2)×180=360×3，∴n=8，∴这个多边形是八边形；（2）设这个多边形的边数是m，由题意得：(m−2)×180<1280<(m−2)×180+180，解得：819<m<919，∵m为整数∴m=9，∴重复加的那个角的度数是：1280°−(9−2)×180°=20°答：这个多边形的边数是9，重复加的那个角的度数是20°．18．解：AB+BC+AC＞2BD．理由如下：在△ABD中，AB+AD＞BD，在△BCD中，BC+CD＞BD，∴AB+AD+BC+CD＞2BD，即AB+BC+AC＞2BD．19．（1）如图所示，△DEF即为所求；（2）如图所示，CH即为所求；（3）如图所示，∵△ABC平移后得到的△DEF∴若连接CD、AE，CD∥AE，CD=AE∴这两条线段之间的关系是平行且相等；（4）如图所示，△DEF的面积=4×6−12×4×3−12×1×3−12×3×6=152．20．（1）解：∵∠BAC=90°，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅ACBC =6×810= 4.8(cm)，即AD的长度为4.8cm；（2）∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=(AC+AE+CE)−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE和△ABE的周长的差是2cm．21．（1）解：在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，∵AE是△ABC的角平分线．∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，∵线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠ADB=90°，∴∠BAD=180°−∠B−∠ADB=180°−70°−90°=20°，∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，（2）解：∵∠B=x°，线段AD是△ABC中BC边上的高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−x°，∵∠DAE=10°，∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°−x°+10°=100°−x°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC=2∠BAE=200°−2x°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x°−(200°−2x°)=(x−20°)，故答案为：(x−20)°；（3）解：连接BF，∵∠1=∠GBF+∠GFB，∠2=∠HBF+∠HFB，∴∠1+∠2=∠GBF+∠GFB+∠HBF+∠HFB=∠B+∠GFH，∵△GFH由△GBH折叠所得，∴∠B=∠GFH，∴∠1+∠2=2∠B．22．（1）解：∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴∠ACB=180°−2∠BAC，∵∠CFE+∠FEC=180°−∠ACB，∴∠CFE+∠FEC=180°−(180°−2∠BAC)=2∠BAC，∵∠BAC=70°，∴∠CFE+∠FEC=140°；（2）∠FEC+∠CFE=2∠BAC，证明：在△CEF中∵∠C+∠CEF+∠CFE=180°，∴∠CEF+∠CFE=180°−∠C，在△ABC中，∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，∴∠BAC+∠ABC=180°−∠C，∴∠CEF+∠CFE=∠BAC+∠ABC，∵∠BAC=∠ABC，∴∠CEF+∠CFE=2∠BAC；（3）解：∵∠ACB=∠FEC+∠CFE，∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，∠BAC=∠ABC，∴180°−2∠BAC=∠FEC+∠CFE，∴∠FEC+∠CFE=180°−2∠BAC．23．（1）解：如图所示，∵DC∥AB∴∠DCB=∠B=30°，（2）证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵FN平分∠EFM∴∠EFN=∠MFN=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠NFB=∠NFM−∠BFM=45°+α−α=45°，即∠NFB的大小保持不变；（3）解：在移动过程中，∠NFB的大小保持不变；如图所示，证明：∵AB∥FD∴∠DFB=∠MBF，设∠DFB=∠MBF=α∵∠DFM被FB平分∴∠DFB=∠MFB，则∠DFB=∠MFB=α，∴∠AMF=∠MBF+∠MFB=2α，∵∠BAC=90°∴∠MFA=90°−2α，∵F N'平分∠EFM∴∠EF N'=∠MF N'=12(180°−∠MFA)=12(180°−90°+2α)=45°+α∴∠N'FB=∠N'FM−∠BFM=45°+α−α=45°，∴∠NFB=135°，即∠NFB的大小保持不变；。