材料力学习题册答案-第13章能量法
材料力学第十三章 能量法
1 vε = = τγ 2G 2
τ2
三、扭转
由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系： 由实验知，线弹性范围内，扭转角与扭转力偶成线性关系：
M e l M e 2l 1 1 Vε = W = M e ⋅ ∆φ = M e = 2 2 G I p 2G I p
T 2 ( x) Vε = ∫ dx 2G I p ( x) l
截面的挠度。 例：求图示简支梁C截面的挠度。 求图示简支梁 截面的挠度
F
θ B2
wC1
解：由功的互等定理 F ⋅ wC1 = M ⋅ θ B 2
得：F ⋅ wC1
Fl =M⋅ 16 E I Ml = 16 E I
2
2
由此得：wC1
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移∆ C 。 求图示悬臂梁中点 处的铅垂位移
故：
M ( x) M ( x) ∆=∫ dx EI l
M ( x) M ( x) 莫尔定理 ∆=∫ dx 莫尔积分） （莫尔积分） EI l
对于组合变形： FN ( x) FN ( x) T ( x) T ( x) M ( x) M ( x) ∆=∫ dx + ∫ dx + ∫ dx EA GI p EI l l l
积分得： 积分得：
FN (x)dx M (x)dx T (x)dx Vε = ∫ +∫ +∫ 2EA 2EI 2GIP L L L
2
2
2
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 试求图示悬臂梁的应变能，并利用功 求自由端B的挠度 能原理求自由端 的挠度。 能原理求自由端 的挠度。
F
解：
B
A
l
x
M ( x) = − F ⋅ x
材料力学课后习题答案13章
= 7.44 × 10− 2 m = 74.4mm
而
2 × 0.050 Fd = (300 N ) 1 1 + + 2.22 × 10 − 2
= 1.004 × 10 3 N
M max = 1.004 ×10 3 N (1.00m ) = 1.004 ×10 3 N ⋅ m
设压杆微弯平衡时的挠曲轴方程为
πx w = f sin l
式中，f 为压杆中点的挠度即最大挠度。
题 13-8 图 解：由题设可知，
w = f sin
πx , l
6
w′ =
πf πx cos l l
据此可得
λ (x ) =
q cr 所作之功为
1 x 2 * 1 ( w′) dx = 2 0 2
∫
∫
x 0
(也可通过左侧题号书签直接查找题目与解)
13-2
比为 8:3。
图示圆截面简支梁，直径为 d，承受均布载荷 q 作用，弹性模量 E 与切变模量 G 之
（1）若同时考虑弯矩与剪力的作用，试计算梁的最大挠度与最大转角； （2）当 l/d =10 与 l/d =5 时，试计算剪切变形在总变形（最大挠度与最大转角）中所占百分比。
（2）被冲击面（弹簧顶面）的静位移为
∆st =
最大冲击载荷为
Pl P 500 + = 1.516 × 10 − 5 m + m = 2.52 × 10 − 3 m 3 EI k 200 × 10
2h + + Fd = P 1 1 ∆ st
于是，杆内横截面上最大的正应力为
Fl 3 ∆= 48EI
得刚度系数
0.030 4 48 × 200 × 10 × F 48 EI 12 N = 6.48 × 10 5 N k= = 3 = 3 ∆ m m l 1.00
材料力学第十三章 能 量 法
Vε Vε (D1 , D 2 ,, D i ,, D n )
假设位移 Di 有一微小增量 dDi 其它位移均保持不变 梁的应变能也有一增量 dVe
外力功的增量
d W Fi d D i
Ve d Ve d Di D i
d Ve d W
Ve Fi D i
卡氏第一定理
卡氏第一定理
Vε
l
0
F ( x) T ( x) dx dx 0 2GI 2 EA p
l
2 N
2
F ( x) M ( x) d x s dx 0 2 EI 0 2GA
l l
2
2 S
应变能恒为正 ，是内力或外力的二次函数。
非线性函数
一般情况：非线性弹性体
s s1 s e
外力作功：
de e 1
DAB 方向水平向外
§3-4 用能量法解超静定系统
解超静定问题要综合考虑三方面 几何方面 —— 建立变形几何相容条件 物理方面 —— 建立补充方程 静力学方面 —— 建立平衡方程
等直杆，发生基本变形，材料为线性弹性体 非等直杆或杆系结构，受较复杂荷载作用， 材料为非线性弹性体 易 难
能量法
例1：求图示超静定梁支座处的约束力。
③ 先加M，后加F
A
M AM
F
B
AF DCF
AM
Ml 3EI
D CF
Fl 48 EI
3
AF
Fl 16 EI
2
1 1 应变能： V M ε AM ( FD CF M AF ) 2 2 2 3 2 2 1 F l M l MFl ( ) EI 96 6 16
Ve Fi D i
13简明材料力学习题_答案_第十三章
13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆的变形能。
解：方法1:两杆的变形()()()()()222213/8/447 2/442/4a b P L P L PL PL PLl l EA E d E d E d E d ππππ∆==∆=⨯+= 外力的功22()()()()221217 228a a b b P L P LW P l W P l E d E d ππ=∆==∆= 功能原理22()()()()2227 8a a b b P L P L U W U W E d E d ππ==== 方法2:两杆的内力()() a b N P N P ==变形能()()()222()22222()222222/43/8/4722/4822/4a b N L P L P LU EA E d E d P L P L P L U E d E d E d πππππ====⨯+=13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在P 力作用下，试求桁架的变形能。
解：(1) 求约束力/8/8(a) (b)上海理工大学 力学教研室10 0 0 20 20 0 2AA AB B B A A X P X X PP MR l P l R P Y R Y Y =-===⨯-⨯===-==∑∑∑ (2) 分析铰B2BD B BC B P N R N ====(3) 分析铰D02DA DB BD DC PN N N N ==== (4) 分析铰CCA CB BC N N N ===(5) 桁架的变形能())22222222212211220.95722222i i BC BC AC AC BD BD DA DA N l U N l N l N l N l EA EAP P l P l l EA EA EA ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫⎢⎥=⨯⨯+⨯⨯== ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦∑ 13.3. 计算图示各杆的变形能。
材料力学-第十三章能量方法
fc
U P
M (x) M (x) dx
l EI P
1
EI
l 2 0
[(
P 2
Me l
) x1
M
e
]
x1 2
dx1
1 EI
l 2
(
P
02
Me l
) x2
x2 2
dx2
M el 2 Pl3 16EI 48EI
(
)
31
• 例13-6 求刚架B的水平位移和C点的转角。
解:
AB段： M (x1) (Pa Pf x1)
P
2
29
A截面的转角:
A
U M e
M (x) M (x) dx l EI M e
1
EI
l
2 [(
0
P 2
Me l
) x1
M e ](1
x1 l
)dx1
1
EI
l 2 0
(P 2
Me l
) x2
x2 l
dx2
M el 3EI
Pl 2 16EI
(
)
30
Me
p
A
C
X1
L/2 L/2
B
X2
C截面的挠度为:
A ②将内力对MA求偏导后，令M A=0
L xO
③求变形（ 注意：M A=0）
M (x)
1
M A M 0
A
A
L
M (x) M (x) dx EI M A
L Px dx 0 EI
PL2
2 EI
A
PL2 ( 2 EI
)
“负号”说明 A与所加广义力MA反向。
昆明理工大学材料力学A80学时练习册1-13章答案
第一章 绪论一、是非判断题1.1 ( × )；1.2 ( × )；1.3 ( × )；1.4 ( ∨ )；1.5 ( ∨ )；1.6 ( ∨ ) 1.7 ( ∨ )；1.8 ( × )；1.9 ( × )；1.10 ( ∨ )；1.11 ( ∨ )1.12 ( ∨ )；1.13 ( × )；1.14 ( ∨ )；1.15 ( ∨ ) ；1.16 ( × )二、填空题1.1 杆件 变形 ， 应力，应变 。
1.2 外力的合力作用线通过杆轴线 ， 沿杆轴线伸长或缩短 。
1.3 受一对等值，反向，作沿剪切面发生相对错动 ， 沿剪切面发生相对错动 。
1.4 外力偶作用面垂直杆轴线 。
任意二横截面发生绕杆轴线的相对转动 。
1.5 外力作用线垂直杆轴线，外力偶作用面通过杆轴线 ， 梁轴线由直线变为曲线 。
1.6 包含两种或两种以上基本变形的组合 。
1.7 强度 ， 刚度 ， 稳定性 。
1.8 强度 ， 刚度 ， 稳定性 。
1.9 连续性 ， 均匀性 ， 各向同性 。
1.10 连续性假设 。
应力 、 应变 变形等 。
1.11 拉伸 ， 压缩 ， 弯曲 。
1.12 2α ； α-β ； 0 。
三、选择题1.1 1 。
1.2 C 。
1.3 C 。
四、计算题1.10=A X ∑=0X FF S =⇒∑=0Y 0=-F Y A F Y A =⇒∑=0A M 0=--FL M FL M -=⇒y x解：1. 求A 端的反力： 2. 求1-1截面的内力： ∑=0Y 0=F F S-∑=01C M 02=--/FL M 2/FL M -=⇒X A M1.2第二章 拉伸、压缩与剪切一、是非判断题2.1 ( × )；2.2 ( ×)；2.3 ( × )；2.4. ( ×)；2.5 ( × )；2.6 ( × ) 2.7 ( × )；2.9 ( × )；2.10 ( × )；2.11（ × ）；2.12（ ∨ ）二、填空题2.1 2.22.3 最大工作应力σmax 不超过许用应力[σ] ， 强度校核 ； 截面设计 ； 确定许可载荷 。
材料力学第十三章 能量法2013
§13-7 计算莫尔积分的图乘法 ★重点
(Energy methods)
§13-1 概述（Introduction)
能量方法 (Energy methods )
利用功能原理 U = W 来求解可变形固体的位移、变形和内 力等的方法.
功能原理（Work-energy principle) 外力功等于变形能
2
Me ( x) U dx l 2 EI ( x )
2
(Energy （ Strain energy density for pure shearing state of stresses )
1 u ηγ 2
将 = G 代如上式得
G 2 2 u γ 2 2G
F1a
F2
M图
a B x A
F1a+F2l
特点：在刚节点处，弯矩值连续 ;
(Chapter Thirteen)
(Energy Method)
(Energy methods)
第十三章 能量法 (Energy Methods)
§13-1 概述（Introduction) §13-2 杆件变形能的计算及普遍表达式 §13-3 互等定理（Reciprocal theorems) §13-4 卡氏定理(Castigliano’s Theorem) §13-5 虚功原理（了解） §13-6 单位荷载法 莫尔定理 ★重点
2、利用功能原理计算变形 （Work-energy principle for calculating deflection)
2 FN ( x) T 2 ( x) M 2 ( x) U dx dx dx l 2 EA( x ) l 2GI ( x ) l 2 EI ( x ) p
材料力学 第十三章能量方法
杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。 在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外 力做的功统一写成
V
W
1 2
F
式中 F——广义力；
δ——与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移。
6
§13-1 杆件应变能的计算
例题13-1
求图示悬臂梁的应变能V 和自由端的挠度yA。已知梁的抗弯刚度为EI。
拉压
dV
FN2 x 2EAx
dx
V l 2FEN2Axxdx
扭转
T 2x dV 2GIP x dx
弯曲
M 2x dV 2EIx dx
T 2x
V l 2GIP xdx
M 2x
V l 2EIxdx
5
§13-1 杆件应变能的计算
10
应变能不能叠加:
简单说明
A：F1单独作用 B：F2单独作用
1 V1 2 F1l1
V 2
1 2
F2l2
F2
F1
F2
F1
E：同时加F1、 F2
C：先加F1，再加F2
常力F1在 Δl2上作功
V
1 2
F1l1
1 2
F2l2
F1l2
F1
F12l 2EA
F2 2l 2EA
15
F112 F2 21
上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移δ12上所做的 功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移δ21上所做的功。 这就是功的互等定理 在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得
1 2
Fy
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第十三章能量法
一、选择题
1.一圆轴在图1所示两种受扭情况下，其（A ）。
M
A 应变能相同，自由端扭转角不同；
B 应变能不同，自由端扭转角相同；
2 M M
C 应变能和自由端扭转角均相同；
D 应变能和自由端扭转角均不同。
—_a—一i—_a—一
（图1）
2•图2所示悬臂梁，当单独作用力F时，截面B的转角为θ,若先加力偶M,后加F,则在加F的过程中，力偶M （ C ）。
A 不做功；
B 做正功；
1
C 做负功，其值为Md ；
D 做负功，其值为一Mr。
2
3 •图2所示悬臂梁，加载次序有下述三种方式：第一种为F、M同时按比例施加；第二种
为先加F ,后加M;第三种为先加M ,后加F。
在线弹性范围内，它们的变形能应为（D ）。
A 第一种大；
B 第二种大；
C 第三种大；
D 一样大。
4.图3所示等截面直杆，受一对大小相等，方向相反的力F作用。
若已知杆的拉压刚度为
μFl EA ,材料的泊松比为μ,则由功的互等定理可知，该杆的轴向变形为，I为杆件长
EA 度。
（提示：在杆的轴向施加另一组拉力F。
）
A0 ；
卩Fb
C
EA
F l M
I *]
A B C4
（图2）
Fb
EA
D 无法确定。
b：
、计算题
1.图示静定桁架，各杆的拉压刚度均为
EA 相等。
试求节点 C 的水平位移。
解：解法1-功能原理，因为要求的水平位移与 P 力方向一致，所以可以用这种方法。
由静力学知识可简单地求出各杆的内力，如下表所示。
L
2
—
2
Pa 2
Pa 2
” 2 P ] i 一 2 a
2 EA 2 EA 2 EA
可得出：厶C =2 '2
1 Pa
EA
解法2-卡氏定理或莫尔积分，这两种方法一致了。
在C 点施加水平单位力，则各杆的内力如下表所杆 N i N i I i
N i N t J i
AB P 1 a Pa BC P
1 a Pa
CD 0 0 a 0 BD -Λ∕2P -√2^ √2a 2、''2Pa
AD
a
（2丁2 +2）Pa
EA
则C 点水平位移为： 札 J 2 IPa
EA
EA ,抗弯刚度均为 El 。
试求A 截面的铅直位移。
1 P iC
2
2 •图示刚架，已知各段的拉压刚度均为
1 3
3 •试求图示悬臂梁 B 截面的挠度和转角（梁的 EI 为已知常数）。
解：采用图乘法，如果不计轴向拉压，在 A 点施加单位力，则刚架内力图和单位力图如图 所示。
‘
1
2
1 3
2
El . ： A Fl 」 丨 Fl h I Fl Flh
2 3
3
故A 点总的铅直位移为:
3
2
Fl 3FI h Fh
3EI
杆 N i
N i l i N i N i l i
AB 0
l 0
BC
-F
-1
h
Fh
Fh
EA
N AB N AB
dx 1
o
EA
NBCNBC
dX 2
F)( —1)
dx 2
Fh o
EA o
EA
EA
EA
A
如果考虑轴力影响，则各杆的内力如下表所示。
h
B 点分别加单位力和单位力偶。
它们的内力图如图所示。
1 2
qa
a qa 3
a λ!
El A B = 一 a
l -- I = l I 3 2 J 4 . 丿6
4丿
A B
解：应用图乘法，在
2 3
1 qa qa
=一 a 1 =
3 2 6
4.图示刚架，已知El及EA。
试用莫尔积分法或图乘法计算B截面的垂直位移
W B和转角θB。
图所示。
解：应用图乘法，在 A 、B 点加一对单位力偶。
它们的内力图如图所示。
4!
A 1
EI
L B = — a
3a 2
qa
4
5qa a a -
4 2 8
Elr B
2
qa 2
qa 1
2
2qa 3
如果考虑轴向拉压，解法同第 2题，略。
5 •如图所示刚架受一对平衡力 F 作用，已知各段的 El 相同且等于常量，试用图乘法求两
T
ZTl [<7z
解：应用图乘法，如果不计轴向拉压，在 B 点分别加单位力和单位力偶。
它们的内力图如
2
qa 2 2
3
端A 、B 间的相对转角。
1 1
1
EI VAB Fa
2
a 1 2 亠Fa a 1=2 Fa
6 .图示刚架，已知各段的抗弯刚度均为El。
试计算B截面的水平位移和C截面的转角。
在C截面加一单位力偶，它们的内力图如图所示。
1 21
Ek ： B Pl丨I■ Pl J I Pl -M
2 32
EI ^AB 121
Pl-M l Pl-M l
233
2 3
1
2
丨=2PI Ml
3 3。